Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di
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Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di
1 Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale. Consideriamo la funzione f (x, t) : A × [a, b] → R definita nel rettangolo A × [a, b], essendo A un sottoinsieme aperto di R e [a, b] un intervallo chiuso e limitato. Fissato x0 ∈ A, se la funzione f (x0 , ·) : [a, b] → R della sola variabile t fosse integrabile secondo Riemann in [a, b], allora avrebbe senso il seguente integrale: Z b f (x0 , t) dt a e quindi, al variare di x in A, risulterebbe definita la seguente funzione: b Z f (x, t) dt : A → R. F (x) = a Noi, nel corso di questa trattazione, supporremo che la funzione f (x, t) sia continua (nel complesso delle due variabili) in A × [a, b]. Questa è un’ipotesi forte che semplificherà alquanto le dimostrazioni, ma si può richiedere qualcosa meno alla funzione f (x, t) e continuano a valere i risultati che tra poco otterremo. Siccome uno degli scopi è trovare una formula che ci permetta di calcolare la derivata della funzione F (x), risulta essenziale vedere sotto quale condizione la funzione F (x) risulta almeno continua. Pertanto cominciamo con un lemma che ci permetterà di asserire che la funzione F (x) è continua in A, sotto la ”sola” ipotesi di continuità della f (x, t). Lemma 0.1 Sia f (x, t) : A × [a, b] → R continua in A × [a, b], allora la funzione: Z b f (x, t) dt : A → R F (x) = a è continua in A. Dimostrazione. Sia x0 ∈ A. Proviamo che: lim F (x) = F (x0 ), x→x0 ossia, grazie ad un noto teorema di analisi1 ) proviamo che, per ogni successione {xn } ⊂ A, si ha: lim F (xn ) = F (x0 ). n→∞ Notiamo che provare la tesi, lim F (xn ) = F (x0 ) n→∞ equivale a provare: Z lim n→∞ b Z f (xn , t) dt = a b f (x0 , t) dt. a Un attimo di riflessione per dire che la tesi altro non è che un passaggio al limite sotto il segno di integrale per la successione di funzioni φn (t) = f (xn , t) : [a, b] → R. Sappiamo che ciò è garantito se la successione di funzioni φn (t) è convergente uniformemente verso φ(t) = f (x0 , t). Scopo del proseguo della dimostrazione è, pertanto, provare questo fatto, ossia provare che: per ogni ε > 0 esiste ν = ν(ε) ∈ N tale che: |ϕn (t) − ϕ(t)| = |f (xn , t) − f (x0 , t)| < ε per ogni t ∈ [a, b] (1) Fissiamo, ad arbitrio, ε > 0. 1 Teorema 0.1 Sia f (x) : X → R. Condizione necessaria e sufficiente affinché f (x) sia continua in x0 ∈ X è che per ogni successione {xn } ⊂ X convergente verso x0 , la successione numerica {f (xn )} converge verso f (x0 ). Dimostrazione. Provare!!! 