Sintesi diretta

Sintesi diretta
(Complementi di Controlli Automatici: prof. Giuseppe Fusco)
La tecnica di progetto denominata sintesi diretta ha come obiettivo il progetto di un controllore C(s) il quale assicuri che la funzione di trasferimento
di ciclo chiuso W (s) sia uguale ad una desiderata funzione di trasferimento
Wdes (s) che soddisfi opportune specifiche.
Si consideri a tal proposito il classico schema di controllo a controreazione
unitaria
d(t)
y(t)
ydes (t)
C(s)
+
+
P (s)
−
Figura 1: Controllo a ciclo chiuso.
in cui è nota la funzione di trasferimento P (s) del processo. Si ipotizzi
inizialmente d(t) = 0. Poichè
W (s) =
C(s) P (s)
1 + C(s) P (s)
imponendo
W (s) = Wdes (s)
(1)
e risolvendo rispetto a C(s) si ricava
C(s) =
Wdes (s)
(
)
P (s) 1 − Wdes (s)
(2)
Dall’espressione (2) si osserva subito che C(s) è proporzionale al reciproco
di P (s); il controllore quindi cancella i poli e gli zeri di P (s) sostituendoli
con i propri in modo tale che la (1) risulti soddisfatta.
Da quanto ora illustrato si comprende che, nota la Wdes (s), il calcolo di
C(s) è estremamente semplice.
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La Wdes (s) non può però essere assegnata in modo arbitrario; in primo
luogo deve garantire due requisiti fondamentali: la causalità del controllore
e la stabilità interna d’anello.
La causalità del controllore impone che il grado relativo di C(s) sia non
negativo, ovvero che il grado nc del polinomio a denominatore di C(s) sia
non inferiore al grado mc del suo polinomio a numeratore.
Indicando con
C(s) =
Nc (s)
Dc (s)
P (s) =
Np (s)
Dp (s)
Wdes (s) =
Nwdes (s)
Dwdes (s)
dalla (2) si ottiene
C(s) =
Nwdes (s) Dp (s)
(
)
Np (s) Dwdes (s) − Nwdes (s)
il cui grado relativo vale
nc − mc = mp + nwdes − (mwdes + np )
che risulta positivo o nullo se
nwdes − mwdes ≥ np − mp
(3)
La condizione (3) impone quindi un vincolo sulla scelta del grado relativo
della Wdes (s) che non può essere inferiore al grado relativo di P (s).
Per quanto riguarda invece il problema di garantire la stabilità interna
d’anello, è necessario che i poli e/o zeri di P (s) che il controllore cancella
siano solo quelli a parte reale strettamente negativa. Se si cancellassero poli
e/o zeri a parte reale non negativa, sarebbe compromessa la stabilità interna,
anche se la Wdes (s) è scelta asintoticamente stabile. Gli zeri e/o poli di P (s)
a parte reale positiva o nulla non vengano cancellati se permangono nella
funzione di trasferimento d’anello aperto
F (s) = C(s) P (s) =
Nwdes (s)
Wdes (s)
=
1 − Wdes (s)
Dwdes (s) − Nwdes (s)
Pertanto, ogni zero di P (s) a parte reale maggiore o uguale a zero non
viene cancellato da C(s) se è radice anche di Nwdes (s). Indicando con zi tale
zero di molteplicità µi , deve quindi risultare
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dj−1
W
(s)
=0
∀ j = 1 . . . µi
(4)
des
j−1
s=zi
ds
Analogamente, ogni polo di P (s) a parte reale maggiore o uguale a zero non viene cancellato da C(s) se è radice anche di Dwdes (s) − Nwdes (s).
Indicando con pi tale polo di molteplicità νi , deve risultare
)
dj−1 (
=0
∀ j = 1 . . . νi
(5)
1
−
W
(s)
des
s=pi
dsj−1
Una volta garantiti i due requisiti fondamentali, si può passare al problema di fare in modo che la Wdes (s) soddisfi le specifiche assegnate. Se si
richiede l’inseguimento di segnali desiderati a gradino, rampa lineare e sinusoide, o la reiezione di disturbi d(t) con trasformata di Laplace funzione
razionale fratta, in base al principio del modello interno, è necessario che la
funzione di trasferimento d’anello aperto
Wdes (s)
1 − Wdes (s)
F (s) =
(6)
abbia tra i suoi poli i poli della funzione di trasferimento del segnale desiderato da inseguire o del disturbo da reiettare. Indicando con Q(s) il polinomio
a denominatore di tale funzione di trasferimento e ricordando le trasformate
di Laplace di tali segnali, risulta:
• Q(s) = s (gradino)
• Q(s) = s2 (rampa)
allora
allora
• Q(s) = s2 + ω̂ 2 (sinusoide)
1 − Wdes (0) = 0
1 − Wdes (0) = 0,
allora
−
d
Wdes (s)
=0
s=0
ds
1 − Wdes (±ȷω̂) = 0.
Si noti che la specifica di errore nullo a regime permanente per segnale
desiderato a gradino è analoga alla condizione che previene la cancellazione
di un eventuale polo semplice in s = 0 di P (s), si veda a tal proposito
la (5). Infatti tale specifica richiede che F (s) abbia almeno un polo in s = 0,
sistema di tipo uno. Tale polo se presente in P (s) non deve essere cancellato.
