Matematica e didattica della matematica

Matematica e didattica della matematica
Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria
a.a. 2008-09
Docente: Ana Millán Gasca
Questioni di sintesi e di verifica
1) Che cosa è contare
Il contare è la prima e basilare attività numerica dei bambini, attraverso la quale inizia
la loro relazione di intimità con i numeri. Nel corso abbiamo esaminato:
–
–
–
i vari significati che diamo alla parola “contare” (Lez. 2.1),
come la matematica descrive analiticamente il contare (Lez. 3.5)
e il contare dei bambini (Lez. 2.6).
La matematica riduce il contare a due concetti: quello di corrispondenza biunivoca e
quello di segmento iniziale di N. Il contare di un essere umano è una vera è
propria azione che si svolge nel tempo (in generale con un ritmo); la matematica
“schiaccia” il contare (comprimendo il tempo in un istante) in un’idea, quella di
corrispondenza biunivoca, che è una “fotografia” del contare quando l’azione è
già conclusa.
Viceversa, l’idea di corrispondenza biunivoca ci rende evidente che si può “contare”
anche senza scandire parole numerali, adoperando il corpo umano (questa pratica
è effettivamente esistita in molte culture), adoperando in particolare le dita,
oppure adoperando strumenti come una corona di grani.
Il segmento iniziale di N è il concetto matematico che si collega con la collezione di
parole numerali adoperata per ogni determinato conteggio. L’insieme N è il
concetto matematico che si collega alle parole numerali “potenzialmente infinite”.
La lunghezza del segmento iniziale con il quale si stabilisce la corrispondenza
biunivoca o cardinalità dell’insieme formato dalle cose contate è collegata
all’ultima parola numerale adoperata nel conteggio, che esprime la numerosità di
una collezione di cose.
Vi è un’altra astrazione nella definizione matematica del contare rispetto al contare di
un bambino o un adulto con le parole numerali, conseguenza della soppressione
del tempo: per eseguire senza errori un conteggio è utile pronunciare le parole
numerali adoperate in ordine: uno, due, tre,… ; per la matematica invece l’ordine
con il quale indichiamo l’immagine di ognuno degli elementi del segmento
iniziale non è importante: si richiede soltanto che a ogni elemento sia associata
una cosa (si dice un’immagine).
Invece, sia nel contare come azione umana, sia nella definizione matematica di
contare non ha importanza l’ordine in cui le cose contate sono enumerate (per il
contare umano questo è il principio dell’irrilevanza dell’ordine).
1
Comunque le condizioni sia dell’azione corretta di contare, sia della definizione di
corrispondenza biunivoca, sono le stesse: a ogni numero corrisponde una cosa e
una soltanto (“non possiamo pronunciare una parola numerale a vuoto” e “non
possiamo pronunciare la stessa parola numerale per due cose diverse”); a ogni
cosa corrisponde un numero è uno soltanto (non possiamo saltare una cosa nel
conteggio, e nemmeno contarla due volte). Per rispettare queste condizioni il
bambino deve rispettare alcuni principi di etichettamento che sono stati elencati da
Gellman e Gallistel.
1) Differenza fra il contare transitivo e intransitivo
2) Definizione matematica di contare
3) Principi di Gellman e Gallistel
3) I sistemi di numerazione: quale è la loro origine, cosa sono, sistemi di
numerazione additivi e posizionali.
Chiave di risposta e riflessione (Lez.2):
In tutte le civiltà vi sono delle testimonianze di rappresentazione grafica simbolica di
numerosità, ossia di risultati di conteggi o di misurazioni di grandezze. I simboli
più antichi, detti protocuneiformi (fine del IV millennio a.C.), indicavano sia la
numerosità, sia il tipo di cosa contata o misurata. Nel seguito i simboli numerici
sono stati usati per ogni tipo di cosa contata e misurata, e quindi attraverso questi
simboli si rappresenta un numero astratto. Il simbolo non è il numero: bisogna
distinguere la rappresentazione simbolica o scrittura di un numero dal numero in
sé.
