TRIGONOMETRIA PIANA: I TRIANGOLI QUALUNQUE

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TRIGONOMETRIA PIANA:
I TRIANGOLI QUALUNQUE
Prof Giovanni Ianne
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IL TEOREMA DEI SENI
TEOREMA
In un triangolo le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli
opposti.
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IL TEOREMA DEI SENI
DIMOSTRAZIONE
Consideriamo la circonferenza circoscritta al
triangolo ABC. Chiamiamo r il suo raggio.
Al lato a e all’angolo alla circonferenza a si
applica il teorema della corda che afferma:
a = 2r sen a ,
da cui
.
Lo stesso risultato si applica a tutti i lati del
triangolo:
.
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IL TEOREMA DEL COSENO
TEOREMA
In un triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei
quadrati della misure degli altri due lati diminuita del doppio prodotto della
misura di questi due lati per il coseno dell’angolo compreso fra essi.
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IL TEOREMA DEL COSENO
DIMOSTRAZIONE
Consideriamo un triangolo ABC acutangolo. La
dimostrazione è analoga se il triangolo è ottusangolo.
Tracciamo l’altezza CH.
Dal primo teorema dei triangoli rettangoli, otteniamo:
CH = b sen a e AH = b cos a
e, per differenza:
HB = c – b cos a .
Ricaviamo a applicando il teorema di Pitagora al
2
2
triangolo CHB:
a2 = CH + HB
= b2 sen2 a + (c – b cos a)2
= b2 + c2 – 2bc cos a .
Analogamente:
b2 = a2 + c2 – 2ac cos b ,
c2 = a2 + b2 – 2ab cos g .
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IL TEOREMA DEL COSENO
Il teorema di Pitagora generalizzato
Il teorema del coseno è detto anche
teorema di Pitagora generalizzato
perché, se a = 90o, il triangolo ABC è
rettangolo in A
e l’enunciato
a2 = b2 + c2 – 2bc cos a
si riduce all’enunciato del teorema di
Pitagora:
a2 = b2 + c 2 .
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LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE
ESEMPIO
Sono noti un lato e due angoli
Risolviamo
questo
triangolo.
Conoscendo c, a e b, determiniamo gli
altri elementi.
g = 180o – (a + b) .
Per il teorema dei seni:
,
e anche:
.
g = 180o – (40o + 60o) = 80o .
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LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE
Sono noti due lati e l’angolo
compreso
.
Conoscendo b, c e a, determiniamo gli
altri elementi.
ESEMPIO
Risolviamo
questo
triangolo.
Per il teorema del coseno:
Inoltre, dalla relazione
e dallo stesso teorema, ricavando
cos b dall’espressione per b:
Si ricava b con la funzione arcocoseno
e infine:
g = 180o – (a + b) .
ricaviamo
e
E infine:
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LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE
Sono noti due lati e un angolo
opposto a uno di essi
sen b = 1, a < 90o
La soluzione esiste. b = 90o.
0 < sen b < 1, a > 90o
Esiste una soluzione. b < 90o.
Conoscendo a, b e a, determiniamo gli
altri elementi.
Applicando il teorema dei seni:
da cui, a seconda del valore trovato, si
traggono le seguenti conclusioni.
sen b = 1, a ≥ 90o
La soluzione non esiste.
0 < sen b < 1, a < 90o, b ≤ a
Esiste una soluzione. b < 90o.
0 < sen b < 1, a < 90o, b > a
Esistono due soluzioni, una con
b < 90o e una con b > 90o.
Infine, trovato b, possiamo calcolare
g = 180o – (a + b) ,
.
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LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE
Sono noti i tre lati
ESEMPIO
Risolviamo
questo
triangolo.
Conoscendo a, b e c, determiniamo gli
altri elementi.
Dal teorema del coseno
Applicando il teorema del coseno:
,
Da cui, con la funzione arcocoseno, si
ricavano a e b e, infine:
g = 180o – (a + b) .
da cui
,
e infine:
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ESERCIZI: IL TEOREMA DEI SENI
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ESERCIZI: IL TEOREMA DEL COSENO
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ESERCIZI: LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI
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