Serie numeriche

Serie numeriche
1
Definizioni e proprietà elementari
Sia {an } una successione, definita per ogni numero naturale n ≥ n0 . Per ogni n ≥ n0 ,
consideriamo la somma sn degli elementi della successione di posto da n0 a n
sn = an0 + an0 +1 + · · · + an =
n
X
ak .
k=n0
(Nel caso in cui n0 = 0 si tratta della somma dei primi n + 1 elementi della successione). Ad
sn si dà il nome di somma parziale n-sima. Al variare di n ∈ N, n ≥ n0 si ottiene una nuova
successione {sn }n≥n0 . Col simbolo
∞
X
an
n=n0
si intenderà la successione costituita dalle somme parziali {sn }.
Definizione 1.1 Si definisce 1 serie la successione {sn } delle somme parziali di una successione
{an } data.
La serie si dirà convergente al numero reale s se
lim sn = s;
n→+∞
si suole anche scrivere, in questo caso,
∞
X
an = s.
n=n0
La serie si dirà divergente positivamente se
lim sn = +∞;
n→+∞
si suole anche scrivere
∞
X
an = +∞.
n=n0
1
Lo studente dovrebbe rifuggire dall’affascinante tentazione di definire una serie come una somma infinita:
queste ultime non hanno significato.
2
analogamente la si dirà divergente negativamente se
lim sn = −∞;
n→+∞
si suole anche scrivere
∞
X
an = −∞.
n=n0
Le serie convergenti e quelle divergenti non esauriscono tutte le possibilità: esiste anche il
caso in cui la successione {sn } non ammette limite né finito né infinito; il caso in cui cioè essa
non è regolare. In questo caso la serie si dice indeterminata.
Nota 1.2 Per evitare di appesantire le notazioni, d’ora in poi, assumeremo sempre che n0 = 0, con la
convenzione che se la successione {an } è definita solo per n ≥ n0 , si pone an = 0 per n < n0 . Questa
convenzione, in concreto, ci permetterà di far partire una serie dal primo numero naturale utile.
Esempio 1.3 La serie di Mengoli: Consideriamo la serie
+∞
X
n=1
1
.
n(n + 1)
Un calcolo elementare mostra che
1
1
1
= −
.
n(n + 1)
n n+1
La somma parziale n-sima può essere allora scritta nel modo seguente:
1
1
1
+
+ ··· +
1·2 2·3
n(n + 1)
1
1
1 1 1 1 1
= 1 − + − + − + ··· + −
2 2 3 3 4
n n+1
1
= 1−
.
n+1
sn =
Cosicché
lim sn = lim
n→∞
n→∞
1−
1
n+1
= 1.
Esempio 1.4 La serie geometrica: Sia a un numero reale e consideriamo la serie
+∞
X
n=0
an
3
detta serie geometrica di ragione a. Si ha:
sn = 1 + a + a2 + · · · an
Moltiplicando quest’uguaglianza per a si ottiene:
asn = a + a2 + a3 + · · · an+1
Sottraendo la seconda dalla prima si ha:
(1 − a)sn = 1 − an+1
e, se a 6= 1,
sn =
1 − an+1
.
1−a
Se a > 1, limn→∞ an+1 = +∞ e quindi pure limn→∞ sn = +∞; la serie quindi diverge positiva1
mente. Se |a| < 1,limn→∞ an+1 = 0 e quindi pure limn→∞ sn = 1−a
; la serie quindi è convergente
1
e la sua somma è 1−a . Infine se a < −1, la successione sn non tende ad alcun limite. La serie
è, in questo caso, indeterminata.
Proposizione 1.5 Condizione necessaria perché la serie
+∞
X
an
n=0
converga è che sia
lim an = 0.
n→∞
Dimostrazione – Supponiamo la serie convergente e che la sua somma sia s. Allora, per
definizione, limn→∞ sn = s, dove {sn } é la successione delle somme parziali. Poiché sn − sn−1 =
an si ha:
lim an = lim sn − sn−1 = lim sn − lim sn−1 = s − s = 0
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Questa condizione non é tuttavia sufficiente, come si vedrà tra poco con un controesempio.
Nota 1.6 La condizione necessaria espressa dalla proposizione 1.5 costituisce un test preliminare
per la convergenza di una serie che lo studente dovrebbe sempre eseguire prima di procedere
alla verifica di altre (spesso ben più complicate) condizioni di convergenza. Ad esempio la serie
+∞
X
n=0
n
n+2
certo non converge essendo
lim
n→+∞ n
n
= 1.