2 Dal fatto che A è un aperto di R, esiste un intorno (chiuso) di x0 tutto contenuto in A, cioé esiste σ > 0 tale che: [x0 − σ, x0 + σ] ⊂ A. Sia {xn } una successione di elementi di A convergente verso x0 . Senza perdita di generalità, possiamo supporre che tale successione sia contenuta in questo intorno di x0 , cioé xn ∈ [x0 − σ, x0 + σ], per ogni n ∈ N (osserva che eventualmente solo un numero finito di termini della successione starebbero fuori da [x0 − σ, x0 + σ], proprio per la convergenza della stessa verso x0 ). Consideriamo il seguente rettangolo di R2 : ∆ = [x0 − σ, x0 + σ] × [a, b] ⊂ A × [a, b] Tale insieme è ovviamente un insieme chiuso e limitato di R2 . Consideriamo la restrizione della funzione f (x, t) : ∆ → R. Essa, essendo una funzione continua definita su un insieme chiuso e limitato, grazie al teorema di Cantor, è uniformemente continua in ∆, e quindi in corrispondenza al fissato ε > 0, esiste δ = δ(ε) > 0 ( e si può scegliere pure δ̄ < σ), tale che : |f (x0 , t0 ) − f (x00 , t00 )| < ε se (x0 , t0 ), (x00 , t00 ) ∈ ∆ , dR2 ((x0 , t0 ), (x00 , t00 )) = p (x0 − x00 )2 + (t0 − t00 )2 < δ. (2) Per la convergenza di {xn } verso x0 , in corrispondenza a δ > 0 (sorto dalla convergenza uniforme), esiste un indice ν ∈ N tale che: per ogni n > ν. (3) |xn − x0 | < δ Proviamo la tesi con l’indice ν da determinare uguale a ν. Sia n > ν, allora i punti (xn , t), (x0 , t) sono tali che appartengono a ∆ (facile verifica) e inoltre: dR2 ((xn , t), (x0 , t)) = p (xn − x0 )2 + (t − t)2 = |xn − x0 | < (grazie a (3)) < δ per ogni t ∈ [a, b], ma allora, si può applicare la (2), con (x0 , t0 ) = (xn , t) e (x00 , t00 ) = (x0 , t), ottenendo: |f (xn , t) − f (x0 , t)| < ε per ogni t ∈ [a, b] che è la (1); quindi vale il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale e quindi la tesi. Anzicché trovare una formula per la sola derivata di F (x), cerchiamo una formula per una funzione che è più generale rispetto a F (x). Sia f (x, t) : A × [a, b] → R una funzione continua in A × [a, b] e siano x ∈ A e y, z ∈]a, b[ (supporremo sempre, per facilità, che a < y ≤ z < b), allora ha senso considerare: Z z f (x, t) dt ∈ R y Si viene cosı̀ a costruire una funzione di tre variabili: Z z φ(x, y, z) = f (x, t) dt : A×]a, b[×]a, b[→ R y Vale il seguente: Teorema 0.2 Sia f (x, t) : A × [a, b] → R una funzione continua in A × [a, b]. Allora: Z i) La funzione φ(x, y, z) = z f (x, t) dt : A×]a, b[×]a, b[→ R è continua in A×]a, b[×]a, b[. y ii) Per ogni x ∈ A esistono le derivate parziali della funzione φ(x, y, z) rispetto a y e a z e valgono: ∂φ (x, y, z) = −f (x, y) ∂y ∂φ (x, y, z) = f (x, z) ∂z per ogni x ∈ A e per ogni y, z ∈]a, b[ ∂f iii) Se per ogni (x, t) ∈ A×]a, b[, esiste (x, t) ed è continua in A×]a, b[, allora vale la seguente formula di derivazione ∂x sotto il segno di integrale: Z z Z z ∂φ ∂ ∂f (x, y, z) = f (x, t) dt = (x, t) dt ∂x ∂x y y ∂x 3 Dimostrazione. Siano x0 ∈ A, y0 , z0 ∈]a, b[ e siano xn , yn , zn tre successioni tali che xn → x0 , yn → y0 , zn → z0 . Proveremo che φ(xn , yn , zn ) → φ(x0 , y0 , z0 ). Poiché A e ]a, b[ sono insiemi aperti, allora per quanto osservato, si può supporre che, per qualche σ > 0, xn ⊂]x0 −σ, x0 +σ[ e yn , zn ∈]a, b[, per ogni n ∈ N. Consideriamo il rettangolo ∆ = [x0 − σ, x0 + σ] × [a, b]. Poiché f (x, t) : A × [a, b] è continua, in particolare sarà continua nel rettangolo ∆, che è un insieme chiuso e limitato, dunque per il teorema di Weierstrass, la funzione |f (x, t)| ammette massimo assoluto in ∆. Sia M > max |f (x, t)| ≥ 0. ∆ Consideriamo la quantità: Z zn Z z0 f (xn , t) dt − f (x0 , t) dt = (utilizzando la proprietà di additività) |φ(xn , yn , zn ) − φ(x0 , y0 , z0 )| = yn y0 Z y0 Z z0 Z zn Z z0 f (xn , t) dt + f (xn , t) dt + f (xn , t) dt − f (x0 , t) dt ≤ = y y0 z y0 0 Z z0 Z Z nyn zn |f (xn , t) − f (x0 , t)| dt f (xn , t) dt + f (xn , t) dt + ≤ (4) y0 z0 y0 Ma, poiché |f (xn , t)| < M per ogni n ∈ N (in quanto (xn , t) ∈ ∆), si ha: Z yn Z yn M dt = M |yn − y0 | f (xn , t) dt < y0 y0 e analogamente si prova: Z zn z0 f (xn , t) dt < M |zn − z0 | pertanto, quando facciamo tendere n a ∞, i primi due integrali dell’ultimo membro della (4) tendono a zero, cosı̀ come, grazie al lemma precedente, anche il terzo integrale della (4) tende a zero, per cui la i) è provata. Per ogni y0 , z0 ∈]a, b[ e per ogni x0 ∈ A, considerata la funzione di una sola variabile: Z z Z z0 Z ζ(z) = φ(x0 , y0 , z) = f (x0 , t) dt e ι(y) = φ(x0 , y, z0 ) = f (x0 , t) dt = − y0 y y f (x0 , t) dt, z0 per il teorema di Torricelli si ottiene: ∂φ (x0 , y0 , z0 ) = ζ 0 (z0 ) = f (x0 , z0 ) ∂z e ∂φ (x0 , y0 , z0 ) = ι0 (y0 ) = −f (x0 , y0 ) ∂y per cui anche la ii) è provata. Sia (x0 , y0 , z0 ) ∈ A×]a, b[×]a, b[. Occorre provare che per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ A con |x − x0 | < δ, risulta: φ(x, y0 , z0 ) − φ(x0 , y0 , z0 ) ∂f (x0 , t) <ε − x − x0 ∂x Fissiamo ε > 0. Poiché x0 ∈ A e A è aperto, allora esiste un intorno di x0 tale che [x0 , −σ, xo + σ] ⊂ A. Considerato il rettangolo ∆ = [x0 , −σ, xo + σ] × [y0 , z0 ], per il teorema di Cantor sull’uniforme continuità, considerando, senza perdita di ε > 0, esiste un δ̄ > 0 (possiamo, ovviamente, supporre che δ̄ < σ) generalità, y0 < z0 , segue che in corrispondenza a |z0 − y0 | tale che: ε |f (x0 , t0 ) − f (x00 , t00 )| < per ogni (x0 , t0 ), (x00 , t00 ) ∈ ∆ con dR2 ((x0 , t0 ), (x00 , t00 )) < δ̄ (5) |z0 − y0 | Proviamo la tesi con δ = δ̄. Sia x ∈ [x0 − σ, x0 + σ] e tale che |x − x0 | < δ̄. Osserviamo che il rapporto incrementale di phi(x, y0 , z) ) si scrive: R z0 Rz f (x, t) dt − y00 f (x0 , t) dt Z z0 f (x, t) − f (x0 , t) φ(x, y0 , z0 ) − φ(x0 , y0 , z0 ) y0 = = dt (6) x − x0 x − x0 x − x0 y0 Fissato t ∈ [a, b], grazie al teorema del valore medio di Lagrange applicato alla funzione ϕ(x) = f (x, t) : [x0 , x] → R (per semplicità stiamo supponendo che x0 ≤ x), si ha: f (x, t) − f (x0 , t) ∂f (ξ, t) = x − x0 ∂x dove ξ ∈]x0 , x[ per ogni t ∈ [a, b] (7) 4 p Poiché (x0 − ξ)2 + (t − t)2 = |x0 − ξ| ≤ |x0 − x| < δ̄, vale la (5) con (x0 , t0 ) = (ξ, t) e (x00 , t00 ) = (x0 , t), pertanto, da (6) e (7), risulta: Z z0 Z φ(x, y0 , z0 ) − φ(x0 , y0 , z0 ) ∂f (x0 , t) z0 ∂f (ξ, t) ∂f (x0 , t) ε < ≤ dt − − dt = ε per ogni t ∈ [a, b] x − x0 ∂x y0 ∂x ∂x z − y0 0 y0 che è la tesi. Dal teorema precedente e dal teorema sulla derivabilità delle funzioni composte, discende il seguente: ∂f (x, t) Corollario 0.1 Sia f (x, t) : A × [a, b] → R continua nel suo insieme di definizione. Supponiamo che esista e sia ∂x continua in A×]a, b[. Siano α(x), β(x) : A → R derivabili in A e tali che α(x), β(x) ∈]a, b[ per ogni x ∈ A, allora la funzione: Z β(x) f (x, t) dt : A → R ϕ(x) = α(x) risulta derivabile e si ha per ogni x0 ∈ A: ϕ0 (x0 ) = Z β(x0 ) α(x0 ) ∂f (x0 , t) dt + f (x0 , β(x0 )) − f (x0 , α(x0 )) ∂x Gli esempi che seguiranno mostreranno che se non sono verificate tutte le ipotesi dei precedenti teoremi, può capitare che manchi la continuità della F (x) oppure la derivabilità di F (x). Esempio 0.1 Sia f (x, t) : [−1, 1] × [−1, 1] → R cosı̀ definita: |x| − |t| f (x, t) = x2 0 se |t| < |x| se |x| ≤ |t| ≤ 1 Proveremo che la funzione F (x) non è continua pur essendo la funzione f (x, t) continua rispetto alla variabile (di integrazione) t. − → y 6 f (x, t) = 0 f (x, t) = −x−t x2 f (x, t) = x−t x2 f (x, t) = −x+t x2 f (x, t) = x+t x2 - − → x f (x, t) = 0 Grafico del dominio di f (x, t) Sia x0 ∈ [−1, 1], allora la funzione della sola variabile t: |x0 | − |t| se |t| < |x | 0 x20 f (x0 , t) = : [−1, 1] → R 0 se |x0 | ≤ |t| ≤ 1 è continua. Sia t0 ∈ [−1, 1] \ {0}, allora la funzione della sola variabile x: |x| − |t0 | se 0 < |t | < |x| 0 f (x, t0 ) = : [−1, 1] → R x2 0 se |x| ≤ |t0 | ≤ 1 5 è continua, mentre per t0 = 0: ( 1 f (x, 0) = |x| 0 se 0 < |x| : [−1, 1] → R se |x| = 0 vi è una discontinuità in x = 0. Dunque f (x, t) non è continua in (0, 0). Consideriamo: 1 Z f (x, t) dt : [−1, 1] → R F (x) = −1 (osserviamo che tale integrale ha senso essendo f (x, t) una funzione continua rispetto alla variabile t). Sia x0 ∈ [−1, 1] \ {0} allora: Z 1 F (x0 ) = Z f (x0 , t) dt = 2 −1 1 |x0 | Z f (x0 , t) dt = 2 0 0 mentre Z t=|x0 | 1 1 t2 0 dt = 2 =2 1− =1 t− 2 |x0 | 2x0 t=0 2 |x0 | |x0 | − t dt + x20 Z Z 1 1 0 dt = 0 f (0, t) dt = F (0) = 1 −1 −1 dunque la funzione F (x) non è continua in x = 0. Esempio 0.2 Sia f (x, t) : [− 14 , 14 ] × [−1, 1] → R cosı̀ definita: t √ f (x, t) = −t + 2 x 0 √ se 0 ≤ t < x √ √ se x ≤ t < 2 x √ se 2 x ≤ t ≤ 1; −1 ≤ t < 0 se x ≥ 0, Mostreremo che la funzione f (x, t) è continua, mentre non è continua il segno di integrale. f (x, t) = −f (|x|, t) se x < 0 ∂f (x, t) e che non vale la formula di derivazione sotto ∂x − → y 6 f (x, t) = 0 √ f (x, t) = −t + 2 −x √ f (x, t) = −t + 2 x A3 @ R @ A4 A2 f (x, t) = t f (x, t) = t @ R @ A5 A1 - − → x A6 f (x, t) = 0 Grafico del dominio di f (x, t) Il punto dove sembrerebbe esserci qualche problema per la continuità di f (x, t) è l’origine (0, 0). Dividendo l’insieme di definizione [− 41 , 14 ] × [−1, 1] nei sei sottoinsiemi dove vi è cambio di legge: A1 , · · · A6 , notiamo che (0, 0) è di accumulazione per ognuno dei sottoinsiemi. Proviamo la continuità di f (x, t) per esempio nel sottoinsieme A2 . Risulta: √ |f (x, t) − f (0, 0)| = | − t + 2 x − 0| → 0 se (x, t) → (0, 0) 6 Per ogni (x, t) ∈] − 14 , 14 [×] − 1, 1[, si ha: √ 0 se 0 < t < x √ √ ∂f (x, t) = √1x se x < t < 2 x ∂x √ 0 se 2 x < t < 1; −1 < t < 0 Risulta ∂f (x, t) ∂f (|x|, t) =− ∂x ∂x se x ≥ 0, se x < 0 ∂f (0, t) = 0 per ogni t ∈ [−1, 1]. Infatti: ∂x lim x→0 t0 >0 f (x, t0 ) 0 f (x, t0 ) − f (0, t0 ) = lim = lim = 0 x→0 x→0 x x−0 x t0 >0 lim t0 >0 x→0 t0 =0 lim x→0 t0 <0 Sia, adesso x0 > 0, allora: Z 1 Z 0 Z F (x0 ) = f (x, t) dt = 0 dt + −1 −1 √ x0 t dt + t2 ) 4 f (x, 0) − f (0, 0) 0−0 = lim =0 x→0 x−0 x t0 =0 f (x, t0 ) − f (0, t0 ) 0−0 = lim =0 x→0 x−0 x t0 <0 √ 2 x0 Z 0 (poiché ad un certo punto |x| < √ x0 1 t2 (−t + 2 x0 ) dt + √ 0 dt = 2 2 x0 √ Z t=√x0 0 t2 √ + − + 2 x) t 2 t=2√x0 √ t= x0 = x0 Ripetendo quanto sopra calcolato, si mostra che è anche per x0 < 0, si ha F (x) = x. Banalmente per x = 0 si ha F (0) = 0, dunque F (x) = x per ogni x ∈ [− 14 , 14 ] e quindi F 0 (x) = 1 per ogni x ∈] − 14 , 14 [. Ma, poiché: Z 1 −1 ∂f (0, t) dt = ∂x si ha: ∂ 1 = F (0) = ∂x 0 Z Z 1 0 dt = 0 −1 1 1 Z f (0, t) dt 6= −1 −1 ∂f (0, t) dt = 0 ∂x dunque non vale la formula di derivazione sotto il segno di integrale. Finora abbiamo supposto che l’intervallo [a, b] fosse limitato. Se consideriamo un intervallo illimitato allora può accadere che i risultati dei precedenti teoremi non valgono più, bisogna cioé fare nuove ipotesi sulla funzione f (x, t). Definizione 0.1 Diremo che γ(t) è sommabile in un insieme I se è integrabile in ogni insieme chiuso e limitato di I e |γ(t)| è integrabile in senso generalizzato ( integrale improprio o di funzione generalmente continua) Valgono i seguenti risultati: Teorema 0.3 Sia f (x, t) : A × I → R (essendo I un intervallo anche illimitato) una funzione continua. Supponiamo che esista una funzione sommabile in I, γ(t), tale che: |f (x, t)| ≤ γ(t) per ogni x ∈ A e per ogni t ∈ I allora la funzione: Z f (x, t) dt : A → R F (x) = I è continua in A. Vale la seguente formula di derivazione sotto il segno di integrale: Teorema 0.4 Sia f (x, t) : A × I → R (essendo I un intervallo anche illimitato) una funzione continua. Supponiamo che ∂f (x, t) e sia continua in A × I. Supponiamo, infine, che esista una funzione sommabile in I, γ(t), tale che: esista ∂x ∂f (x, t) per ogni x ∈ A e per ogni t ∈ I ≤ γ(t) ∂x allora si ha: ∂ F (x) = ∂x 0 Z Z f (x, t) dt = I I ∂f (x, t) dt ∂x