soluzione

Seminario didattico
Lezione 8:
Campo Magnetico – Forze magnetiche
Esercizio n°1
Nel circuito in figura scorre una corrente I = 10 A. I raggi delle
semicirconferenze sono r1 = 8 cm ed r2 = 12 cm.
Determinare il campo B nel centro del circuito.
DATI:
O
I=10 A
R1=8 cm
R2= 12 cm
B(O) = ?
2
Svolgimento esercizio 1 (1)
Suddividiamo il circuito nelle 4 parti indicate in figura, il campo magnetico
totale sarà la somma dei vari contributi:
Per un tratto infinitesimo lungo le parti 3 e 4 il
contributo infinitesimo del campo magnetico risulta:
2
O
4
3
1
ur2
O
z
r
r
dl3
0 i d 
l 3/ 4× ur
d
B3/ 4 0=
=0
2
4
r
dl2
4
dl4
O
ur1
dl1
3
Il prodotto vettoriale è nullo poiché i due vettori sono
paralleli.
Per un tratto infinitesimo lungo le parti 1 e 2 il
contributo infinitesimo del campo magnetico risulta:
l 1/2× ur
0 i d 
0 i dl1/2 uz

d B1/ 2 0=
=
2
4
4  r 21/ 2 3
r 1/2
1/ 2
Svolgimento esercizio 1 (2)
Sia per il tratto 1 che per il tratto 3 il campo magnetico è uscente dal piano
del disegno .
La lunghezza infinitesima dell'arco di circonferenza è : dl=r d 
Pertanto il campo magnetico generato da un tratto infinitesimo di filo lungo
le due circonferenze risulta:
0 i d 
d
B2 O=
uz
4  r2
0 i d 
d
B1 O=
uz
4  r1
Per ottenere il campo magnetico totale in O è necessario integrare sull'angolo
θ:
0 i
d
B O=
uz
4

2

∫0 d  ∫
r2

d
r1

0 i
1 1
=
uz  =uz 6.54∗10−5 T
4
r2 r1


4
Esercizio n°2
Tre conduttori rettilinei paralleli e indefiniti, percorsi da una corrente I = 10 A
passano per i vertici di un triangolo equilatero ABC di lato L =10 √3 cm e sono
perpendicolari al piano del triangolo. In B e C la corrente ha un verso entrante nel
piano della figura, in A verso uscente. Determinare modulo direzione e verso del
campo magnetico risultante nel centro del triangolo.
DATI:
I=10 A
L =10 √3 cm
B(O) = ?
5
Svolgimento esercizio 2 (1)
Il campo magnetico risultante in O sarà la somma vettoriale dei tre contributi
di campo magnetico dovuti ai tre fili (A, B,C). I vettori dei tre campi magnetici
avranno la direzione ed il verso indicato in figura che è ottenuto dalla legge di
Biot-Savart.
I moduli dei tre vettori saranno uguali, poiché è identica la corrente che vi
scorre e la distanza di ciascun filo al punto O, che è pari a:
l
l
l
cos 30 °d= ⇒ d=
= =10 cm
2
2 cos30 °  3
y
BC
Ciascun campo magnetico risulta:
 O=
B
60 °
BA
BB
0 I
ut × ur
2 d
x
6
Svolgimento esercizio 2 (2)
I campi magnetici totale in O scomposti lungo gli assi x e y risultano:
0 I
BA O=
ux
2 d
BB O=
y
0 I
ux cos360°−60°uy sin 360 °−60 ° 

2 d
0 I

B C O=
ux cos60° uy sin 60° 

2 d
BC
60
°
BA
x
Il campo totale lungo l'asse y è nullo poiché le
componenti dovute ai fili B e C sono uguali in
modulo ed opposte. Il campo totale lungo x
risulta:
BB
BTOT O=
0 I
0 I
−5
ux  cos60 °cos60 °1 =
ux = ux 4.10 T
2d
d
7
n°2
Esercizio n°3
Un filo conduttore vincolato in posizione orizzontale è percorso da una corrente
I = 10 A. Un secondo filo conduttore, parallelo al primo, percorso dalla stessa
corrente nello stesso verso, è posto inferiormente al primo, libero di muoversi.
Determinare il valore della distanza d perché il filo inferiore sia in posizione di
equilibrio, se la sua densità di massa per unità di lunghezza è λM = 1 g/m. (Si
considerino fili di lunghezza infinita).
DATI:
I
I
d
I=10 A
λM = 1 g/m
d =?
8
Svolgimento esercizio 3 (1)
Affinchè il secondo filo sia in equilibrio la forza magnetica esercitata su di
esso dal primo filo deve essere uguale ed opposta alla forza di gravità.
Il campo magnetico generato dal primo filo ad
una distanza d risulta dalla legge di Biot-Savart:
y
I
1
2
I
B
dF12
d
ut
 d =
B
ur
0 I
ut ×ur
2d
dP
La forza esercitata dal primo filo su un tratto infinitesimo dl2 del secondo risulta:
2
0 I dl 2


dF 12=I 2 dl2 ut × B=
uy
2 d
Dove è stato sostituito I2 =I e il versore uy
segue la direzione dell'asse y indicato in
figura
La forza peso per un tratto infinitesimo dl2 del secondo filo risulta:

dP=− M dl2 g uy
9
Svolgimento esercizio 3 (2)
La risultante delle forze risulta:
2
0 I



