1 Esercizi su Utilità Attesa, Equivalente Certo, Premio per il Rischio

Esercizi su Utilità Attesa, Equivalente Certo, Premio per il Rischio e Condivisione Efficiente
del Rischio
(Dott.ssa Silvia Tiezzi, A.A. 2011-2012, CdL Economia e Sviluppo Territoriale)
Esercizio 1 (utilità attesa, equivalente certo, premio per il rischio)
Un individuo, la cui funzione di utilità è 100x0,3 (dove x è il reddito), può scegliere tra due diversi
investimenti, S e T. Da S può ottenere, sostenendo un costo di 20, un reddito lordo pari a 40 oppure
pari ad 80, ciascuno con probabilità ½. Da T può ottenere, con un costo pari a 12, un reddito lordo
pari a 20 oppure pari a 100 ciascuno con probabilità ½.
a) Quale dei due progetti presenta l’utilità attesa più elevata ?
b) Determinare il valore esatto dell’equivalente certo dell’investimento scelto dall’individuo
considerato.
c) Determinare il valore esatto del premio per il rischio.
Soluzione
a) Il reddito netto dei due progetti: S1=40-20=20; S2=80-20=60; T1= 20-12=8; T2=100-12=88.
EUS= ½ [100(20)0,3]+ ½ [100(60)0,3]= ½(245,6)+ ½ (341,5)=293,55
EUT= 1/2 [100(8)0,3]+ ½ [100(88)0,3]= ½ 186,6 + ½ 383,1 =284,85
Verrà scelto il progetto S che presenta l’utilità attesa più elevata.
b) U(ECS)=EUS
ECS=293,55
100(ECS)0,3=293,55
ECS=36,21
c) ECS=VAS-Pris
Pris= VAS – ECS = 40 – 36,21 = 3,79
Esercizio 2 (condivisione efficiente del rischio)
Anna ha un coefficiente di avversione al rischio pari a r=1/3 e deve scegliere tra due investimenti, A
e B, che producono un reddito netto incerto. L’investimento A può produrre un reddito netto pari a
100 o a 120 con probabilità ½; l’investimento B può produrre un reddito netto pari a 90 o a 140 con
probabilità ½.
a) Quale dei due progetti sceglierà Anna ?
b) Supponiamo adesso che, prima della scelta del progetto da realizzare, Anna abbia la possibilità di
condividere il rischio con Beatrice che ha un coefficiente di avversione al rischio s=0. Come
verranno suddivisi i rischi tra Anna e Beatrice ?
c) Quale dei due progetti verrà scelto in caso di condivisione del rischio ?
Soluzione
a) VAA = ½(100) + ½(120) = 110
VAB = ½(90) + ½(140) = 115
Var(A) = ½(100-110)2 + ½(120 – 110)2 = 100
Var(B) = ½(90-115)2 + ½(140 – 115)2 = 625
ECA = 110 – ½(1/3)(100) = 83,4
ECB = 115 – ½(1/3)(625) = 10,84
Verrà scelto il progetto A, perché meno rischioso ed Anna è avversa al rischio.
b) Poiché Beatrice è neutrale al rischio l’efficienza richiederà che ella si accolli il 100% del reddito
incerto. I coefficienti di tolleranza verso il rischio saranno ρ = 1/r = 3 e σ = 1/0 = ∞. La quota di
rischio efficiente per Anna sarà 3/(3+∞) = 0 e la quota di rischio efficiente per Beatrice sarà ∞/∞ =
1.
c) ECTA (in caso di condivisione) = VAA – ½(1/ (ρ+ σ)) Var(A) = 110 – 0 = 110;
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ECTB (in caso di condivisione) = VAB – ½(1/ (ρ+ σ)) Var(B) = 115.
Verrà scelto il progetto B, perché Beatrice, essendo neutrale al rischio, può accollarsi tutto il reddito
incerto senza costi (il premio al rischio diventa nullo).
