5. Trasformata di Fourier - Dipartimento di Matematica

5. Trasformata di Fourier
Affrontiamo il problema di rappresentare mediante funzioni trigonometriche segnali non periodici:
evidentemente, questi non possono più ottenersi come sovrapposizione di onde che vibrano a
frequenze multiple di una fissata frequenza fondamentale (che genererebbero un segnale periodico);
occorre quindi un procedimento più sofisticato che viene fornito dalla teoria della trasformata di
Fourier.
Rispetto alle serie di Fourier questa comporta alcune modifiche sostanziali:
1. Si è costretti ad integrare su tutti i tempi da −∞ a +∞ anziché su un intervallo limitato;
di conseguenza le medie integrali non hanno più senso e devono essere sostituite con gli
integrali.
2. Il segnale viene ricostruito dalla sovrapposizione di un continuo di onde trigonometriche
anziché da una famiglia discreta: lo sviluppo in serie viene di conseguenza sostituito da uno
sviluppo integrale.
In questa lezione consideriamo segnali che, in un senso opportuno (di tipo “integrale”), decadono
a 0 abbastanza velocemente per tempi grandi: il prototipo su cui imposteremo inizialmente il
discorso sarà quello dei segnali di durata finita. Solo la teoria delle distribuzioni, sviluppata nei
corsi più avanzati, permette di trattare segnali di tipo più generale e di comprendere all’interno
della medesima teoria anche il caso dei segnali periodici.
Prima però di affrontare le questioni più importanti, è utile aver ben presente alcuni fatti e
notazioni, che richiamiamo velocemente nella prossima sezione.
5.1
Richiami: integrali su R
Al solito ci limiteremo a considerare segnali limitati e daremo sempre per scontato che si tratti
di segnali misurabili. Ricordiamo che segnale limitato (Definizione 3.6) significa che esiste una
costante M ≥ 0 tale che
|u(t)| ≤ M
∀ t ∈ R;
in particolare
sup |u| ≤ M.
(5.1)
R
Definizione 5.1 (Segnali di durata limitata) Diciamo che un segnale u definito in R ha durata limitata se esiste un intervallo di tempi [a, b] di durata D := b − a tale che
u(t) = 0
al di fuori dell’intervallo [a, b].
(5.2)
Chiamiamo durata di u la più piccola delle costanti D = b − a degli intervalli che soddisfano la
(5.2).
5-1
5-2
5. TRASFORMATA DI FOURIER
Definizione 5.2 (Integrali (impropri, generalizzati) su (−∞, +∞), valor principale) Se
u : R → C è un segnale limitato, il valor principale dell’integrale di u su R è definito da
Z
+∞
Z
u(t) dt := lim
R↑+∞
−∞
R
u(t) dt,
(5.3)
−R
quando il limite esiste finito o ±∞. Se u è ≥ 0, allora il limite in (5.3) esiste sempre, anche se
può assumere il valore +∞. Un segnale u si dice integrabile in senso improprio o generalizzato
quando il limite in (5.3) è finito.
Notazione
Spesso, per sottolineare che il limite in (5.3) è ottenuto integrando su intervalli
Z +∞
simmetrici, si aggiunge v.p. di fronte all’intergrale, cioè v.p.
u(t) dt.
Valor principale.
−∞
Nella definizione (5.3) è spesso fondamentale che gli estremi di integrazione vadano all’infinito in modo
simmetrico, condizione superflua quando u è assolutamente integrabile. In altre parole, se ad esempio si
considerasse il limite
Z
2R
u(t) dt,
lim
R↑+∞
−R
L1 (R),
si otterebbe il medesimo risultato di (5.3) se u ∈
mentre se u 6∈ L1 (R) in generale i due limiti sono
differenti. Vedremo più avanti che, dal punto di vista dell’inversione della trasformata di Fourier, l’uso del
valor principale è molto naturale.
Definizione 5.3 (Segnali assolutamente integrabili; energia) Diciamo che un segnale u definito in R è assolutamente integrabile e scriviamo u ∈ L1 (R) se
Z
+∞
|u(t)| dt = lim
R↑+∞
−∞
Z
R
|u(t)| dt < +∞.
(5.4)
−R
Diciamo che u ha energia finita e scriviamo u ∈ L2 (R) se
E[u] = v.p.
