PROIETTIVITÀ L`ombra di un oggetto data dai raggi provenienti da

PROIETTIVITÀ
L’ombra di un oggetto data dai raggi provenienti da una lampada puntiforme
Se osserviamo l’ombra di un quadrettato disposto con un lato che poggia sul tavolo di
proiezione (figura 1) notiamo che le rette ombra formano dei trapezi. In particolare si ha che
a) a rette corrispondono rette
b) a rette parallele corrispondono rette incidenti;
c) a segmenti uguali corrispondono in genere segmenti disuguali.
Figura 1
Se allontaniamo la lampada S dal telaio, le rette ombra r’, s’ , t’ .. tendono a diminuire la loro
divergenza e si nota che la lunghezza dei segmenti A’B’, B’C’, … tende ad uguagliarsi.
Figura 2
Si intuisce che se si potesse portare la lampada a distanza infinita, a rette parallele
corrisponderebbero rette parallele così come a segmenti congruenti corrisponderebbero
segmenti congruenti: si avrebbe l’effetto prodotto dai raggi del sole e quindi una affinità.
Proiezione di una retta da un punto. I punti limite
In figura 3 sono rappresentati il piano β’ con il suo punto O, il segmento HO della retta r
perpendicolare a β’ e la sorgente puntiforme S.
I raggi provenienti da S che si appoggiano ad r determinano un piano β e questo taglia β’
secondo la retta r’ : una retta ha infatti come ombra una retta
Figura 3
Ai punti A,B, C, … della retta r corrispondono i punti A’, B’, C’, … della retta r’ e viceversa.
Vi sono però due punti che sfuggono a questa corrispondenza:
- il punto H di r , tale che la retta HS è parallela a r’, non ha ombra su r’
- il punto K’ di r’, tale che la retta SK’ è parallela a r, non è ombra di nessun punto di r.
I punti H e K’ sono detti punti limite o punti di fuga.
In merito alla corrispondenza tra i punti di r e quelli di r’ è da evidenziare che, se il punto A si
allontana dal punto limite H, il punto corrispondente A’ si avvicina al punto limite K’ .
Invece, se A tende ad H, A’ si allontana sempre più da K’ sulla retta r’ (fig4) .
Figura 4
Si vede che all’aumentare della distanza AH diminuisce la distanza A’K’. Per evidenziare la
relazione che lega AH e A’K’ consideriamo i triangoli rettangoli HAS e K’SA’ (fig 5) , questi
due triangoli sono simili per avere gli angoli acuti ASˆH e K ' Aˆ ' S congruenti in quanto alterni
interni delle rette parallele passanti per HS e A’K’.
Si ha pertanto
A' K ' K ' S
=
HS
AH
ossia, indicando con d e d’ le distanze di S da r e da r’ :
A' K '
d'
=
d
AH
da cui
AH ⋅ A' K ' = d ⋅ d '
Figura 5
Una relazione analoga vale ovviamente per qualunque punto della retta r e il suo corrispondente
su r’; si ha per esempio (fig 6)
BH ⋅ B' K ' = d ⋅ d '
e
CH ⋅ C ' K ' = d ⋅ d '
Abbiamo così evidenziato l’invariante delle trasformazioni proiettive: il prodotto delle
distanze di due punti corrispondenti dai rispettivi punti limiti è costante.
Figura 6
Proiezione di un piano da un punto. Le rette limite
Occupiamoci della proiezione, da un punto S, di un piano β, su un altro piano β’.
Questo studio ci porterà a cogliere:
a) come si presenta l’ombra di una figura del piano β, quando viene proiettata su β’ da una
lampada puntiforme posta in S (fig 7) ;
Figura 7
b) come si può disegnare su β una figura del piano β’, che venga fissata da un osservatore che
la guarda da un punto S (fig 8).
Figura 8
Notiamo (fig 9) che in genere ad ogni punto P e ad ogni retta t del piano β corrispondono, nella
proiezione, un punto P’ e una retta t’ del piano β’, e viceversa.
Figura 9
Vi sono però due rette particolari:
la retta h di β passante per il punto limite H e parallela alla retta a comune ai due piani β e
β’ non può avere un’ombra su β’; (fig 10).
- la retta h’ di β’ passante per K’ e parallela ad a non può essere ombra di nessuna retta di β
(fig 11).
-
Queste due rette sono dette rette limite.
