serie numeriche - Paola Gervasio

SERIE NUMERICHE
c
Paola
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1
Serie numerica
Definizione. Sia ak : N → R una successione definita per k ≥ k0 .
∞
X
La sommatoria (di infiniti addendi)
ak è detta serie di
k=k0
termine generale ak .
Oss 1.
∞
X
ak è la somma di tutti gli elementi ak della successione.
k=k0
Oss 2. Assegnata la successione ak si vuole capire se la somma di
∞
X
ak è un valore finito, o un valore
tutti i suoi infiniti addendi
k=k0
infinito, o un valore indeterminato.
∞
1 X1
1 1 1 1 1 1
.
= 1 + + + + + + + ...
k
k
2 3 4 5 6 7
k=1
La somma di tutti gli addendi è un valore finito o infinito?
Esempio. ak =
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2
Somme parziali
∞
X
1
2k
k=0
∞
X
k=0
ak
=
1
1
1
1
1
+ + 2 + . . . + n−1 + n + . . . . . .
0
2
2 2
2
2
= a0 +a1 +a2 + . . . +an−1 +an + . . . . . .
|{z}
s
| 0 {z }
s
| 1 {z
}
s2
{z
}
|
..
. {z
|
}
sn−1
|
|
c
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{z
}
sn
{z
lim sn =
n→∞
∞
X
ak
}
k=0
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3
Somma delle ridotte
La succ. ak con k ≥ k0 è nota (prendiamo per ora k0 = 0) e
costruiamo una nuova successione sn detta successione delle
somme parziali o delle ridotte:
s0
s1
s2
...
sn
= a0
= a0 + a1
= a0 + a1 + a2
= ...
= a0 + . . . + an =
n
X
ak
k=0
... = ...
Osserviamo che sn = sn−1 + an , infatti:
sn =
n
X
ak =
k=0
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n−1
X
ak +an = sn−1 + an
k=0
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4
Analisi del comportamento della serie
Data ak , abbiamo costruito la successione delle ridotte sn =
n
X
ak
k=k0
(k0 è il primo naturale per cui è definita la successione ak ) e
osserviamo che
∞
X
ak = lim
k=k0
n→∞
n
X
ak = lim sn
n→∞
k=k0
| {z }
sn
cioè
∞
X
ak = lim sn
n→∞
k=k0
Quindi, per studiare una serie dobbiamo studiare la successione
delle somme parziali sn .
c
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5
Caratterizzazione di una serie
Def. Data {ak }k≥k0 e sn =
n
X
ak ,
k=k0
- se esiste lim sn = s ∈ R, si dice che la serie
n→∞
il valore reale s =
∞
X
∞
X
ak converge e
k=k0
ak è detto somma della serie
k=k0
- se esiste lim sn = ∞, si dice che la serie
n→∞
- se NON esiste lim sn , si dice che la serie
n→∞
∞
X
k=k0
∞
X
ak diverge
ak è indeterminata
k=k0
Oss. L’obiettivo principale sarà quello di stabilire il comportamento
della serie. Qualora la serie converga, solo in pochi casi si riesce a
precisare il valore della somma s.
c
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6
1
an = ,
n
sn =
n
X
1
k
k=1
La successione a
La successione s
n
n
4
4
3.5
3.5
3
3
2.5
2.5
2
2
s7
6
7
s
8
s9
s10
6
s
s
s3
s
5
4
s2
1.5
1.5
a1
s1
1
1
a2
0.5
0
0
1
2
a3
a
a5
a6
a7
a8
a
3
4
5
6
7
8
9
4
9
a10
10
0.5
0
0
1
2
n
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3
4
5
8
9
10
n
s10 = a1 + . . . + a10
10
X
ak
=
k=1
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7
Esempio. ak =
1
, per k ≥ 1. Abbiamo:
k
s1 = a 1 = 1
s2 = s1 + a2 = 1 + 1/2 = 3/2
s3 = s2 + a3 = 3/2 + 1/3 = 11/6
s4 = s3 + a4 = 11/6 + 1/4 = 25/12
... = ...
