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Teorema fondamentale del calcolo integrale
Luca Lussardi Appunti di Analisi I Teorema fondamentale del calcolo integrale Il Teorema fondamentale del calcolo integrale fornisce lo strumento essenziale per il calcolo effettivo di integrali; inoltre esso rappresenta il raccordo tra calcolo delle derivate e calcolo integrale, mostrando che sono uno l’inverso dell’altro. Per questi motivi il Teorema fondamentale del calcolo integrale rappresenta il risultato fondamentale dell’intero calcolo infinitesimale in una variabile reale. Proprietà elementari dell’integrale di Riemann Siano f, g : [a, b] → R due funzioni limitate e integrabili secondo Riemann su [a, b], con a, b reali, e sia c ∈ R; allora valgono le proprietà: 1) f + g è integrabile e si ha Z b Z (f (x) + g(x)) dx = a b Z f (x) dx + a b g(x) dx. a 2) cf è integrabile e si ha b Z b Z (cf (x)) dx = c a f (x) dx. a 3) Se f ≤ g si ha b Z Z f (x) dx ≤ a b g(x) dx. a 4) Per ogni d ∈ (a, b) si ha Z b d Z f (x) dx = a Z f (x) dx + a b f (x) dx. d 5) |f | è integrabile e si ha Z Z b b f (x) dx ≤ |f (x)| dx. a a Il Teorema della media Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile secondo Riemann; il numero reale www.matematicamente.it 1 b−a b Z f (x) dx a 1 Luca Lussardi Appunti di Analisi I si chiama media integrale di f su [a, b]; se f è continua su tutto [a, b] allora esiste x̄ ∈ [a, b] tale per cui si abbia Z b 1 f (x̄) = f (x)dx. b−a a Il Teorema fondamentale del calcolo integrale Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile secondo Riemann. Per c, x ∈ [a, b] sia A : [a, b] → R la funzione integrale definita come Z x A(x) = f (t) dt. c Teorema (fondamentale del calcolo integrale): Se f è continua in x allora A è derivabile in x e si ha A0 (x) = f (x). Dimostrazione. Per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale per cui se y ∈ (x−δ, x+δ) allora |f (y)−f (x)| < ε, ovvero f (x) − ε < f (y) < f (x) + ε. Ma allora se y ∈ (x, x + δ) si ha Z y 1 f (t) dt < f (x) + ε f (x) − ε < y−x x mentre se y ∈ (x − δ, x) si ha f (x) − ε < x 1 x−y Z 1 y−x Z f (t) dt < f (x) + ε. y In ogni caso dunque si ha f (x) − ε < y f (t) dt < f (x) + ε x e dunque 1 A(y) − A(x) = y−x y−x da cui Z y f (t) dt x A(y) − A(x) − f (x) < ε y−x che conclude la dimostrazione. Applicando il Teorema fondamentale del calcolo integrale si ha facilmente la formula che consente il calcolo di un integrale: Z b f (x) dx = F (b) − F (a) a dove F : [a, b] → R è una qualunque funzione derivabile con F 0 = f , ovvero una primitiva di f . 2 Esempio: Sia f (x) = x − 3x2 ; dal momento che la funzione F (x) = x2 − x3 è una primitiva di f si ha Z 1 1 1 f (x) dx = F (1) − F (0) = − 1 = − . 2 2 0 www.matematicamente.it 2 Luca Lussardi Appunti di Analisi I Qualche formula di integrazione I seguenti due risultati sono spesso utili per il calcolo di integrali. Integrazione per sostituzione: Siano f : [a, b] → R una funzione continua e φ : [α, β] → R una funzione derivabile con derivata continua tale per cui Im(φ) ⊆ [a, b]. Allora si ha Z φ(β) Z β f (φ(t))φ0 (t) dt. f (x) dx = φ(α) α Esempio: Sia da calcolare 2 Z ex 1 1 dx. +1 Ponendo x = log t si trova 2 e2 1 1 − dt t t+1 1 1 e e+1 2 2 . = log(e ) − log e − log(e + 1) + log(e + 1) = 1 + log e2 + 1 Z 1 dx = ex + 1 Z ee 2 1 dt = t(t + 1) Z Integrazione per parti: Siano f, g : [a, b] → R due funzioni continue e F, G : [α, β] → R due primitive di f e g rispettivamente; allora si ha Z b Z F (x)g(x) dx = F (b)G(b) − F (a)G(a) − a b G(x)f (x) dx. a Esempio: Sia da calcolare Z 2 log x dx. 1 Procedendo per parti si pone F (x) = log x e g(x) = 1; allora si ha Z 2 Z log x dx = 2 log 2 − 1 dx = 2 log 2 − 1. 1 www.matematicamente.it 3 2