Utilità attesa e certo equivalente ∑ Proprietà del certo equivalente

Utilità attesa e certo equivalente
Abbiamo introdotto nella lezione precedente i concetti di utilità attesa di una
lotteria a:
U (a ) =
n
∑ p k u ( xk )
k =1
dove la funzione u(x) rappresenta la utilità di cose certe, e il concetto di certo
equivalente C(a) (importo certo che per l'investitore è indifferente alla lotteria
a):
n

C (a) = u −1 ∑ pk u( xk ) , dove u −1 è la funzione inversa di u.
k =1

Abbiamo detto che il certo equivalente è un esempio di media funzionale o
media secondo Chisini; vediamone le principali proprietà.
© Fabio Bellini 2013
Proprietà del certo equivalente
• Se la lotteria a è una lotteria certa, allora il suo certo equivalente coincide
con l'importo che paga (ovviamente!)
• Se la lotteria a paga importi compresi tra x1 e xn, allora anche il certo equivalente
è compreso tra x1 e xn (proprietà di internalità o di Cauchy)
• Il certo equivalente (come la duration, ricordate?) gode della proprietà
associativa: il certo equivalente di una lotteria di lotterie può essere calcolato
a partire dai certi equivalenti delle singole lotterie:
C (α a + (1 − α )b) = u −1{U (α a + (1 − α )b)} = u −1{αU (a) + (1 − α )U (b)}
= u −1{αu (C (a)) + (1 − α )u (C (b))} che non è altro che il certo equivalente
C (a) con prob.α
della lotteria 
C (b) con prob.1 - α
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1
Avversione al rischio
Ripensando agli esempi, abbiamo visto che in alcuni casi il certo equivalente è
inferiore alla media della lotteria, mentre in altri casi è superiore.
Diamo la seguente fondamentale definizione:
si dice che un agente economico è avverso al rischio se a qualsiasi lotteria a
preferisce la lotteria certa che paga il valore medio di a.
Equivalentemente, un agente economico è avverso al rischio se attribuisce a
qualsiasi lotteria a un certo equivalente inferiore alla media della lotteria:
n
∀a ∈ M , abbiamo che C (a) ≤ µ a = ∑ pk xk
k =1
Sottolineiamo che questo deve valere per qualsiasi lotteria a.
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Avversione al rischio /2
Al contrario diciamo che un agente economico è favorevole al rischio se preferisce
qualsiasi lotteria (rischiosa) alla lotteria certa che paga il valore medio di a.
Equivalentemente, un agente economico è favorevole al rischio se attribuisce a
qualsiasi lotteria a un certo equivalente superiore alla media della lotteria:
∀a ∈ M , abbiamo che C (a ) ≥ µ a
Infine, un agente economico è neutrale al rischio se è sempre indifferente tra la
lotteria a e la lotteria certa che paga la media di a, cioè se
∀a ∈ M , abbiamo che C ( a ) = µ a
Equivalentemente, possiamo dire che un agente è neutrale al rischio se e solo se
è contemporaneamente avverso al rischio e favorevole al rischio.
Non è detto che un agente appartenga a una delle tre classi; può succedere
(e succede spesso) che per alcune lotterie il certo equivalente è superiore
alla media mentre per altre è inferiore.
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2
Avversione al rischio /3
Dato che la scelta tra lotterie dell'agente economico dipende solo dalla sua
funzione di utilità u(x), il fatto che sia avverso, favorevole o neutrale al rischio
dipende solo dalle proprietà della funzione u(x).