+2
4
Teorema 1.7 (Criterio di Cauchy) Condizione necessaria e sufficiente perché la serie
+∞
X
an
n=0
converga è che, per ogni > 0 esista un n ∈ N tale che per ogni n > n e per ogni p ∈ N+ si
abbia
n+p
X
an < k=n+1
Dimostrazione – Si tratta di una semplice applicazione del Criterio di Cauchy per le successioni. La serie data infatti converge, per definizione, se, e soltanto se converge la successione {sn }
delle sue somme parziali. Perché questo accada, per il Criterio di Cauchy per le successioni, é
necessario e sufficiente che per ogni > 0 esista un n ∈ N tale che per ogni n, m > n ,
|sm − sn | < .
(1)
Possiamo supporre che m > n: si potrà perciò scrivere m = n + p per un certo p ∈ N+ . La
condizione necessaria e sufficiente espressa dalla (1) può perció essere riscritta nel modo seguente:
n+p
X
|sn+p − sn | = an < .
k=n+1
Esempio 1.8 La serie armonica: La serie
+∞
X
1
n
n=1
è detta serie armonica. Essendo
1
= 0,
n→+∞ n
la condizione necessaria della proposizione 1.5 è soddisfatta. Questa serie tuttavia non converge.
Per vederlo, consideriamo, per n, p ∈ N+ ,
lim
n+p
X
k=n+1
1
1
1
1
1
=
+
+ ···
≥p
.
k
n+1 n+2
n+p
n+p
Scelto p = n, si ha:
2n
X
1
1
≥ .
k
2
(2)
k=n+1
Se si sceglie ≤ 12 non sarà mai possibile trovare un n tale che per ogni p ∈ N+ risulti
Pn+p 1
n+1 k < ,perché, per la (2), quest’ultima disuguaglianza sarebbe violata dalla scelta di p = n
5
Definizione 1.9 Si dice che le serie
+∞
X
an
+∞
X
e
n=0
bn
n=0
hanno lo stesso carattere se sono entrambe convergenti o se sono entrambe divergenti (positivamente o negativamente) o se sono entrambe indeterminate.
È facile dimostrare che la relazione cosı̀ introdotta nell’ insieme delle serie è una relazione
d’equivalenza.
+∞
+∞
X
X
Se le serie
an e
bn hanno lo stesso carattere, scriveremo brevemente
n=0
n=0
+∞
X
an ≈
n=0
Proposizione 1.10
2
Siano
+∞
X
+∞
X
an e
n=0
+∞
X
bn .
n=0
bn due serie. Supponiamo che esista un n ∈ N tale
n=0
che an = bn per ogni n > n. Allora
+∞
X
an ≈
n=0
+∞
X
bn .
n=0
Dimostrazione – Poniamo
a=
n
X
an
eb=
0
n
X
bn .
0
Allora se con sn ed s0n indichiamo rispettivamente le somme parziali di
+∞
X
n=0
per n > n:
n
X
sn = a +
an e
+∞
X
bn si ha,
n=0
ak
k=n+1
e
s0n
=b+
n
X
k=n+1
bk = b +
n
X
ak = b − a + sn
k=n+1
e da quest’ultima uguaglianza si vede subito che le due serie o convergono entrambe (ma
non necessariamente alla stessa somma) o divergono entrambe o sono entrambe indeterminate.
2
Il succo di questa proposizione è che cambiando i primi n termini di una serie non se ne altera il carattere
(cioè il comportamento al limite).
6
Una facile conseguenza della proposizione precedente è il seguente
Corollario 1.11 Siano
+∞
X
n=0
an e
+∞
X
bn due serie. Supponiamo che esistano un k ∈ Z ed un
n=0
n ∈ N tali che per n > n, an = bn+k . Allora
+∞
X
an ≈
n=0
+∞
X
bn .
n=0
Dimostrazione – Se k = 0, si è esattamente nella situazione della proposizione 1.10.
Supponiamo k > 0 e definiamo una nuova serie il cui termine generale sia

se n ≤ n
 an
0
se n + 1 ≤ n ≤ n + k
a0n =

an−k se n > n + k
La serie
+∞
X
a0n
ha, evidentemente lo stesso carattere della serie
n=0
+∞
X
an , perché differisce
n=0
da quest’ultima solo per l’introduzione di k zeri (i quali certo non contribuiscono alle somme
parziali).