sn = sn−1 + an = a1 + . . . + an =
n
X
k=1
n
X
1
ak =
k
k=1
∞
X
1
è detta serie armonica, dimostreremo che diverge.
k
k=1
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8
n
X
1
sn =
2k
1
an = n ,
2
k=1
La successione an
La successione sn
1.2
1.2
s3
1
1
0.8
s4
s
4
5
5
s6
s
s8
s9
6
7
8
9
7
s
10
s2
0.8
a
s
1
0.6
1
0.6
a
2
0.4
0.4
a
3
a4
0.2
0
0
1
2
3
4
a5
a
a7
a
a9
6
7
8
9
6
5
8
a10
10
0.2
0
0
1
2
n
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3
10
n
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9
Esempio. ak =
1
, per k ≥ 0. Abbiamo:
2k
s0 = a 0 = 1
s1 = s0 + a1 = 1 + 1/2 = 3/2
s2 = s1 + a2 = 3/2 + 1/4 = 7/4
s3 = s2 + a3 = 7/4 + 1/8 = 15/8
... = ...
sn = sn−1 + an = a0 + . . . + an =
n
X
k=0
ak =
n
X
1
2k
k=0
∞
X
1
è un esempio di serie geometrica, dimostreremo che questa
2k
k=0
particolare serie converge.
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10
Esempi di serie convergenti, divergenti, indeterminate
∞
X
1
è convergente e s = 2 ( serie geometrica, qualche
2k
Esempio 1.
k=0
pagina più avanti).
Esempio 2.
∞
X
k è divergente. In particolare si ha
k=0
sn =
n
X
k=
k=0
n(n + 1)
e lim sn = ∞.
n→∞
2
(dimostrare con il principio di induzione che
n
X
k=0
intuı̀ questa formula all’età di 10 anni...)
Esempio 3.
∞
X
k=
n(n + 1)
, Gauss
2
(−1)k è indeterminata. Si ha
k=0
sn =
1
0
se n è pari
se n è dispari
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Quindi 6 ∃ lim sn .
n→∞
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11
Proposizione. Il comportamento di una serie non cambia se si
aggiunge o toglie o modifica un numero finito di termini.
Osservazione. Se la serie è convergente e si aggiunge (o toglie o
modifica) un numero finito di termini, cambia la somma della serie.
Esempio
∞
∞
X
X
1
1
=
− a0 = 2 − 1 = 1
k
2
2k
k=1
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k=0
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12
SERIE TELESCOPICHE
Definizione
∞
X
ak si dice telescopica se esiste una successione bk
Una serie
k=k0
tale che
ak = bk+1 − bk .
In tal caso si ha:
sn =
n
X
k=k0
ak = (bk0 +1 − bk0 ) + (bk0 +2 − bk0 +1 ) + · · · + (bn+1 − bn )
= bn+1 − bk0
e
∞
X
ak = lim sn =
n→∞
k=k0
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lim bn+1 − bk0
n→∞
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13
La serie di Mengoli
∞
X
k=1
1
(k + 1)k
1
1
1
ak =
= −
=
(k + 1)k
k
k +1
1
1
− −
−
k +1
k
| {z } | {z }
bk+1
bk
∞
X
1
ak = lim (bn+1 − b1 ) = lim −
+1=1
n→∞
n→∞
n+1
k=1
La serie di Mengoli è convergente e la sua somma è 1
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14
Un altro esempio di serie telescopica
∞
X
k=1
∞
X
log 1 +
k=1
1
k
=
∞
X
log
k=1
1
log 1 +
k
k +1
k
=
∞
X
k=1
Quindi:
∞
X
k=1
1
log 1 +
k




log(k + 1) − log k 
| {z } | {z}
bk+1
bk
= lim (bn+1 − b1 ) =
n→∞
= lim log(n + 1) − log 1 = +∞
n→∞
La serie diverge.
