Luogo delle radici

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Luogo delle radici - Introduzione
Abbiamo visto finora due strumenti di analisi utili quali il diagramma di Bode e il diagramma di
Nyquist, che vanno a caratterizzare la risposta frequenziale dei sistemi e che (si pensi a margine di
fase e ampiezza e teorema di Nyquist), ci dicono anche, data una funzione d’anello, quali saranno
alcune delle specifiche a ciclo chiuso.
Il luogo delle radici è uno strumento grafico introdotto nel 1948 per l’analisi e la sintesi di sistemi
di controllo. Esso è un luogo che descrive nel piano complesso il migrare delle radici di un
polinomio in dipendenza dalla variazione di un parametro reale
Nel contesto di sistemi di controllo, il particolare polinomio che ci interessa caratterizzare è il
polinomio caratteristico ad anello chiuso. Il parametro che di solito si fa variare è il guadagno di
anello.
Luogo delle radici - Introduzione
Cerchiamo di essere più precisi.
Consideriamo una generica retroazione di stato riportata nella forma
L(s)
La sua funzione di trasferimento ad anello chiuso, tra r e y è :
W (s ) =
L(s )
1 + L(s )
Dove L(S) è una funzione razionale fratta, data da un numeratore e un denominatore L(s ) = K
N L (s )
.
DL (s )
Per caratterizzare il sistema complessivo retroazionato è importante andare ad evidenziare le sue
caratteristiche e in particolare i suoi poli e i suoi zeri.
Per quanto riguarda i suoi zeri il processo è abbastanza immediato, infatti essi rimangono gli stessi
della funzione di anello:
N L (s )
N L (s )
DL (s )
=K
W (s ) =
N L (s )
(
)
D
s
+ K N L (s )
L
1+ K
DL (s )
K
Per quanto riguarda il denominatore invece, i poli dell’anello chiuso non sono immediatamente
conoscibili e possono variare di molto al variare dei parametri di L(s).
La conoscenza della posizione dei poli è importante ! Essa ci permette di caratterizzare molte delle
caratteristiche del sistema quali ad esempio:
1. Ci permette di caratterizzare la BIBO stabilità dei sistemi dinamici e il suo tempo di
assestamento tramite la conoscenza della parte reale dei poli ad anello chiuso
2. Lo smorzamento dei poli ci caratterizzano la sovraelongazione
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Un delle perturbazioni parametriche più comuni e potenzialmente anche più insidiose per la stabilità
di controllo, riguarda il guadagno di anello. Se si pensa ai diagrammi di Nyquist, infatti, al
crescere del guadagno si vede come in alcuni casi si può andare nell’instabilità.
Quello che faremo dunque è andare a studiare le radici di
DL (s ) + KN L (s ) = 0
Ovvero
n
m
i =1
i =1
∏ (s − pi,L ) + K ∏ (s − zi,L ) = 0
Al variare del parametro K∈R.
Più Formalmente possiamo dire che il luogo delle radici è il luogo geometrico, nel piano
complesso, delle radici del polinomio caratteristico DL (s ) + KN L (s ) = 0 al variare di k∈R+ ovvero
L = {s ∈ C | ∃ K ∈ ℜ DL (s ) + KN L (s ) = 0}
In particolare è prassi definire il luogo positivo e negativo nel seguente modo:
luogo positivo L+ = {s ∈ C | ∃ K ∈ ℜ + ∪ {0} D L (s ) + KN L (s ) = 0}
luogo negativo L− = {s ∈ C | ∃ K ∈ ℜ− ∪ {0} DL (s ) + KNL (s ) = 0}
Tracciamento : Condizioni Analitiche
Andremo ora ad introdurre alcune delle principali regole per il tracciamento del luogo delle radici.
Sebbene attualmente quando si lavora con il luogo delle radici lo si fa u computer, è di grande
utilità conoscere le regole di tracciamento e saper operare un tracciamento qualitativo per prevedere
le modifiche del luogo indotte dalla variazione della posizione dei poli e degli zeri nel sistema ad
anello aperto.