Esercizio 3 (condivisione efficiente del rischio)
Si ipotizzi che un imprenditore possa scegliere fra diversi progetti di investimento dei quali conosce
il più alto valore di profitto atteso (m) corrispondente ad una data varianza (v) dei loro rendimenti.
Tale relazione è data da m = 3v – (1/3)v2.
a) quale progetto verrà selezionato dall'imprenditore se il suo coefficiente di avversione al rischio è
uguale a r=1/2 ?
b) si ipotizzi che l'imprenditore possa condividere i rischi dell'investimento con un investitore che
ha un coefficiente di avversione al rischio pari a s=1. Quale investimento massimizzerà il valore
certo equivalente totale?
a) Come dovrebbero essere ripartiti i rischi tra l'imprenditore e l'investitore?
Soluzione
a) Equivalente certo = 3v – 1/3 v2 - (1/2)(1/2)v che è MAX per v*= 33/8 ed m* = 3(33/8) –
1/3(33/8)2 = 6,7.
b) Se ρ=1/r è la tolleranza al rischio dell'imprenditore e σ=1/s quella dell'investitore, il premio per il
rischio totale minimo è uguale a: PR min = (1/2)v/(ρ+σ), perciò l'equivalente certo totale come
funzione del livello scelto di rischio è:
CE = m - (1/2)v/(ρ+σ) = 3v – 1/3v2 - (1/2)v/(ρ+σ) Equivalente certo totale = 3v – 1/3v2 (1/2)v/(2+1) che è MAX per v** = 17/4
m** = 3(17/4) – 1/3(17/4)2 = 6,72 che è > m*
c) La ripartizione efficiente del rischio richiede che la quota di rendimento rischioso attribuita a
ciascun soggetto sia pari alla tolleranza al rischio di quel soggetto sulla tolleranza al rischio totale
del gruppo (di soggetti tra i quali è condiviso il rischio). Nel nostro caso avremo dunque: ρ (ρ+σ) =
2/3 quota del rendimento rischioso da attribuire al primo investitore; σ (ρ+σ) = 1/3 quota del
rendimento rischioso da attribuire al secondo investitore.
Esercizio 4 (condivisione efficiente del rischio)
Gianni ha a disposizione un progetto di investimento. Da tale progetto può ottenere un reddito
netto di -10 oppure di 60, ciascuno con probabilità ½.
a) Gianni sceglierà di attuare il progetto se ha un coefficiente di assoluta avversione al rischio pari a
0,1?
b) Supponiamo però ora che Gianni possa condividere il rischio con Paolo, che pure ha un
coefficiente di avversione al rischio di 0,1. Il progetto verrà attuato? Quale sarà la quota del reddito
incerto che spetterà ai due individui in caso di attuazione del progetto?
c) Quale sarà la cifra minima che Gianni desidera ottenere per condividere il progetto con Paolo?
Soluzione
a) Calcoliamo l’equivalente certo, per Gianni, del progetto:
EC= 25 – (½) (0,1) (1225) = 25 – 61,25 = -36,25
Dato che l’equivalente certo è negativo il progetto non verrà realizzato.
b) calcoliamo l’equivalente certo dopo che Gianni e Paolo decidono di condividere il rischio:
EC = 25 - (½) [1/(10+10)] (1225) = 25 – 30,625 = - 5,625
Il progetto non verrà dunque attuato, perché anche in condivisione l’equivalente certo risulta
negativo. Se il progetto fosse stato attuato, la quota del reddito incerto, che sarebbe spettata ai due
individui, sarebbe stata di ½ ciascuno perché hanno un’uguale avversione al rischio.
c) Non esiste nessuna cifra minima perché la condivisione non è vantaggiosa.