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15
Condizione necessaria per le serie convergenti
Prop. Sia
∞
X
ak una serie convergente. Allora lim ak = 0.
k→∞
k=k0
Dim. Sia s = lim sn = lim
n→∞
n→∞
n
X
ak . Per definizione di somma
k=k0
parziale sk , si ha sk = sk−1 + ak , ovvero ak = sk − sk−1 . Calcolo
lim ak = lim (sk − sk−1 ) = s − s = 0.
k→∞
k→∞
Osservazione. Attenzione, ilviceversa
NON è vero.
∞
X
1
.
Si consideri la serie
log 1 +
k
k=1
1
1
ak = log 1 +
.
lim log 1 +
= 0 eppure abbiamo visto
k→∞
k
k
∞
X
ak è divergente.
che
k=1
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16
Teorema di linearità.
Siano
∞
X
k=k0
ak e
∞
X
k=k0
∞
X
bk due serie e α, β ∈ R. Allora
(αak + βbk ) = α
k=k0
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∞
X
ak + β
k=k0
Serie numeriche
∞
X
bk
k=k0
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17
La serie geometrica
Proposizione Sia q ∈ R fissato. Si ha:

1


∞
 converge a
X
1
−
q
qk =
diverge
a
+
∞


k=0
 è indeterminata
se |q| < 1
se q ≥ 1
se q ≤ −1
Dim. Se q 6= 1 vale l’identità
1 + q + q2 + . . . + qn =
|q| < 1. sn =
n
X
1 − q n+1
.
1−q
qk = 1 + q + q2 + . . . + qn =
k=0
1 − q n+1
1−q
1
1 − q n+1
=
n→∞ 1 − q
1−q
lim sn = lim
n→∞
(ricordo che
qn
è la succ. geometrica e per |q| < 1 è infinitesima)
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18
q = 1. sn =
n
X
q k = 1 + 1 + 1 + . . . + 1 = (n + 1)
k=0
lim sn = lim (n + 1) = +∞
n→∞
n→∞
q > 1. Vale ancora
n
X
1 − q n+1
sn =
qk = 1 + q + q2 + . . . + qn =
1−q
k=0
n
Stavolta lim q = ∞ (succ. geometrica per q > 1 diverge) quindi
n→∞
1−∞
lim sn =
= +∞.
n→∞
1−q
1 − q n+1
q ≤ −1. 6 ∃ lim q n , quindi 6 ∃ lim
, ovvero la serie è
n→∞
n→∞ 1 − q
indeterminata.
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19
SERIE A TERMINI POSITIVI
Def. Una serie
∞
X
k=k0
ak si dice a termini positivi (t.p.) se ak ≥ 0,
∀k ≥ k0 .
Proposizione. Sia
∞
X
ak una serie a t.p.. Allora essa converge o
k=k0
diverge (non può essere indeterminata).
Dim. Abbiamo sn+1 =
n+1
X
k=k0
ak = sn + an+1 ≥ sn per ogni n ≥ k0 ,
poichè ak ≥ 0.
Allora la succ. sn è monotona crescente e per il teorema delle
successioni monotonone, sn converge oppure diverge.
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20
Criterio del confronto
∞
X
Siano
ak e
k=k0
∞
X
bk due serie a t.p. e sia
k=k0
0 ≤ a k ≤ bk
∀k ≥ k0 .
Allora:
1)
2)
se
se
∞
X
k=k0
∞
X
k=k0
bk converge ⇒
ak diverge ⇒
∞
X
k=k0
∞
X
ak converge e
∞
X
k=k0
ak ≤
∞
X
bk
k=k0
bk diverge.
k=k0
Dim. Basta applicare il teorema del confronto per successioni alle
n
n
X
X
successione delle ridotte: sn =
a k e tn =
bk .