Figura 10
Figura 11
Proiezione di un cerchio da un punto. Le coniche
Consideriamo sul piano β un cerchio (fig 12) con il centro sull’asse delle y . Nel caso della
figura il cerchio si trova al di sotto del punto limite H. La sua ombra, sul piano β’, data dai
raggi uscenti da S è un’ellisse.
Figura 12
Nel caso della fig 13 il cerchio passa proprio per H che non avrà pertanto il corrispondente sul
piano β’. Questo ci fa capire che la curva-ombra “si apre”: si ottiene una parabola.
Figura 13
Nel caso della fig 14 il punto H è interno al cerchio. Quando si proietta da S, alcuni punti del
cerchio avranno i propri corrispondenti in un semipiano di β’ e altri nel semipiano opposto
rispetto alla retta comune a β e a β’. La curva-ombra si scompone in due rami simmetrici: si ha
un’iperbole.
Figura 14
La proiezione di un cerchio da un punto S è pertanto un’ellisse, una parabola o un’iperbole a
seconda della posizione di S rispetto al cerchio .
Le equazioni della proiettività
Per trovare un legame analitico fra un punto A del piano β e il punto corrispondente del piano
β’ fissiamo un riferimento cartesiano sia su β che su β’ (fig15) .
Sul piano β scegliamo come asse delle x la retta limite, e come asse delle ordinate la retta y
perpendicolare ad x nel punto H.
Sul piano β’ scegliamo come asse delle ascisse la retta limite che indicheremo con x’ ; come
asse delle ordinate prenderemo la retta y’ perpendicolare ad x’ nel punto K’.
Figura 15
I versi degli assi cartesiani sono stati fissati in modo tale che ad una figura del primo quadrante
del piano Hxy corrisponda una figura del primo quadrante del piano K’x’y’.
Nella figura 16 sono rappresentati un punto A di β e il suo corrispondente A’ su β’.
Le coordinate del punto A sono
x = AP
e
y = HP
Le coordinate del punto A’ sono
x’ = A’P’
e
y’ = K’P’
Figura 16
Per determinare la relazione tra le ordinate y e y’ basta tenere presente la proprietà dei punti
limite. Si ha infatti :
HP ⋅ K’P’ = d ⋅ d’
ossia
y ⋅ y’ = d ⋅ d’
da cui
y' =
d ⋅ d'
y
La relazione tra le ascisse x e x’ si determina basandosi sulla similitudine dei triangoli K’P’A’ e
K’LM (fig 17) ; si ha allora
A' P' K ' P'
=
ML
K'L
Figura 17
Ma essendo ML = AP = x ,
potremo anche scrivere
A’P’ = x’, K’P’ = y’,
x' y '
=
x d
da cui
x' =
x ⋅ y'
d
Ricordando che y ' =
x⋅
x' =
d ⋅ d'
avremo infine
y
dd '
d '⋅ x
y
=
d
y
K’L = d
Siamo così arrivati alle equazioni della proiettività:
d '⋅x
⎧
⎪ x' = y
⎪
⎨
⎪ y' = d ⋅ d '
⎪⎩
y
Invertendo la x con x’ e la y con y’ avremo le equazioni della trasformazione inversa
d ⋅ x'
⎧
⎪ x = y'
⎪
⎨
⎪y = d ⋅ d'
⎪⎩
y'
E’ possibile avvalersi di queste equazioni in due modi:
a) individuare la posizione del punto A’(x’, y’) su β’, conoscendo le coordinate del punto A
di β;
b) determinare la posizione del punto A(x, y) su β, conoscendo le coordinate del punto A’ di
β’.
Esempi di costruzione della proiezione di una figura per mezzo delle equazioni della
proiettività
1. Sul piano β è dato il cerchio di centro H (0, 0 ) e raggio r = 1 ( fig 18)
Figura 18
Questo cerchio viene proiettato sul piano β’ da un punto S che si trova alla distanza d = 1 da
β e alla distanza d’ = 1 da β’.
Per trovare l’equazione della figura ombra del cerchio basta applicare le equazioni della
trasformazione inversa; in questo caso, essendo d = 1 e d’ = 1, le equazioni sono:
⎧
⎪x =
⎪
⎨
⎪y =
⎪⎩
x'
y'
1
y'
Sostituendo queste ultime nell’equazione del cerchio x 2 + y 2 = 1 avremo
x' 2
1
+ 2 =1
2
y'
y'
e quindi
x' 2 − y ' 2 = 1
Pertanto la figura ombra è un’iperbole equilatera.
2. Sul piano β è dato il cerchio di centro C (0,1) e raggio r = 1
Questo cerchio viene proiettato sul piano β’ da un punto S che si trova alla distanza d = 1 da β
e alla distanza d’ = 2 da β’.