Z
+∞
|u(t)|2 dt := lim
R↑+∞
−∞
Z
R
|u(t)|2 dt < +∞.
(5.5)
−R
Teorema 5.4 Se u è assolutamente integrabile, allora è anche integrabile in senso generalizzato
e vale la relazione
Z +∞
Z +∞
v.p.
u(t) dt.
u(t) dt ≤ v.p.
(5.6)
−∞
−∞
2
Se u, v ∈ L (R) sono segnali a energia finita allora il loro prodotto uv è (assolutamente) integrabile;
pertanto è ben definito il prodotto scalare
Z +∞
(5.7)
u(t)v(t) dt,
(u|v) :=
−∞
e vale la relazione
E[u] = (u|u) ,
Nota
p
p
(u|v) ≤ E[u] E[v].
(5.8)
I segnali (limitati) di durata limitata sono sempre assolutamente integrabili e vale la ovvia relazione
Z
|u(t)| dt ≤ M D,
R
v.p.
Z
+∞
v(t) dt =
−∞
Z
+∞
v(t) dt =
−∞
Z
b
v(t) dt,
(5.9)
a
dove M, D sono le costanti di (5.1) e della Definizione 5.1. I segnali (limitati) assolutamente integrabili hanno
sempre energia finita e vale la
Z
+∞
E[u] ≤ M
|u(t)| dt.
−∞
(5.10)
5-3
5. TRASFORMATA DI FOURIER
Tre fatti da ricordare...
Avendo supposto i segnali limitati (dunque non vi sono tempi t vicino ai quali
u(t) diverge a ±∞), l’assoluta integrabilità di un segnale si riduce in pratica al controllo del suo andamento
asintotico per tempi grandi. Sappiamo che:
Esempi
1. se u è assolutamente integrabile (o ha energia finita) e tende ad un limite u±∞ per t → ±∞ allora
necessariamente u±∞ = 0.
2. Se u è asintotico a qualche potenza di t del tipo 1/|t|α allora
u è assolutamente integrabile
u ha energia finita
⇐⇒
⇐⇒
α > 1,
α > 1/2.
3. Se u = O(v) per t → ±∞ e v è assolutamente integrabile (o ha energia finita) allora u gode della
medesima proprietà. In particolare, se u ha una decrescita esponenziale (cioè u ∼ e−β|t| per t → ±∞,
β > 0) allora è sicuramente assolutamente integrabile e ha energia finita.
Il Teorema 5.4 e le tre osservazioni precedenti giustificano l’interesse per la nozione di assoluta
integrabilità: per controllare che il valor principale dell’integrale di u esiste senza dover farne il
calcolo esplicito, basta considerare l’integrale del modulo di u (che esiste sempre, finito o +∞) e
cercare di mostrare che è finito applicando uno dei criteri appena enunciati.
5.2
Premessa
Dalle serie all’integrale di Fourier: segnali di durata
limitata
Una formula asintotica per il calcolo degli integrali. Sia v un segnale regolare a tratti e di durata
limitata come in (5.2), l’integrale di v può essere calcolato in questo modo: si sceglie un passo τ > 0 di
discretizzazione e si suddivide l’asse reale per mezzo dei punti tk := kτ ; si chiama Kτ l’insieme (finito) degli
interi k per cui tk ∈ [a, b] e si considera la somma (finita)
X
Iτ [v] := τ
v(kτ ).
(5.11)
k∈Kτ
Un teorema classico di analisi assicura che
lim Iτ (v) =
τ ↓0
Z
b
v(t) dt =
a
Z
+∞
v(t) dt.
(5.12)
−∞
Quando v non è di durata limitata, allora l’insieme Kτ è infinito e quindi la somma in (5.11) è in realtà una
serie e il limite in (5.12) è più delicato. È chiaro che per far convergere la serie in (5.11) occorre qualche
ipotesi che ci assicura che v è “abbastanza piccolo” per tempi grandi.
Scegliamo uno tra i tanti possibili criteri:
Teorema 5.5 Sia v un segnale regolare a tratti tale che
+∞
X
τ
k=−∞
kτ v(kτ )2 ≤ C < ∞,
C indipendente da τ ;
(5.13)
v(kτ ).
(5.14)
allora la serie
Iτ [v] := τ
+∞
X
k=−∞
è assolutamente convergente, v ∈ L1 (R) è assolutamente integrabile, e
Z b
Z +∞
lim Iτ [v] =
v(t) dt =
v(t) dt.
