Proprieta` elettromagnetiche statiche dei nuclei: Momenti di multipolo

Proprieta` elettromagnetiche statiche dei
nuclei: Momenti di multipolo
• I nucleoni all’interno del nucleo danno luogo ad una distribuzione di
carica e di corrente che produce campi elettrici e magnetici
• A queste distribuzioni restano assegnati momenti di multipolo come ad
esempio si dimostra con un’espansione in serie multipolare
Se pensiamo alla
densita` di carica di un
nucleo ρ(r) il potenziale
in un punto P lo
possiamo esprimere
come un’espansione
multipolare
Elemento di carica
origine
3/12/13
GM_A.A.2011/12
P (osservatore)
d=R-r
1
  
d = R−r
da cui si ottiene per la legge dei coseni :
2
$
'
r
r
2
2
2
2
d = R + r − 2rRcos θ = R &1+ 2 − 2 cosθ )
R
% R
(
$
'
r2
r
d = R &1 + 2 − 2 cosθ )
R
R
%
(
dove
cosθ = rˆ ⋅ Rˆ
€
definiamo
ε = r/R
x = cosθ
per cui
1 1
2 −1/ 2
= (1 − 2εx + ε )
d R
3/12/13
GM_A.A.2011/12
2
la funzione (1− 2εx + ε
2 −1/ 2
)
e`la funzione generatrice dei polinomi di Legendre
(1− 2εx + ε
2 −1/ 2
)
∞
= ∑ε n Pn (x)
n= 0
ossia
n
∞
∞
1 1 &r)
1
= ∑( + Pn (cosθ ) = ∑ n +1 r n Pn (cosθ )
d R n= 0' R *
n= 0 R
ogni potenziale che varia con una legge del tipo 1/d
si puo` esprimere come espansione multipolare

1
n
r
P
(cos
θ
)
ρ
(
r
)dτ
n
n+1 ∫
n=0 R
∞
V =∑
il termine per n=0 di questa espansione e` detto termine di monopolo Po (x)=1
∞


1
1
n
V = ∫ ρ (r )d τ +∑ n+1 ∫ r Pn (cosθ )ρ (r )dτ
R
n=1 R
3/12/13
GM_A.A.2011/12
3
Per il potenziale elettrostatico
1 ∞ 1
V=
∑
4 πεo n= 0 R( n +1)
n
∫ (r) P (cosθ )ρ dτ
n
1
V=
[V0 + V1 + V2 + ...]
4 πεo
1
V0 = ∫ ρ dτ
R
1
V1 = 2 ∫ r cosθ ρ dτ
R
1
1.
2+ 3
2
V2 = 3 ∫ ( r) - cos θ − 0 ρ dτ
,2
R
2/
Vo : Temine di monopolo n=0 ,
integrale della distribuzione di carica
sul volume Ze e` il momento di
monopolo elettrico ; l’operatore di
parita` (r→-r) non cambia segno a
questo termine → parita` pari +
V1 : Termine di dipolo n=1 il
momento di dipolo cambia segno
per operazione di parita`(cosθ→cosθ) →parita` dispari V2 : Termine di quadrupolo n=2
parita pari +
.
.
.
Parita` dei momenti multipolari elettrici: (-1)n
3/12/13
GM_A.A.2011/12
4
I momenti di multipolo magnetico
Per quanto riguarda il campo magnetico abbiamo una
situazione analoga tranne che per il momento di monopolo che
non contribuisce.
Parita` dei momenti multipolari magnetici: (-1)n+1
Una distribuzione sferica di carica contribuisce soltanto con il
momento di monopolo mentre una spira percorsa da corrente
produce soltanto un campo di dipolo magnetico
Per il nucleo dobbiamo ragionare in termini quantistici e quindi
associare ad ogni momento multipolare un operatore e calcolarne
il valore di aspettazione per i vari stati nucleari associati a funzioni
d’onda che come sappiamo hanno una parita` ben definita.
3/12/13
GM_A.A.2011/12
5
• 
• 
Sia Vn l’operatore di multipolo di ordine n
ψ sia la funzione d’onda nucleare di parita` definita ψ→+ ψ
ψ→- ψ
∫ ψ *V ψ
n
• Se Vn ha parita` dispari allora la funzione integranda ha parita` dispari
e l’integrale e` nullo
• il contributo di tutti i momenti multipolari dispari per stati stazionari e` zero!
€
Dipolo elettrico, quadrupolo magnetico, ottupolo elettrico ….
Monopolo elettrico : Ze
3/12/13
GM_A.A.2011/12
6
Dipolo magnetico : |µ|=iA momento di dipolo magnetico
indotto da una corrente i che racchiude un’area A
Se i e` dovuta ad una sola carica e che si muove con
velocita` v su un’orbita circolare di raggio r allora
e
e
evr
2
µ= A; µ=
πr ; µ =
T
2π r v
2
emvr
epr
e
µ=
; µ=
; µ=
L
2m
2m
2m
3/12/13
GM_A.A.2011/12
7
In M.Q