Abbiamo infatti il seguente fondamentale risultato:
Un agente è avverso al rischio se e solo se la sua funzione di utilità u(x) è concava,
è favorevole al rischio se e solo se la sua funzione di utilità u(x) è convessa, è
neutrale al rischio se e solo se u(x) è lineare.
Abbiamo già visto il caso di u(x) lineare (cioè u(x)=ax+b) negli esempi,
in questo caso il certo equivalente coincide con la media e quindi l'agente
è neutrale al rischio.
Dimostriamo che se un agente è avverso al rischio, allora la sua utilità u(x)
è concava.
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Avversione al rischio /4
Consideriamo una lotteria a che può pagare due importi x e y con
probabilità α e 1 - α :
 x con prob.α
a=
 y con prob.1 − α
Dato che l' agente è avverso al rischio, deve risultare C (a) ≤ µ a , cioè
u −1 (αu ( x) + (1 − α )u ( y)) ≤ αx + (1 − α ) y che equivale a
αu ( x) + (1 − α )u ( y) ≤ u (αx + (1 − α ) y) per la monotonia di u;
ma quest' ultima non è altro che la definizione di concavità di u
(il segmento che unisce i due punti ( x, f ( x)) e ( y, f ( y)), dato da
αu ( x) + (1 − α )u ( y), sta al di sotto del grafico della funzione, dato da
u (αx + (1 − α ) y)).
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3
Avversione al rischio /5
Rimane da dimostrare la implicazione contraria, cioè che se la funzione
di utilità è concava, allora l'investitore è avverso al rischio.
Si tratta di una conseguenza immediata di una importante disuguaglianza nota come
disuguaglianza di Jensen che afferma che se u è concava, allora per qualsiasi
lotteria a si ha che
E[u ( a )] ≤ u ( µ a ), cioè u −1 E[u (a )] = C ( a ) ≤ µ a
Il fatto che un agente è favorevole al rischio se e solo se la sua utilità è convessa
segue subito dal caso concavo ricordando che u è convessa se e solo se -u è concava;
infine un agente è neutrale al rischio se e solo se è contemporaneamente avverso al
rischio e favorevole al rischio, quindi la sua funzione di utilità deve essere allo stesso
tempo concava e convessa, e questo è possibile se e solo se u(x) è lineare.
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Premio al rischio
La differenza tra la media della lotteria e il suo certo equivalente viene chiamata
premio al rischio della lotteria a:
R(a) = µ a - C (a)
Sappiamo che, per definizione, il certo equivalente è l'importo che l'agente è
disposto a scambiare con la lotteria incerta; se l'agente è avverso al rischio,
per definizione, la media della lotteria incerta deve essere superiore al certo
equivalente ; la differenza, data dal premio al rischio, rappresenta la remunerazione
richiesta, in termini di valore atteso, rispetto al certo equivalente.
Agenti avversi al rischio hanno un premio al rischio positivo per ogni lotteria,
agenti favorevoli al rischio hanno un premio al rischio positivo, agenti
neutrali al rischio hanno un premio al rischio nullo.
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Premio al rischio /2
Il premio al rischio dipende sia dalla funzione di utilità dell'investitore
(vedremo che esistono investitori più avversi al rischio e investitori meno
avversi al rischio) sia dalla rischiosità della lotteria.
Se riprendiamo il nostro esempio
1 00 con prob. 1/3
100 con prob. 1/2