τ ↓0
(5.15)
−∞
a
Consideriamo ora un segnale continuo u di durata D (per semplicità possiamo supporre che u
sia nullo al di fuori dell’intervallo simmetrico (−D/2, D/2)) regolare a tratti. Se scegliamo un
“periodo” T > D e chiamiamo f0 = T1 la relativa frequenza fondamentale, possiamo prolungare
periodicamente u al di fuori dell’intervallo (−T /2, T /2) ed esprimere u come serie di Fourier
X
u(t) =
cn e2πi nf0 t , t ∈ (−T /2, T /2), con
(5.16)
n∈Z
cn :=
1
T
Z
T /2
u(t)e−2πi nf0 t dt =
−T /2
1
T
Z
u(t)e−2πi nf0 t dt.
R
(5.17)
5-4
5. TRASFORMATA DI FOURIER
Ora, l’ultimo integrale ha senso anche se l’esponenziale oscilla a qualsiasi frequenza f , non necessariamente multipla di f0 . Poiché questa si rivelerà la quantità cruciale, poniamo
û(f ) :=
Z
u(t)e−2πi f t dt,
∀ f ∈ R.
(5.18)
R
Con questa notazione la serie di (5.16) diventa
X
X
û(nf0 )e2πi nf0 t = f0
v(nf0 ),
u(t) = T1
n∈Z
dove
v(f ) := û(f )e2πi f t ,
(5.19)
n∈Z
e, lo ricordiamo, la convergenza della serie è intesa in senso puntuale.
L’aspetto interessante è che nella relazione precedente noi siamo liberi di rendere f0 piccolo quanto
vogliamo, poiché l’unico vincolo è dato da
T > D,
cioè f0 <
1
.
D
Di conseguenza
u(t) = lim f0
f0 ↓0
X
v(nf0 ).
(5.20)
n∈Z
e, grazie al Teorema 5.5 si può dimostrare che quest’ultimo limite è proprio l’integrale di v esteso
a tutto R. Tenendo conto di come è stato definito v otteniamo
Z +∞
û(f )e2πi f t df.
u(t) =
−∞
Questa formula è la formula fondamentale della teoria della trasformata di Fourier e prende il
nome di formula di inversione. Raccogliamo il risultato nel lemma seguente:
Lemma 5.6 Se u è un segnale continuo di durata finita e regolare a tratti, la funzione û definita
da (5.18) appartiene a L1 (R), e vale la formula di inversione
u(t) =
5.3
Z
û(f )e2πi f t df
∀ t ∈ R.
(5.21)
R
Trasformata di Fourier
A questo punto si tratta di studiare sistematicamente le proprietà della trasformazione (5.18),
sia per conoscerne le caratteristiche più approfonditamente, sia per estendere il più possibile la
validità della (5.21).
5-5
5. TRASFORMATA DI FOURIER
Definizione 5.7 (Trasformata di Fourier) La trasformata di Fourier û = F [u] di un segnale
u ∈ L1 (R) è definita da
Z
û(f ) :=
u(t)e−2πi f t dt, ∀ f ∈ R.
(5.22)
R
La trasformata coniugata ǔ = F [u] è definita da
Z
ǔ(f ) :=
u(t)e2πi f t dt,
∀ f ∈ R.
(5.23)
R
Gli integrali di (5.22) e (5.23) sono intesi nel senso del valor principale della definizione 5.2.
Un segnale u si dice F -trasformabile se l’integrale (5.22) esiste per ogni valore della frequenza
f.
Useremo spesso la notazione (molto imprecisa ma comoda)
F
F −1
u(t) −→ û(f ),
û(f ) −→ u(t)
(5.24)
per indicare la trasformata di Fourier e la sua inversa.
I teoremi fondamentali
Quando il segnale u è assolutamente integrabile la sua trasformata è continua, limitata e infinitesima all’infinito:
Teorema 5.8 (Riemann-Lebesgue: trasformata di segnali assolutamente integrabili) Se
u ∈ L1 (R) è un segnale assolutamente integrabile allora u è F -trasformabile e
û è limitata, continua ed infinitesima per |f | ↑ +∞.
In particolare
max |û(f )| ≤
f ∈R
Osservazione
Z
(5.25)
+∞
|u(t)| dt.