Per trovare l’equazione della figura ombra del cerchio basta applicare le equazioni della
trasformazione inversa; in questo caso, essendo d = 1 e d’ = 2, avremo:
⎧
⎪x =
⎪
⎨
⎪y =
⎪⎩
x'
y'
2
y'
Sostituendo queste ultime nell’equazione del cerchio x 2 + ( y − 1) = 1 avremo
2
x' 2
4
4
+ 2 − +1 = 1
2
y'
y'
y'
e quindi
y' =
1 2
x ' +1
4
Pertanto la figura ombra è una parabola.
3. Sul piano β è dato il cerchio di centro C (0, 2 ) e raggio r = 1
Questo cerchio viene proiettato sul piano β’ da un punto S che si trova alla distanza d = 1 da β
e alla distanza d’ = 4 da β’.
Per trovare l’equazione della figura ombra del cerchio basta applicare le equazioni della
trasformazione inversa; nel nostro caso, essendo d = 1 e d’ = 4, avremo
⎧
⎪x =
⎪
⎨
⎪y =
⎪⎩
x'
y'
4
y'
Sostituendo queste ultime nell’equazione del cerchio x 2 + ( y − 2 ) = 1 avremo
2
x' 2 16 16
+
− + 4 =1
y'2 y'2 y'
e quindi
x' 2 +3 y ' 2 −16 y '+16 = 0
che può essere scritta nella forma
2
8⎞
⎛
⎜ y '− ⎟
x' 2 ⎝
3⎠
+
=1
16
16
3
9
Pertanto la figura ombra è un’ellisse.
⎛1 1⎞
⎛3 1⎞
⎛1 3⎞
⎛1 1⎞
4. Sul piano β è dato il quadrato di vertici A⎜ , ⎟ , B⎜ , ⎟ , C ⎜ , ⎟ e D⎜ , ⎟
⎝2 4⎠
⎝4 2⎠
⎝2 4⎠
⎝4 2⎠
Questo quadrato viene proiettato sul piano β’ da un punto S che si trova alla distanza d = 1
da β e alla distanza d’ = 1 da β’.
Per disegnare su β’ la figura ombra del quadrato basta applicare le equazioni della proiettività;
in questo caso, essendo d = 1 e d’ = 1, le equazioni sono:
⎧
⎪ x' =
⎪
⎨
⎪ y' =
⎪⎩
1
y
x
y
I punti A, B, C, D hanno come corrispondenti i punti
A' (2,4 )
⎛3 ⎞
B ' ⎜ ,2 ⎟
⎝2 ⎠
⎛2 4⎞
C'⎜ , ⎟
⎝3 3⎠
⎛1 ⎞
D ' ⎜ ,2 ⎟
⎝2 ⎠
Si può così designare la figura ombra: è un quadrilatero che non ha nessuna particolarità.
Figura 19
Il disegno in prospettiva per mezzo delle equazioni della proiettività
Nella figura 20 è rappresentato un pittore che disegna su una lastra di vetro disposta
verticalmente. Si tratta di un dispositivo formato da due piani, uno orizzontale, sia β’, su cui è
poggiato l’oggetto da disegnare , e l’altro, la lastra di vetro , sia β, in posizione verticale.
L’artista osserva l’oggetto dalla posizione S e traccia il disegno sulla lastra di vetro.
Questo metodo equivale a proiettare dal centro S una figura posta sul piano orizzontale β’ sul
piano del disegno β.
I raggi di luce questa volta vanno dall’oggetto poggiato su β’ al punto S, l’occhio
dell’osservatore, attraverso la lastra di vetro.
Figura 20
Vediamo con un esempio come le equazioni della proiettività e quelle della trasformazione
inversa possono “sostituire la lastra di vetro”.
Si voglia riprodurre sul foglio da disegno due binari ferroviari. Sul piano β’ sono rappresentate
due rette parallele all’asse y’. Il foglio da disegno sia β; supponiamo che si trovi a un metro
dall’occhio S, e che S si trovi ad un’altezza di 4 metri al di sopra dei binari.