a = 1 50 con prob. 1/3 , b = 
 200 con prob. 1/2
 200 con prob. 1/3

La media di entrambe le lotterie è pari a 150 : µ a = µ b = 150
Se u ( x ) = ln x , abbiamo visto che U ( a ) ≅ 4,971, C ( a ) ≅ 144 ,17 ,
U (b ) ≅ 4,951, C (b ) ≅ 141,32 e quindi
R( a ) = 150 − 144 ,17 = 5,83, R( b ) = 150 − 141,32 = 8,68
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Premio al rischio /3
100 con prob. 1/3
100 con prob. 1/2

a = 150 con prob. 1/3 , b = 
200 con prob. 1/2
200 con prob. 1/3

Se invece u ( x ) = x 2 , U ( a ) = 24167 , C ( a ) ≅ 155,46
U (b ) = 25000 , C (b) = 158,11 quindi
R( a ) = 150 − 155,46 = −5,46, R( b ) = 150 − 158,11 = −8,11
Due osservazioni:
i) nel caso di u(x)=ln x, l'utilità è concava, quindi l'agente è avverso al rischio,
e infatti i premi al rischio sono positivi. Nel secondo caso u(x)=x2 è convessa
e infatti i premi al rischio sono negativi (agente favorevole al rischio).
ii) Nel caso u(x)=ln x, la lotteria a presenta un premio al rischio inferiore
alla lotteria b; possiamo capire la ragione da un punto di vista intuitivo?
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Espressione approssimata del premio al
rischio
Indichiamo con µ la media di a e con σ 2 la varianza di a ;
iniziamo a calcolare una espression e approssima ta per la
utilità attesa U (a ), a partire dallo sviluppo di Taylor della
funzione u ( x ) in un intorno di x0 = µ :
1
u ( x ) = u ( µ ) + u ' ( µ ) ⋅ ( x − µ ) + u ' ' ( µ )( x − µ ) 2 + o( x − µ ) 2
2
La utilità attesa U ( a ) è data da
1
U ( a ) = E[u ( a )] ≅ E[u ( µ ) + u ' ( µ ) ⋅ ( a − µ ) + u ' ' ( µ )( a − µ ) 2 ] =
2
1
u ( µ ) + u ' ( µ ) E[(a − µ )] + u ' ' ( µ ) E[( a − µ ) 2 ]
2
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Espressione approssimata del premio al
rischio /2
Dato che µ è la media di a , abbiamo che E[(a − µ )] = 0; inoltre
E[(a − µ ) 2 ] = σ 2 . Pertanto otteniamo la espression e approssima ta
della utilità attesa :
1
U (a) ≅ u (µ ) + u ' ' (µ ) ⋅ σ 2 .
2
Osserviamo che tutte le derivate sono calcolate nel punto x0 = µ ;
se avessimo considerat o anche termini di ordine superiore nello sviluppo
di Taylor avremmo ottenuto momenti di ordine superiore nella
espression e approssima ta della utilità attesa.
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Espressione approssimata del premio al
rischio /3
1
U (a ) ≅ u ( µ ) + u ' ' ( µ ) ⋅ σ 2
2
Possiamo osservare che in prima approssimazione la utilità
attesa è pari a u ( µ ) (l' utilità della media), mentre il termine
1
successivo u ' ' ( µ ) ⋅ σ 2 ha segno negativo se l' investitor e è avverso
2
al rischio (un aumento della varianza provoca una diminuzion e della
utilità attesa). In prima approssimazione, valida per lotterie non molto
disperse intorno alla loro media, la utilità attesa è funzione soltanto
di media e varianza.
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Espressione approssimata del premio al
rischio /4
Ricordiamoche R(a) = µ − C (a), quindi C (a) = µ − R(a);
dato che U (a) = u (C (a)), possiamo scrivere U (a) = u (µ − R(a)).
Se consideriamo nuovamentelo sviluppo di Taylor di u ( x) centrato in x0 = µ ,
questa volta otteniamoU (a) ≅ u (µ ) + u ' ( µ )(− R) + o( R).
Abbiamo quindi due sviluppi per la funzione di utilità attesa :
1
U (a) ≅ u (µ ) + u ' (µ )(− R) + o( R) e U (a) ≅ u (µ ) + u ' ' (µ ) ⋅ σ 2
2
1
uguagliando i primi termini otteniamo u ' (µ )(− R) = u ' ' (µ ) ⋅ σ 2
2
1 u' ' (µ ) 2
da cui finalmente R ≅ −
⋅σ
2 u' (µ )
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Osservazioni
Dalla espressione ottenuta
possiamo fare alcune osservazioni:
R (a ) ≅ −
1 u' ' (µ a ) 2
⋅σ a
2 u' (µ a )
• in prima approssimazione il premio al rischio è proporzionale alla varianza
• dato che la funzione u(x) è crescente, u'(x) è positivo; il segno del premio
al rischio è pertanto determinato da u''(x), di conseguenza ritroviamo che
il premio al rischio è positivo se u''(x)<0 (utilità concava, agente avverso al
rischio) mentre è positivo se u''(x)>0 (utilità convessa, agente favorevole al
rischio).
• le quantità
ARA( x ) = −
u ' ' ( x)
x ⋅ u ' ' ( x)
, RRA( x ) = −
u ' ( x)
u ' ( x)
prendono rispettivamente il nome di coefficiente di avversione al rischio
assoluta e di coefficiente di avversione al rischio relativa.
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Esempio
1 00 con prob. 1/3