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k=k0
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21
La serie armonica
∞
X
1
k
diverge
k=1
∞
∞
X
X
1
1
Dim. Voglio confrontare
con
log 1 +
e mostrare
k
k
k=1
k=1
che
1
1
log 1 +
∀k ≥ 1.
≤ ,
k
k
Applicando il criterio del confronto, risulterebbe quindi
X
∞
∞
X
1
1
≤
log 1 +
∞=
k
k
k=1
k=1
Considero la funzione f (x) = x − log(1 + x), studiandola risulta
f (x) ≥ 0, ∀x > −1. Ponendo ora x = 1/k, si ottiene
1
1
≥ log 1 +
, ovvero quanto cercato.
k
k
Quindi: la serie armonica diverge.
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22
∞
X
1
La serie
converge. La sua somma è s < 2.
k2
k=1
1
1
1
Dim. Per ogni k ≥ 2 vale 2 < 2
=
k
k −k
k(k − 1)
1
Applichiamo il criterio del confronto, prendendo ak = 2 e
k
1
bk = 2
. Si ha:
k −k
∞
X
1
k2
k=1
∞
∞
X
X
1
1
<
1
+
k2
k(k − 1)
k=2
k=2
∞
X
1
= 1 + 1,
=1+
(n + 1)n
=1+
n=1
ovvero la tesi.
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23
Criterio del confronto asintotico
Siano
∞
X
k=k0
ak e
∞
X
bk due serie a t.p., con bk > 0 ed esista
k=k0
ak
∈ (0, +∞). Allora:
k→∞ bk
∞
∞
X
X
ak conv ⇔
bk conv
ℓ = lim
k=k0
k=k0
Oss. L’ipotesi che ℓ ∈ (0, +∞) equivale a dire che le successioni ak
e bk sono equigrandi per k → ∞, cioè ak ∼ ℓbk per k → ∞.
Sotto questa ipotesi (ed il fatto che ak ≥ 0, bk > 0), il criterio
assicura che il comportamento delle rispettive serie coincide.
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24
Applicazione del criterio del confronto asintotico
Studiare il comportamento della serie
∞
X
(n + 1)
n=1
n2
.
(n + 1)
n
1
Per n → ∞,
∼ 2 = .
2
n
n
n
∞
X
1
Poiché
diverge (serie armonica), allora diverge anche
n
n=1
∞
X
(n + 1)
, per il criterio del confronto asintotico.
n2
n=1
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25
Criterio di condensazione di Cauchy
Sia
∞
X
ak una serie a t.p. e sia ak una succ. decrescente. Allora
k=k0
∞
X
k=k0
ak converge ⇔
∞
X
2k a2k converge
k=k0
Esempio. Si determini il comportamento della serie
∞
X
1
.
3/2
k
k=1
1
Il termine generale della serie è ak = 3/2 . La succ. ak è decr. e a
k
t.p..
Per il criterio di condensazione di Cauchy si ha:
∞
∞
X
X
1
1
converge ⇔
2k k 3/2 converge
3/2
k
(2 )
k=1
k=1
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26
Quindi studiamo la serie
∞
X
k=1
2k
1
(2k )3/2
.
∞
∞ X
X
2k
1
1 k
.
2 k 3/2 =
=
3/2 )k
1/2
(2
)
(2
2
k=1
k=1
k=1
√
Questa è una serie geometrica con q = 1/ 2. Poichè
∞
X
√
1
|q| = |1/ 2| < 1, la serie
2k k 3/2 converge.
(2 )
k=1
Per il criterio di condensazione di Cauchy, anche la serie data
∞
X
1
converge.
