Segnali passa-banda ed equivalenti passa

Appendice C
Segnali passa-banda ed
equivalenti passa-basso
C.1
Segnali deterministici
Un segnale deterministico u(t) con trasformata di Fourier U (f ) è un segnale
passa-banda se
∃f0 , W 0 ,
con 0 < W 0 < f0 ,
t.c. ∀f ∈ R :
|f − f0 | ≥ W 0 ⇒ U (f ) = 0.
(C.1)
0
Se, in aggiunta, è verificata la condizione f0 À W , il segnale u(t) è detto a
banda stretta.
La definizione di segnale passa-banda appena introdotta si estende facilmente
ad un sistema LTI, infatti, un sistema LTI con risposta impulsiva h(t) è detto
essere un sistema LTI passa-banda se la sua risposta in frequenza H(f ) è un
segnale passa-banda.
Esempio C.1.1. Un primo esempio di segnale passa-banda è dato dal segnale
sinusoidale
u(t) = A cos(2πf0 t + θ),
a cui corrisponde una trasformata di Fourier pari a
U (f ) =
i
A h jθ
e δ(f − f0 ) + e−jθ δ(f + f0 ) ;
2
in questo caso, la trasformata di Fourier del segnale è formata da due impulsi di
Dirac, ovvero due righe, e, quindi, la larghezza di banda è nulla. ¤
Esempio C.1.2. Un segnale DSB-SC AM, ottenuto dalla modulazione di un
segnale deterministico m(t), rigorosamente limitato nella banda [−B, B], è un
105
106APPENDICE C. SEGNALI PASSA-BANDA ED EQUIVALENTI PASSA-BASSO
secondo esempio di segnale passa-banda se fc > B. Infatti, dall’espressione del
segnale nel dominio del tempo
u(t) = Ac m(t) cos(2πfc t + φc ),
t ∈ R,
(C.2)
si ricava immediatamente la sua trasformata di Fourier U (f ), i.e.
U (f ) =
i
Ac h jφc
e M (f − fc ) + e−jφc M (f + fc )
2
dove M (f ) denota la trasformata di Fourier di m(t). Il segnale u(t) è quindi
passa-banda come risulta evidente ponendo f0 = fc e W 0 = B nella definizione
(C.1). ¤
Dato un segnale passa-banda e reale si definisce segnale analitico ad esso
associato, e si indica con zu (t), il segnale in uscita ad un filtro LTI con risposta in
frequenza H(f ) = 2δ−1 (f ), dove δ−1 (f ) è la funzione gradino unitario, sollecitato
da u(t). Quindi l’operazione che permette di passare dal segnale passa-banda
u(t) al corrispondente segnale analitico zu (t) consiste nell’eliminare i contributi
nella Trasformata di Fourier di u(t) alle frequenze negative e nel moltiplicare per
due quelli alle frequenze positive, i.e.
Zu (f ) ≡ 2δ−1 (f )U (f ),
dove U (f ) e Zu (f ) denotano, rispettivamente, le Trasformate di Fourier di u(t)
e zu (t).
La risposta impulsiva del filtro che permette di estrarre il segnale analitico
zu (t) dal segnale passa-banda u(t) può essere calcolata come segue [3]
h(t) = F −1 {H(f )} = F −1 {2δ−1 (f )} = F −1 {1 + sgn(f )} = δ(t) +
j
,
πt
(C.3)
dove sgn(f ) denota la funzione segno. Pertanto, l’espressione del segnale analitico
nel dominio del tempo è
dove il segnale
zu (t) = [h ∗ u](t) = u(t) + j u
b(t),
1
u
b(t) ≡
∗ u(t) =
πt
Z
+∞
−∞
u(θ)
dθ,
t−θ
è, per definizione, la Trasformata di Hilbert del segnale u(t). Si noti che il sistema
che consente di passare dal segnale u(t) alla sua Trasformata di Hilbert u
b(t) ha
risposta in frequenza data da
H(f ) = −jsgn(f ),
C.1. SEGNALI DETERMINISTICI
107
e non è né BIBO stabile né causale.
