Teorema di unicità del limite allora il limite l è unico. Teorema della

Teorema di unicità del limite
f ( x ) = l allora il limite l è unico.
Se xlim
→x
0
DIMOSTRAZIONE (a pag. 50 del libro di testo)
Il significato di questo teorema è intuitivo:
quando una funzione ha come limite un certo valore allora quel valore è uno e uno solo.
Il teorema vale sia per i casi in cui x0 e l sono numeri finiti che per i casi in cui sono + ∞ o − ∞ .
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Teorema della permanenza del segno
Se lim f ( x ) = l
x → x0
∧ l ≠ 0 allora esiste un intorno I ( x0 ) tale che per ogni x
appartenente a tale intorno, escluso al più x0 , la funzione f(x) ha lo stesso
segno di l.
Anche il significato di questo teorema è intuitivo: se la funzione tende a un valore positivo allora tutti i
valori x “vicini” a x0 daranno alla funzione dei valori f ( x ) positivi. Analogamente succede se la
funzione tende a un valore negativo. Solo nel caso in cui la funzione tende a zero essa potrà avere sia
valori positivi che negativi.
Il teorema vale sia per i casi in cui x0 e l sono numeri finiti che per i casi in cui sono + ∞ o − ∞ .
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DIMOSTRAZIONE
Nell’ipotesi del teorema abbiamo che lim f ( x ) = l
x → x0
∧ l ≠ 0 , possiamo quindi avere due casi: uno
con l > 0 e l’altro con l < 0. Dimostriamo i due casi uno alla volta.
1° caso:
lim f ( x ) = l
x → x0
∧ l>0
∀ε > 0 ∃I ( x0 ) : x ∈ I ( x0 ) ∧ x ≠ x0
dalla definizione di limite sappiamo che:
→ l − ε < f (x ) < l + ε
Ora consideriamo un particolare valore di ε . Prendiamo ε = l (che è positivo).
La condizione di limite ci fornisce ora la condizione l − l < f ( x ) < l + l da cui:
0 < f ( x ) < 2l
Allora x ∈ I ( x0 ) ∧ x ≠ x0 → 0 < f ( x ) < 2l e quindi f(x) ha stesso segno (positivo) di l, che è la tesi.
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2° caso:
lim f ( x ) = l
x → x0
∧ l<0
∀ε > 0 ∃I ( x0 ) : x ∈ I ( x0 ) ∧ x ≠ x0
dalla definizione di limite sappiamo che:
→ l − ε < f (x ) < l + ε
In questo caso prendiamo ε = −l (che è positivo).
La condizione di limite ci fornisce ora la condizione l + l < f ( x ) < l − l da cui:
2l < f ( x ) < 0
Allora x ∈ I ( x0 ) ∧ x ≠ x0 → 2l < f ( x ) < 0 e quindi f(x) ha stesso segno (negativo) di l, che è la tesi.
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Dimostrazioni analoghe si possono fare per i casi in cui x0 e l assumano come valore + ∞ oppure − ∞
Tre teoremi sui limiti pag. 1
Teorema del confronto
Date tre funzioni f(x), g(x) e h(x) che soddisfino le seguenti ipotesi:
a)
lim f ( x ) = lim h ( x ) = l
x → x0
x → x0
b) esiste un intorno di x0 in cui vale la disequazione: f ( x ) ≤ g (x ) ≤ h ( x )
g (x ) = l
Ne consegue che anche xlim
→x
0
DIMOSTRAZIONE (a pag. 50 del libro di testo)
Il significato di questo teorema è intuitivo. La funzione g(x) ha i valori compresi tra le due funzioni f(x) e
h(x) che tendono allo stesso limite l ; anch’essa è “obbligata” a tendere a l.
La figura qui sotto illustra la situazione.
La funzione g(x) si trova tra le altre due ed è “costretta” ad avere il loro stesso limite.
Tra gli ingegneri italiani il teorema del confronto è anche conosciuto come teorema dei due carabinieri.
• Il teorema del confronto è utilizzato in certe situazioni per dimostrare la validità di alcuni limiti
che altrimenti sarebbero molto difficili da dimostrare. Più avanti ne vedremo un esempio
importante quando tratteremo i limiti notevoli.
• Il teorema è valido, cambiate le cose da cambiare, anche per i casi in cui x0 e l assumano come
valore + ∞ oppure − ∞
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Esempio: dimostrare, utilizzando il teorema del confronto, che lim ( x + sen x ) = +∞
x → +∞
Sappiamo dalla trigonometria che − 1 ≤ sen x ≤ 1
Sommando x a tutti i termini di questa disequazione otteniamo: x − 1 ≤ x + sen x ≤ x + 1
Siccome le due funzioni “esterne” f ( x ) = x − 1 e h ( x ) = x + 1 hanno entrambe come limite + ∞ allora
anche la funzione “interna” g (x ) = x + sen x avrà lo stesso limite.
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2
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Esercizio: dimostrare, utilizzando il teorema del confronto, che lim x + sen x = +∞
x → −∞
Tre teoremi sui limiti pag. 2