Serie numeriche

Serie numeriche
analisi per l’università
definizioni
Data la successione
si considerino le somme parziali
si dice serie di termine generale
e si indica con
cioè:
oppure con
carattere della serie
se S è finito
•
altrimenti
•
•
se
Se
se
assegnate
converge
converge
e
si dice convergente
la serie
è indeterminata
la serie
si dice divergente
prime proprietà
converge
se
la serie
condizione necessaria ma non sufficiente per la
convergenza di una serie è che il termine generico sia
infinitesimo
e
e
convergenza del prodotto di una costante per una serie
converge convergenza della somma di due serie
convergono
serie notevoli
simbologia
carattere
divergente
divergente
convergente
irregolare
convergente
divergente
...
irregolare
nome
serie armonica
serie armonica
generalizzata
serie geometrica
di ragione
convergente
serie geometrica di
punto iniziale e
ragione
convergente
serie di Mengoli
divergente
v 2.1
(positivamente o negativamente)
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Serie numeriche
analisi per l’università
Criteri di convergenza
criterio del confronto per serie a termini non negativi
Date le successioni
•
e
se
sia:
converge
se
converge
diverge
diverge
criterio del confronto mediante i limiti per serie a termini non negativi
Date le successioni
•
•
e
,
se
sia:
se
e
se
le serie
e
sono entrambe
convergenti oppure divergenti
e
converge
converge
diverge
criterio degli infinitesimi per serie a termini non negativi
Data la successione
sia:
•
con
•
converge
se
se
diverge
e
se
converge
e
criterio della radice o di Cauchy per serie a termini positivi
Data la successione
•
•
se
sia:
con
diverge
converge
se
,
diverge
diverge
se
non si può dire nulla
può essere utile in caso di serie con esponenziali
criterio del rapporto o di D’Alembert per serie a termini positivi
Data la successione
•
•
se
sia:
con
,
converge
se
può essere utile in caso di serie con fattoriali
diverge
se
non si può dire nulla
criterio di Leibnitz per serie con termini a segno alterno decrescente
Data la successione
Data la serie alternante
Data la serie
v 2.1
sia:
e la serie
•
•
se
converge
se
criterio di convergenza assoluta
se
converge
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converge
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