Un sistema di numerazione è una procedura di rappresentazione grafica simbolica dei
numeri. Il principio più antico e semplice è quello additivo. Il principio
posizionale, già usato dagli scribi babilonesi e adoperato modernamente, si basa
sulle proprietà dei numeri naturali. Attenzione! Per il principio posizionale, non
basta indicare che il valore delle cifre cambia a seconda della posizione che esse
occupano, bisogna precisare che essa è collegata alle successive potenze della
base (inclusa la potenza 0, che corrisponde alle unità).
L’addestramento nella scrittura dei numeri è parte della matematica che si insegna fin
dalle origini. Insieme alla risoluzione di problemi aritmetici elementari, è il
contenuto del “far di conto” delle scuole per fanciulli (Lez.1).
I vari sistemi di numerazione sono una manifestazione delle varietà culturali sotto le
quali si è presentata l’aritmetica nelle varie latitudini e nel tempo. I più recenti
studi sull’origine della scrittura in Mesopotamia mostrano che la procedura di
rappresentazione dei numeri con bullae e contrassegni potrebbero essere l’origine
sia della scrittura sia dei sistemi di numerazione con numeri concreti
protocuneiformi.
Le origini del sistema di numerazione decimale posizionale risalgono all’India
medievale; esso è stato poi recepito ed elaborato nel mondo islamico classico;
esso era parte importante dell’addestramento tecnico nelle scuole d’abaco europee
medievali.
Lo zero è nato come simbolo per indicare una posizione vuota in corrispondenza di un
certo ordine di unità, ed è poi stato considerato come un numero.
2
3) I numeri naturali
I numeri naturali sono il concetto basilare dell’aritmetica, che emerge attraverso
l’esperienza de contare (due pecore, tre donne) e del misurare (due coppe di birra, tre
due palmi di corda).
Quali sono i principali aspetti dei numeri naturali che abbiamo analizzato? (Lez. 3)
a) (struttura d’ordine) nell’insieme N sono definite due relazioni d’ordine, la
relazione d’ordine “essere maggiore o uguale” e la relazione d’ordine “essere
multiplo”.
La prima è un ordine totale, la seconda no.
La relazione d’ordine “essere maggiore o uguale” è un buon ordinamento.
b) (struttura algebrica) nell’insieme N sono definite due operazioni algebriche,
l’addizione e la moltiplicazione, commutative e associative e collegate dalla
proprietà distributiva. La moltiplicazione in N ha un elemento neutro, 1.
Le operazioni inverse, la sottrazione e la divisione, non sempre si possono
eseguire (la condizione per poter eseguire una sottrazione si esprime in termini
della relazione d’ordine “essere maggiore o uguale” e la condizione per poter
eseguire la divisione si esprime in termini della relazione d’ordine “essere
multiplo”). Dati due numeri naturali, la differenza tra il maggiore e il minore
esprime la distanza fra di loro (confronto additivo); dati due numeri naturali, di cui
il primo è multiplo del secondo, la divisione del primo entro il secondo esprime il
loro rapporto (il primo è il doppio, o il triplo, e così via, del secondo: confronto
moltiplicativo).
Alla base di questa ricca struttura vi è l’idea di successore e il principio di induzione
che esprime l’idea di ricorrenza, di ripetizione che è presente anche nell’azione umana
del contare.
Ricordare la differenza fra l’induzione empirica e l’induzione matematica
(l’esplorazione empirica dei numeri e delle forme geometriche non può sostituirsi
completamente alla consapevolezza delle verità e proprietà matematiche).
Infatti, a partire dagli assiomi di Peano si possono definire tutte le strutture algebriche
e d’ordine di N: iterando la funzione successore si definisce l’addizione e possiamo
dimostrare tutte le sue proprietà, e a partire dall’addizione definiamo la relazione
d’ordine “essere maggiore o uguale”; iterando l’addizione definiamo la
moltiplicazione, e a partire dalla moltiplicazione definiamo la relazione d’ordine
“essere multiplo”.
Il buon ordinamento è equivalente al principio di induzione.
4) Le concezioni numeriche ingenue dei bambini
Il contare è la prima e basilare attività numerica dei bambini, attraverso la quale inizia
la loro relazione di intimità con i numeri. Questa attività che coinvolge anche il corpo
(guardare, indicare, toccare, muovere le dita, spostarsi), è collegata all’accumulo di
parole numerali ordinate.
