Sulla continuità uniforme

Due fatti sulla continuità uniforme
Luca Francesca
∗
[email protected]
Sommario
Due parole sulla questione della continuità uniforme.
Indice
1 La continuità uniforme
1
2 Tutto è meglio con qualche esempio pratico
2
3 Heine: un teorema utilissimo
4
4 Semplice verifica dell’uniforme continuità
4
5 Uniforme continuità e lipschizianità
5.1 Un esempio concreto: equazioni differenziali e esistenza in grande
4
5
6 Uniforme continuità e funzioni hölderiane
6.1 Un piccolo studio di funzione hölderiana . . . . . . . . . . . . . .
5
6
7 Il Teorema della farfalla
6
A Esercizi di approfondimento
7
B Letture consigliate
7
C Ringraziamenti
7
1
La continuità uniforme
La questione della continuità uniforme è legata alla questione dell’integrabilità
di funzioni continue ed è un arma molto utile.
Difatti, si può dimostrare che una funzione uniformemente continua è sempre
integrabile (secondo Riemann).1
Consideriamo ora una funzione f : [a, b] → R. Dato ε > 0, trovo per continuità δ > 0 tale che se |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.
∗ Un
1 si
grazie a Forum di matematicamente.it (in particolare questo topic ) per l’ispirazione.
veda Gilardi in B, pagine 116,127,160 per i teoremi in questione
1
Per x1 6= x0 fissato, trovo δ 0 6= δ in generale. Vorrei invece riuscire a trovare δ
conoscendo solamente ε e non x0 .
Diamo ora le definizioni di funzione continua
Definizione 1.1: Sia f : A ⊆ Rn → Rm . La funzione è continua se ∀x ∈ A
∀ε > 0 ∃δ > 0 t.c ∀g ∈ A |x − g| ≤ δ ⇒ |f (x) − f (g)| ≤ ε.
e
Definizione 1.2: Sia f : A ⊆ Rn → Rm è uniformemente continua quando
∀ε > 0 ∃δ > 0 tale che:
∀x, y ∈ A,
|x − y| ≤ δ ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε
Come possiamo vedere la sottile differenza tra le due definizioni è quello che
rende l’ottica dal locale al globale.
Ovviamente se f è uniformemente continua allora è anche continua.
Ci sono però funzioni continue che non lo sono uniformemente.
2
Tutto è meglio con qualche esempio pratico
• Funzione non uniformemente continua: f (x) = x2
• Funzione uniformemente continua: f (x) = tanh(x)
2
• Funzione non uniformemente continua: f (x) = sin(x2 )
• Funzione uniformemente continua: f (x) =
1
x
sin(x2 ) con x > 0
Il trucco è che se si ha un asintoto allora la funzione è una buona candidata
a essere uniformemente continua (vedi A.2)
3
3
Heine: un teorema utilissimo
Un teorema molto utile come strumento di verifica e, soprattutto, un potente
strumento di produzione matematica si rivela essere
Teorema 3.1 (di Heine-Cantor)
Siano K ⊆ Rn , f : K → Rm .Se K è compatto (chiuso e limitato) e f continua
⇒ f è uniformemente continua.
Dimostrazione. Per assurdo.
∃ε0 t.c ∀δ > 0∃x, y ∈ K : |x − y| ≤ δ e |f (x) − f (y)| > ε0 .
Fissato ε0 , prendo δn = n1 , ∀n e trovo xn , yn in K tali che |xn − yn | ≤
|f (xn ) − f (yn )| > ε0
Estraggo una sottosuccessione xnk convergente a x̄ ∈ K.
Allora ynk → x̄ perché vale
0 ≤ |xnk − ynk | ≤
1
n
e
1
→0
n
Scrivo allora
|f (xnk ) − f (ynk )| ≥ ε0
ma ciò equivale a
|f (x̄) − f (x̄)| ≥ ε0
e per conservazione delle disegualianze ottengo ε0 ≤ 0.
Assurdo.
4
Semplice verifica dell’uniforme continuità
Teorema 4.1
Sia I ⊆ RN limitato e f : I → Rm continua.Allora f è uniformemente continua
⇔ ∃F̄ : I¯ → Rm continua t.c F (x) = f (x), ∀x ∈ I.
Dimostrazione. ⇐) Esiste F uniformemente continua per Heine sul compatto
¯ Allora f che è la restrizione di F ad A è uniformemente continua a
I.
gratis
⇒) Sia f uniformemente continua, costruisco allora F
¯ Posso allora prendere xn ∈ I con xn → x.
Sia x ∈ I.
Fisso ε > 0 trovo δ: se |xn − yn | ≤ δ ⇒ |f (xn ) − f (yn )| ≤ ε.
Ma per n, k ≥ k ∗ è vera l’ipotesi, dunque {f (xn )} è di Cauchy.
Allora ∃ limn→+∞ f (xn ).
Se {xn }, {yn } → x, {zn } = {x0 , y0 , x1 , y1 , x1 , y2 , · · · } → x,
dunque ∃ limn→+∞ f (xn ) e poiché {f (xn )} e {f (yn )} sono sottosuccessioni
di {f (zn )}, lim f (xn ) = lim f (yn ).
Posso definire quindi lim f (xn ) = F (x) che prolunga f ed è continua.