Infine, l’equazione (C.3) suggerisce che è possibile estrarre il segnale passabanda u(t) dal segnale analitico zu (t) tramite la relazione
u(t) = R {zu (t)} .
La precedente relazione non caratterizza il segnale analitico con ciò intendendo
che un segnale che soddisfa alla precedente relazione non è necessariamente il
segnale analitico associato ad u(t). Vale, invece, il seguente risultato di facile
dimostrazione.
Teorema C.1.1 Sia u(t) un segnale passa-banda reale e z(t) un segnale (a valori
complessi) la cui parte reale coincida con u(t) e la cui Trasformata di Fourier sia
identicamente nulla per frequenze negative. Allora z(t) = zu (t), ovvero z(t) è il
segnale analitico associato ad u(t). ¥
Si definisce inviluppo complesso o equivalente in banda base del segnale
passa-banda u(t), e lo si denota con u
e(t), il seguente segnale
u
e(t) ≡ zu (t)e−j2πf0 t ,
(C.4)
a cui corrisponde la Trasformata di Fourier
e (f ) = Zu (f + f0 ) = 2δ−1 (f + f0 )U (f + f0 ).
U
Si osservi che u
e(t) è, in generale, un segnale complesso di tipo passa-basso e
che la sua trasformata di Fourier coincide con la parte positiva dello spettro
di u(t) traslata dall’intorno della frequenza f0 all’intorno della frequenza zero.
Combinando insieme le precedenti relazioni è possibile ricavare il legame tra il
segnale u(t) ed il suo inviluppo complesso
n
o
u(t) = R u
e(t) e j2πf0 t ,
(C.5)
u
e(t) = [u(t) + j u
b(t)] e−j2πf0 t .
Esempio C.1.1: continuazione.
ha Trasformata di Fourier data da
(C.6)
Il segnale analitico associato al segnale u(t)
Zu (f ) = Aejθ δ(f − f0 ).
Inoltre, è possibile scegliere come inviluppo complesso del segnale u(t) il segnale
u
e(t) = Aejθ ,
108APPENDICE C. SEGNALI PASSA-BANDA ED EQUIVALENTI PASSA-BASSO
la cui trasformata di Fourier è data da
e (f ) ≡ F[e
U
u(t)] = Aejθ δ(f ).
Quindi il segnale analitico e l’inviluppo complesso di un segnale sinusoidale coincidono, rispettivamente, con le definizioni di vettore rotante, i.e.
zu (t) = Aej(2πf0 t+θ) ,
e di fasore introdotte in Teoria dei Circuiti [4]. Dal fatto che la parte immaginaria
del segnale analitico è la Trasformata di Hilbert di u(t), segue che la trasformata
di Hilbert del segnale cosinusoidale è il segnale sinusoidale, i.e.
u
b(t) = A sin(2πf0 t + θ).¤
Esempio C.1.2: continuazione. Il segnale analitico associato ad un segnale
DSB-SC AM ha la seguente Trasformata di Fourier
Zu (f ) = Ac ejφc M (f − fc );
quindi, esso è dato da
zu (t) = Ac ejφc m(t)ej2πfc t .
Inoltre, ponendo f0 = fc si ottiene
e (f ) = Aejφc M (f ).
U
Quindi, come era naturale aspettarsi, l’inviluppo complesso del segnale passabanda (C.2) è proporzionale al segnale modulante m(t). ¤
Poiché, come appena accennato, l’inviluppo complesso u
e(t) è un segnale complesso, può essere utile rappresentarlo in termini della sua parte reale u c (t) e della
sua parte immaginaria us (t), ovvero nella forma
u
e(t) ≡ uc (t) + j us (t);
i segnali uc (t) e us (t) sono denominati, rispettivamente, componente in fase (o
componente in coseno) e componente in quadratura (o componente in seno) del
segnale passa-banda; infatti, con facili passaggi algebrici, si può dimostrare che
valgono le seguenti relazioni

