Scelta del tempo di campionamento

Scelta del tempo di
campionamento
Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08
Digitalizzazione di un controllore analogico
Sistema di controllo
r(t)
+
uscita
desiderata
r(t)
+
e(t)
e(t)
segnale
di errore
uscita
- segnale
di errore
desiderata
A/D
C(s)
u(t)
ingresso
controllore
analogico
e(k)
C(z)
G(s)
y(t)
uscita
impianto +
attuatori + sensori
u(k)
controllore digitale
D/A
u(t)
ingresso
G(s)
impianto +
attuatori + sensori
Il controllore digitale agisce con un tempo di campionamento Ts
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y(t)
uscita
Problema della scelta del tempo di campionamento
• Quali criteri seguire per una corretta scelta di T ?
• Esempio: campionamento di sin(t)
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0
0
0
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
0
5
10
15
-1
0
5
10
15
Passo di campionamento
T=π/10
Passo di campionamento
T=π/100
0
5
10
15
Passo di campionamento
T=π
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Richiami sul teorema di Shannon
Segnale originale
Segnale
ricostruito
Segnale campionato
e(k)
e(t)
e(t)
Campionatore
e(t)
ricostruzione
di Shannon
e(k)=e(kTs)
e(t)
Claude E. Shannon
(1916 – 2001)
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Interpretazione in frequenza
e(t)
e*(t)
segnale
continuo
campionamento
e(t)
filtro passa
basso ideale
segnale
originale
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Difficoltà nell’uso della ricostruz. di Shannon
2
1.5
1
0.5
0
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
2
1.5
1
0.5
0
-100
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Fenomeno dell’Aliasing
1
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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Fenomeno dell’Aliasing
segnale
continuo
campionamento
filtro
passa-basso
segnale con
aliasing
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Filtro antialiasing
e(t)
ef(t)
ef*(t)
segnale
continuo
filtro
antialasing
campionamento
(a) segnale + rumore
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
0
2
0.5
1
1.5
tempo (sec)
2
(b) (a) campionato a 28 Hz
Segnale: 1 Hz
Rumore: 60 Hz
-2
0
Frequenza camp.: 28 Hz
0.5
1
1.5
tempo (sec)
2
(d) Campionato a 28 Hz
1
-0.5
-1
-1
0
0.5
1
1.5
tempo (sec)
2
-1.5
(b) Affetto da aliasing che porta
ad avere una distorsione in
frequenza.
(d) Il segnale+rumore sono
prefiltrati da un filtro
“antialiasing” del primo ordine
con frequenza di taglio 3.2 Hz
0
0
ef(t)
(a) prefiltrato
0.5
1
-2
(c)
2
filtro
passa-basso
0
0.5
1
1.5
2
tempo (sec)
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Scelta del tempo di campionamento
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Scelta del tempo di campionamento
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Risposta in frequenza dello ZOH
• Ricorda il modello equivalente
del mantenitore di ordine zero:
g(t)
δ( t )
GZOH(s)
t
t
T
1
0.9
Oltre ad attenuare anche in
banda passante, lo ZOH
introduce un ritardo di fase
Filtro
ideale
ZOH
0.8
0.7
0.637
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
− 3ω
s
− 2ω
s
−ω
s −
ω
2
s
0
ω
2
s
ω
s
2ω
s
3ω
s
Lo ZOH non è un filtro passa-basso
ideale per eliminare eventuale
aliasing, ma non possiamo farne a
meno per convertire il segnale
campionato in un segnale continuo
nel tempo
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Scelta del tempo di campionamento
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Effetto degli errori numerici
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Discretizzazione approssimata con ZOH
C(s)
e(t)
u(t)
E(s)
E*(s)
e(t)
e(k)
U(s)
Eh(s)
GZOH(s)
eh(t)
e(k)
C(s)
C(z)
U*(s)
u(k)
u(k)
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Discretizzazione approssimata con ZOH
ZOH
C ( s) = e
−Δs
N (s)
D( s)
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Discretizzazione approssimata con ZOH
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Discretizzazione approssimata con ZOH
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