Realizzazione digitale di controllori analogici

Realizzazione digitale di
controllori analogici
Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08
Digitalizzazione di un controllore analogico
Sistema di controllo
r(t)
+
uscita
desiderata
r(t)
+
e(t)
e(t)
segnale
di errore
uscita
- segnale
di errore
desiderata
A/D
C(s)
u(t)
ingresso
controllore
analogico
e(k)
C(z)
G(s)
y(t)
uscita
impianto +
attuatori + sensori
u(k)
controllore digitale
D/A
u(t)
ingresso
G(s)
impianto +
attuatori + sensori
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y(t)
uscita
Digitalizzazione di un controllore analogico
Alternativa:
r(k)
+
e(k)
uscita
- segnale
di errore
desiderata
C(z)
u(k)
D/A
u(t)
ingresso
G(s)
y(t)
uscita
impianto +
attuatori + sensori
A/D
controllore digitale
Problema: Supponiamo di aver progettato un controllore analogico C(s)
con metodi di sintesi nel dominio s per avere certe
prestazioni ad anello chiuso. Come dobbiamo sintetizzare
C(z) in maniera che le prestazioni ad anello chiuso
continuino a rimanere (il più possibile) le medesime ?
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Discretizzazione
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Integrazione numerica (Simulink)
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Discretizzazione: Esempio
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Metodi di discretizzazione
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Metodi di discretizzazione
• Possiamo approssimare l’integrale in diversi modi:
Metodo di Eulero in
avanti
Metodo di Eulero
all’indietro
Metodo dei trapezi
(o di Tustin)
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Metodi di discretizzazione
• Metodo di Eulero in avanti:
• Metodo di Eulero all’indietro:
• Metodo dei trapezi:
Nota: in ogni metodo, il guadagno in continua è preservato, poiché per z=1 si
ha s=0
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Metodi di discretizzazione
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Mappatura dei poli
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Mappatura dei poli
Piano s
Piano z
j ωT
Differenze in avanti
z = 1 + sT
Piano s
Piano z
Poli stabili in s
possono essere
mappati in poli
instabili in z. Questo
può essere pericoloso
nell’implementazione
(ad esempio in
presenza di
saturazione
dell’ingresso)
Differenze all’
all’indietro
Piano s
Regola di Tustin
Piano z
Poli stabili in s
rimangono stabili
anche in z
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Risposta in frequenza (tempo discreto)
e (k)
E(z)
C(z )
u(k)
U(z)
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Risposta in frequenza: esempio
C (z) =
1.5 − z
z(z − 0.8)
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Risposta in frequenza: esempio
C (z) =
1.5 − z
z(z − 0.8)
Diagramma di Bode
8
Ampiezza
(dB)
7
6
5
4
3
Fase (deg)
2
360
270
180
90
0
-2
10
10
-1
0
10
Pulsazione (rad/sec)
10
2
u(kT)
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
0
0.5 1
1.5
2
3.5 4
4.5
5
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
0
2.5 3
e(kT)
0.5 1
1.5
2
2.5 3
3.5 4
4.5
5
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Distorsione (warping) in freq. della bilineare
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Prewarping
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Prewarping
Frequenza
distorta
Pre-distorsione
(Prewarping)
trasformazione bilineare
=
compressione
senza
prewarping
ω*
ω
ω
ω*
sistema continuo di partenza il prewarping
allarga la banda
trasformazione bilineare
compressione
Frequenza
conservata
Frequenza
da conservare
con
prewarping
ω*
ω*
ω
ω *pw
ω*
ω
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ω
Esempio: con/senza prewarping
10
Ampiezza
bilineare puro
bilineare
con prewarping
coincidenza
della ampiezze
coincidenza
delle fasi
0
continuo
-50
5
bilineare
con prewarping
continuo
-100
bilineare puro
0
-150
-5 -1
10
100
Frequenza (rad/s)
100
10-1
Frequenza (rad/s)
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Metodo approssimato: matching poli-zeri
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Esempio di matching poli/zeri
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Discretizzazione: comando Matlab C2D
C2D Conversion of continuous-time models to discrete time.
SYSD = C2D(SYSC,TS,METHOD) converts the continuous-time LTI
model SYSC to a discrete-time model SYSD with sample time TS.
The string METHOD selects the discretization method among the
following:
'zoh'
Zero-order hold on the inputs.
'foh'
Linear interpolation of inputs (triangle appx.)
'tustin'
Bilinear (Tustin) approximation.
'prewarp'
Tustin approximation with frequency prewarping.
The critical frequency Wc is specified as fourth
input by C2D(SYSC,TS,'prewarp',Wc).
'matched'
Matched pole-zero method (for SISO systems only).
The default is 'zoh' when METHOD is omitted.
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Trasferimento delle specifiche di progetto
• Nel progetto di controllori analogici C(s) spesso si
trasformano specifiche nel tempo (tempo di salita,
sovraelongazione massima,ecc.) e in frequenza (banda
passante, margine di fase, ecc.) in specifiche sui poli ad
anello chiuso.
• Come tradurre le specifiche sulla posizione dei poli ad
anello chiuso utilizzate per il progetto di controllori
analogici C(s) in specifiche sulla posizione dei poli ad anello
chiuso per il sistema digitalizzato ?
• Questa informazione può essere utile ad esempio quando
assegniamo i poli ad anello chiuso mediante retroazione
dello stato
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Trasferimento delle specifiche di progetto
Massima pulsazione
Piano s
Piano z
Regione
desiderata
Regione
Regione
desiderata
Regione
desiderata
Minimo modulo
Minimo smorzamento
Parte reale dei poli inferiore a σ1
Specifiche nel continuo
Parte immaginaria inferiore a ±jωmax
Smorzamento superiore a ξ1
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Corrispondenza tra piano s e piano z
PIANO s
s
PIANO z
I poli reali
negativi
Porzione positiva
dell’asse reale
compresa tra 0 e 1
Poli reali
positivi
Porzione positiva
dell’asse maggiore
di 1
I poli immaginari
coniugati con
z
Circonferenza di
raggio 1
Poli complessi
con
Porzione negativa
dell’asse reale
compresa tra 0 e 1
Poli complessi a
smorzamento
costante
Spirale
logaritmica
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Posizione dei poli e risposta nel tempo
as. stabile (un solo polo ma
sulla parte reale negativa
provoca un andamento
oscillatorio)
instabile
marginalmente
stabile
as. stabile
as. stabile
(poli complessi coniugati)
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