3
Oltre a questo, vi sono altre attività mentali di ricerca o indagine numerica (di
calcolo) che costituiscono la base della relazione di intimità con i numeri: la ricerca
del successore dei numeri, la ricerca di numerosità e l’espressione attraverso parole
cardinali e le piccole addizioni.
Le concezioni numeriche ingenue si configurano attraverso queste attività come un
sistema concettuale strutturato attorno alle parole numerali (aspetto linguistico orale)
e ai simboli numerici (aspetto grafico simbolico) e al soggiacente concetto astratto di
numero.
Per descrivere la struttura di questo sistema concettuale bisogna quindi descrivere
(Lez 2.6):
– il sistema delle parole numerali
– il sistema dei simboli numerici
– gli elementi che fanno emergere il concetto astratto di numero
I bambini adoperano i numeri naturali (e occasionalmente le più semplici frazioni,
come “la metà”) con diversi valori d’uso:
–cardinale
–ordinale
–uso nella misura
– uso come codice
5) Figure geometriche
Quale è l’origine delle idee geometriche? Come concepiscono i greci la geometria
come disciplina) Che rapporto intercorre fra lo spazio fisico e gli oggetti fisici e lo
spazio geometrico e le figure geometriche? (Lez. 4)
Le idee basilari della geometria, come punto, segmento, superficie, solido, emergono
sia dall’osservazione della natura, attraverso il senso della vista e grazie anche al
movimento (l’idea di solido geometrico, come sfera o cono, e l’idea di moto
rigido, come rotazione o traslazione); sia da diverse attività umane che si
sviluppano nelle prime civiltà: l’agrimensura (l’idea di punto, lunghezza di un
segmento, area di una superficie), la decorazione dei vasi e la rappresentazione
pittorica (simmetria, segmenti, cerchi), l’edilizia e l’architettura (figure solide e
piane, misure, proporzione).
Negli Elementi di Euclide si presenta un modo di ragionare sulle figure piane e solide
che permette di ottenere un gran numero di proprietà geometriche (come il
teorema di Pitagora) sulla base di alcuni pochi postulati o affermazioni accettate
come vere. Questi postulati corrispondono in parte, per quanto riguarda il piano,
alla nostra esperienza grafica visuale lavorando con righello e compasso: dati due
punti possiamo tracciare la retta che li unisce; dato un punto e un segmento
possiamo tracciare la circonferenza con centro quel punto e raggio quel dato
segmento. Tuttavia, la geometria è una scienza astratta e non sperimentale: un
solido geometrico è un’astrazione di un corpo fisico, il concetto di punto è
l’astrazione del punto tracciato puntando una matita, la retta è un’astrazione
4
dell’immagine di una corda tesa, e lo spazio rappresentativo (il quadro delle
immagini degli oggetti fisici che vediamo, sentiamo e ci rappresentiamo), è
diverso dallo spazio geometrico.
Lavorando sulle figure piane e solide, sull’equivalenza di aree e volumi, sulla
simmetria e la similitudine, sulla misura di lunghezze e sul calcolo di aree e
volumi a partire dalle misure di segmenti, i bambini esplorano il rapporto tra
astratto e concreto tipico della geometria, che è alla base della tecnica,
dell’architettura e della fisica.
6) L’esigenza di altri numeri
Perché la matematica ha sviluppato un complicato sistema di numeri ampliando
l’insieme dei numeri naturali? (Lez. 3.6 e 3.7; Lez. 6.1 e 6.3)
I numeri naturali sono i numeri per contare. Usando un buon sistema di sottomultipli
delle unità di misura, i numeri naturali servono anche a misurare, al meno se non
si richiede una grande precisione. Tuttavia, essi non funzionano bene per misurare
come lo fanno per contare. Inoltre, con i numeri naturali non sempre si possono
eseguire la sottrazione e la divisione. Nel corso della storia sono stati creati altri
numeri, in modo tale che essi conservassero le buone proprietà algebriche di N e
la relazioni d’ordine totale “essere maggiore o uguale”. I primi numeri diversi dai
naturali usati storicamente sono state i numeri frazionari positivi, scritti in forma
di frazione (ad esempio gli Egizi usavano le frazioni unitarie) o scritti in notazione
posizionale (ad esempio gli scribi babilonesi scrivevano numeri frazionari in
notazione posizionale sessagesimale): questi numeri sono oggi chiamati numeri
razionali.