u(t) = uc (t) cos(2πf0 t) − us (t) sin(2πf0 t),




 
b(t) sin(2πf0 t),
 uc (t) = u(t) cos(2πf0 t) + u




 
us (t) = u
b(t) cos(2πf0 t) − u(t) sin(2πf0 t).
C.2. SEGNALI ALEATORI
109
Analogamente, si può rappresentare u
e(t) in termini di modulo e fase
u
e(t) ≡ vu (t)ejφu (t) ,
dove i segnali vu (t) e φu (t) sono detti, rispettivamente inviluppo reale e fase
di u
e(t) e sono definiti come segue

p
vu (t) ≡ u2c (t) + u2s (t)



·
¸
us (t)


 φu (t) = arctg
uc (t)
dove l’arcotangente va intesa come riportato in [3]. Utilizzando la (C.5) si può,
infine, ricavare
u(t) = vu (t) cos [2πfo t + φu (t)] ,
che evidenzia come un generico segnale passa-banda possa essere pensato come
una sorta di generalizzazione di un segnale sinusoidale.
Esempio C.1.3. Mostrare che il segnale u(t), ottenuto a partire dal segnale
modulante m(t) deterministico, con Trasformata di Fourier M (f ), attraverso la
modulazione della portante
p(t) = Ac cos(2πfc t)
in SSB-SC AM è dato da
u(t) = m(t) cos(2πfc t) ± m(t)
b sin(2πfc t),
dove il segno positivo si riferisce alla LSSB mentre quello negativo alla USSB. ¤
C.2
Segnali aleatori
La definizione di processo aleatorio a banda stretta è analoga a quella data per
i segnali deterministici a patto di sostiuire la Trasformata di Fourier del segnale
con la sua PSD. Analogamente si estendono le definizioni di segnale analitico ed
inviluppo complesso di un segnale aleatorio passa-banda e reale; ad esempio, il
segnale analitico associato al segnale aleatorio u(t) ha come realizzazioni i segnali
analitici associati alle realizzazioni di u(t).
È inoltre evidente che la PSD del segnale analitico zu (t) è data da
Szu (f ) = 4δ−1 (f )Su (f ).
110APPENDICE C. SEGNALI PASSA-BANDA ED EQUIVALENTI PASSA-BASSO
Inoltre, la funzione di autocorrelazione in tempo-ritardo dell’inviluppo complesso
u
e(t) si calcola immediatamente a partire dalla equazione (C.4), ed è data da
Rue (t, τ ) = E[e
u(t)e
u∗ (t − τ )] = E[zu (t)e−j2πf0 t zu∗ (t − τ )ej2πf0 (t−τ ) ]
= E[zu (t)zu∗ (t − τ )]e−j2πf0 τ = Rzu (t, τ )e−j2πf0 τ .
Quindi, l’autocorrelazione media dell’inviluppo complesso del segnale u(t) è data
da
Rue (τ ) = Rzu (τ )e−j2πf0 τ ,
e, di conseguenza, la PSD di u
e(t) è
Sue (f ) = Szu (f + f0 ) = 4δ−1 (f + f0 )Su (f + f0 ).
La precedente relazione, tenuto conto del fatto che u(t) è un segnale reale e,
quindi, la sua PSD è pari, consente di dimostrare con facili passaggi il seguente
risultato notevole.
Teorema C.2.1 La PSD del segnale (aleatorio) passa-banda reale u(t) è data da
Su (f ) =
1
[Sue (f − f0 ) + Sue (−f − f0 )]
4
dove Sue (f ) è la PSD del corrispondente inviluppo complesso. ¥
Il precedente teorema può essere utilizzato per calcolare la PSD di un segnale
aleatorio passa-banda a patto di conoscere la PSD del corrispondente inviluppo
complesso. A tal fine può essere necessario determinare preliminarmente il segnale
analitico associato ad u(t) e, a partire da questo, l’inviluppo complesso. È, quindi,
importante evidenziare che per i segnali aleatori vale, con le ovvie modifiche del
caso, la caratterizzazione del segnale analitico fornita con riferimento ai segnali
deterministici, ovvero il Teorema 1.1. L’esempio che segue illustra l’utilizzo di
tale caratterizzazione con riferimento ai segnali aleatori.
Esempio C.2.1.
passante
Mostrare che l’inviluppo complesso del segnale PAM in banda-
u(t) =
+∞
X
√
ck 2g(t − kT ) cos(2πfc t)
k=−∞
( +∞
X
= R
k=−∞
√
ck 2g(t − kT )ej2πfc t
)
(C.7)
,
C.2. SEGNALI ALEATORI
111
è dato da
u
e(t) =
+∞
X
k=−∞
√
ck 2g(t − kT )
(C.8)
se g(t) è un segnale di energia con trasformata di Fourier G(f ) rigorosamente
limitata nella banda [−B, B] ed fc > B. Mostrare, inoltre, che la (C.8) è un’uguaglianza approssimata anche quando g(t) è un impulso rettangolare di durata