3/2
k
k=1
∞
X
k
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27
Serie armonica generalizzata
È la serie
∞
X
1
,
nλ
n=1
con λ ∈ R :
Dim.
se λ = 1. Si ha la serie armonica
converge
diverge
∞
X
1
n=1
dimostrato).
n
se λ > 1
se λ ≤ 1
, divergente (già
1
1
se λ < 1. < λ , quindi per il criterio del confronto, diverge
n
n
∞
X
1
anche
con λ < 1.
nλ
n=1
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28
... continua
se λ > 1. Per il criterio di condensazione di Cauchy
∞
∞
X
X
2n
1
converge
⇔
converge.
nλ
(2n )λ
n=1
n=1
∞
∞ n
X
X
2n
1−λ
Si ha
,
2
=
(2n )λ
n=1
n=1
questa è una serie geometrica con q = 21−λ . Poichè 1 − λ < 0, si
∞
X
2n
converge e per il
ha |q| = |21−λ | < 1, quindi la serie
(2n )λ
n=1
∞
X
1
(con λ > 1)
criterio di condensazione di Cauchy, anche
nλ
n=1
converge.
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29
3 esempi di serie Armonica generalizzata
La successione an =
1
nλ
La successione s n =
n
X
1
kλ
k=1
5
λ=1
λ=2
λ = 0.5
1
4
0.8
3
0.6
2
0.4
1
0.2
λ=1
λ=2
λ = 0.5
0
0
5
10
15
20
n
25
30
35
0
40 0
5
10
15
20
n
25
30
35
40
La successione sn delle ridotte converge per λ > 1 e diverge per
λ ≤ 1, pur essendo le successioni an tutte infinitesime.
Affinchè la successione delle ridotte converga (e quindi anche la
serie corrispondente), la successione an deve andare a zero
abbastanza velocemente per n → ∞, ovvero avere ordine di
infinitesimo maggiore di 1.
c
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30
Criterio del rapporto
Sia
∞
X
ak una serie a t. strett. p. e si supponga che
k=k0
ak+1
=ℓ∈R
k→∞ ak
∃ lim
Allora:
1)
2)
3)
se ℓ < 1 ⇒
se ℓ > 1 ⇒
∞
X
k=k0
∞
X
ak converge
ak diverge
k=k0
se ℓ = 1 ⇒ non si può concludere
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31
Esempi in cui ℓ = 1
Esempio 1.
∞
X
1
.
k
k=1
1
ak+1
k
ak = ,
ℓ = lim
= lim
= 1.
k→∞ ak
k→∞ k + 1
k
Avevamo già dimostrato che la serie armonica diverge
∞
X
1
Esempio 2.
.
k2
k=1
ak+1
k2
1
ℓ = lim
= lim
= 1.
ak = 2 ,
k→∞ ak
k→∞ (k + 1)2
k
Avevamo già dimostrato che questa serie converge.
c
Paola
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32
Esempio. Determinare il comportamento della serie
∞
X
k
.
5k
k=0
k
Il termine generale della serie è ak = k ,
5
ak+1
k + 1 5k
k +1
1
1
= lim k+1
=
lim
= <1
k→∞ ak
k→∞ 5
k
5 k→∞ k
5
lim
Per il criterio del rapporto, la serie data converge.
c
Paola
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33
Criterio della radice
Sia
∞
X
ak una serie a t.p. e si supponga che
k=k0
∃ lim
k→∞
√
k
ak = ℓ ∈ R
Allora:
1)
2)
3)
se ℓ < 1 ⇒
se ℓ > 1 ⇒
∞
X
k=k0
∞
X
ak converge
ak diverge
k=k0
se ℓ = 1 ⇒ non si può concludere
c
Paola
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34
Esempio. Determinare il comportamento della serie
∞
X
2k
.
kk
k=1
k
2
Il termine generale della serie è ak =
,
k
√
2
=0<1
lim k ak = lim
k→∞ k
k→∞
Per il criterio della radice, la serie data converge.