7) I tre significati della frazione
Prima di essere considerati come veri e propri numeri (i numeri razionali, che
includono le frazioni negative, che hanno una struttura d’ordine e una struttura
algebrica), le frazioni erano essenzialmente una notazione, che ammetteva diverse
interpretazioni collegate fra di loro. Nella matematica greca teorica non vi erano
frazioni, ma soltanto rapporti fra numeri interi o fra grandezze geometriche
(lunghezza, area, volume).
Tutt’ora usiamo le frazioni con significati diversi (così come vi sono diversi valori
d’uso dei numeri naturali: cardinale, ordinale, uso nella misura, come codice)
(Lez. 6.1 e 6.2)
– per indicare una quantità frazionaria, ossia non intera, una parte di un’unità
(corrisponde all’idea della metà, la quarta parte, ma generalizzata considerando
anche più unità intere e una quantità frazionaria, come in “sei quarti”)
– come operatore che ci quantifica quella parte in relazione a una unità specifica: due
terzi di 1.200 kg di riso sono 800 grammi di riso
5
– per indicare una divisione fra due numeri naturali, e quindi esprimere sia il rapporto
fra di loro anche quando uno non è multiplo dell’altro, sia il numero razionale
risultato della divisione (in questo secondo caso preferiamo sostituire la notazione
frazionaria del numero razionale con l’espressione decimale posizionale).
8) Il numero zero
(Lez. 2.2, 2.6 e 3.6)
Lo zero, prima di essere considerato un numero, era soltanto un simbolo grafico che
indicava una posizione vuota in un sistema di numerazione posizionale decimale.
Lo zero non è uno dei numeri per contare. Tuttavia, possiamo descrivere N " {0} con
gli assiomi di Peano con 0 come elemento privilegiato (l’elemento che non è
successore di nessun numero).
Considerando N " {0} , l’addizione e la moltiplicazione si possono estendere
!
scrivendo:
n+0=n
n"0=0
!
e in questo insieme 0 è l’elemento neutro dell’addizione.
!
9) Il sistema dei numeri della matematica
Seguendo un ordine logico (non storico), questo è l’ampliamento dei numeri che
abbiamo seguito nel corso:
N " N # {0} " Z " Q
La relazione d’ordine “maggiore o uguale” in Z e in Q è totale ma non è un buon
ordinamento. In Q abbiamo invece una proprietà di densità.
!qualsiasi sottrazione: la sottrazione è l’addizione dell’opposto.
In Z possiamo eseguire
In Q possiamo eseguire qualsiasi sottrazione e anche qualsiasi divisione: la divisione è
la moltiplicazione per l’inverso. In particolare, dati due numeri naturali, la loro
divisione in Q ci indica il rapporto fra di loro, anche quando non sono uno
multiplo dell’altro.
10) La fattorizzazione dei numeri naturali in fattori primi (Lez. 5.3)
11) La divisione con resto dei numeri interi come rappresentazione e la
classificazione dei numeri interi rispetto ai vari moduli in classi di
congruenze.
(Lez. 5.1, 5.2, 5.4)
La relazione d’ordine “essere multiplo” in N non è totale: vi sono molte coppie di
numeri nelle quali nessuno dei due è multiplo dell’altro. Tuttavia, dati due numeri
naturali, possiamo considerare sempre quale è il maggiore dei due (D), e quindi
6
determinare fra quali due multipli consecutivi del minore (d) si colloca il
maggiore
d " q < D < d " (q + 1)
Inoltre, possiamo determinare la distanza o resto r fra il maggiore dei due numeri e il
minore dei due multipli del minore fra cui si colloca (ovviamente il resto sarà
sempre un numero !
positivo e minore della distanza q fra due multipli consecutivi
di q, quindi o " r < q ):
D= d"q+ r
Otteniamo così una rappresentazione di ogni numero naturale dato D (più in generale,
! di ogni numero intero D) in termini della famiglia dei multipli di ogni
anche
!
numero naturale d specificamente
una decomposizione di D usando la addizione e
la moltiplicazione: questa decomposizione di D è unica, fissato d.
