Numero di Lebesgue

Numero di Lebesgue
Il seguente teorema si chiama “teorema di ricoprimento di Lebesgue” [2, 4.3.31]:
Teorema 1 Ogni ricoprimento aperto A di uno spazio metrico compatto (X, d) ammette
un numero di Lebesgue, cioè un numero δ > 0 tale che ogni sottoinsieme di diametro
minore di δ è contenuto in qualche elemento di A.
Dimostrazione. Per ogni x ∈ X esiste un numero δx > 0 tale che la palla B(x, δx [
è contenuta in qualche elemento di A. Siccome X è compatto, il ricoprimento aperto
{B(x, 12 δx [: x ∈ X} ammette un sottoricoprimento finito, cioè esiste un insieme finito
{x1 , . . . , xk } ⊆ X tale che:
1
1
X = B(x1 , δx1 [∪ . . . ∪ B(xk , δxk [
2
2
Allora δ = min{ 12 δx1 , . . . , 12 δxk } è il numero di Lebesgue cercato. Infatti supponiamo
diam E < δ. Fissato p ∈ E, esiste xj tale che p ∈ B(xj , 12 δxj [, cioè d(p, xj ) < 12 δxj . Allora
per ogni y ∈ E si ha:
1
1
d(y, xj ) ≤ d(y, p) + d(p, xj ) < δ + δxj ≤ 2 δxj
2
2
Pertanto E è contenuto nella palla B(xj , δxj [, che è contenuta in qualche elemento di A.
Definizione 2 Siano (X, d), (Y, ρ) spazi metrici. Una funzione f : X → Y si dice
uniformemente continua se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che ogni qualvolta d(x1 , x2 ) < δ
si ha ρ(f (x1 ), f (x2 )) < ε.
Corollario 3 Siano (X, d), (Y, ρ) spazi metrici. Se X è compatto, allora ogni funzione
continua f : X → Y è uniformemente continua.
Dimostrazione. Fissiamo ε > 0. Per ogni x ∈ X esiste un intorno aperto Ux di x
tale che per ogni z ∈ Ux si ha ρ(f (z), f (x)) < 12 ε. Di conseguenza per ogni x1 , x2 ∈ Ux
si ha ρ(f (x1 ), f (x2 )) < ε. Sia δ > 0 un numero di Lebesgue per il ricoprimento aperto
{Ux : x ∈ X}. Consegue che se d(x1 , x2 ) < δ, allora {x1 , x2 } è contenuto in qualche
elemento Ux e quindi ρ(f (x1 ), f (x2 )) < ε.
Esercizio. Dare un esempio di una funzione uniformemente continua che non sia Lipschitziana.
Testi:
[1] Giuseppe De Marco, Analisi Uno, Decibel-Zanichelli.
[2] Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin, 1989.