Particella nella scatola

Particella nella scatola
Esercizio 1. Calcolare ⟨⟩, ⟨ ⟩, ⟨⟩ e ⟨ ⟩ per una particella confinata in una
scatola di dimensione e descritta da un generico autostato dell’Hamiltoniano
= 2/ sin / , con ∈ 0, .
Valore di aspettazione della posizione
= 2 2
= sin
= sin
=
+ − 2
2
2
= sin = =
−4
= − − + 2 2 1
Particella nella scatola
Valutiamo l’integrale
"# , = $
"# , = $
1
=
$
(
, ∈ ℤ\ 0
1 $ 1 $
− $ = −(
+ −1 =
( integrazione
per parti
1
"# , = −(
cos + cos − 1
Proprietà:
"# , − = (
1
cos + cos − 1 = "# , ∗
2
Particella nella scatola
= − − + =
2 2 = − "# , 2 − "# , −2 + , =
2 2 2 = − - "# , 2
=−
+ =
2
"# , −2 = "# , 2
∗
1
cos
2
−
1
+
=
4
2 2
Il valore di aspettazione della posizione è /2 (a metà della scatola) in qualsiasi autostato
dell’Hamiltoniano la particella si trovi.
3
Particella nella scatola
Valore di aspettazione del quadrato posizione
= 2 2 = sin
= . . sin =
= − . . + − 2
2 Valutiamo l’integrale
, ∈ ℤ\ 0
" , = $
$
" , = 1 $
=
(
2 − $ = −(
( 2
cos + ( "# , integrazione
per parti
" , − = " , In generale:
"/ , = / $
= −(
/
∗
0
cos + ( "/# , , ∈ ℤ\ 0 , 0 ∈ ℕ2
4
Particella nella scatola
= − . . " , 2 − . . " , −2 + . . =
2 2 = − . . - " , 2
. + . . , =− . .
+ . .
3 2
3
.
1
= − + 2 3
Incertezza sulla posizione
45 =
− =
1 1 − + − =
2 3
4
lim 45 = lim
→29
→29
1
1
−
12 2 1
1
1
− =
12 2 2 3
5
Particella nella scatola
Valore di aspettazione del momento
= ̂ 2(; 2(; =−
sin
sin
=−
sin
sin
=
2(; sin =−
, =0
2
Valore di aspettazione del quadrato del momento
= ̂ ; = 2; 2; =−
sin
sin
=
sin
=
.
Incertezza sul momento
4$ =
− =
; <
=
2
6
Particella nella scatola
Esercizio 2. Un protone confinato in una scatola di dimensione = 2Å è preparato nello stato
, 0 = 1 − cos
2
con ∈ 0, . Dopo aver espanso la funzione d’onda sul set di autofunzioni dell’operatore
Hamiltoniano, limitandosi al sottospazio = 1,2,3, normalizzare, e risolvere l’equazione di
Schrödinger.
Espansione sul sottospazio > =
2/ sin / , per = 1,2,3
.
.
A#
A#
, 0 ≈ @ > , 0 > = @ B 0 > B# 0 = sin − sin cos 2
2
4
1 3
1
B# 0 = −
sin − sin 2 2
2
4
2
2 16
B# 0 = −
+ =
3 3
=
2
1 = − cos , − sin
cos =
2
2
4
1
1
3
1
+
cos , − cos , =
3
2
2
7
Particella nella scatola
B 0 = sin − sin cos =0
3
3
B. 0 = sin
− sin
cos =
2
2
2
1 3
5
B. 0 = − cos
, − sin
+ sin 3
2 2
2
2
=
4
2
2
16
−
− =−
3 5 15
Normalizzazione
16
16
># −
> 3
15 .
, 0 =
, 0
Ψ , 0 =
256
256
234 ∗ 256 16 ∗ 234
= +
=
=
9
225 2025 45 15
234
># −
3
234
>. 8
Particella nella scatola
Soluzione equazione di Schrödinger
Ψ , G HI J
;
@
K
0 > HL J
;
K#
0 ># HM J
;
K.
0 >. 6.626 ⋅ 10.S T U <
N# 8.2 ⋅ 10 T
W
8 ∗ 1.67 ⋅ 10 XY ∗ 4 ⋅ 10 P
8P
N. 9N# 7.4 ⋅ 10# T
Ψ , G Ψ , G
15
234
W.ZJ >#
225 9
3
sin
sin
234
2
234
2
3
234
W.J >. (G in ps)
90
3
cos 62.2G sin sin
234
2
2
9
Particella nella scatola
Esercizio 3. Un protone confinato in una scatola di dimensione è descritto dalla funzione
d’onda (non normalizzata)
2
sin − ( sin
con ∈ 0, . Se il valore di attesa dell’energia del sistema è N = 10#[ T, qual è la
dimensione della scatola?
= sin
=
1
2
− ( sin
=
1+ (
2
> () − (> ()
2 #
=
2
Ψ , G =
sin − ( sin
=
1
2
># () − (> () = B# ># + B > > 2
sin
10
Particella nella scatola
`a
, l’energia del sistema è:
_ > N > , con N Ricordando che ^
a
Zb
_ Ψ = B# ># + B > ^
_ B# ># + B > N Ψ^
= B# ># + B > B# N# ># + B N > =
1
5
5 ℎ
= N# + N = N# =
2
2
2 8P
Da cui si ricava la dimensione della scatola:
=
5ℎ
=
16PN
5 ∗ 6.626 ⋅ 10.S T U = 28.7 P
16 ∗ 1.67 ⋅ 10W XY ∗ 10#[ T
11
Particella nella scatola
Esercizio 4. Si approssimi l’elettrone di un atomo di idrogeno confinato in una scatola
bidimensionale di dimensioni 5 3 Å e c = 3 Å, in cui il protone sia localizzato al centro
della scatola. La funzione d’onda (non normalizzata) dell’elettrone sia
d
d
, d = sin
sin 2
− ( sin 2
sin
5
c
5
c
con ∈ 0, 5 e d ∈ 0, c . Qual è il valore d’attesa del momento di dipolo?
.
Espansione sugli autostati dell’Hamiltoniano: >,b , d = sin
, d =
3
|1,2⟩ − (|2,1⟩
2
Normalizzazione
=
5
.
sin
bc
.
= |, P⟩
g
h
4
f Pd
Pf d
, P , P =
sin
sin
d sin
sin
=
5 c 5
5
c
c
, P f , Pf = f 5 P Pf c = i,j ib,bj
f
f
9
9
⟨1,2| + (⟨2,1| |1,2⟩ − (|2,1⟩ =
4
2
Ψ , d =
, d
1
|1,2 − ( |2,1
=
2
12
Particella nella scatola
Momento di dipolo
l = mn on + mp op = on − op = d
3
− 1.5
d − 1.5
l/
Valore d’attesa
on
− 1.5
l =
d − 1.5
op
#
1,2| + ( ⟨2,1| |1,2⟩ − ( |2,1⟩ =
k =
1
11
2
5+ 2 2
5
=
0
3
0
3
2
5
2
5
4.5
5
4.5
4
3.5
3
|Psi(x,y)|2 2.5
2
1.5
1
0.5
0
4
3.5
3
2.5
2
1.5
d =
k
#
1,2| + ( 2,1| d |1,2 − ( |2,1 =
1
2d2
2
l =q
c
+ 1d1
c
2
c
3
=
2
1
3
0.5
0
2.5
2
3
1.5
2.5
y
2
1
1.5
0.5
1
0.5
0
x
0
Ψ , d
13