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Parte 7 Luogo delle radici - LAR
Parte 7, 1 Parte 7 Aggiornamento: Settembre 2010 Controlli Automatici T Luogo delle radici Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: [email protected] URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 7, 2 Il luogo delle radici è uno strumento per identificare la collocazione dei poli del sistema retroazionato al variare del guadagno statico a partire dai poli-zeri del sistema ad anello I poli del sistema retroazionato sono le soluzioni dell’equazione caratteristica, ovvero Intuitivamente Prof. L. Marconi I poli di coincidono con quelli di I poli di coincidono con gli zeri di Controlli Automatici T Parte 7, 3 Osservazioni: • L’ordine del polinomio è lo stesso di quello di il numero di poli del sistema retroazionato è uguale a quello del sistema ad anello • Fissato un valore di le soluzioni dell’equazione caratteristica determinano punti nel piano complesso con ordine di Il luogo delle radici è costituito da “rami” parametrizzati nel valore di . Un volta fissato gli punti sugli rami identificano i poli del sistema retroazionato per quel valore di . • Per costruzione il luogo è simmetrico rispetto l’asse reale (infatti riporta le radici di un polinomio a coefficienti reali) Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 7, 4 Proprietà del luogo ( ) I. Il luogo ha tanti rami quanti sono i poli del sistema in catena aperta parametrizzati nel valore di (a ciascun ramo e’ associato un polo) II. Ogni ramo parte per da un polo del sistema ad anello aperto termina per su uno zero del sistema ad anello aperto o all’infinito (i rami all’infinito sono pari al grado relativo) III. Il luogo è simmetrico rispetto l’asse reale IV. Un punto dell’asse reale appartiene al luogo se si lascia alla sua destra un numero totale dispari di poli/zeri del sistema ad anello aperto (nota: i poli cc non entrano nel computo entrando a coppie) Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 7, 5 ….. proprietà del luogo V. Gli asintoti si diramano da un punto della reale di valore Grado relativo Poli di Zeri di VI. Gli asintoti dividono il piano complesso in parti uguali. In particolare l’angolo che l’asintoto forma con l’asse reale è VI. Per sistemi a grado relativo maggiore di 1, la somma dei poli è costante al variare di e in particolare vale Baricentro del luogo Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 7, 6 Asintoti Prof. L. Marconi instabilità instabilità instabilità instabilità Controlli Automatici T Parte 7, 7 Sistemi del primo ordine • Senza zero Prof. L. Marconi • Con zero Controlli Automatici T Parte 7, 8 Sistemi del secondo ordine reali • Senza zero Prof. L. Marconi • Con zero Controlli Automatici T Parte 7, 9 Sistemi del secondo ordine c.c. • Senza zero Prof. L. Marconi • Con zero Controlli Automatici T Parte 7, 10 Sistemi del terzo ordine • Senza zero Prof. L. Marconi • Con zero/i Controlli Automatici T Esempio (uso del luogo per progetto robusto) Parte 7, 11 Progetto regolatore in retroazione robusto dell’esempio numerico a pag. 8-parte 6 (vedere anche progetto analitico pag. 19-parte 6) Sistema controllato Incertezza posizione polo Specifiche Dinamiche • • Statiche Affinché tale specifica sia soddisfatta occorre che la fdt in retro abbia guadagno statico unitario: Specifica su ( ) Specifica su Prof. L. Marconi Quindi un polo nell’origine. deve avere Controlli Automatici T Parte 7, 12 Come progettare per soddisfare robustamente la specifica dinamica? Polo nell’origine nel regolatore per specifica statica Dalle regole viste è immediato vedere che la scelta con nella regione di ammissibilità e sufficientemente elevato risolve il problema Range incertezza polo sistema Prof. L. Marconi Controlli Automatici T