a = 1 50 con prob. 1/3
 200 con prob. 1/3

µ a = 150 ; se u ( x ) = ln x , abbiamo visto che
U ( a ) ≅ 4,971, C ( a ) ≅ 144 ,17 , R( a ) = 5,83
Calcoliamo la espression e approssima ta del premio al rischio :
1
3
1
3
1
3
σ a2 = (100 − 150 ) 2 + (150 − 150 ) 2 + ( 200 − 150 ) 2 ≅ 1667
u ( x ) = ln x , u ' ( x ) =
R app = −
1
1
, u ' ' ( x ) = − 2 , quindi
x
x
1 u ' ' (µ ) 2
1 − (1 150 ) 2
1667
⋅σ = − ⋅
⋅ 1667 =
≅ 5,55
2 u' (µ )
2
1 150
300
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Funzioni di utilità di uso comune
Terminiamo presentando alcune delle funzioni di utilità di impiego più
comune. Iniziamo con una osservazione:
Se al posto della funzione di utilità u ( x) consideriamo la funzione
v( x) = ku ( x ) + h, con k > 0, il certo equivalente, il premio al rischio,
i coefficienti di avversione al rischio assoluta e relativa non cambiano.
 y −h
Infatti da v( x ) = y otteniamo ku ( x) + h = y quindi x = u −1 

 k 
 y −h
Pertanto v −1 ( y ) = u −1 
. Pertanto il certo equivalente calcolato
 k 
utilizzando v( x) è pari a C ( v ) (a ) = v −1{E[v (a )]} = v −1{E[ ku ( a ) + h]} =
 kE[u ( a )] + h − h] 
−1
(u )
v −1 {kE[u (a )] + h]} = u −1 
 = u E[u ( a )] = C (a )
k


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Funzioni di utilità di uso comune /2
Allo stesso modo dato che v( x) = ku ( x) + h, con k > 0, abbiamo che
v' ( x) = ku ' ( x), v' ' ( x) = ku ' ' ( x) da cui
ARA(v) ( x) = −
ku ' ' ( x)
u ' ' ( x)
=−
= ARA(u ) ( x)
ku ' ( x)
u ' ( x)
Pertanto tutte le funzioni di utilità che considereremo saranno
definite a meno di una costante additiva e di una costante
moltiplicativa positiva arbitrari; volendo, potremmo sempre
scegliere u( 0 ) = 0 e u ' (0) = 1.
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Funzioni di utilità di uso comune /3
L' utilità esponenzia le è data da u ( x ) = − e − λx , λ > 0
Si ha u −1 ( y ) =
ARA ( x ) = −
− ln( − y )
λ
− λ2 e −λx
λe −λx
, u ' ( x ) = λ e − λx , u ' ' ( x ) = − λ 2 e − λx
= λ che non dipende da x.
Questa utilità appartiene alla classe CARA (constant absolute
risk aversion).
L' utilità logaritmic a è data da u ( x ) = ln x, x > 0
Si ha u −1 ( y ) = e y , u ' ( x ) =
1
1
, u ' ' ( x) = − 2 ,
x
x
−1 x2 1
1
= , RRA ( x ) = x ⋅ ARA ( x ) = x ⋅ = 1
1x
x
x
Questa utilità appartiene alla classe CRRA (constant relative
ARA ( x ) = −
risk aversion).
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Funzioni di utilità di uso comune /4
L' utilità radice quadrata è data da u ( x ) =
Si ha u −1 ( y ) = y 2 , u ' ( x ) =
1
2 x
, u ' ' ( x) = −
x, x ≥ 0
1
4 x3
1
1
−1 4 x3
=
, RRA(x) = ;
12 x
2x
2
Anche questa utilità appartiene alla classe CARA .
ARA ( x ) = −
L' utilità quadratica è data da u ( x ) = −( x − b) 2 , x < b
Si ha u ' ( x ) = −2( x − b), u ' ' ( x ) = −2,
ARA ( x ) =
1
> 0 se x < b
b− x
.
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