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Esercizio n 5 (Condivisione Efficiente del Rischio)
Alberto ha un coefficiente di avversione al rischio pari a r=1/3 ed ha un reddito incerto che, con
uguale probabilità, può assumere valore pari a 60 o a 100 con probabilità ½. Barbara, invece, ha un
coefficiente di avversione al rischio pari a s=1/8 ed ha un reddito incerto che può assumere con
uguale probabilità un reddito pari a 40 o a 100.
a) Calcolare gli equivalenti certi di Alberto e Barbara.
b) In che modo Alberto e Barbara potrebbero condividere i rischi ?
c) Si dimostri che l’operazione di condivisione del rischio sarebbe vantaggiosa per entrambi se
Barbara nel contempo pagasse ad Alberto una somma pari a 15 (si supponga che i due redditi
stocastici siano tra loro indipendenti).
Soluzione
Alberto r=1/3; Barbara s=1/8;
YAlb = 60 (p=1/2) oppure 100 (p=1/2);
YBarb = 40 (p=1/2); 100 (p=1/2);
a) VA(Alb) = ½(60) + ½(100) = 30 + 50 = 80;
VA(Barb) = ½(40) + ½(100) = 70
Var (Alb) = (60-80)21/2 + ½(100-80)2 = 200 + 200 = 400
Var(Barb) = ½(40-70)2 + ½(100-70)2 = 450 + 450 = 900
ECAlb = VAA – ½ r Var(Alb) = 80 – ½(1/3) 400 = 80 – 66,6 = 13,3
ECBarb = VAB – ½ s Var(Barb) = 70 – ½(1/8) 900 = 70 – 56,25 = 13,75
b) Condivisone efficiente del rischio tra A e B: ρ/(ρ+σ) = 3/(3+8) = 0,27 quota eff. Di rischio per A;
σ/(ρ+σ) = 8/(3+8) = 0,72
c) B paga 15 ad A per condividere i rischi:
EC’A = VA(Y’A) – ½ r Var (Y’A) = 3/11 (VAA + VAB) + 15 – ½(1/3) Var [3/11(YA + YB) + 15] =
41,64
Per A la condivisione + il trasferimento sono convenienti perché si ha ECA<EC’A
EC’B = VA(Y’B) – ½ s Var (Y’B) = 8/11 (VAA + VAB) - 15 – ½(1/8) Var [8/11(YA + YB) - 15] =
71,95
Anche per B la condivisione del rischio è conveniente perché ECB<EC’B
Esercizio 6 (Utilità Attesa, Equivalente Certo, Premio per il Rischio)
Giovanni ha una funzione di utilità u=1000x1/2, dove x è il reddito e può effettuare un investimento
che produce un reddito netto pari a 60 con probabilità ½ e pari a 400 con probabilità ½.
a) Dopo averne dato la definizione, si determini il valore esatto dell’Equivalente Certo del reddito
incerto di Giovanni.
b) Dopo averne dato la definizione, si determini il valore esatto del Premio per il Rischio di
Giovanni.
Soluzione
U=1000X1/2
X=reddito
X1= 60 con p=1/2
X2= 400 con p=1/2
a) L’Equivalente Certo (EC) è la somma di denaro che dà a Giovanni un’utilità pari all’utilità attesa
(EU) del reddito incerto. Si ha cioè: U(EC) = EU
EU = ½[1000(60)1/2] + ½ [1000(400)1/2] = 3.872,5 + 10.000 = 13.872,5 (utilità attesa)
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U(EC) = 1000(EC)1/2
1000(EC)1/2 = 13.872,5
EC = (13,8725)2 = 192,44
b) Il Premio al Rischio può essere definito come la differenza tra il valore atteso di un reddito
incerto ed il suo EC, cioè come la somma di denaro con cui è possibile compensare un individuo
per indurlo ad accettare il reddito incerto al posto di quello certo.
c) Pris = E(x) – EC
E(x) = ½(60)+ 1/2 (400) = 30 + 200 = 230
Pris = 230 – 192,44 = 37,56
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