C.14 Integrali impropri

C.14
Integrali impropri
Pag. 375 ←− Esempio di funzione integrabile ma non assolutamente
integrabile
Vogliamo verificare che
Z +∞
sin x
dx
x
1
converge, ma
+∞
Z
+∞
1
sin x x dx diverge.
sin x
dx converge. Integriamo per parti su ogni
x
intervallo [1, a] con a > 1, ponendo f (x) = x1 e g 0 (x) = sin x; in tal modo si ha
f 0 (x) = − x12 e g(x) = − cos x. Pertanto
Z a
Z a
cos x
cos x a
sin x
−
dx = −
dx ;
x
x
x2
1
1
1
Verifichiamo dapprima che
Z
1
l’ultimo integrale converge per quanto visto nell’Esempio 10.8. Dunque la funzione
sin x
risulta integrabile in senso improprio su [1, +∞).
x
sin x
Dimostriamo ora che
non è assolutamente integrabile su [1, +∞). Infatti,
x
poiché, per ogni x, | sin x| ≤ 1, si ha
sin x sin2 x
1 1 − cos 2x
.
x ≥ x = 2
x
Z +∞
1 − cos 2x
Mostreremo che l’integrale
dx diverge e quindi per il Criterio del
x
1
Z +∞ sin x confronto (Teorema 10.5) anche l’integrale
x dx diverge. Infatti si ha
1
Z +∞
Z +∞
Z +∞
1 − cos 2x
1
cos 2x
dx =
dx −
dx .
x
x
x
1
1
1
2
C.14 Integrali impropri
Il primo integrale diverge, mentre con un procedimento analogo
Z +∞a quello usato
1 − cos 2x
dx
sopra si verifica che il secondo integrale converge. Dunque
x
1
sin x
diverge e la funzione
non è assolutamente integrabile.
2
x
Pag. 375 ←− Dimostrazione del Teorema 10.10
Teorema 10.10 (Criterio del confronto asintotico) Sia f ∈ Rloc ([a, +∞)).
Supponiamo che f abbia ordine di infinitesimo α per x → +∞ rispetto all’infini1
tesimo campione ϕ(x) = .
x
i) Se α > 1, allora f ∈ R([a, +∞));
Z +∞
ii) se α ≤ 1, allora
f (x) dx diverge.
a
Dimostrazione. Poiché f (x) ∼ x1α per x → +∞, possiamo supporre che la
funzione f sia di segno costante per x sufficientemente grande, ad esempio per
x > A > 0. Non è restrittivo supporre f strettamente positiva, altrimenti operiamo
un cambiamento di segno. Inoltre, per x → +∞,
f (x) ∼
1
xα
⇒
f (x) = O
1 xα
e
1
= O f (x) ,
xα
ovvero esistono due costanti c1 , c2 positive tali che
c1
c2
≤ f (x) ≤ α ,
α
x
x
∀x > A .
È allora sufficiente applicare il Criterio del confronto (Teorema 10.5), usando i
risultati dell’Esempio 10.4, per ottenere la tesi.
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