Le equazioni della trasformazione proiettiva e di quella inversa sono allora
4x
⎧
⎪ x' = y
⎪
⎨
⎪ y' = 4
⎪⎩
y
⎧
⎪x =
⎪
⎨
⎪y =
⎪⎩
x'
y'
4
y'
Supponiamo che le rette r’ e t’ che rappresentano i binari sul piano β’ abbiano equazioni
x’ = 1
e
x’ = 2
Per la retta r’, sostituendo il valore x’ = 1 nelle equazione della trasformazione inversa, avremo
1
⎧
⎪ x = y'
⎪
⎨
⎪y = 4
⎪⎩
y'
Dividendo membro a membro la seconda equazione per la prima si ottiene
y
=4
x
ossia
y = 4x
La retta x’ = 1 si trasforma nella retta d’equazione y = 4x ; questa equazione ci dice che la
retta passa per l’origine H del piano β.
Allo stesso modo si trova che la retta t’ che in β’ ha equazione x’ = 2 si trasforma nella retta
d’equazione y = 2x passante per l’origine H .
Questo fatto matematico corrisponde al fatto visivo: guardando da S i binari sembrano
incontrarsi in un punto.
Figura 21
Il disegno in prospettiva con il calcolatore.
Vogliamo eseguire al calcolatore il disegno di una torre in modo da dare a chi lo guarda alla
distanza di un metro, la stessa impressione che avrebbe guardando la torre dalla cima di una
collina alta 60 metri.
La torre è un parallelepipedo a base quadrata, alto 40 metri , con un tetto piramidale alto 10
metri Le coordinate dei vertici del quadrato di base nel piano K’x’y’ sono :
A' (40,70 ) , B' (50,60 ) , C ' (60,70 ) e D' (50,80 ) .
La proiettività, essendo in questo caso d = 1 e d’ = d1 = 60 , ha come equazioni
⎧
⎪x =
⎪
⎨
⎪y =
⎪⎩
x'
y'
60
y'
I punti corrispondenti ad A’, B’, C’, D’ nel piano Hxy hanno pertanto coordinate
⎛4 6⎞
⎛5 ⎞
⎛6 6⎞
⎛5 3⎞
A⎜ , ⎟ , B⎜ ,1⎟ , C ⎜ , ⎟ e D⎜ , ⎟
⎝7 7⎠
⎝6 ⎠
⎝7 7⎠
⎝8 4⎠
Il calcolatore è ora in grado di disegnare la base ABCD (fig 22) .
Per disegnare la base superiore del parallelepipedo occorre valersi di altre equazioni: questa
base è infatti ad un’altezza di 40 metri rispetto al terreno ed è a 20 metri al di sotto dell’occhio
S dell’osservatore.
Si ha perciò in questo caso d = 1 e d’ = d2 = 20
Le equazioni della proiettività sono quindi
⎧
⎪x =
⎪
⎨
⎪y =
⎪⎩
x'
y'
20
y'
Ai punti A’, B’, C’, D’ considerati a quota 40 metri corrispondono nel piano Hxy i punti
_
⎛ 4 2⎞ _⎛5 1⎞ _ ⎛ 6 2⎞ _ ⎛5 1⎞
A⎜ , ⎟ , B⎜ , ⎟ , C ⎜ , ⎟ e D⎜ , ⎟
⎝7 7⎠
⎝ 6 3⎠
⎝7 7⎠
⎝8 4⎠
Il calcolatore è ora in grado di disegnare la base superiore del parallelepipedo (fig 22).
Figura 22
Troviamo infine la posizione del vertice del tetto piramidale. Il vertice V’, schiacciato sulla base
inferiore del parallelepipedo, ha le coordinate del centro del quadrato per cui V ' = C (50,70 ) .
Dobbiamo ora trovare il corrispondente di V’ valendoci delle equazioni della proiettività.
Si deve tenere conto che V’ si trova ad un’altezza di 50 metri dal terreno e quindi a soli 10
metri al di sotto di S; si ha quindi d = 1 e d’ = d3 = 10
Le equazioni che ci servono ora sono:
x'
⎧
⎪ x = y'
⎪
⎨
⎪ y = 10
⎪⎩
y'
Queste equazioni ci permettono di trovare il corrispondente V del punto V’; da
V ' (50,70 )
si passa a
⎛5 1⎞
V⎜ , ⎟
⎝7 7⎠
Il calcolatore è ora in grado di eseguire il disegno in prospettiva della torre (fig 23).
Figura 23
E’ chiaro che, variando i valori di d, d1, d2 e d3 e facendo ruotare di un angolo ß la base
inferiore del parallelepipedo rispetto al suo centro, è possibile costruire il disegno della torre
vista da una qualunque altra posizione e di dare quindi un’idea dell’effetto visivo che ha
l’osservatore in luoghi diversi (fig 24).
Figura 24