OPERAZIONI CON I LIMITI

OPERAZIONI CON I LIMITI
Teorema della somma.
Siano f e g due funzioni definite da X in R, con X  R, e x0D(X).
Supponiamo che
allora, sotto queste ipotesi,
Dimostrazione
Per dimostrare che
basterà far vedere che
 J  J(l+m)  I  I( x 0 ) tale che xIX-{ x 0 }: ( f(x)+g(x) )J
Supponiamo che l, m R  l+mR ( e quindi l+m esiste)
Fissato un J  J(l+m)  a>0 ] l+m-a; l+m+a [J
In corrispondenza di tale a, consideriamo gli intervalli aperti:
A = ] l -a/2 ; l + a/2 [
(intorno di l )
B = ] m - a/2 ; m + a/2 [ (intorno di m )
ed applichiamo la definizione di limite, in corrispondenza di A e B, a:
f : AJ(l)  HI( x 0 ) tale che xHX-{ x 0 }: f(x)A  l - a/2<f(x)< l + a/2
g: BJ(m)  KI( x 0 ) tale che xKX-{ x 0 }: g(x)B  m-a/2<g(x)<m+a/2
Conseguentemente, posto I = HK, xIX-{ x 0 }:
l - a/2 < f(x) < l + a/2
m-a/2 < g(x) < m+a/2
ovvero, sommando membro a membro,
l+m-a < f(x) + g(x) < l+m+a
il che equivale a dire che (f(x)+g(x)) J
www.mariomat.altervista.org
Pagina 1
In definitiva, fissato JJ(l+m) II( x 0 ) tale che xIX-{ x 0 }: (f(x)+g(x)) 
J
o, che è lo stesso,
Osserviamo che il teorema richiede l'esistenza di l + m ( l - m ): esclude
perciò le seguenti situazioni: (+) + (-) , (-) + (+) , (+) - (-) , (-)
- (+) che sono forme di indecisione o forme di indeterminazione.
Nella tabella che segue sono riportati i casi relativi al limite della somma (
~
differenza) di due funzioni: per x che tende ad x 0 R .
lim f(x)
lR
lR
lR
+
-
www.mariomat.altervista.org
lim g(x)
mR
+
-
+
-
lim( f(x)  g(x) )
lm
+
-
+
-
Pagina 2
Teorema del prodotto
Siano f e g due funzioni definite da X in R, con X  R, e x0D(X).
Supponiamo che
allora, sotto queste ipotesi,
Supponiamo che l, m R  l m R ( Cioè esiste il numero l m )
( f ( x ) g ( x ) ) = l  m basta far vedere che:
Per provare che  xlim
x
0
 J  J(l m)  I  I( x 0 ) tale che xIX-{ x 0 }: ( f(x)g(x) )J
Fissato J  J(l m)  a>0 tale che ] l m - a ; l m + a [  J, ovvero
l m - a < f(x)g(x) < l m + a  | f(x)g(x) - l m | < a (*)
Consideriamo gli intervalli
e
A=]l-b ; l+b[
B=]m-b;m+b[
con b > 0 da determinare in modo che valga la (*).
A tale scopo, applichiamo la definizione di limite, relativamente ad A e B,
alle funzioni:
f: A  J(l)  H  I( x 0 ) tale che xHX-{ x 0 }: f(x) A  | f(x) - l | < b
g: B  J(m)  K  I( x 0 ) tale che xKX-{ x 0 }: g(x) B  | g(x) - m | < b
Conseguentemente  I=H  K  I( x 0 ) tale che xIX-{ x 0 }: | f(x) - l | < b
e
| g(x) - m | < b
xIX-{ x 0 }, consideriamo:
|f(x)g(x)-lm|=|f(x)g(x)-f(x)m+f(x)m-l m|  |f(x)g(x)-f(x)m|+|f(x)m-m l| =
| f(x)(g(x) - m) | + | m( f(x) - l) | = | f(x) | | g(x) - m | + | m | | f(x) - l | <
www.mariomat.altervista.org
Pagina 3
< | f(x) | b + | m | b= | f(x) - l + l | b + | m | b  ( | f(x) - l | + | l | ) b + | m | b
< ( b + | l | ) b + | m | b = b2 + | l | b + | m | b
In definitiva:
|f(x)g(x) - l m| < b2 + | l | b + | m | b
con b2 + | l | b + | m | b che non dipende da x.
Conseguentemente per provare che | f(x)g(x) - l m | < a basterà provare che
b2 + | l | b + | m | b  a ovvero che
b2 + ( | l | + | m | ) b - a  0 (1)
La predetta disequazione è una disequazione di secondo grado in b che, per
avere
 = ( | l | + | m | )2 + 4a > 0, il coefficiente di b 2 uguale ad 1 ed il segno del
trinomio , è soddisfatta da tutti i valori interni, estremi compresi, alle
radici dell'equazione associata alla (1) che sono:
b1/ 2 =
 (| l | + | m | ) 
(| l | + | m |) 2  4 a
2
Tenuto però conto che b deve essere positivo, i valori di b che soddisfano la
(1)
sono: 0 < b 
( | l | + | m | ) 2  4a
- ( |l| + |m| ) +
2
In conclusione, i valori di b ora determinati sono quelli che individuano gli
intervalli A e B, che a loro volta individuano gli intorni H e K di x 0 e quindi la
loro intersezione I tale che:
xIX-{ x 0 }: ( f(x)g(x) )J ed il teorema resta dimostrato.
Osserviamo che il teorema richiede l'esistenza di l m: esclude perciò le
seguenti situazioni:
0 (+ ); (+ ) 0 , 0 (+ ) (- ) 0 che sono forme di indecisione o forme
di indeterminazione.
www.mariomat.altervista.org
Pagina 4
Nella tabella che segue sono riportati i casi relativi al limite del prodotto di
~
due funzioni: per x che tende ad x 0  R .
lim f(x)
lR
lR (l>0)
lR (l<0)
lR (l>0)
lR (l<0)
+
+
-
-
www.mariomat.altervista.org
lim g(x)
mR
+
+
-
-
+
-
+
-
lim( f(x) g(x) )
l m
+
-
-
+
+
-
-
+
Pagina 5
Teorema del rapporto
Siano f e g due funzioni definite da X in R, con X  R, e x0D(X).
Supponiamo che
allora, sotto queste ipotesi,
Dimostrazione
Supponiamo che l, m R con m  0   l/m R.
L'essere m  0 assicura l'esistenza di un intorno del punto x 0 dove g(x)  0.
Infatti, per il teorema della permanenza del segno
se m > 0  H I( x 0 ) tale che xHX-{ x 0 } : g(x) > 0
se m < 0  H I( x 0 ) tale che xHX-{ x 0 } : g(x) < 0
Allora in questo intorno ha significato considerare la funzione
f ( x)
essendo
g( x)
g(x) 0.
f (x)
l
Ora, per dimostrare che lim
possiamo considerare, nell'intorno

