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Lezione 6 - Corsi di Laurea a Distanza
A. Chiodoni – esercizi di Fisica II SESTA LEZIONE: campo magnetico, forza magnetica, momenti meccanici sui circuiti piani Esercizio 1 Un protone d’energia cinetica Ek=6MeV entra in una regione di spazio in cui esiste un campo magnetico B=1T ortogonale al piano della traiettoria, formando con l’asse y l’angolo θ = 30° . Calcolare a) l’angolo θ ’ della direzione di uscita con l’asse y e b) la distanza lungo y tra il punto di uscita e il punto di ingresso. → Soluzione ` B a) L’angolo θ ’ è uguale a θ b) Convertiamo Ek da eV a J (1eV = 1.602x10-19J): Ek= 6MeV= 9.602 × 10 −13 J Sul protone che entra nella zona dove c’è il campo magnetico agisce la forza di Lorenz: r v2 F = qvB = m , cioè la particella segue una traiettoria circolare di raggio r. r Dalla conoscenza di Ek ricaviamo la quantità di moto p: p = 2m p E k . A questo punto, è possibile ricavare il raggio di curvatura della traiettoria circolare come: mv 2 mv p = = = r= qvB qB qB 2m p E k qB , cioè, nel nostro caso, 1 Corsi a distanza – corso di laurea in INGEGNERIA LOGISTICA E DELLA PRODUZIONE A. Chiodoni – esercizi di Fisica II r= 2 × 1.67 × 10 −27 × 9.6 × 10 −13 5.66 × 10 −20 = 3.54 × 10 −1 = 0.354m = 1.6 × 10 −19 1.6 × 10 −19 La distanza cercata vale: y = 2r sin(θ ) = 2r sin(30°) = 2r (0.5) = r = 0.354 m Esercizio 2 Un protone di energia cinetica Ek=50MeV si muove lungo l’asse x e entra in un campo magnetico B=0.5T, ortogonale al piano xy, che si estende da x=0 a x=L=1m. Calcolare all’uscita del magnete nel punto P: a) L’angolo che la velocità del protone forma con l’asse x e b) la coordinata y del punto P. → Soluzione a) Come nell’esercizio precedente, abbiamo il moto di una carica in una zona dove c’è campo magnetico. Il moto entro questa zona è circolare, per cui possiamo calcolarci il raggio di curvatura. Convertiamo l’energia in Joule e determiniamo il raggio: Ek=50MeV=8x10-12J Calcoliamo r= p = qB il 2m p E k qB raggio = di curvatura della traiettoria del protone: 2 × 1.67 × 10 − 27 × 8 × 10 −12 1.63 × 10 −19 = 2.04m = 1.6 × 10 −19 × 0.5 1.6 × 10 −19 × 0.5 2 Corsi a distanza – corso di laurea in INGEGNERIA LOGISTICA E DELLA PRODUZIONE A. Chiodoni – esercizi di Fisica II A cos (90°-α) C Inoltre, abbiamo che, considerando il triangolo CAP, L = r cos(90° − α ) e quindi cos(90° − α ) = L LqB = ( r p E’ ora possibile trovare l’angolo α di uscita dalla regione di campo magnetico come: cos(90° − α ) = sin(α ) = 1.6 × 10 −19 × 1 × 0.5 = 0.490 → α = arcsin(0.490) = 29.4° 1.63 × 10 −19 b) La coordinata y del punto P sarà: y = r − ( r cos α ) = − r (1 − cos α ) = −0.26 m Esercizio 3 Un fascio di elettroni, dopo essere stato accelerato da una d.d.p. V=103 V, entra in una regione in cui esiste un campo magnetico B=0.2T. La direzione degli elettroni forma un r angolo α = 20° con B . Calcolare a) il raggio r della circonferenza della traiettoria elicoidale compiuta dagli elettroni. b) di quanto avanzano gli elettroni, lungo l’elica, in ciascun giro (p, passo dell’elica). → Soluzione 3 Corsi a distanza – corso di laurea in INGEGNERIA LOGISTICA E DELLA PRODUZIONE A. Chiodoni – esercizi di Fisica II y x v r B p z a) Iniziamo con il calcolare la velocità degli elettroni: 1 2 mv = eV → v = 2 2eV = m 2 × 1.6 × 10 −19 × 10 