La serie
+∞
X
a0n
ha lo stesso carattere della
n=0
+∞
X
bn per la proposizione 1.10. Facendo uso della
n=0
transitività della relazione ≈, si completa la dimostrazione.
Si lascia come esercizio al lettore la dimostrazione del caso k < 0.
2
Criteri di convergenza
In considerazione del fatto che abbiamo già a nostra disposizione gli strumenti del calcolo
integrale, introduciamo una funzione che ci faciliterà lo studio della convergenza di una serie.
Definizione 2.1 Sia {an }n∈N una successione. Indichiamo con A(x) la funzione definita in
R+ ∪ {0} da
A(x) = an
n ≤ x < n + 1; n ∈ N.
Diremo che A(x) è la funzione associata alla successione {an }.
Per ogni N ∈ N, fissato, la funzione AN (x), restrizione di A(x) all’intervallo [0, N + 1] è una
funzione a scala. Si ha evidentemente:
7
Z
N +1
N +1
Z
A(x)dx = a0 + · · · + aN = sN .
AN (x)dx =
(3)
0
0
D’altra parte se y ≥ 0, ed N è il più grande intero che non supera y (cioè N = [y]), si ha:
Z y
A(x)dx = sN −1 + aN (y − N ).
(4)
0
Le equazioni (3) e (4) suggeriscono di studiare il comportamento della serie
dell’integrale improprio
R +∞
Supponiamo che la serie
0
+∞
X
+∞
X
an in termini
n=0
A(x)dx.
an sia convergente, allora, necessariamente
n=0
lim aN = 0.
N →+∞
Ricordando che y − N < 1 e che y → +∞ se, e solo se, N → +∞, si ha
Z y
lim
A(x)dx = lim sN .
y→+∞ 0
Quindi
R +∞
0
N →+∞
A(x)dx è convergente ed inoltre:
Z
+∞
A(x)dx =
0
avendo posto simbolicamente
+∞
X
an
n=0
+∞
X
an = lim sN .
N →+∞
n=0
R +∞
A(x)dx non garantisce
0
Viceversa, la convergenza di
la convergenza della serie, a causa della
presenza del termine aN (y − N ) sul quale non si ha, in generale, controllo. È chiaro, peró, che
se limN →+∞ aN = 0, allora la serie converge e
Z +∞
lim sN =
A(x)dx.
N →+∞
0
La precedente discussione si può riassumere nella seguente:
Proposizione 2.2 La serie
+∞
X
an
n=0
è convergente, se, e soltanto se,
lim aN = 0
N →+∞
e la funzione A(x) associata ad {an } ha integrale improprio convergente. In questo caso, il
valore dell’integrale improprio coincide con la somma della serie.
2.1
2.1
Serie a termini non negativi
8
Serie a termini non negativi
Definizione 2.3 La serie
+∞
X
an
n=0
è detta a termini non negativi se an ≥ 0 per ogni n ∈ N.
Nota 2.4 In forza della proposizione 1.10, tutto quanto diremo in questa sezione, resta valido,
con modifiche quasi evidenti, per le serie a termni definitivamente non negativi, quelle cioè per le
quali esiste un n ∈ N tali che per n > n, an ≥ 0. È un utile esercizio per lo studente volenteroso
il riformulare la proposizioni qui dimostrate per questo caso più generale.
Le serie a termini non negativi non possono essere indeterminate. Vale infatti il seguente
Teorema 2.5 Una serie
+∞
X
an
n=0
a termini non negativi o converge o diverge positivamente.
Dimostrazione – Sia {sn } la successione delle sommme parziali di
+∞
X
an . La successione {sn }
n=0
è non decrescente. Infatti
sn+1 = sn + an+1 ≥ sn
essendo an+1 ≥ 0.
Se la successione {sn } è limitata superiormente, allora la serie ha come somma l’estremo superiore
di tale successione. Se la successione {sn } non è limitata superiormente, allora necessariamente
lim sn = +∞.
n→+∞
La proposizione 2.2 si può riformulare nel caso di serie a termini non negativi.
Proposizione 2.6 Sia
+∞
X
an una serie a termini non negativi ad A(x) la funzione associata
n=0
ad {an }. Per ogni y ≥ 0 si ha
Z
sN −1 ≤
A(x)dx ≤ sN .