R= dF 12 dP=0 ⇒
dl2= M g dl 2
2d
Da cui si ottiene la distanza a cui il secondo filo è in equilibrio:
2
0 I
d=
=2.04 mm
2  M g
10
Esercizio n°4
Una spira di lato ℓ = 0.5 m è posta a distanza ℓ da un filo rettilineo percorso da
una corrente I = 10 A. Filo e spira giacciono nello stesso piano orizzontale. La
spira è percorsa da una corrente I’ = 2A.
Calcolare la forza F, ortogonale al filo, che bisogna applicare alla spira per
impedirle di andare verso il filo.
I
I'
ℓ
I'
DATI:
I=10 A
I'=2 A
ℓ = 0.5 m
F =?
ℓ
11
Svolgimento esercizio 4 (1)
Il campo magnetico prodotto dal filo è entrante ed ha il seguente
valore ad una distanza r:
 r =
B
4
Calcolo la forza che agisce su ciascuno dei lati
della spira:
1
I
I'
I'
2
B
ℓ
0 I
ut ×ur
2r
ℓ
y
x
2ℓ
F2=−uy ∫ℓ
3
1)
d F1 =I ' 
dy 1×
B ℓ 
ℓ 0 I I '
2 ℓ
d F =I ' 
dx ×
Bx
F1=−ux ∫ℓ I ' dy B ℓ=−ux
2)
2
2
0 I I ' 2ℓ 1
0 I I '
2ℓ
I ' dx B x =−uy
dx=−uy
ln
∫
ℓ
2 ℓ
x
2 ℓ
ℓ
 
12
Svolgimento esercizio 4 (2)
3)
d F3=I ' 
dy 3×
B 2 ℓ 
F3 =ux ∫ℓ I ' dy B 2ℓ= ux
ℓ 0 I I '
4ℓ
d F4 =I ' 
dx 4 ×
B  x
2ℓ
0 I I ' 2ℓ 1
0 I I '
2ℓ




F 4 =u y ∫ℓ I ' dx B x =u y
dx=u y
ln
∫
ℓ
2ℓ
x
2ℓ
ℓ
4)
 
F4
F1
I' 4
3
1
I
B
F2 e F4 hanno lo stesso modulo e verso
opposto. La risultante delle forze avrà
componente nulla lungo l'asse y.
I'
F3
2
 F1 F2  F3  F4
R=
F2
y
x
 F1 F3 =ux
R=
0 I I '
0 I I '
1
−1 =−ux
2
2
4  13


Svolgimento esercizio 4 (3)
Affinchè la spira resti ferma è necessario applicare una forza F opposta
ed uguale in modulo alla risultante R delle forze dovute al campo
magnetico:
I'
R
I
I'
F
0 I I '
−6


F=−
R=ux
=ux 2∗10 N
4
B
y
x
14
Esercizio n°5
Il filo conduttore di figura piegato ad U ha la distanza tra i fili 2a= 2cm ed è
percorso dalla corrente i=0.5 A. Calcolare:
a) il campo magnetico BC nel punto C e
b) il campo magnetico BD in un punto D, molto lontano dal tratto di filo curvo, di
cui si trascura l'effetto (assumendo che i fili siano infiniti)
i
2a
C
D
DATI:
i=0.5 A
2a=2 cm
BC = ?
BD = ?
i
15
Svolgimento esercizio 5 (1)
a)Il punto C è nel centro del semicerchio che chiude il conduttore ad U,
calcoliamo il campo magnetico in C come la sovrapposizione dei campi
dovuti alla parte rettilinea e il campo dovuto alla parte circolare.
1
i
Il campo magnetico dovuto ad un singolo tratto
2
x
infinitesimo ds lungo un tratto del filo è:
C
i
0 i ds

dBr =
u ×ur
2 t
4r
3
Il campo magnetico per i due tratti rettilinei infiniti si ottiene in maniera analoga
alla dimostrazione della legge di Biot-Savart, secondo la notazione in figura il
campo infinitesimo è:
0 i ds
0 i
dBr =
sen =−
d cos
2
4a
4r
ds ut
θ
Integrando per cos(θ) che va da -1 a 0 ovvero θ da π a π/2 si
ottiene la metà rispetto al valore della legge di Biot-Savart:
r ur
C
a