e
e
µ* =
( +1) ; µ z =
m
2m
2m
e
momento magnetico , per il valore
µ=
 Osservabile
massimo della proiezione del momento angolare m =l
2m
l
e
Magnetone di Bohr µ B ≡
=5.7884 ⋅10 -5eV/T ;
2me
e
Magnetone nucleare µ N ≡
=3.1525⋅10 -8eV/T
2m p
µN<<µB a causa della differenza di massa tra elettrone e protone
3/12/13
GM_A.A.2011/12
8
€
Momento magnetico associato al momento angolare
µ = g µN 
Con g-factors
€
g = 1
g = 0
Per il protone
Per il neutrone
Momento magnetico associato allo spin
µs = gs
e
s ; g s fattore giromagnetico di spin
2m
€
gs =2 per una particella puntiforme di spin 1/2 (risultato che si ottiene risolvendo l’equazione di Dirac)
Per nucleoni liberi i valori sperimentali di gs sono:
gs = 5.5856912 ± 0.0000022 per il protone
gs = −3.8260837 ± 0.0000022 per il neutrone
3/12/13
GM_A.A.2011/12
9
Ne` il protone , ne` il neutrone sono particelle puntiformi gs≠2
per il protone gs = 2 (exp ≈ 2 + 3.6)
per il neutrone gs = 0 (exp ≈ -3.6)
Effetto di pairing: nel nucleo i nucleoni formano coppie con
momento angolare orbitale e di spin nullo per cui solo i pochi
nucleoni di valenza contribuiscono al momento magnetico del
nucleo.
3/12/13
GM_A.A.2011/12
10
Momento di quadrupolo elettrico
Classicamente per una particella carica e puntiforme
eQ=e(3z2-r2), se la particella si muove con simmetria
sferica eQ=0; se la particella si muove in un piano, ad
esempio xy allora z=0 e eQ=-er2
In M.Q
Il valore di aspettazione del
momento di quadrupolo
per un singolo protone
eQ = e ∫ ψ * (3z 2 − r 2 )ψdτ
3/12/13
Per molti nuclei Q=0 poiche` i
nucleoni in generale si muovono in
orbite a simmetria sferica grazie
all’interazione di pairing, in generale
contribuiscono a Q≠0 i nucleoni di
valenza
GM_A.A.2011/12
11
Unita` di misura
•  eQ si misura in em2 oppure in e•barn 1barn=10-28m2
•  I valori noti variano da 6 • 10-30em2 (0.06e • b) a 50 10-30e • m2
(0.5e • b)
•  Alcuni nuclei (vedi terre rare 176 Lu, 161Dy..) hanno momenti di
quadrupolo molto elevati in questi casi molti o tutti i protoni
contribuiscono al momento di quadrupolo, questi nuclei
presentano una forte deviazione dalla forma sferica
3/12/13
GM_A.A.2011/12
12
3/12/13
GM_A.A.2011/12
13
Polinomi di Legendre
where
Funzione generatrice
Ortogonalita` : costituiscono un set completo di
funzioni ortogonali
nell’intervallo
Parita’: dipende dal grado del polinomio;
È pari per n pari
dispari per n dispari
3/12/13
GM_A.A.2011/12
14
•  NB: se lo spin del nucleo I=0 (anche ½) non è possibile la
misura di Q ( usualmente dallo studio dello splitting dei
livelli dovuto all’interazione iperfine) poiche` non c’è
alcun riferimento spaziale per definire l’asse Z
3/12/13
GM_A.A.2011/12
15