Controllo ottimo LQ t.i. con azione integrale

1.0.
1.0 1
Controllo ottimo LQ t.i. con azione integrale
• Si è visto, nel caso tempo-continuo, che lo schema di controllo sottostante
in cui Kf f = −[C(A − BK)−1B]−1, garantisce (nel caso il sistema
retroazionato risulti stabile) che, dato un riferimento costante yd(t) = yp,
l’uscita del sistema a regime si porta a tale valore, cioè lim y(t) = yp.
t→∞
d
yd
Kf f
ups
u
A, B
−Kx
x
C
y
−K
L’aggiunta del riferimento può essere effettuata in qualunque schema di
regolazione con retroazione statica dello stato u = ∓Kx considerando Kf f = −[C(A ∓ BK)−1B]−1 (il termine ∓ è stato aggiunto per
tenere in considerazioni le diverse possibili convenzioni sui segni). Anche
nel caso tempo-discreto lo schema di controllo rimane il medesimo, salvo
dover considerare la diversa espressione del guadagno posto sul riferimento Kf f = −[C(A ∓ BK − In)−1B]−1 , dove In è la matrice identità di
dimensioni n × n.
L. Biagiotti, R. Zanasi - Teoria dei Sistemi e del Controllo - 2010/11
INTEGRALE
1. CONTROLLO OTTIMO
1.0.
1.0 2
• Problema: non c’è feedback direttamente sull’errore di inseguimento
e = yd − y. Lo schema è poco robusto mei confronti di incertezze nel
modello o disturbi non misurabili che agiscono sul sistema, come è il caso
del disturbo d nello schema precedente.
6
d(t)
4
2
0
0
2
4
6
8
10
t
6
y
d
y
y(t)
4
2
0
0
2
4
6
8
10
t
(ControlloOttimoIntegrale.m)
Il riferimento non viene inseguito perchè il disturbo non misurabile d
modifica le condizioni nominali di progetto.
• Aumentiamo il sistema con l’integrale dell’errore.
Se al sistema
ẋ(t) = A x(t) + B u(t) + B d(t) ,
x(t0 ) = x0
y(t) = C x(t)
aggiungiamo un nuovo stato nel caso di una sola uscita (o tanti nuovi stati
pari al numero m di uscite da controllare)
q̇(t) = e(t) = y(t) − yd(t) = C x(t) − yd(t)
otteniamo il nuovo sistema dinamico
ẋ(t)
A 0
B
0
x(t)
B
=
+
u(t) +
yd(t) +
d(t)
q̇(t)
C 0
q(t)
0
−Im
0
x(t)
y(t)= C 0
q(t)
L. Biagiotti, R. Zanasi - Teoria dei Sistemi e del Controllo - 2010/11
INTEGRALE
1. CONTROLLO OTTIMO
1.0.
1.0 3
• Indicando con z il nuovo vettore di stato
x(t)
z(t) =
q(t)
e ponendo
Az =
A 0
B
0
, Bz =
, Br =
, Cz = C 0
C 0
0
−1
il sistema dinamico aumentato può essere riscritto come
ż(t) = Az z(t) + Bz u(t) + Br yd(t) (+Bz d(t))
y(t) = Cz z(t).
A questo punto, applicando la retroazione statica dello stato
x(t)
u(t) = −Kz z(t) = − K H
=
q(t)
= −K x(t) − H q(t) =
Z t
yd(t) − y(t) dτ
= −K x(t) + H
0
nell’ipotesi che Az , Bz sia raggiungibile, è possibile stabilizzare il sistema, e vale il seguente teorema:
• Teorema. Per ogni disturbo costante d(t) ≡ dp e per ogni riferimento costante yd(t) ≡ yp l’uscita del sistema y(t) → yp per t → ∞
(inseguimento perfetto a regime).
Dimostrazione.
Se il sistema
ż(t) =
Az − Bz Kz z(t) + Br
y(t) = Cz z(t)
yd(t)
Bz
d(t)
ottenuto con la retroazione u(t) = −Kz z(t) risulta strettamente stabile,
considerando ingressi costanti, lo stato esteso z converge a un valore di
regime costante (z(t) → zc per t → ∞).