(5.26)
−∞
Quando u non è assolutamente integrabile, l’uso del valor principale non risolve tutti i problemi: chi ci
assicura che il limite che lo definisce esiste?
È possibile dimostrare (ma si tratta di un Teorema molto difficile, forse uno dei Teoremi più difficili dimostrati
nel secolo scorso) che se u ha energia finita il valor principale esiste sempre, salvo al più per un certo numero
(purtroppo anche infinito...) di frequenze, che comunque non compromettono la possibilità di definire la
trasformata di Fourier e di applicare la formula di inversione. Per enunciare correttamente questo risultato
occorrerebbe aver sviluppato una teoria dell’integrazione più raffinata; lavorando con segnali regolari a tratti
e supponendo (come sempre accade negli esempi di calcolo) che la formula (5.22), intesa nel senso del valor
principale, sia ben definita salvo un numero finito di frequenze, è possibile evitare tutte queste questioni più
delicate.
Il risultato più importante, che abbiamo parzialmente anticipato nel lemma 5.6, permette di
ricostruire il segnale u a partire dalla sua trasformata di Fourier mediante l’applicazione della
trasformata coniugata: si parla di Teorema di Inversione della trasformata di Fourier.
5-6
5. TRASFORMATA DI FOURIER
Teorema 5.9 (Inversione) Se u ∈ L2 (R) è un segnale regolare a tratti allora la sua trasformata
di Fourier è F -trasformabile e
u− (t) + u+ (t)
= v.p.
2
Z
+∞
û(f )e2πi f t df = lim
F ↑+∞
−∞
Z
+F
û(f )e2πi f t df.
(5.27)
−F
In particolare, se u è continuo si ha
u(t) = F [û](t) =
Z
+∞
û(f )e2πi f t df.
(5.28)
−∞
Corollario 5.10 (Iniettività della trasformata di Fourier) Se due segnali hanno la medesima trasformata di Fourier allora coincidono.
Questi risultati meritano qualche commento:
Commento
Con linguaggio un po’ immaginifico, potremmo dire che la formula (5.28) è una formula di sintesi: cioè
permette di esprimere un segnale come “sovrapposizione” di un continuo di armoniche elementari. Corrispondentemente, la definizione stessa di Trasformata di Fourier è uno strumento di analisi, poiché permette
di determinare l’ampiezza (complessa) di ciascuna armonica in cui il segnale stesso è decomposto.
Il teorema di Iniettività mostra che vi è un’unica sintesi possibile. Se pensiamo che le armoniche in gioco
hanno la potenza del continuo, questo risultato è tutt’altro che intuitivo....
Commento
Da un punto di vista più matematico, invece, il Teorema di inversione dice sostanzialmente che la trasformata
inversa coincide con la trasformata coniugata, cioè
F −1 = F¯,
F¯ ◦ F [u] = u.
(5.29)
In altre parole la notizia (sorprendente) è che la sintesi di un segnale a partire dalla sua analisi in frequenza
(cioè dalla sua trasformata), che a priori potrebbe coinvolgere un procedimento molto differente dalla analisi
stessa, avviene invece con un’operazione che è una piccolissima variante dell’analisi, appunto la trasformata
coniugata.
Nota
Tenendo conto del commento precedente, il Teorema di Riemann-Lebesgue fornisce un risultato “negativo”
che giustifica ancor di più l’importanza di usare il valor principale. Più precisamente, esso mostra che se un
segnale u non è continuo, la sua trasformata û non può essere assolutamente integrabile (in caso contrario,
essendo u la trasformata coniugata di û, u sarebbe continuo...). Di conseguenza, quando u non è continuo,
nella formula di inversione (5.27) l’uso del valor principale è necessario per dare senso all’integrale e quindi
alla formula stessa.
In altre parole: senza valor principale per i segnali discontinui non vi sarebbe la formula di inversione (e
quindi la trasformata di Fourier perderebbe molto del suo interesse).
Teorema 5.11 (Formula di Plancherel) Se u, v ∈ L2 (R) sono segnali di energia finita,
allora anche û, v̂ ∈ L2 (R) lo sono e
Z
Z
E[u] =
|u(t)|2 dt =
|û(f )|2 df = E[û]
(5.30)
R
R
Z +∞
Z +∞
û(f )v̂(f ) df = (û|v̂) .
