1 Serie numeriche In generale, per studiare il carattere di una serie

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Esercizi sulle serie numeriche - B. Di Bella
Serie numeriche
In generale, per studiare il carattere di una serie
+∞
X
an può essere utile
n=1
seguire uno schema del seguente tipo:
a) Controllare se il termine generale della serie è una successione infinitesima (ossia se lim an = 0). Se non lo è la serie non converge (per la
n→∞
condizione necessaria di Cauchy).
b) Stabilire se la serie è a termini positivi.
c) Se la serie è a termini positivi si potrà usare uno dei criteri studiati: il
criterio del rapporto, della radice, del confronto.
d) Se la serie è a termini misti controllare se si tratta di una serie a termini
di segno alterno ed eventualmente applicare il criterio di Leibniz.
e) Se la serie non è a termini positivi studiare la convergenza assoluta. Se
la serie è assolutamente convergente è anche convergente.
f) Se si richiede di calcolare la somma della serie è molto probabile che si
tratta di una serie geometrica cammuffata o di una serie di Mengoli o
di una serie esponenziale!
Esercizi
1.
+∞
X
2
3
√ + 3
n n n
n=1
2.
+∞
X
1
q
n(n + 1)
n=1
3.
+∞
X
n=1
4.
5.
!
n
n+1
n2
+∞
X
e1/n − 1
√
n
n=1
+∞
X
n=1
1
−
2
n
sin
π
π+1
2
Corso di Analisi Matematica 1 per Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni
6.
+∞
X
(−1)n sin
n=1
7.
8.
9.
√
√
1
( n + 1 − n) sin
n
n=1
+∞
X
+∞
X
n!
n2
n=0 e
+∞
X
n=2
10.
11.
12.
2
n
(−1)n
nx
con x ∈ lR
n2 + x2
sin((2n + 1) π2 )
√
n+1
n=1
+∞
X
+∞
X
1
n/2
n=2 (ln n)
+∞
X
2n + (−1)n
3n
n=1
13. Si ricerchino i valori di x per i quali le seguenti serie convergono
+∞
X
n
(−1)
n=1
1
1 − ln 1 −
x
+∞
X
n=1
x+1
3x
2n
n
14. Si studi la convergenza semplice e assoluta delle serie
+∞
X
(−1)n
n
n=1 e + 3n
+∞
X
1
2
n=1 n
3x − 10
2
n
3
Esercizi sulle serie numeriche - B. Di Bella
Risposte
1. Convergente
2. Divergente
3. Convergente
4. Convergente
5. Convergente con somma S = −
1
π
sin
3
π+1
6. Convergente
7. Convergente
8. Convergente
9. Convergente assolutamente solo per x = 0, convergente semplicemente
∀x ∈ lR
10. Convergente semplicemente
11. Convergente
12. Convergente con somma S =
7
4
1
;
1 − e2
1
1
x+1
b) converge ∀x ∈ lR : x < − ∨ x > con somma S =
4
2
2x − 1
13. a) Converge ∀x ∈ lR : x <
14. a) Convergente assolutamente;
b) converge assolutamente ∀x ∈ lR : x ∈
8
,4
3