Spazio campione - Università degli Studi della Basilicata
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Spazio campione - Università degli Studi della Basilicata
Probabilità e Statistica I Elvira Di Nardo (Dipartimento di Matematica) Università degli Studi della Basilicata e-mail:[email protected] http://www.unibas.it/utenti/dinardo/home.html Tel:0971/205890 Prerequisiti: serie numeriche; sviluppo in serie di Taylor di funzioni; calcolo di integrali e di derivate. Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 1 SPAZIO CAMPIONE Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 2 1 La teoria della probabilità nasce dai giochi di azzardo. Azzardo Azar = “difficile” in relazione ad alcuni punteggi meno frequenti detti “azari” che possono ottenersi nel gioco dei dadi. Un Unesperimento esperimentoche chefornisce fornisceesiti esitidiversi, diversi,anche anchequando quandoogni ogni volta voltaèèripetuto ripetutoallo allostesso stessomodo, modo,èèdetto dettoesperimento esperimentocasuale casuale Definizione L’insieme S di tutti i possibili esiti di un esperimento casuale è detto spazio campione dell’esperimento. Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 3 Ad uno stesso esperimento casuale si possono associare diversi spazi campione. Esempio: Lancio di un dado: A) S= {1,2,3,4,5,6} ; B) S= pari, dispari C) S= si, no Esempio: Si consideri un’urna con tre palle: una bianca (B), una nera (N), una rossa (R). Si estraggano due palle dall’urna. A) con ripetizione B) senza ripetizione I: si estrae III: si rimette dentro la palla N II: si osserva il colore della palla Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte I: si estrae N R II: si osservano i colori delle palle 4 2 Definizione Un evento è un sottoinsieme dello spazio campione dell’esperimento casuale. Operazioni Unione Unione(Somma) (Somma) E’ l’evento che consiste degli esiti contenuti in uno dei due (o entrambi) eventi E1 U E 2 Intersezione Intersezione(Prodotto) (Prodotto) E’ l’evento che consiste degli esiti contenuti in entrambi gli eventi E1 I E 2 Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte Complementazione Complementazione E’ l’evento che consiste degli esiti contenuti in S ma non nell’evento assegnato. EC , E 5 Esercizio 1: Si lancino tre monete eque. Descrivere i seguenti eventi: a) si verifica almeno una volta “testa”; b) si verifica esattamente una volta “testa”; c) non si verifica alcuna volta “testa”; d) si verifica non più di due volte “croce”. Esercizio 2: Si lanciano due dadi. Descrivere lo spazio campione associato ai seguenti esperimenti casuali: a) uscita coppie di numeri pari; b) uscita coppie di numeri primi; c) uscita coppie che forniscono somma pari a 7. Esercizio 3: Descrivere lo spazio campione associato al seguente esperimento casuale: “si estrae una palla da un’urna che contiene palle rosse e nere fino a quando non ne esce una rossa” Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 6 3 Esercizio: Sono analizzati 49 campioni di policarbonato plastico per studiarne la resistenza alle graffiature e agli urti. I risultati sono riassunti come segue: Urti Alta Bassa Alta 40 4 Graffiature Bassa 2 3 Sia A l’evento che un campione possiede una alta resistenza agli urti e B l’evento che un campione possiede una alta resistenza alle graffiature. Descrivere gli eventi: AU B, AI B, A C L’insieme Ø è detto evento impossibile. Due eventi A e B a intersezione vuota AI B = Ø si dicono mutuamente esclusivi. Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 7 Esercizio: Si selezionano due connettori e si misura il loro spessore per verificare se soddisfano una certa specifica. A) Descrivere lo spazio campione. B) Descrivere l’insieme degli esiti per i quali almeno uno dei due connettori soddisfa le specifiche. E1 C) Descrivere l’insieme degli esiti per i quali almeno uno dei due connettori non soddisfa le specifiche. E 2 D) Descrivere l’insieme degli esiti per i quali nessuno dei due connettori soddisfa le specifiche. E3 E) Calcolare unione e intersione dei precedenti insiemi. F) Calcolare la complementazione dei precedenti insiemi. Spazio campione finito Esercizio: Si consideri il tempo necessario a una reazione chimica e E1 = {x | 1 ≤ x < 10}, E 2 = {x | 3 < x < 118} Calcolare: E1 U E 2 , E1 I E 2 , E1C I E 2 Spazio campione infinito Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 8 4 I diagrammi ad albero Un’industria produce automobili con un certo numero di possibili opzioni: a) con o senza trasmissione automatica; b) con o senza aria condizionata; c) con stereo SONY, PHILIPS,AIWA; d) l’esterno di colore bianco, nero, verde, rosso. Se lo spazio campione consiste di tutti i tipi possibili di auto prodotte, qual è la sua cardinalità? Trasmissione No Si Si Si No Aria condizionata No Stereo S P A S P A S P A B N V RB N V R B N V R B N V R B N V R B N V R B N V R B N V RB N V R S P A Colore B N V R B N V RB N V R Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 9 Calcolo Combinatorio Regola Fondamentale del Calcolo Combinatorio Supponiamo di formare una sequenza effettuando una successione di scelte tali che: 1) vi sono n possibilità per la prima scelta, 1 2) vi sono n per la seconda scelta; 2 ... k) vi siano n per la k - esima scelta k allora il numero totale di sequenze che si possono formare con tali scelte è il prodotto n ⋅ n ⋅L⋅ n . 1 2 k Esempio precedente: 2 x 2 x 3 x 4 = 48 possibili scelte. Questa regola consente di calcolare la cardinalità degli spazi campioni finiti. Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 10 5 Esercizio: Ad un ristorante si può pranzare scegliendo tra due antipasti, sei primi, quattro secondi, due contorni, tre vini, una frutta, tre dolci.Quanti pranzi completi distinti e senza bis si possono fare? Esercizio: quante parole di tre lettere possono essere scritte utilizzando solo le cinque vocali, ma senza ripetizione? (x , x ,..., x ) {x , x ,..., x } 1 2 n 1 2 n n - pla ordinata n - pla non ordinata Mettere in fila, in colonna, in coda = ordinamenti Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 11 Si consideri l' insieme {A, B, C, D}. In quanti modi si possono selezionar e due lettere? AA AB AC AD BA BB BC BD CA CB CC CD DA DB DC DD A) Se due coppie sono distinguibili in base all’ordine e sono ammesse ripetizioni: 16 = 4 2 ⇒ n k , dove S = n, posti su cui sistemare k B) Se due coppie sono distinguibili in base all’ordine ma non sono ammesse ripet.: 12 = 4 × 3 ⇒ n( n − 1) L (n − k + 1) = ( n) k , dove S = n, k posti. C) Se due coppie non sono distinguibili quando costituite dalle stesse lettere e sono ammesse le ripetizioni: 4 + 2 − 1 n + k − 1 ⇒ , dove S = n, k posti. 10 = 2 k D) Se due coppie non sono distinguibili quando costituite dalle stesse lettere e non 4 n sono ammesse ripetizioni: 6 = ⇒ , dove S = n, k posti. 2 k Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 12 6 Come si scelgono k oggetti tra n? A) Campioni ordinati con ripetizione. (Disposizioni Complete) Sono sequenze xi , xi ,K, xi di elementi estratti da un insieme A = {x1 , x2 ,K, xn } 1 2 k senza alcuna restrizione sul numero di volte in cui un determinato elemento può comparire. Il loro numero è pari a n k . Esercizi :1) Quante colonne è possibile teoricamente giocare nel gioco del totocalcio? 2) Se si lanciano 10 monete (o anche : se si lancia una moneta 10 volte) quante sequenze si possono ottenere? 3) (Caso generale) Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme di cardinalità n? Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 13 B) Campioni ordinati senza ripetizione. (Disposizioni) Sono sequenze xi , xi , K , xi di elementi estratti da un insieme A = {x1 , x2 , K , xn } 1 2 k dove nessun elemento può comparire più di una volta. Il loro numero è pari a (n ) k = n(n − 1)(n − 2) L (n − k + 1) - fattoriale decrescente (k ≤ n). Esercizi: 1)In quanti modi il lancio di 3 dadi fornisce facce tutte diverse? 2) Se ho 10 ragazzi, in quanti modi posso scegliere : un portiere, un arbitro e un raccattapalle? Caso speciale : Se n = k allora (n )n = n! (permutazioni) Formula di Stirling : n!