(5.31)
u(t)v(t) dt =
(u|v) =
−∞
−∞
Proprietà elementari
Trasformata, trasformata coniugata e dualità
ǔ(f ) = û(−f ),
F [u] = F [ū].
5-7
5. TRASFORMATA DI FOURIER
Quest’ultima proprietà giustifica il nome di trasformata coniugata. Tenendo conto del
Teorema di Inversione, questo risultato si può anche enunciare espressivamente cosı̀:
F
se u(t) −→ û(f )
allora
F
û(t) −→ u(−f ).
(5.32)
Dal punto di vista pratico: ogni riga di una tabella di trasformate può essere utilizzata per
il relativo calcolo anche da “destra” verso “sinistra”, semplicemente sostituendo t al posto
di f nella colonna di destra e −f al posto di t nella colonna di sinistra.
Segnali reali
Se u è reale allora û è Hermitiano, cioè
û(−f ) = û(f ).
(5.33)
Significato di û(0)
û(0) =
Z
+∞
u(t) dt
è semplicemente l’integrale di u.
(5.34)
−∞
Cambiamenti di scala Se λ 6= 0 è un fattore di cambiamento di scala e v(t) := u(t/λ), allora
v̂(f ) = |λ|û(λf ).
Più direttamente
se
F
u(t) −→ û(f )
allora
F
u(t/λ) −→ |λ|û(λf )
(5.35)
Parità e disparità
Se u è pari
Se u è dispari
(cioè u(−t) = u(t))
allora
û è pari
û(−f ) = û(f );
(cioè u(−t) = −u(t))
allora
û è dispari
û(−f ) = −û(f ).
In particolare
Se u è reale pari allora û è reale pari
Se u è reale dispari allora û è puramente immaginaria e dispari .
Ritardi Dato un segnale u e un ritardo τ , indichiamo con Sτ [u] il corrispondente segnale ritardato
di τ
Sτ [u](t) := u(t − τ ).
La trasformata di Fourier di v := Sτ [u] risulta modulata per un esponenziale complesso di
frequenza pari a τ
v̂(f ) = e−2πi τ f û(f ).
(5.36)
Più direttamente
se
F
u(t) −→ û(f )
F
u(t − τ ) −→ e−2πi τ f û(f ).
allora
(5.37)
Modulazione Modulare un segnale u significa moltiplicarlo per un segnale esponenziale del tipo
e2πiαt , α ∈ R. Posto quindi
v(t) := e2πiαt u(t)
si ha
v̂(f ) = û(f − α) = Sα [û](f ).
o, direttamente,
se
F
u(t) −→ û(f )
allora
F
e2πiαt u(t) −→ û(f − α).
Da questa formula si deduce facilmente che
i
1h
û(f − α) + û(f + α) ,
2
i
1h
F
û(f − α) − û(f + α) .
sin(2π αt)u(t) −→
2i
F
cos(2π αt)u(t) −→
(5.38)
5-8
5. TRASFORMATA DI FOURIER
Derivazione Se u ∈ L2 (R) è regolare a tratti e u′ ∈ L2 (R), allora
F [u′ ](f ) = 2πif F [u]
cioè
d
F
u(t) −→ 2πif û(f )
dt
(5.39)
Se u e il segnale tu(t) appartengono a L2 (R), allora F [u] è derivabile (di classe C 1 (R) se u′
è assolutamente integrabile) e
d
û(f ) = F [−2πit u](f )
df
cioè
F
− 2πit u(t) −→
d
û(f ).
df
(5.40)
Serie e trasformata di Fourier Ripetiamo quanto abbiamo già presentato nella lezione precedente circa il rapporto tra serie e trasformata di Fourier. Supponiamo
che v ∈ B(−∞, +∞) sia un segnale di durata limitata, che sia nullo al di fuori di
un intervallo (t0 , t0 + T )
e consideriamo il segnale T -periodico
u definito prolungando per periodicità v al di fuori di quest’intervallo.
Nel caso dell intervallo simmetrico (−T /2, T /2) si ha v(t) = u(t) rect(t/T ).
I coefficienti di Fourier di u si ottengono dalla trasformata v̂ campionata a passo f0 := T1 :
in formule
ûk := f0 v̂(kf0 ) = T1 v̂( Tk )
(5.41)
Qualche osservazione conclusiva...