0
dove N = [y]. Quindi
y
(5)
2.1
Serie a termini non negativi
(a) La serie
+∞
X
9
an converge se, e soltanto se, converge l’integrale improprio
R +∞
0
A(x)dx
n=0
(b) La serie
+∞
X
an diverge
n=0
R +∞
improprio 0 A(x)dx
positivamente se, e soltanto se, diverge positivamente l’integrale
Dimostrazione – Notiamo innanzitutto che la (b) segue dalla (a) per esclusione (e viceversa),
visto che una serie a termini non negativi può solo convergere o divergere positivamente. L’abbiamo formulata solo per ragioni didattiche.
Proviamo la (a). Se la serie converge, applicando il teorema dei due carabinieri alla (5), si
ottiene che l’integrale improprio converge alla somma della serie.
Se converge l’integrale improprio, dalla prima parte della (5), segue che anche limN →+∞ sn <
+∞.
Teorema 2.7 (del confronto) Siano
+∞
X
an e
n=0
+∞
X
bn due serie a termini non negativi. Suppo-
n=0
niamo che an ≤ bn per ogni n ∈ N. Allora se la seconda serie è convergente lo è anche la prima;
se la prima è divergente, diverge anche la seconda.
Dimostrazione – Indichiamo, rispettivamente, con A(x) e B(x) le funzioni associate alle
successioni {an } e {bn }.
Allora
A(x) ≤ B(x),
∀x ≥ 0.
Basta adoperare la proposizione 2.6 ed il teorema del confronto per gli integrali impropri
per ottenere il risultato.
Nota 2.8 Vogliamo sottolineare, se ce ne fosse bisogno, che il teorema 2.7 non asserisce che,
+∞
+∞
X
X
nell’ ipotesi che an ≤ bn per ogni n ∈ N, le due serie,
an e
bn , hanno lo stesso carattere.
n=0
Si considerino ad esempio le serie
+∞
X
1
2n
n=0
e
+∞
X
n=0
1
n+1
n=0
2.1
Serie a termini non negativi
10
Per ogni n ∈ N si ha
1
1
≤
.
n
2
n+1
Tuttavia, come si è visto la serie
+∞
+∞
X
X
1
1
è
convergente,
mentre
la
serie
diverge
2n
n+1
n=0
n=0
positivamente.
Il teorema del confronto 2.7 suggerisce un metodo per studiare il comportamento di una
serie: confrontarla con una serie il cui comportamento sia conosciuto.
Ad esempio, studiamo il comportamento della serie
+∞
X
n=1
1
.
(n + 1)2
Poiché
1
1
<
,
2
(n + 1)
n(n + 1)
∀n ∈ N+
la serie di Mengoli è una maggiorante della serie data. La serie di Mengoli è convergente;
dunque converge pure la serie
+∞
X
1
.
n2
n=1
Prima di utilizzare in maniera più intensiva il teorema del confronto (e le sue conseguenze),
conviene stabilire il seguente
Teorema 2.9 (della serie di Cauchy) Sia {an } una successione decrescente di numeri non
negativi. Allora
+∞
X
n=0
an ≈
∞
X
2k a2k .
k=0
Dimostrazione –
Sia A(x) la funzione associata alla successione{an } e B(x) la funzione associata alla successione {2k a2k }.
Ricordando che A(x) = a[x] per ogni x ≥ 0, si vede facilmente che B(x) = 2[x] a2[x] .
2.1
Serie a termini non negativi
11
Consideriamo l’integrale improprio
+∞
Z
A(x)dx.
1
Col cambiamento di variabile x = 2u , si ha
Z
+∞
Z
+∞
2u A(2u )du.
A(x)dx = (log 2)
1
0
Tenuto conto della decrescenza di A(x) e delle proprietà di h(x) = 2x si ha:
1
2
Z
+∞
[u]+1
2
[u]+1
A(2
Z
+∞
u
)du ≤
Z
u
+∞
2 A(2 )du ≤ 2
0
0
2[u] A(2[u]) du
0
che si può anche scrivere:
1
2
Z
+∞
Z
+∞
B(u)du ≤
1
u
Z
u
2 A(2 )du ≤ 2
0
∞
X
k
Z
2 a2k implica la convergenza di
+∞
B(u)du
1
k=0
+∞
X
B(u)du.