≈ n n e − n 2π n Esercizio: Date 5 persone, in quanti modi si possono mettere in coda davanti ad uno sportello? Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 14 7 Permutazioni con oggetti uguali Presi n oggetti, dei quali m<n uguali fra loro, e gli altri tutti diversi l’uno dall’altro e dai precedenti, quante n-uple ordinate distinguibili potremo costruire utilizzando quegli n oggetti? x ⋅ m!= n! Numero di permutazioni lasciando inalterato l’ordine degli m oggetti uguali Numero di permutazioni degli m oggetti uguali Numero di permutazioni degli n oggetti considerati diversi Esercizio: In un’urna ci sono 6 palline: 3 bianche e le altre 3 di colore diverso tra loro. In quanti modi diversi si possono estrarre? Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 15 Permutazioni cicliche Una "permutazione ciclica di n oggetti” è uno dei modi in cui tali oggetti possono essere disposti intorno ad un tavolo circolare = n!/n Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 16 8 D) Campioni non ordinati senza ripetizione. (Combinazioni) Sono sequenze x, z,K, t di elementi estratti da un insieme A = {y1 , y 2 ,K, y n } dove nessun elemento può comparire più di una volta e non importa l' ordine di n (n ) estrazione. Il loro numero è pari a = k - coefficiente binomiale. k! k Proprietà n n n n n n − 1 n − 1 , b) = 0, n < k , c) = 1, d) = + a) = k n − k k 0 k k k − 1 Esercizio: 1) Un gruppo di persone è formato da 3 uomini, 7 donne e 8 bambini. Determinare il numero di sottogruppi di 5 persone in cui a) non ci sono uomini b) c’è un solo uomo c) c’è Mario e nessun altro uomo d) c’è Mario e solo due donne. Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 17 C) Campioni non ordinati con ripetizion e. (Combinazi one completa) Sono sequenze x, z , K , t di elementi estratti da un insieme A = {y1 , y2 , K , yn } dove ogni elemento può comparire più di una volta e non importa l' ordine di n + k − 1 estrazione. Il loro numero è pari a k Ad esempio consideriamo le combinazioni complete di classe 5 formate con le lettere a,b,c. Tra di esse vi è la sequenza aaaaa, che sarebbe possibile solo aggiungendo all’ insieme altre 4 a, considerate distinte. Esercizio: quante combinazioni con ripetizione si possono formare con 3 dei 4 simboli ♥♠♦♣ ? Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 18 9 In quanti modi si possono permutare le lettere della parola CONSUMABILE? In quanti modi si possono permutare le lettere della parola MISSISSIPPI? S,S,S,S,I,I,I,I,P,P,M Coefficiente Multinomiale Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 19 11 Partiamo dalla lettera S. Ci sono modi di posizionare la lettera S. Restano altre 7 posizioni da 4 3 7 riempire. Ci sono modi di posizionare la lettera I. Ci sono modi di posizionare la lettera P 4 2 e alla fine la lettera M viene posta nell' unico posto rimasto. 11 11 7 3 1 11! 7! 3! 1! 11! = = = 4 4 2 1 4!7! 4!3! 2!1! 0!0! 4!4!2!1! 4,4,2,1 Suddivisioni. Sono sequenze x, z,K, t di elementi distinguibili estratti da un insieme A = {y1 , y2 ,K, yn }in cui ci sono k1 oggetti di un prefissato tipo 1, k2 oggetti di un ulteriore tipo 2, K, km oggetti di un ulteriore tipo m e n - coef k1 + k2 + L + km = n. Il loro numero è pari a L k k k , , , m 1 2 ficiente multinomiale. Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 20 10 Esercizio 1: Trovare il numero di sequenze non ordinate e con ripetizione lunghe 4 formate dalle lettere A,B,C,D,E. Esercizio 2: Trovare il numero di sequenze non ordinate e con ripetizione lunghe 4 formate dalle lettere A,B,C,D,E contenenti almeno 2 A. Esercizio 3: Trovare il numero di sequenze non ordinate e con ripetizione lunghe 4 formate dalle lettere A,B,C,D,E contenenti esattamente 2 A. Esercizio 4: Vengono selezionati quattro numeri dai seguenti -5,-4,-3,-2, -1,1,2,3,4. In quanti modi le selezioni avvengono in modo che il prodotto di questi 4 numeri sia positivo e a) i numeri sono distinti; b) ogni numero può essere selezionato 4 volte; c) ogni numero può essere selezionato al più 3 volte. Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte 21 11