ẋ(t)
Di conseguenza, asintoticamente, ż =
→ 0, e in particolare
q̇(t)
q̇(t) → 0, ma poichè q̇ = y(t) − yd(t) segue che y(t) → yd(t) ≡ yp.
L. Biagiotti, R. Zanasi - Teoria dei Sistemi e del Controllo - 2010/11
INTEGRALE
1. CONTROLLO OTTIMO
1.0.
1.0 4
• Lo schema di controllo finale risulta
d
yd(t)
−e(t)
-
1
s
−q(t)
u(t)
H
−Kx(t)
A, B
x(t)
C
y(t)
−K
dove la matrice Kz = K H può essere ricavata in vari modi.
• Controllo LQ con azione integrale
Per il sistema esteso (in cui è stato omesso sia il riferimento che il disturbo)
ẋ(t)
A 0
x(t)
B
=
+
u(t)
q̇(t)
C 0
q(t)
0
x(t)
y(t) = C 0
q(t)
x(t)
si può progettare un regolatore LQ ottimo u(t) = − K H
con
q(t)
i pesi
T
C Qy C 0
Q=
, R
0
Qi
dove:
– Qy rappresenta il peso sull’errore di tracking;
– Qi è il peso sull’integrale dell’errore di tracking;
– R è il peso sul controllo.
L. Biagiotti, R. Zanasi - Teoria dei Sistemi e del Controllo - 2010/11
INTEGRALE
1. CONTROLLO OTTIMO
1.0.
1.0 5
• Risposta del sistema con controllo integrale
6
d(t)
4
2
0
0
2
4
6
8
10
t
6
y
d
y
y(t)
4
2
0
0
2
4
6
8
10
t
(ControlloOttimoIntegrale.m)
• Sistemi tempo-discreti
Per sistemi tempo-discreti valgono considerazioni simili a quelle relative ai
sistemi tempo-continui. Dato il sistema
x(k + 1) = A x(k) + B u(k) + B d(k) ,
x(k0 ) = x0
y(k) = C x(k)
aggiungiamo il nuovo stato
q(k + 1) = q(k) + Tse(k) = q(k) + Ts y(k) − yd(k)
= q(k) + TsC x(k) − Tsyd(k)
dove Ts è il periodo di campionamento del regolatore tempo-discreto. Si
noti che
Q(z)
Ts
Tsz −1
=
=
q(k + 1) = q(k) + Tse(k) ↔
E(z) 1 − z −1 z − 1
in cui si può riconoscere l’espressione standard di un integratore tempodiscreto. Il sistema dinamico aumentato risulta
B
0
B
x(k + 1)
A 0 x(k)
+
u(k)+
yd(k) +
d(k)
=
0
−TsIm
0
q(k + 1)
TsC Im q(k)
x(k)
y(k)= C 0
q(k)
L. Biagiotti, R. Zanasi - Teoria dei Sistemi e del Controllo - 2010/11
INTEGRALE
1. CONTROLLO OTTIMO
1.0.
1.0 6
• Nel caso si consideri un sistema con una sola uscita (m = 1) la matrice
placements
identità Im si riduce chiaramente al valore scalare 1.
T
• Come nel caso tempo-continuo, posto z(k) = x(k) q(k) , se la retroazione
dello stato u(k) = −Kz z(k) stabilizza il sistema dinamico aumentato e
gli ingressi yd(k)(= yp) e d(k) sono costanti, lo stato esteso converge
a un valore di regime costante. In particolare converge q(k), e quindi e(k) = T1s q(k + 1) − q(k) → 0 per k → ∞. Di conseguenza
y(k) → yp.
• Lo schema di controllo tempo-discreto risulta
d
yd(k) −e(k) Ts −q(k)
H
1−z
u(k)
−Kx(k)
L. Biagiotti, R. Zanasi - Teoria dei Sistemi e del Controllo - 2010/11
INTEGRALE
A, B
x(k)
C
y(k)
−K
1. CONTROLLO OTTIMO