0
Applicando la proposizione 2.6, la convergenza di
e quindi la convergenza di
+∞
an .
n=0
Negli altri casi si ragiona in maniera analoga.
Esempio 2.10 (Serie armonica generalizzata) La serie
+∞
X
1
np
(6)
n=1
R+
con p ∈
si chiama serie armonica generalizzata (d’ordine p). Per p = 1 si ottiene la serie
armonica considerata in precedenza. Utilizziamo il Teorema 2.9 per studiare il carattere di
questa serie. Si ha:
+∞
X
1
(n)p
≈
n=1
=
+∞
X
k=1
+∞
X
2k
1
(2k )p
21−p
k
k=1
Quindi la serie (6) ha lo stesso carattere della serie geometrica di ragione 21−p . Quest’ultima
converge se, e soltanto se, 21−p < 1 che si realizza se, e soltanto se, p > 1. Per 0 < p ≤ 1 la serie
armonica generalizzata diverge positivamente.
2.1
Serie a termini non negativi
12
Esempio 2.11 Studiamo il comportamento della serie
+∞
X
n=2
1
.
n(log n)p
Lasciamo al lettore il compito di verificare che la successione an =
applichiamo il teorema 2.9.
+∞
X
n=2
1
n(log n)p
≈
+∞
X
2k
k=1
=
1
n(log n)p
é decrescente ed
1
2k (log 2k )p
+∞
X
1
1
.
p
(log 2)
kp
k=1
La serie di partenza ha quindi lo stesso carattere di una serie armonica generalizzata. È quindi
convergente per p > 1 e divergente positivamente per 0 < p ≤ 1.
Due criteri di convergenza molto usati, si ottengono prendendo come termine di confronto
la serie geometrica.
Proposizione 2.12 (Criterio della radice) – Sia
+∞
X
an una serie a termini positivi. Se esiste
n=0
+∞
X
una costante h < 1 tale che an ≤ h definitivamente, allora la serie
an é convergente.
n=0
√
Se n an > 1 definitivamente, allora la serie data diverge positivamente.
√
n
Dimostrazione – Nel primo caso, dall’ipotesi segue subito che la serie è maggiorata (definitivamente) dalla serie geometrica di ragione h < 1. er il teorema del confronto essa è allora
convergente. Lasciamo al lettore la verifica del secondo caso.
Proposizione 2.13 (Criterio del rapporto) – Sia
+∞
X
an una serie a termini positivi. Se esiste
n=0
una costante h < 1 tale che
+∞
X
an+1
an é convergente.
≤ h definitivamente, allora la serie
an
n=0
Se
an+1
> 1 definitivamente, allora la serie data diverge positivamente.
an
Dimostrazione – Dimostriamo il primo caso. Per semplicità, supponiamo che l’ipotesi sia
soddisfatta per tutti gli n (questa non è una limitazione della generalità). Si ha allora: a1 ≤ ha0 ,
a2 ≤ ha1 ≤ h2 a0 ,. . . , an ≤ han−1 ≤ hn a0 . La nostra serie è dunque maggiorata da a0 volte una
serie geometriche convergente.
2.1
Serie a termini non negativi
Lemma 2.14 Siano
+∞
X
an e
n=0
+∞
X
13
bn due serie a termini definitivamente positivi. Se esistono
n=0
due costanti positive m e M tali che definitivamente risulti
an
m≤
≤M
bn
allora
+∞
+∞
X
X
an ≈
bn .
n=0
(7)
n=0
Dimostrazione – Le due serie sono definitivamente positive, perciò esiste un n tale che per
n ≥ n, an > 0 e bn > 0. Visto che vale la (7), esiste un n0 tale che, per n ≥ n0 (n0 ≥ n
sicuramente),
mbn ≤ an ≤ M bn .
Dal teorema 2.7, segue l’asserto.
+∞
X
Teorema 2.15 Siano
n=0
an e
+∞
X
bn due serie, con
n=0
+∞
X
bn definitivamente positiva 3 .
n=0
Se {an } ∼ {bn }, allora
+∞
X
an ≈
n=0
+∞
X
bn .
n=0
Dimostrazione – Intanto osserviamo che, dall’ipotesi {an } ∼ {bn }, segue che anche
+∞
X
an è
n=0
definitivamente positiva, per una semplice applicazione del teorema di permanenza del segno.