c
Paola
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35
Altre serie da ricordare
Siano α, β ∈ R
∞
X
n=2
∞
X
n=2
1
:
n(log n)β
1
:
α
n (log n)β
converge
diverge

 converge

diverge
c
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se β > 1
se β ≤ 1
se α = 1, β > 1
oppure se α > 1, ∀β
altrimenti
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36
SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNO
Sono serie del tipo
∞
X
k=k0
(−1)k b ,
| {z k}
con bk > 0, ∀k ≥ k0
ak
Criterio di Leibniz. Sia
∞
X
(−1)k bk una serie a termini alterni.
k=k0
Se
1) lim bk = 0 e
k→∞
2) bk è monotona decrescente,
∞
X
(−1)k bk è convergente.
allora
k=k0
Inoltre, denotando con s la somma della serie e con rn = |s − sn | il
resto n-simo della serie, vale
rn = |s − sn | ≤ bn+1
c
Paola
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∀n ≥ k0 .
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37
Esempio 1
∞
X
1
soddisfa le ipotesi del Criterio di Leibniz
k
k=1
(bk = 1/k), quindi converge.
La serie
(−1)k
La successione b
La successione s
n
n
1.5
0.5
1
0
0.5
−0.5
0
−1
−0.5
0
4
8
12
16
20
n
24
28
32
c
Paola
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36
40
−1.5
0
4
8
12
16
Serie numeriche
20
n
24
28
32
36
40
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38
Esempio 2
P∞
k
k=1 (−1) bk ,
con bk = 1/k se k è pari e bk = 1/k 2 se k è
dispari.
La successione bk è infinitesima, positiva, ma non monotona.
Non sono verificate tutte le ipotesi del Criterio di Leibniz. Non
posso concludere che la serie converge.
P
k
Dal grafico vediamo che la serie ∞
k=1 (−1) bk diverge.
La successione b
La successione s
n
n
1.5
1
0.5
1
0
0.5
−0.5
0
−1
−0.5
0
4
8
12
16
20
n
24
28
32
c
Paola
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36
40
−1.5
0
4
8
12
16
Serie numeriche
20
n
24
28
32
36
40
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39
Esempio di applicazione del criterio di Leibniz con calcolo
del residuo
Sia
X (−1)k
.
(2k + 1)!
k≥0
Dire se la serie è convergente e stimare il residuo r3 = |s − s3 |.
La serie è a segni alterni, si ha: bk = 1/(2k + 1)!, positiva,
infintesima e monotona decrescente.
Allora per il criterio di Leibniz la serie data converge e chiamiamo
con s il valore della somma.
Senza consocere il valore esatto di s posso dire che se approssimo
s con
1
1
1
s3 = 1 − + −
3! 5! 7!
commetto un errore
r3 = |s − s3 | < b4 =
c
Paola
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1
≃ 2.76 · 10−6
9!
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40
SERIE A TERMINI DI SEGNO QUALSIASI
Def. Si dice che la serie
convergente la serie
∞
X
k=k0
∞
X
ak converge assolutamente se è
k=k0
|ak |.
∞
X
1
(−1)k 2 converge assolutamente.
Esempio. La serie
k
k=1
∞
X
1
(−1)k converge, ma NON converge assolutamente.
La serie
k
k=1
Def. Se una serie
∞
X
ak converge, ma non converge
k=k0
assolutamente, si dice che essa converge semplicemente.
∞
X
1
(−1)k converge semplicemente.
k
k=1
c
Paola
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41
Criterio di convergenza assoluta
Se
∞
X
ak converge assolutamente, allora
k=k0
∞
X
ak converge e
k=k0
X
X
∞
∞
a
≤
|ak |.
k
k=k0 k=k0
Oss. Il viceversa non è vero, si veda
∞
X
k=1
∞
X
k=1
1
(−1)k .
k
1
(−1)k è detta serie armonica a segni alterni.
k
c
Paola
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42
Riferimenti bibliografici Canuto Tabacco: cap. 5.5
Esercizi: vedere
[email protected]/Analisi1/serie.pdf
[email protected]/Analisi1/esercizi3.pdf
calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/analisi2/materiale.html
c
Paola
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43