In primo luogo verifichiamo quali sono le condizioni analitiche per cui un numero complesso s
appartiene al luogo. S appartiene al luogo se e solo se esiste un k∈R∈ tale che
n
m
i =1
i =1
∏ (s − pi,L ) + K ∏ (s − zi,L ) = 0
Essendo una identità tra numeri complessi, possiamo dividere questo in condizioni di modulo e
fase:
n
∏ s− p
i, L
| k |=
i =1
m
∏ s−z
i, L
i =1
n
∑
i =1
∠(s − p i , L ) −
m
∏
i =1
⎧⎪(2l + 1)π
s − z i , L = π + ∠k + 2lπ = ⎨
⎪⎩ 2lπ
s ∈ L+
s ∈ L−
Con l un arbitrario intero.
La prima di queste equazioni è detta equazione dei moduli o equazione di taratura, la seconda
equazione delle fasi.
Facciamo alcune osservazioni
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1) L’equazione dei moduli caratterizza in maniera univoca l’appartenenza al luogo delle radici
di un dato punto s nel piano complesso in particolare:
a. s fa parte del luogo positivo, se l’equazione delle fasi applicata in s è un multiplo
dispari di π
b. s fa parte del luogo negativo, se l’equazione delle fasi applicata in s è un multiplo
pari di π
2) L’equazione di taratura ci da il valore di |k| tale per cui s è una radice, viene detta equazione
di taratura, perché dato il luogo delle radici, se vogliamo il k tale per cui portiamo la radice
in un dato punto ci basta applicarla.
Tracciamento : Regole qualitative
Utilizzare le condizioni analitiche di tracciamento può essere complicato da fare carta e penna.
Sono state sviluppate per questo delle regole qualitative per il tracciamento del luogo.
Sebbene queste regole sono solo qualitative e nella pratica progettuale è necessario
complementarli da una indagine numerica tramite elaboratore, forniscono delle importanti
indicazioni per il progettista per andare a fare sintesi.
In particolare le regole sono le seguenti (le dimostriamo solo in parte, e le più intuitive).
Proprietà 1: Il luogo delle radici ha tanti rami quanti sono i poli della funzione di trasferimento ad
anello aperto.
Proprietà 2: Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all’asse reale.
Proprietà 3: Gli n rami partono per K=0 dai poli di GH, di questi m si chiuderanno di poli, i
restanti si chiuderanno invece all’infinito tendendo ad una stella di asintoti che ha come centro:
n
∑
Xs =
n
pj −
j =1
∑z
i
i =1
n−m
Se K>0 gli angoli formati con l’asse reale sono:
θ=
(2ν + 1)π
n−m
ν = 0,..., n − m − 1
Se K<0 invece
θ=
2νπ
ν = 0,..., n − m − 1
n−m
Proprietà 4: Se K>0 allora un punto dell’asse reale appartiene al luogo se lascia alla sua destra un
numero dispari di zeri e poli
Analogie utili:
- Campo elettrostatico si può assimilare al tracciamento delle linee di campo elettrostatico,
dove poli e zeri sono cariche di segni opposti
- Possiamo pensare ad una analogia idraulica: le sorgenti (i poli) e pozzi (gli zeri). E n=m
tutta l’acqua andrà a finire nei pozzi seguendo un certo percorso. Se invece n>m, allora parte
dell’acqua finirà nei pozzi e il resto andrà all’infinito senza seguire un percorso
preferenziale.
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Esempi
Vediamo qui di seguito una carrellata di tracciamenti del luogo delle radici per K>0
Sistemi del Primo Ordine
Sistemi del Secondo Ordine
Sistemi del Terzo Ordine
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Un semplice esempio di sintesi 1
G(s ) =
1
(s − 1)(s − 2)
Specifiche:
tA<1 sec.
Re(pj)<-3/tA
Questo sistema è instabile. Per C(s)=K>0 le cose non cambiano all’aumentare di K:
Supponiamo di voler stabilizzare questo sistema. Una idea potrebbe essere quella di aggiungere un
controllore con un polo e uno zero. In questo modo :
Per un K sufficientemente grande possiamo anche usare questo per soddisfare delle specifiche.
Sappiamo infatti che gli asintoti hanno come centro:
n
∑
Xs =
n
pj −
j =1
∑z
i
i =1
n−m
Per essere sicuri spostiamo l’asintoto quindi in -5
1 + 2 + pc − zc
= −5 ⇒ pc − zc = −13
2
Per esempio possiamo scegliere p c = −19 e zc = −6
Xs =
Il controllore avrà dunque forma
C (s ) =
(s + 6)
(s + 19)
In questo caso l’uso dell’equazione di taratura è abbastanza complesso e non facilmente fattibile.