Esempio. Diverse rappresentazioni del numero 12.
12 = 2 " 2 " 3 fattorizzazione in fattori primi
12 = 2 " 6 decomposizione modulo 2
12 = 3" 4 decomposizione modulo 3
12 = 5 " 2 + 2 decomposizione modulo 5
12 = 7 "1+ 5 decomposizione modulo 7
12 = 13" 0 + 12 decomposizione modulo 13
.....
!
Questa decomposizione è utile nella risoluzione di molti problemi pratici. Osserviamo
inoltre che questa decomposizione è la prima espressione aritmetica (Lez. 2. che
apprendono i bambini; per interpretarla correttamente, è necessario ricordare una
convenzione, la gerarchia delle operazioni (si eseguono prima le moltiplicazioni,
dopo le addizioni).
Inoltre, questa decomposizione ha una grande importanza in matematica, e si può
generalizzare a tutti i numeri interi. Infatti, dall’ultima decomposizione del
numero 12 vediamo, in primo luogo che questa decomposizione si può ottenere
anche se D è minore di d; infatti in tal caso
0<D<d
D= d"0+ D
Ad esempio, 5 = 7 " 0 + 5 . Quindi, dal punto di vista puramente matematico non serve
stabilire quale dei due numeri è maggiore per dividere uno per l’altro nella
divisione con resto. !
!
In secondo
luogo, questa decomposizione si può ottenere anche se D è un numero
negativo. Ad esempio: "5 = 7 # ("1) + 2
!
7
Quindi, abbiamo un risultato generale, il teorema della divisione con resto per i
numeri interi che abbiamo dimostrato (Lez. 5.2).
Fissato un numero naturale d, chiamato modulo, l’insieme dei numeri interi risulta
suddiviso (il termine matematico preciso è partizione) in d sottoinsiemi o classi di
resto, dove sono classificati i numeri a seconda del tipo di decomposizione che
hanno rispetto a quel modulo.
Esempio.
Modulo 5, 12 appartiene alla classe di congruenza [2], insieme a 7 e a -3
Modulo 7, 12 appartiene alla classe di congruenza [5], insieme a -2 e a 26;
Modulo 6, 12 appartiene alla classe di congruenza [0], insieme a tutti i multipli
positivi e negativi di 6
Modulo 13, 12 appartiene alla classe di congruenza [12], insieme a -1 e a 38.
12) Relazioni di equivalenza
Abbiamo introdotto due relazioni di equivalenza nel corso. La prima è, dato un
numero naturale n, la relazione di congruenza modulo n nell’insieme Z. La
relazione determina una partizione di Z in (un numero finito di) classi di
equivalenza dette classi di resto. La seconda è la relazione di equivalenza stabilità
nell’insieme Z " Z * dalla regola del prodotto incrociato
date due coppie ( a,b), (c,d ) " Z # Z *
(a,b) " (c,d ) se
a" d = b" c
!
Questa relazione determina una partizione di Z " Z * in (infinite) classi di equivalenza:
ogni classe di equivalenza è un numero razionale. !
!
!
13) La risoluzione di problemi nella matematica elementare
!
Quale è l’origine dei problemi della matematica elementare? Essi ereditano la
tradizione della matematica pratica (Lez. 7.1; ma collegarlo con Lez. 1.3, 1.4 e
1.6); la risoluzione dei problemi con i bambini ha tuttavia il triplice scopo della
matematica della scuola primaria, e quindi nel risolvere i problemi seguiamo la
scia di una visione del problema come attività cruciale nella matematica come
disciplina teorica(Lez. 7.2, collegarlo con lez 1.6).
Che cosa è un problema della matematica elementare? (Lez. 7.3 e 7.4) Bisogna
distinguere gli esercizi, che sono fondamentali per assimilare ogni concetto
matematico (e quindi non hanno una funzione molto diversa dagli esercizi nella
pratica sportiva oppure dagli esercizi con uno strumento musicale), dai problemi.
Non vi può essere una regola per discernere, ma possiamo indicare un criterio
orientativo: un problema è una sfida, non appare immediatamente raggiungibile,
richiede la riflessione sul quesito e lo sviluppo di un piano, di una strategia.
