Insiemi compatti in spazi metrici

Insiemi compatti in spazi metrici
(Analisi matematica 1, corso di laurea in Fisica)
L.V., Novembre 2013
In quanto segue, E è un insieme in uno spazio metrico (X, d).
Definizione 1. Diciamo che E è compatto se ogni successione in E ammette
una sottosuccessione convergente a qualche punto di E.
Esempi 2.
(i) Sono insiemi compatti:
◦ ogni insieme finito (incluso ∅);
◦ ogni intervallo chiuso e limitato [a, b];
◦ E = { n1 : n ∈ N} ∪ {0}.
(ii) Non sono compatti:
◦ (0, 1) (si consideri xn = n1 );
◦ [0, +∞) (xn = n);
◦ E = { n1 : n ∈ N}.
Ci sarà comoda la seguente caratterizzazione degli insiemi chiusi, fatta qualche
lezione fa.
Un insieme E è chiuso se e solo se per ogni successione {xn } ⊂ E che
converga in X, il suo limite appartiene ad E.
Osservazione 3. Se E è un insieme compatto e F ⊂ E è un insieme chiuso,
allora anche F è compatto.
Dimostrazione. Sia {xn } ⊂ F una successione. Siccome E è compatto, esiste
una sottosuccessione {xnk } convergente ad un elemento p ∈ E. Essendo F
chiuso, si ha che p ∈ F .
Teorema 4 (condizione necessaria). Se E è compatto, allora E è chiuso e
limitato.
Dimostrazione. Per dimostrare che E è chiuso, utilizzeremo di nuovo la caratterizzazione menzionata sopra. Sia {xn } ⊂ E tale che xn → p ∈ X. Per
compattezza, esiste una sottosuccessione {xnk } convergente ad un elemento di
E. Necessariamente, p ∈ E (unicità di limite!).
Per dimostrare la limitatezza, procediamo per assurdo. Supponiamo che E
sia compatto e illimitato. Fissiamo un qualsiasi elemento z ∈ X. Dall’illimitatezza, per ogni n ∈ N esiste xn ∈ E tale che d(xn , z) > n. Per la compattezza
di E, la successione {xn } ammette una sottosuccessione {xnk } convergente ad
un elemento p ∈ E. Ma allora, per ogni k ∈ N, si ha
nk < d(xnk , z) ≤ d(xnk , p) + d(p, z) → d(p, z)
che è una contraddizione, visto che nk → +∞.
1
(k → +∞),
2
Commento 5. Nel Teorema 4, non vale il vice versa. Basti considerare X =
E = N con la metrica discreta: E è chiuso e limitato in X ma la successione
xn = n non ammette sottosuccessioni convergenti (infatti, ogni successione
convergente nella metrica discreta deve essere definitivamente costante).
Riportiamo senza dimostrazione il seguente teorema generale che dà due proprietà equivalenti alla compattezza.
Teorema 6. Per un insieme E, le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(i) E è compatto;
(ii) “ogni copertura aperta di E ammette una sottocopertura finita”, cioè,
per ogni famiglia {Aγ : γ ∈ Γ} di insiemi aperti tale che
[
E⊂
Aγ
γ∈Γ
esiste un sottoinsieme finito Γ0 ⊂ Γ tale che E ⊂
[
Aγ ;
γ∈Γ0
(iii) ogni sottoinsieme infinito di E ha almeno un punto di accumulazione
in E.
Esercizio 7. Provate a dimostrare la seguente proprietà interessante. Per
ogni successione di insiemi compatti, non vuoti e inscatolati
E1 ⊃ E2 ⊃ E3 ⊃ . . .
si ha che
\
En 6= ∅.
n∈N
(Suggerimento: per ogni n fissate qualche xn ∈ En , ottenendo cosı̀ una successione {xn } ⊂ E1 .)
I seguenti due teoremi prendono in considerazione il caso particolare di X =
Rd .
Teorema 8 (Heine–Borel). Un insieme E ⊂ Rd è compatto se e solo se è
chiuso e limitato.
Dimostrazione. Sappiamo già che l’implicazione “⇒” vale in ogni spazio metrico. Dimostriamo l’altra implicazione.
Siano E ⊂ Rd chiuso e limitato, {xn } ⊂ E. Sappiamo già dalle lezioni
precedenti che, essendo la successione {xn } limitata, essa ammette una sottosuccessione {xnk } convergente a qualche punto p ∈ Rd . Essendo E chiuso, si
ha che p ∈ E.
Commento 9. Confrontate Teorema 8 con Teorema 4 e Commento 5 !
Teorema 10 (Bolzano–Weierstrass). Ogni insieme infinito e limitato E ⊂ Rd
ha almeno un punto di accumulazione.
3
Proof. Sia {xn } ⊂ E una successione tale che xn 6= xm per n 6= m [perché
esiste?]. Essendo E chiuso e limitato, E è compatto. Quindi, esiste una
sottosuccessione {xnk } convergente a qualche p ∈ E. Siccome la succesisone
{xnk } assume ogni valore al più una volta sola, ogni intorno di p contiene
almeno un xk diverso da p. In altre parole, p ∈ E 0 .
Appendice: una parte della dimostrazione
del Teorema 6 (non richiesta per l’esame)
Dimostrazione dell’equivalenza (i) ⇔ (iii) nel Teorema 6.
Sia E compatto. Per dimostrare (iii), si procede come nella dimostrazione
del Teorema 10 [fatelo!].
Dimostriamo l’altra implicazione. Supponiamo che valga (iii). Data una
successione {xn } ⊂ E, vi sono due casi possibili. Se l’insieme immaggine
(l’insieme dei valori)
A = {xn : n ∈ N}
della successione è finito, esiste una sottosuccessione costante della {xn } [perché?]. Supponiamo quindi che A sia infinito. Per (iii), esiste p ∈ A0 ∩ E.
Esiste un indice n1 tale che d(xn1 , p) < 1. Ora, esiste un indice n2 > n1 tale
che d(xn2 , p) < 12 . E cosı́ via. Si ottiene una sottosuccessione {xnk } della {xn },
tale che d(xnk , p) < k1 per ogni k. Ne segue che xnk → p.