3 = 3.5 × 1014 = 1.87 × 10 7 m / s − 31 9.1 × 10 v⊥ Le due componenti parallela e perpendicolare a B sono v // = v cos α , v ⊥ = v sin α . Calcoliamo ora il raggio di curvatura: 2 mv ⊥ eBr eBr eBr , e quindi: ev ⊥ B = → v⊥ = → v sin α = →v= r m m m sin(α ) r= mv sin(α ) 9.1 × 10 −31 × 1.87 × 10 7 × sin(α ) = 18.2 × 10 −5 m = 0.187mm = eB 1.6 × 10 −19 × 0.2 b) Per determinare il passo dell’elica dobbiamo trovare il periodo T= m 2π × 9.1 × 10 −31 2π = 178.6 × 10 −12 s = 1.78 × 10 −10 s = 2π = w eB 1.6 × 10 −19 × 0.2 Allora: p = v cos αT = 1.87.10 7 × cos(20°) × 1.78 × 10 −10 = 3.13 × 10 −3 m = 3.13mm 4 Corsi a distanza – corso di laurea in INGEGNERIA LOGISTICA E DELLA PRODUZIONE A. Chiodoni – esercizi di Fisica II Esercizio 4 Al giogo di una bilancia è sospesa una spira rigida larga b=5cm. La parte inferiore è r immersa in un campo magnetico uniforme B ortogonale al piano della spira. Se nella spira circola una corrente di intensità i=1A con verso opportuno, si osserva che per riequilibrare la bilancia occorre mettere una massa m=0.5 g sul piatto. Calcolare il r valore del modulo di B . → Soluzione Il lato orizzontale della spira immerso nel campo magnetico risente della forza r r r r r F = ib xB (2° legge di Laplace) che in modulo vale F = ibB sin(θ ) = ibB in quanto B e b sono ortogonali. Negli alti tratti di spira sottoposti al campo magnetico la corrente ha versi opposti e le forze sono uguali e contrarie; esse hanno anche la stessa retta di r azione per cui non producono nessun effetto. La forma F è dunque equilibrata dalla r forza peso mg : mg = ibB → B = 0.5 × 9.81 mg = 9.8 × 10 − 2 T = −2 ib 1 × 5 × 10 Esercizio 5 Si consideri una spira rettangolare, di lati a e b, percorsa dalla corrente i; essa è immersa in un campo magnetico uniforme e con esso forma un angolo θ . Determinare il momento torcente che tende ad allevare la spira perpendicolarmente al campo r magnetico B . → Soluzione 5 Corsi a distanza – corso di laurea in INGEGNERIA LOGISTICA E DELLA PRODUZIONE A. Chiodoni – esercizi di Fisica II Q x S R r r Come si deduce dalla figura, le forze magnetiche F3 e F4 sui lati RS e PQ sono uguali e contrarie e hanno la stessa azione; ciascuna di esse è la risultante di un sistema di forze parallele applicate nel centro del lato e nel loro insieme formano una coppia di r r braccio nullo e quindi di momento nullo. Le forze F1 e F2 sui lati QR e SP, ciascuna di r modulo F = iaB (2° legge di Laplace) in quanto i lati a sono ⊥ a B , sono anch’esse uguali e contrarie, ma costituiscono una coppia di braccio b sin θ . Il momento della coppia vale il modulo: M = b sin θ F = b sin θ iaB = iΣB sin θ v ed è parallelo al piano della spira e orientato parallelamente al lato a. Poiché m = iΣuˆ n è il momento magnetico della spira, il momento meccanico può essere definito anche r r r r r r come M = mxB = iΣuˆ n xB . Tale momento è nullo solo se m // B . La posizione con θ = 0 è e di equilibrio stabile, quella con θ = π di equilibrio instabile. Per qualsiasi altro valore di r r θ M tende a far ruotare la spira in modo che il momento magnetico m (che è parallelo a û n , normale alla spira orientata rispetto alle corrente secondo la regola r della mano destra) diventi parallelo e concorde a B . 6 Corsi a distanza – corso di laurea in INGEGNERIA LOGISTICA E DELLA PRODUZIONE