In queste condizioni, {an } ∼ {bn } è equivalente a dire che
an
lim
= 1.
n→+∞ bn
Scelto perciò > 0 (in modo che 1 − > 0), esiste n ∈ N tale che per n ≥ n si ha
an
1−<
< 1 + .
bn
Dal lemma 2.14 segue l’asserto.
Corollario 2.16 Sia
+∞
X
an una serie a termini (definitivamente) positivi. Supponiamo che
n=0
an = bn cn per ogni n ∈ N con lim cn = ` > 0. Allora
n→+∞
+∞
X
n=0
an ≈
+∞
X
bn .
n=0
Dimostrazione – Basta osservare che {an } ∼ {`bn } ed applicare il teorema 2.15.
3
In queste note adopereremo i simboli ∼ e di o-piccolo senza specificare n → +∞, visto che +∞ è l’unico
e
punto di accumulazione di N in R.
2.1
Serie a termini non negativi
Teorema 2.17 Siano
+∞
X
an e
n=0
Supponiamo che
+∞
X
14
bn due serie, tali che, definitivamente, an ≥ 0 e bn > 0.
n=0
an
= 0,
n→+∞ bn
lim
cioè, che an = o(bn ). Se
+∞
X
bn è convergente, allora converge anche
n=0
allora diverge anche
+∞
X
+∞
X
n=0
an . Se
+∞
X
an diverge,
n=0
bn .
n=0
Dimostrazione – Per la definizione di limite, scelto > 0, esiste n ∈ N tale che per n ≥ n si
ha
an
− <
< .
bn
Ne segue che
0 ≤ an < bn .
A questo punto basta applicare il teorema 2.7.
I teoremi 2.15 e 2.17 ci permettono di studiare il comportamento di una serie a partire da
un’altra il cui comportamento sia noto. Per esempio è spesso possibile confrontare una serie
con una serie armonica generalizzata il cui comportamento è stato studiato nell’esempio E.4. Si
perviene cosı̀ al cosiddetto criterio degli infinitesimi che enunciamo nella forma seguente
Teorema 2.18 Sia
+∞
X
an una serie a termini (definitivamente) non negativi. Supponiamo che
n=0
esistano α > 0 ed ` con 0 < ` < +∞ tali che
lim nα an = `.
n→+∞
Allora
+∞
X
n=0
+∞
X
1
an ≈
.
nα
n=1
+∞
+∞
X
X
1
1
In altre parole, se {an } è infinitesima d’ordine α rispetto a allora
an ≈
. A partire
n
nα
n=0
n=1
da una successione {an } abbiamo costruito una funzione A(x) (a scala sugli intervalli limitati) e
+∞
X
studiato la serie
an mediante l’integrale improprio di A(x) su [0, +∞[. Un modo elementare
n=0
per costruire una successione, e poi una serie, consiste nel considerare una funzione f : [0, +∞[→
R e definire an = f (n), n ∈ N.
Un criterio di convergenza è, in questo caso, fornito dalla seguente:
2.2
Serie a termini di segno qualsiasi
15
Proposizione 2.19 Sia f : [0, +∞[→ R una funzione non negativa e decrescente. Posto an =
+∞
X
f (n), n ∈ N, la serie
an è convergente se e solo se è convergente l’integrale improprio
n=0
∞
Z
f (x)dx.
0
Dimostrazione – Innanzitutto, f , essendo monotona, è integrabile in ogni intervallo limitato.
L’integrale improprio
Z ∞
f (x)dx
0
converge se, e soltanto se, converge la serie
+∞ Z
X
n+1
f (x)dx.
n=0 n
Per la decrescenza di f (x), si ha:
Z
n+1
an+1 = f (n + 1) ≤
f (x)dx ≤ f (n) = an .
n
A questo punto basta applicare il teorema del confronto.
2.2
Serie a termini di segno qualsiasi
Definizione 2.20 Una serie
+∞
X
an
n=0
si dice assolutamente convergente, se converge la serie
+∞
X
|an |.
n=0
Lemma 2.21 La serie
+∞
X
an
n=0
è assolutamente convergente, se, e soltanto se, la funzione A(x) associata alla successione {an }
ha integrale improprio assolutamente convergente.
Dimostrazione – Basta applicare la proposizione 2.6 alla serie a termini non negativi
+∞
X
|an |
n=0
e tener conto del fatto che la funzione associata ad {|an |} è la funzione |A(x)|.