Bisogna trovare quindi trovare un po’ a tentativi un K sufficientemente grande e verificare dove
sono i poli.
Esercizio Facoltativo: Rivedere questo stesso esercizio nel dominio della frequenza, facendo i
diagrammi di Bode della funzione di anello con e senza controllore. A cosa corrisponde l’aggiunta
di questo tipo di rete ? Perché stabilizza e velocizza il sistema ? Quale è il ruolo del guadagno K ?
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Un semplice esempio di sintesi 2
Sia la seguente:
G(s ) =
1
1
=
s + 14s + 50 (s − (− 7 + j ))(s − (− 7 − j ))
2
Supponiamo di non volere modi oscillatori. Come sappiamo il legame è δ = cos ϕ
Un modo può essere quello di aggiungere un polo vicino all’origine, per esempio in -1
-7+j
-5
-1
-7-j
Avremo quindi il nostro controllore C (s ) =
K
.
(s − 1)
Ci rimane da tarare K, siccome vogliamo che tutti un modo è di cercare di piazzare un polo nella
zona indicata dalla freccia. Infatti se un polo si trova in quella zona, gli altri due per forza di cose
saranno reali. Scegliamo per esempio proprio il centro stella degli asintoti ovvero -5
Applichiamo l’equazione di taratura
n
| K |=
∏ s− p
i,L
i =1
m
∏ s−z
= − 5 + 1 − 5 + 7 − j − 5 + 7 + j = 4 2 − j 2 + j ≈ 20
i, L
i =1
Abbiamo quindi trovato il controllore
C (s ) =
20
(s − 1)
Per verifica andiamo a vedere poli e zeri della funzione in anello chiuso
W (s ) =
C (s )G(s )
20
20
= 3
=
2
1 + C (s )G(s ) s + 15 s + 64 s + 70 (s + 8.317)(s + 5)(s + 1.683)
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Un Semplice esempio di sintesi 3
s +8
s+4
G (s ) =
Supponiamo di volere un tempo di assestamento TA< 0.370 e di non volere modi oscillatori (parte
reale di tutti i poli pari a zero). La specifica sul tempo di assestamento implica Re( p ) < −
-8
3
< −8.11
0.370
-4
-8.11
Se utilizzassimo un controllore puramente integrale, al più, per K → ∞ tenderebbe a -8 che è
comunque a destra del vincolo che ricaviamo dal tempo di assestamento (dobbiamo stare a sinistra
della riga tratto-punto).
Una possibilità è di aggiungere un polo vicino a quello già esistente, la situazione diventerebbe del
infatti del tipo
-8.11
-8
-4
-3
Decidiamo in particolare di mettere un polo in -3, avremo quindi un controllore del tipo C (s ) =
K
s+3
A questo punto dobbiamo andare a tarare K. Perché le specifiche siano soddisfatte ci basta che K sia
sufficientemente grande da garantire che entrambi i poli sono sulla semiretta a sinistra dello 0. Già
che ci siamo vogliamo cercare di rendere il sistema “il più veloce possibile”.
Per simmetria sappiamo che il punto in cui i due rami si “incontrano” sull’asse reale (ovvero il
punto in cui abbiamo velocizzato il sistema il più possibile variando il solo K di questo controllore),
è un punto che è compreso tra -12 e -13. Scegliamo quindi si usare l’equazione di taratura
scegliendo come uno dei poli in -12.5 (l’altro presumibilmente non sarà troppo lontano da questo).
n
∏ s− p
i,L
| K |=
i =1
m
∏ s−z
=
− 12.5 + 3 − 12.5 + 4
− 12.5 + 8
=
(9.5)(8.5) ≈ 17.9444
(4.5)
i, L
i =1
Giacché il sistema è molto semplice verifichiamo quali sono i poli ad anello chiuso:
W (s ) =
17.9444(s + 8)
17.9444(s + 8)
17.9444(s + 8)
=
=
(s + 4) + 22.218(s + 3) (s + 4) + 17.9444(s + 3) (s + 12.5)(s + 12.45)
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