Se invece P (s) non ha poli nell’origine, la condizione 1 − Wdes (0) = 0 impone
un polo nell’origine nella funzione di trasferimento del controllore.
Se inoltre si richiede errore finito e non nullo per riferimento a rampa
lineare si deve imporre
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mWdes
nWdes
∑ 1
∑ 1
dWdes (s) e1 = −
=
−
≤ e1,max
s=0
ds
i=1 zw,i
i=1 pw,i
(7)
dove zw,i e pw,i rappresentano rispettivamente gli zeri ed i poli della Wdes (s).
A questo punto la Wdes (s) viene assegnata nella forma
∏m+
p
Wdes (s) =
i
(
(s − zi )µi βℓ−1 sℓ−1 + . . . . . . + β1 s + β0
)
Dwdes (s)
in cui m+
p è il numero di zeri non cancellabili di P (s) che in accordo alla (4)
devono essere zeri anche di Wdes (s), ℓ = ℓ1 + ℓ2 dove ℓ1 è il numero di
condizioni da imporre per prevenire la cancellazione dei poli di P (s) a parte
reale nulla o positiva come richiesto dalla condizione (5), ℓ2 è il numero di
condizioni da imporre per soddisfare le specifiche di regime permanente e
Dwdes (s) è un qualsiasi polinomio stabile le cui radici vengono scelte in base
alle specifiche transitorie assegnate ed il cui grado nwdes deve soddisfare la (3)
che in questo caso diventa
mp −
nwdes ≥ np −
∑
µi + ℓ1 + ℓ2 − 1
i=1
dove m−
p è il numero di zeri distinti a parte reale negativa di P (s).
È altresı̀ importante chiarire che se la condizione di non cancellazione di
un polo nell’origine di P (s) è portata in conto in ℓ1 , l’analoga condizione
di errore nullo a regime permanente per un riferimento a gradino non deve
essere portata in conto in ℓ2 .
Nel caso in cui P (s) ha grado relativo non superiore a due e presenta
tutti i poli e zeri a parte reale negativa, ad eccezione di un polo semplice
nell’origine, la Wdes (s) può essere assegnata nella seguente forma standard
Wdes (s) =
1
s2
ζs
+ 2
1+2
ωn ωn
È pertanto possibile legare coefficiente di smorzamento ζ e pulsazione
naturale ωn ai valori della sovraelongazione e della banda passante a −3 dB
richiesti dalle specifiche, in accordo alle ben note relazioni
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πζ
−√
1 − ζ2
s% = 100 e
√
2 πB−3 = ωn 1 − 2 ζ 2 +
√
2 − 4 ζ2 + 4 ζ4
Per quel che riguarda il soddisfacimento di specifiche a regime, la forma
standard assicura errore nullo per riferimento a gradino ed errore finito e
non nullo per riferimento a rampa lineare. In questo caso la condizione (7)
diventa
e1 = −
dWdes (s) 2ζ
=
≤ e1,max
s=0
ds
ωn
(8)
Se la scelta di ζ ed ωn non soddisfa la (8) si può adottare il seguente
modello standard comprensivo di uno zero
s
ζ ωn λ
Wdes (s) =
ζs
s2
1+2
+ 2
ωn ωn
1+
(9)
In questo caso la condizione (7) diventa
1
− 2ζ
ζλ
≤ e1,max
=−
s=0
ds
ωn
in cui il parametro λ viene calcolato in modo da soddisfare il seguente vincolo
dWdes (s) e1 = −
1
1
<λ≤
2
2
2ζ
2 ζ − e1,max ωn ζ
É interessante notare che se si pone
λ=
1
2 ζ2
si ottiene e1 = 0. Infatti applicando la (6) si ha
F (s) =
ωn (2 ζ s + ωn )
s2
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e quindi il sistema risulta di tipo 2. Pertanto se P (s) non ha polo nell’origine,
C(s) ne avrà due; se viceversa P (s) ha un polo nell’origine, l’altro sarà in
C(s). Il sistema risulterà quindi astatico rispetto a disturbi d(t) costanti.
Se il grado relativo di Wdes (s) in (9) non soddisfa la (3), è necessario
aggiungere alcuni poli fuori banda fino a raggiungere il grado realtivo di
P (s). Si ha quindi
s
ζ ω)(
nλ
)r
Wdes (s) = (
2
ζs
s
s
1+2
+
1+
ωn ωn2
ω0
1+
con ω0 ≈ 10 (2 πB−3 ).
È utile precisare che in questo caso và ricalcolato il valore del parametro
λ che consente di soddisfare il vincolo sull’errore a regime permanente per
riferimento a rampa lineare. Infatti in questo caso và tenuto in conto la
presenza del termine ω0 nel calcolo della derivata prima della Wdes (s) in
accordo alla (7).
In definitiva adottando la forma standard con l’aggiunta di poli ad alta
frequenza, il vincolo sul grado relativo è soddisfatto ed il comportamento
dinamico di Wdes (s) non differisce sensibilmente da quello del secondo ordine
(modello a poli dominanti).
Infine è da notare che, differentemente dalla tecnica di progetto di sintesi per tentativi, il metodo di sintesi diretta si configura come un metodo sistematico per controllare in retroazione un qualunque processo, anche
instabile.