Esercizio n° 378 pagina 366 Fra tutte le parabole con asse parallelo

Esercizio n° 378 pagina 366
Fra tutte le parabole con asse parallelo all'asse y, tangenti nel punto T(-1 ; -1) alla bisettrice del I e
del III quadrante (y = x), determinare quella che è tangente alla retta di equazione y = 7x + 9.
[y = -3x2 - 5x – 3]
Per svolgere questo esercizio ci sono almeno due metodi che espongo di seguito.
1° METODO
É il più semplice e richiede la conoscenza della teoria esposta a pag 328 del libro di testo:
Fasci di parabole tangenti in un punto a una retta data
La retta è y = x e il punto di tangenza è T (−1 ;−1) quindi il fascio di rette tangenti alla retta
y = x nel punto T é:
y = x +k ( x +1)2
ossia y =k x 2 +(2 k + 1) x + k e facendo sistema fra il fascio la retta alla quale il fascio deve
essere tangente (sottraendo sia il primo membro(y) che il secondo membro delle equazioni) si ha:
kx 2 +( 2 k + 1) x + k −7 x −9=0 e raccogliendo rispetto alla x:
2
kx +( 2 k −6) x + k −9=0
b 2
che, per la condizione di tangenza, deve avere il Δ = 0: [ Δ =( ) −a c =0 ]
4
2
Δ =(k −3)2−k (k−9)=k 2−6 k + 9−k 2 + 9 k =3 k + 9=0
→ k =−3 da sostituire nel fascio:
4
2
y = x−3(x + 1)
2
che svolto ed ordinato da: y = x−3 x −6 x −3=−3 x 2 −5 x −3 che è la soluzione.
2° METODO
É svolto come la maggior parte degli esercizi che sottostanno ad un insieme di determinate
condizioni ma che usa il principio: in un sistema di n equazioni ad esempio due, una di esse (se
sono furbo, la più complessa!), può essere sostituito dalla loro combinazione algebrica (nel nostro
caso dalla loro differenza).
1) Passaggio per il punto T(-1 ; -1)
−1=a−b+ c (A)
2) Tangenza alla retta y = x
2
2
a x +b x +c −x =a x +(b−1) x + c =0
→ b2 −2 b+ 1−4 a c =0 (B)
Δ=(b−1)2 −4 ac=0
3) Tangenza alla retta y = 7x + 9
2
2
a x +b x +c −7 x −9=a x +( b−7) x +c −9=0
Δ=(b−7)2 −4 a (c−9)=0 → b2 −14 b+ 49−4 a c + 36 a =0 (C)
Sottraendo (B) da (C) si ha −12 b+ 48+ 36 a=0 ossia 12 b=36 a+ 48 o b=3 a + 4 (D)
Sostituendo (D) in (A) si ha: −1=a−3 a−4+ c → c =2 a +3 (E)
ed infine sostituendo (D) ed (E) in (B) si ha:
2
2
9 a + 24 a+ 16−6 a−8+ 1−8 a −12 a=0
che, semplificato dà: a2 + 6 a +9=(a+ 3)2 =0 per a=−3
da cui per la (D) b=3 (−3)+ 4=−5 e per la (E) c =2(−3)+ 3=−3 e l'equazione è guarda
caso:
2
y =−3 x −5 x−3
Ci sono molti altri metodi per trovare la soluzione: alla vostra fantasia ed al vostro buon cuore !