T se fc À 1/T .
Dimostrazione. È sufficiente dimostrare che il segnale
z(t) ≡
+∞
X
k=−∞
√
ck 2g(t − kT )ej2πfc t ,
ha una PSD nulla per f < 0. A tal fine si osservi che il segnale
x(t) = z(t)e−j2πfc t =
+∞
X
k=−∞
√
ck 2g(t − kT )
ha una PSD rigorosamente limitata in [−B, B]; infatti, la PSD di x(t) è data da
2
Sc (f T )|G(f )|2
T
ed è quindi limitata dalla ESD (dall’inglese Energy Spectral Density) del segnale
g(t). Inoltre, la funzione di autocorrelazione statistica in tempo-ritardo di z(t) è
Sx (f ) =
Rz (t, τ ) = E[z(t)z ∗ (t − τ )] = E[x(t)ej2πfc t x∗ (t − τ )e−j2πfc (t−τ ) ] = Rx (t, τ )ej2πfc τ ;
di conseguenza, le autocorrelazioni medie di z(t) ed x(t) sono legate dalla relazione
Rz (τ ) = Rx (τ )ej2πfc τ ,
da cui si evince che la PSD di z(t) è data da
Sz (f ) = Sx (f − fc )
e risulta evidentemente nulla per f < 0 se fc > B. Ovviamente tale conclusione
continua a valere in modo approssimato se g(t) non è rigorosamente limitato nella
banda [−B, B], ma è un impulso rettangolare di durata T ed fc À 1/T . ¤
Se si considera un processo aleatorio passa-banda n(t) almeno SSL è facile
dimostrare che sia il segnale analitico zn (t) che l’inviluppo complesso n
e(t) ad esso
associati sono almeno SSL. Infatti, il segnale analitico è l’uscita di un filtro LTI
sollecitato da un segnale almeno SSL. Per quanto riguarda l’inviluppo complesso
la dimostrazione necessiterebbe di calcolare la funzione di autocorrelazione statistica in tempo-ritardo di n
e(t) in termini di quella del corrispondente segnale
analitico zn (t), ma su questo non ci si sofferma. Inoltre, se n(t) è a media nulla
anche i processi derivati n
e(t), zn (t), nc (t), ns (t) hanno media nulla. Vale, inoltre,
il seguente teorema per la cui dimostrazione si rimanda a [5].
112APPENDICE C. SEGNALI PASSA-BANDA ED EQUIVALENTI PASSA-BASSO
Teorema C.2.2 Sia n(t) un processo aleatorio passa-banda almeno SSL e con
media nulla. La componente in fase nc (t) e la componente in quadratura ns (t)
sono congiuntamente SSL; inoltre
• nc (t) ed ns (t) hanno la stessa funzione di autocorrelazione media, i.e.
Rnc (τ ) = Rns (τ );
• la funzione di mutua correlazione tra nc (t) e ns (t) e quella tra ns (t) e nc (t)
sono l’una l’opposta dell’altra
Rnc ns (τ ) = −Rns nc (τ );
• la funzione di autocorrelazione dell’inviluppo complesso n
e(t) è data da
Rne (τ ) = 2 [Rnc (τ ) + jRns nc (τ )] .
Inoltre, Rns nc (τ ) = 0 (come è facile verificare tenuto conto del fatto che la potenza
dell’invilupo complesso deve essere reale) e, quindi, la potenza di n
e(t) è pari a
due volte la potenza della componente in fase (quadratura), ovvero a due volte
quella di n(t), i.e.
E[|e
n(t)|2 ] = 2E[nc (t)2 ] = 2E[ns (t)2 ] = 2E[n(t)2 ].
Infine, se la PSD di n(t) è simmetrica intorno a ±f0 , i.e.
Sn (−f + f0 ) = Sn (f + f0 ),
|f | ≤ f0 ,
l’autocorrelazione di n
e(t) è una funzione reale; di conseguenza, n c (t) e ns (t) sono incoerenti, ovvero Rnc ns (τ ) = 0, ∀τ , e, quindi, vale la seguente relazione di
additività tra le PSD di n
e(t), nc (t) ed ns (t)
Sne (f ) = 2Snc (f ) = 2Snc (f ).
È anche evidente che se n(t) è un processo aleatorio gaussiano, n
e(t), z n (t),
nc (t) ed ns (t) sono processi gaussiani. In particolare, nc (t) ed ns (t) sono congiuntamente gaussiani.
Esempio C.2.2. Utilizzando il precedente teorema determinare le espressioni
delle PSD di nc (t), ns (t) e n
e(t) nell’ipotesi che n(t) sia rumore bianco nella
0
0
banda [−fc − W , −fc + W ] ∪ [fc − W 0 , fc + W 0 ] ovvero ottenuto dal filtraggio di
un rumore gaussiano bianco con PSD di livello pari a N0 /2 attraverso un filtro
“rettangolare” con risposta in frequenza
¶
µ
¶
µ
f − fc
f + fc
+Π
.
H(f ) = Π
2W 0
2W 0