x x
0
sopra considerato,
f ( x)
1
la funzione
 f ( x)
g( x)
g( x)
g(x)
m
ed applicare il teorema del prodotto, cioè
scrivere:
lim
x x 0
f (x)
1
1
1
l
e tale conclusione sarà
 lim f ( x )
 lim f ( x ) lim
l 
x

x
x

x
x

x
0
0
0 g( x)
g(x)
g( x)
m m
vera
1
1
solo dopo che avremo dimostrato che xlim
 .
x
0
g( x)
m
1
1
basterà far vedere che:

0 g( x)
m
Per provare che xlim
x
www.mariomat.altervista.org
Pagina 6
JJ(
1
1
)  I  I( x 0 ) tale che xIX-{ x 0 }:
J
m
g( x )
1
m
1
1
-a ; +a [  J ovvero
m
m
1
1
1
1
1
-a<
< + a o ancora |
- |<a
m
m
g( x) m
g( x)
Per ipotesi  lim g(x) = m. Considerato perciò l'intervallo A = ] m-b; m+b [
Fissato JJ( )   a>0 tale che ]
x x 0
con b>0 assegnato, applichiamo la definizione di limite alla funzione
g: A  K  I( x 0 ) tale che xIX-{ x 0 }: g(x)  A o, equivalentemente, | g(x) m | < b.
Consideriamo ora | g(x) | = | g(x) - m + m |  (*) | m | - | g(x) - m | > | m | - b


|m|
|m|
|m|
ovvero b 
( avendo scelto b in modo che | m | - b 
)
2
2
2
Valutiamo:
m - g(x)
m - g(x) m - g(x)
1
1
b
- =
=

g ( x) m
m g(x) m g(x)
| m | | g(x) | | m | | m |
2




b
con
che
non
dipende
da
x


|m|


|m|
2


1
1
b
Quindi perchè sia
- < a, basterà scegliere a in modo che
<a
|m|
g ( x) m
|m|
2
ed il teorema resta dimostrato.
Verifichiamo la (  )
m  m  g ( x )  g ( x )  m  g ( x )  g ( x )  1( g ( x )  m )  g ( x ) 
 1 g ( x )  m  g ( x )  g ( x )  m  g ( x )
quindi :
m  g( x)  m  g( x)
m  g( x)  m  g( x)  m  m
 g( x) - m + m  m  g ( x )  m
Osserviamo che il teorema richiede l'esistenza di l/ m: esclude perciò le
seguenti situazioni:
 +  -  -  0
che sono forme di indecisione o
 -  +  +  0
forme di indeterminazione.
www.mariomat.altervista.org
Pagina 7
Nella tabella che segue sono riportati i casi relativi al limite del rapporto di
~
due funzioni: per x che tende ad x 0  R .
lim f(x)
lR
lR
lR
+
+
-
-
www.mariomat.altervista.org
lim g(x)
mR-{0}
+
-
lR (l>0)
lR (l<0)
lR (l>0)
lR (l<0)
lim( f(x)/g(x) )
l/ m
0
0
+
-
-
+
Pagina 8