Frequenza e pulsazione In molti testi, soprattutto matematici, si trova la definizione di trasformata di Fourier (che indicheremo con Û (ω) per distinguerla dalla precedente) in termini di
pulsazione ω anziché di frequenza:
Z +∞
u(t)e−iωt dt.
(5.42)
Û (ω) :=
−∞
Ciò semplifica la scrittura di alcune formule poiché apparentemente scompare il fattore 2π.
D’altra parte con questa definizione l’antitrasformata non coincide più con la trasformata coniugata, ma fa comparire 2π a quoziente davanti all’integrale (il principio di conservazione delle
difficoltà, anche quelle puramente notazionali...): infatti la formula di inversione diventa
Z +∞
1
u(t) =
Û (ω)eiωt dω.
(5.43)
2π −∞
Anche il Teorema di Plancherel risulta leggeremte modificato:
Z
Z
1
1
E[u] =
|u(t)|2 dt =
|Û (ω)|2 dω =
E[Û ].
2π
2π
R
R
(5.44)
In ogni caso è semplice passare da una definizione di trasformata all’altra, tenendo conto che
ω = 2πf ; si ha quindi
û(f ) = Û (2πf ), Û (ω) = û(ω/2π).
(5.45)
Naturalmente tutte le formule relative alle proprietà elementari cambiano di conseguenza; per
evitare di confondersi, è opportuno scegliere uno o l’altro tipo di definizione e memorizzare le
relative formule in uno solo dei due sistemi, eventualmente convertendo solo alla fine il risultato
nella forma richiesta.
5-9
5. TRASFORMATA DI FOURIER
Trasformate hermitiane Si è visto in (5.33) che quando il segnale u è reale la sua trasformata
û è Hermitiana, cioè û(−f ) = û(f ); questa proprietà permette un’interpretazione interessante del
numero complesso û(f ). Partendo dalla formula di inversione, si ha
Z +∞
Z 0
Z +∞
2πi tf
2πi tf
û(f )e2πi tf df
û(f )e
df +
û(f )e
df =
u(t) =
=
=
Z
Z
0
−∞
−∞
+∞
+∞
û(f )e2πi tf
+∞
û(f )e2πi tf df
Z +∞
Re û(f )e2πi tf df.
+ û(f )e2πi tf df = 2
û(−f )e−2πi tf df +
0
Z
0
0
0
Se ora poniamo û(f ) in forma trigonometrico/esponenziale
2û(f ) = ρ(f )eiθ(f ) ,
ρ(f ) ∈ [0, +∞),
θ(f ) ∈] − π, π]
si ottiene la sintesi di u in armoniche di cui è evidente l’ampiezza ρ(f ) e la fase θ(f )
Z +∞
ρ(f ) cos(2πtf + θ(f )) df.
u(t) = 2
0
Il numero complesso û(f ) porta quindi con sé entrambe le informazioni.
Analogamente, sempre nel caso dei segnali reali, è facile verificare che se la trasformata di Fourier
di u si decompone in parte reale e parte immaginaria a(f ) + ib(f ) si ha
u(t) + u(−t) F
−→ a(f ),
2
u(t) − u(−t) F
−→ ib(f )
2
(5.46)
Regolarità e annullamento all’infinito iterando le formule (5.39) e (5.40) si ottiene facilmente
dk
F
u(t) −→ (2πif )k û(f )
dtk
F
(−2πit)k u(t) −→
dk
û(f )
df k
(5.47)
(5.48)
In particolare, da (5.47) segue che
se u ha k derivate assolutamente integrabili allora û(f ) = o(1/|f |k ) per |f | → ∞, cioè
û(f ) si annulla più velocemente di 1/|f |k “per frequenze grandi”.
Analogamente, da (5.48) si ottiene che
se u = O(1/|t|k+1 ) per |t| → ∞ allora û(f ) è derivabile fino all’ordine k.
Dunque, si può dire un po’ grossolanamente che
la trasformata di Fourier scambia regolarità con velocità di annullamento all’infinito.
Il caso estremo è descritto con precisione dal Teorema di Paley-Wiener, di cui diamo una prima
versione molto semplificata.
Teorema 5.12 (Paley-Wiener (I)) Se un segnale u ha durata limitata la sua trasformata di
Fourier û(f ) è di classe C ∞ .