2.2
Serie a termini di segno qualsiasi
16
Dal lemma precedente e dal corrispondente teorema per gli integrali impropri, si ottiene
subito:
Teorema 2.22 Se la serie
+∞
X
an
n=0
è assolutamente convergente, allora essa è convergente e si ha:
+∞
+∞
X
X
an ≤
|an |.
n=0
n=0
Come nel caso degli integrali impropri, esistono serie convergenti che non sono assolutamente
convergenti. Ad esempio, la serie a termini di segno alterno
+∞
X
( − 1)n+1
n=1
1
n
è, come vedremo tra poco, convergente ma non assolutamente convergente; la serie dei valori
assoluti è infatti la serie armonica
+∞
X
1
n=1
n
che diverge positivamente.
Per le serie a termini di segno alterno si ha il seguente criterio di convergenza.
Teorema 2.23 (Criterio di Leibniz) – Sia
+∞
X
(−1)n an ,
n=0
an > 0, una serie a termini di segno alterno. Supponiamo che la successione {an } sia decrescente
e che lim an = 0. Allora la serie
n→+∞
+∞
X
(−1)n an
n=0
è convergente.
Dimostrazione – La successione {s2n } delle somme parziali di posto pari è decrescente; infatti:
s2n+2 = s2n − a2n+1 + a2n+2 ≤ s2n
perché −a2n+1 + a2n+2 ≤ 0.
Analogamente, la successione {s2n+1 } delle somme parziali di posto dispari è crescente.
Infatti,
s2n+1 = s2n−1 + a2n − a2n+1 ≥ s2n+1
2.2
Serie a termini di segno qualsiasi
17
perché a2n − a2n+1 ≥ 0. D’altra parte,
s2n = s2n−1 + a2n
(8)
e quindi
s1 ≤ s3 ≤ . . . ≤ s2n−1 ≤ s2n ≤ . . . s4 ≤ s2 .
Allora entrambe le successioni {s2n } e {s2n−1 } sono monotone e limitate e perció entrambe
convergenti. Dalla (8) si deduce facilmente che esse convergono allo stesso limite.
Concludiamo con alcune osservazioni.
1. Il fatto che una serie a termini di segno alterno
+∞
X
(−1)n an
(9)
n=0
converga, non implica che convergano le due serie a termini positivi
+∞
X
a2n
+∞
X
e
n=0
a2n+1
(10)
n=0
costituite, rispettivamente, dai valori assoluti dei termini di posto pari e dai valori assoluti
dei termini di posto dispari. Anzi, se la serie (9) non è assolutamente convergente allora
le due serie (10) sono entrambe divergenti positivamente.
2. La serie
+∞
X
( − 1)n+1
n=1
1
n
è convergente, perché soddisfa, come si vede facilmente, il Criterio di Leibniz. Essa non è,
come si è già visto, assolutamente convergente.
Senza entrare qui nel dettaglio dei calcoli, affermiamo che vale l’uguaglianza:
+∞
X
n=1
( − 1)n+1
1
= log 2.
n
La cosa abbastanza sorprendente di questa serie è che se cambiamo l’ordine in cui gli
elementi della successione {(−1)n an } compaiono nella serie (cioè, se riordiniamo la serie )
la somma della serie può cambiare. Si può dimostrare, ad esempio, che:
1+
3
1 1 1 1 1
− + + − + · · · = log 2.
3 2 5 7 4
2
Parlando grossolanamente, si potrebbe dire che la proprietà commutativa (che certamente
vale per le somme parziali), non si conserva al limite. (Misteri dell’infinito!. . . )
3. Il comportamento anomalo (o, meglio, inatteso) discusso nel punto precedente è caratteristico di tutte le serie convergenti ma non assolutamente convergenti (Teorema di
Riemann-Dini).
2.2
Serie a termini di segno qualsiasi
18
Esempio 2.24 La serie
+∞
X
( − 1)n+1
n=1
1
,
nα
è convergente per ogni α > 0. Essa infatti soddisfa, come si vede facilmente, il Criterio di
Leibniz.
Esempio 2.25 Il criterio di Leibniz non è invece applicabile alla serie
+∞
X
n=1
perché la successione an =
| sin n|
n2
( − 1)n+1
| sin n|
n2
non è decrescente. Tuttavia
| sin n|
1
≤ 2.
2
n
n
La serie è, perció, assolutamente convergente e quindi convergente.