Di fronte a un problema della matematica elementare (Lez. 7.3 e 7.4). Nello scegliere
e preparare la discussione in classe di un problema, bisogna:
–
analizzare i concetti matematici che sono coinvolti
8
–
–
prevedere e ricostruire il processo della soluzione seguendo le quattro fasi di
Polya e le relative domande, provando a ipotizzare le domande che si porranno
i bambini, le possibili iniziative e strategie e i possibili errori, provando a
ipotizzare le domande con le quali l’insegnante può intervenire discretamente.
esaminare il collegamento fra l’uso di concetti matematici (numeri, figure e le
loro strutture e proprietà) e l’enunciato del problema (che può includere un
contesto reale o porre un quesito puramente aritmetico o geometrico),
prevedendo anche la possibilità di discutere più soluzioni.
Molti problemi della matematica elementare sono basati sull’idea di proporzionalità.
Nella scuola elementare si ha la possibilità di esplorare la risoluzione di problemi per
tentativi, con strumenti aritmetici, prima di essere introdotti agli strumenti
dell’algebra.
14) I contenuti e lo scopo dell’insegnamento della matematica nella scuola
elementare
Accompagni la rilettura della sezione 1.6 del corso da una riflessione sugli esempi e
sulle idee che nello sviluppo dell’intero corso corrispondono alla descrizione che
dell’insegnamento della matematica nella scuola elementare:
–
–
–
–
–
i quattro blocchi di contenuti
i tre scopi
i diversi aspetti che conformano il ruolo della matematica nella formazione
della mente
le capacità che dobbiamo coltivare nei bambini
le questioni critiche.
Si ponga autonomamente la questione della matematica del cittadino che è stata
proposta come centrale nella scuola dell’obbligo e che è discussa nella stessa sezione,
all’interno del paragrafo La matematica pratica: dal “far di conto” alla “matematica
del cittadino”, alla luce della sua conoscenza, alla fine del corso, dei concetti e dei
problemi della matematica elementare.
15) Insieme finito e insieme numerabile.
Per dimostrare che un insieme è finito bisogna:
–
–
indicare con quale segmento iniziale di N può essere messo in corrispondenza
biunivoca (I5, oppure I10, o altro)
esibire una corrispondenza biunivoca fra il segmento iniziale indicato e
l’insieme dato. Una corrispondenza biunivoca è una regola che associa ad
ogni elemento del segmento iniziale un elemento e uno solo dell’insieme dato,
in modo tale che ogni elemento dell’insieme dato è associato ad uno e uno
solo elemento del segmento iniziale: per esibirla basta indicare tutte le
immagini degli elementi del segmento iniziale; alle volte è possibile indicare
con una formula come si trovano le immagini.
9
Esempio. L’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano è un insieme finito. Infatti esso
può essere messo in corrispondenza biunivoca con il segmento iniziale I5, come si può
vedere qui sotto
c : I5 "
"#{a,e,i,o,u}
1"
"# i
3"
"# a
5"
"# e
2"
"# o
4"
"# u
Per dimostrare che un insieme è numerabile bisogna esibire una corrispondenza
! dei numeri naturali N e l’insieme dato. Una corrispondenza
biunivoca fra l’insieme
biunivoca è una regola che associa ad ogni numero naturale un elemento e uno solo
dell’insieme dato, in modo tale che ogni elemento dell’insieme dato è associato ad
uno e uno solo numero naturale: per esibirla non è possibile indicare le immagini di
tutti i numeri naturali, quindi bisogna indicare una formula per dare l’immagine di un
numero naturale scelto a piacere oppure fornire alcuni esempi che permettano di
capire la regola (con un ragionamento del tipo e così via).
Esempio 1. L’insieme A dei multipli interi di tre è un insieme numerabile. Infatti esso
può essere messo in corrispondenza biunivoca con N, come si può vedere qui sotto
c:N "
"# A
1"
"# 0
2"
"# 3
3"
"# $3
4"
"# 9
4"
"# $9
e così via
Esempio 2. L’insieme B dei numeri naturali dispari è un insieme numerabile. Infatti
esso può essere messo in !corrispondenza biunivoca con N, come si può vedere qui
sotto:
f :N "
"# B
n"
"# f (n) = 2n $1
!
10