BC =
1/3
0 i
0 i
ut ×ur =
ux
4a
4a
16
Svolgimento esercizio 5 (2)
Il campo magnetico dovuto alla parte semicircolare del circuito risulta:
0 i ds
0 i  a
0 i


dB C a=
u ⇒ BC a=
ux =
ux
2 x
2
4a
4a
4a
2
x
i
2
1
2
i
i
C
1
3
Dove si è sostituita la lunghezza della semi
circonferenza pari a πa. Il Campo totale in
C risulta:


0 i
0 i 0 i
BC = BC  BC  BC =


ux
4a 4a 4 a
1
BC =
3
2
0 i 2
1 ux =26  T
4a 
 
17
Svolgimento esercizio 5 (3)
b) Il campo magnetico nel punto D molto lontano dalla parte curva risulta pari alla
somma dei campi magnetici generati da due fili paralleli, infiniti e percorsi da
corrente nel verso opposto. Ciascuno si otterrà dalla legge di Biot-Savart, per cui
si ha:
BD = BD  BD =
1
x
i
2


0 i
0 i
0 i

ut × ur =
ux = ux 20 T
2  a 2 a
a
1
D
i
2
L'esercizio 7.12 del Mazzoldi prevede che il punto D sia
all'estremo infinito dei fili e pertanto somma il campo
generato da due semi fili paralleli . Il risultato è la metà
di quello trovato qui.
18
Esercizio n°4
La corrente che percorre il tratto di filo conduttore di figura è I = 5 A. Calcolare
il campo magnetico BP nel punto P.
ℓ= 2 cm
1 cm
P
DATI:
I=5 A
ℓ = 2 cm
BP = ?
19
Svolgimento esercizio 6 (1)
Per valutare il campo magnetico in P è necessario suddividere il conduttore
in parti come indicato in figura.
Per un tratto infinitesimo lungo le parti 1 e 5 il
contributo infinitesimo del campo risulta:
ℓ= 2 cm
2
1
3 4
P
x
1 cm
5
dl1
r
O r
dl5
0 i d 
l 1/5× ur
d
B1/5 P=
=0
2
4
r
Il prodotto vettoriale è sempre nullo poiché i vettori sono paralleli. Gli unici
contributi non nulli si hanno dalle parti di lunghezza finita del conduttore (2/3/4).
Il campo magnetico generato da un elemento infinitesimo di lunghezza dl del
cavo (2/3/4) possiamo riscriverlo come :
0 i 
dl×ur 0 i dl ux sen
0 i d cos ux

d B P=
=
=−
2
2
4 r
4
4
ℓ
r
2
20
Svolgimento esercizio 6 (2)
Il campo magnetico generato dal tratto 2 si ottiene integrando il campo
magnetico infinitesimo su tutta la lunghezza del conduttore, ovvero
integrando tra θ= 90° e θ = θ2

dl2
ℓ/2

dl2
θ2
ur
cos2 

B 2  P=−∫0
rmax
90°
ur
ℓ/2
0 i d cos  ux −0 i cos2  ux
=
4
ℓ/2
4
ℓ /2
Poiché si ha:
x
P

ℓ
ℓ2 ℓ 2
=r max cos−2 =
 cos −2 
2
4 4
1
cos 2 =−cos −2 =−
2

Il campo magnetico generato dal tratto 2 del conduttore (ed in maniera identica dal
tratto 4) risulta:

B2/ 4  P=
−0 i ux
4  2 ℓ / 2
21
Svolgimento esercizio 6 (3)
Il campo magnetico generato dal tratto 3 si ottiene integrando il campo
magnetico infinitesimo su tutta la lunghezza del conduttore, ovvero
integrando tra θ= π - θ3 e θ = θ3
ℓ/2


dl3
ur
dl3
π−θ3
ur
ℓ/2
rmax
x
P
θ3
cos 3 

B 3  P=−∫cos − 
3

2

0 i d cos  ux −0 i 2 cos 3  ux 0 i 2 ux
=
=
4
ℓ /2
4
ℓ/2
4   2 ℓ /2
Il campo magnetico totale risulta:
0 i

2
ℓ
ℓ ℓ
=r max cos−3 =
 cos −3 
2
4 4
1
cos 3 =cos 2 =−cos−3 =−
2


B  P=
B 2 P 
B 4 P 
B3 P
ux
0 i 2 ux
0 i ux

B  P=2∗

=
= ux 1.41T
4   2 ℓ /2 4   2 ℓ /2   2 ℓ /2
22