5
Uniforme continuità e lipschizianità
Definizione 5.1 (funzioni lipschitziane): Sia f : A ⊆ Rn → Rm è lipschiziana
quando ∃L ≥ 0 : ∀x, y ∈ A |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|
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Posso riesprimere la condizione di Lipschitz cosı̀
∀x 6= y ∈ A,
|f (x) − f (y)|
≤L
|x − y|
Quello che emerge è che tutti i rapporti incrementali, in ogni direzione, hanno
modulo ≤ L.
Se la funzione è lipschiziana e differenziabile, allora tutte le derivate direzionali
(e il modulo del gradiente quindi) sono limitate da L.
Una funzione f è lipschiziana è uniformemente continua: basta scegliere δ = Lε
e il δ trovato è proporzionale quindi a ε.
L’inverso non sempre è valido, basti pensare alla funzione radice cubica di x in
[−1, 1].
Per finire, un piccolo trucco di riconoscimento, utile per funzioni reali di variabile
reale.
Si ha che f : (a, b) → R continua lo è anche uniformemente se esistono finiti i
limiti f (a+ ) e f (b− ).
5.1
Un esempio concreto: equazioni differenziali e esistenza in grande
Teorema 5.1 (Teorema(di esistenza e unicità in grande) )
Siano T ∈ (0, +∞], f : [0, T ) × R → R continua e L > 0 una costante tale che
|f (t, y) − f (t, z)| ≤ L|x − y|, ∀t ∈ [0, T ) e x, y ∈R
Allora per ogni u0 ∈ R, esiste una e una sola funzione u definita in [0, T ) a
valori reali di classe C 1 che risolve il problema di Cauchy
u0 (t) = f (t, u(t)), ∀t ∈ [0, T ) e u(0) = u0
Come possiamo vedere, la lipschizianità gioca un ruolo più importante della
regolarità C 1 .
In effetti essa pone un limite, per ogni h 6= 0
|
f (t, y + h) − f (t, y)
|≤L
h
e passando al limite.
|
∂f (t, y)
|≤L
∂y
(t,y)
Essendo (t, y) arbitrario. deduciamo che ∂f∂y
è limitata in ∈ [0, T ) × R.
Ciò comporta che escludiamo ogni funzione che abbia all’infinito. rispetto a y,
un comportamento quadratico o di ordine superiore.
Insomma un ruolo non da poco anche in qualcosa di materiale come le equazioni
differenziali.
6
Uniforme continuità e funzioni hölderiane
Definizione 6.1 (funzioni hölderiane): Sia f : A ⊆ Rn → Rm è hölderiana
quando ∃L ≥ 0 ed ∃α ∈ (0, 1] tale che ∀x, y ∈ A |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|α
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Notiamo subito che se α > 1 allora |x − y|α = |x − y||x − y|α−1 = o(|x − y|)
per x → y.
Se è vero che |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|α con α > 1 allora abbiamo che
f (y) = f (x) + o(|x − y|), per x → y
Quindi otteniamo
dfx = 0, ∀x ∈ A
Questo è il motivo per cui non si considerano funzioni con α > 1.
Anche da notare il fatto che le funzione hölderiane con α = 1 sono lipschiziane.
In chiusura consideriamo il rapporto con la continuità uniforme
Le funzioni hölderiane sono uniformemente continue, una volta scelto δ tale
che valga Lδ α ≤ ε
6.1
Un piccolo studio di funzione hölderiana
Data la funzione f = |x|α con x > 0 e α ∈ (0, 1) e supponendo x > y > 0 e
L≥1
|xα − y α | ≤ L|x − y|α
quindi:
x
α
xα
−1 ≤L
−1
y
y
Applicando una sostituzione ottengo
(tα − 1) ≤ L(t − 1)α
con t =
x
y
Prendo ψ(t) = (tα − 1) − L(t − 1)α e t ≥ 1 e cerco L tale che valga ψ(t) ≤ 0
ovunque.
Ho che ψ(0) = 0 e calcolando la derivata la trovo sempre ≤ 0, per L = 1.
Dunque ψ(t) è non crescente
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Il Teorema della farfalla
Viene qui riportato l’enunciato di un teorema relativo all’ uniformemente continuità che può, a volte, essere utile.
Teorema 7.1 (teorema della farfalla2 )
Sia f : R → R uniformemente continua su R. Allora esistono a, b ∈ R+ tali che
|f (x)| ⇐ a|x| + b ∀x ∈ R.
2 Per
la dimostrazione vedere questo topic.
6
A
Esercizi di approfondimento
Esercizio A.1 - f uniformemente continua ⇔ ∃δ0 > 0, ∃ω : [0, +∞) →
[0, +∞) t.c 0 = limt→0 ω(t) = ω(0) e |f (x) − f (y)| ≤ ω(|x − y|) per |x − y| ≤ δ0 .
Esercizio A.2 - f : R → R continua e limx→+∞ f (x) = 0 allora f è uniformemente continua.
B
Letture consigliate
Ed ecco un libro utile per esplorare meglio i concetti qui esposti:
G. Gilardi, Analisi Matematica di Base, McGraw-Hill, Milano, 2001.
Un libro invece più arduo, ma completo e con un approccio diverso:
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Science Engineering, 1976.
C
Ringraziamenti
Un grazie a Raptorista per i suoi consigli di stile e uno grandissimo a gugo82
per la consulenza sul TEX.
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