Il sistema di riferimento nello spazio

Il sistema di riferimento
nello spazio
Obiettivi
l
fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nello spazio
l
calcolare la misura di un segmento e determinare le coordinate del suo punto medio
l
scrivere l'equazione di un piano, riconoscere piani paralleli e piani perpendicolari
l
scrivere l'equazione di una retta, riconoscere rette parallele e rette perpendicolari
l
scrivere l'equazione di una sfera, determinare piani tangenti
MATEMATICA, REALTAÁ E STORIA
La leggenda racconta che l'idea delle coordinate fosse venuta a Cartesio vedendo il movimento di una mosca sul soffitto della sua stanza; egli si sarebbe reso conto che la posizione della mosca poteva essere descritta in funzione della sua distanza dalle pareti.
Comunque siano andate le cose, sta di fatto che l'introduzione del sistema
di coordinate nel piano eÁ stata la piuÁ grande rivoluzione matematica della
prima metaÁ del diciassettesimo secolo.
Ma le mosche non si muovono solo sui soffitti, volano per tutta la stanza;
quindi perche non estendere il sistema di coordinate da due a tre dimensioni?
Il concetto eÁ molto semplice e non eÁ difficile da applicare, basta assegnare
ad un punto tre coordinate anziche due. In questo modo si possono descrivere rette, piani, sfere, superfici di varia natura; si puoÁ verificare che se due
rette non hanno punti in comune, non necessariamente debbono essere parallele, mentre due piani non possono avere un solo punto in comune.
Se la cosa a noi oggi sembra cosõÁ facile, non altrettanto semplice deve essere stato comprendere questa possibilitaÁ per le persone che vivevano nel
1600, secolo in cui nasce la geometria analitica; fu infatti solo nella prima
metaÁ del '700 che due matematici francesi, Alexis Claude Clairaut e Edmond Nicolas Laguerre, ebbero l'idea di utilizzare un sistema di riferimento
spaziale.
Ma anche per noi oggi, che abbiamo ben chiaro che cosa significhi considerare le coordinate di un punto su una retta (una coordinata), nel piano
(due coordinate) o nello spazio (tre coordinate), non eÁ cosõÁ immediato stabilire quale sia il numero delle dimensioni in cui ci muoviamo.
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IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Ti saraÁ capitato, camminando in un bosco o in campagna di vedere tante
formiche che si muovono tutte in fila, una dietro l'altra; lo fanno perche seguono la scia dei feromoni lasciati delle compagne che le precedono, in
modo che nessuna di esse si possa perdere e non riesca a tornare al formicaio. Da quante dimensioni eÁ descritto il loro movimento? Se rivolgi la domanda a delle persone, la maggior parte risponderebbe due perche le formiche possono andare a destra e sinistra, in avanti e indietro, quindi il loro
percorso sta su un piano; qualcuna risponderebbe tre perche le formiche si
muovono anche verso l'alto o il basso perche il terreno non eÁ detto che sia
pianeggiante; forse nessuno o solo qualcuno risponderebbe una.
Eppure le formiche si muovono in una dimensione perche possono andare
solo avanti o indietro su quella linea; ogni linea, non importa che forma abbia, a meno che sia frattale, ha una sola dimensione.
I fisici e gli ingegneri non parlano di dimensione ma di gradi di libertaÁ; la
formica ha un solo grado di libertaÁ, quello di muoversi sulla linea tracciata
dalle compagne, cosõÁ come un treno che si muove solo sulla linea descritta
dai binari.
La mosca di Cartesio che si muove sul soffitto ha due gradi di libertaÁ e quindi si muove in due dimensioni; quando comincia a volare, il suo spazio di
dimensioni ne ha tre.
E noi che viviamo sulla Terra, in quante dimensioni ci muoviamo? A questo
punto la risposta dovrebbe arrivare in modo naturale: due. Dobbiamo considerare la terza dimensione solo se prendiamo un aereo e lasciamo la superficie del nostro pianeta.
Sulla bidimensionalitaÁ della superficie terrestre si costruisce anche il sistema
di riferimento che si basa sui meridiani e paralleli per la localizzazione di un
punto. Tra gli altri sistemi bidimensionali relativi alla superficie terrestre ne
ricordiamo uno recente, quello di Buckminster Fuller (1895-1983), eclettico
architetto e designer statunitense, che ha immaginato la Terra disegnata sulla
superficie di un icosaedro che viene poi "aperto" su di un piano (figura 1).
Figura 1
Ma torniamo al nostro spazio tridimensionale. E se pensassimo a una quarta
dimensione? o, andando ancora piuÁ in laÁ con l'immaginazione, a una quinta o millesima dimensione?
Aristotele aveva negato la possibilitaÁ della quarta dimensione spaziale e Tolomeo diede una sua dimostrazione della non esistenza di uno spazio a
quattro dimensioni dicendo in pratica che se tre rette sono tra loro perpendicolari non eÁ possibile tracciarne una quarta che sia perpendicolare alle
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
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altre tre. John Wallis (1616-1703), matematico inglese di cui abbiamo giaÁ
sentito parlare per il suo contributo al calcolo infinitesimale, pensava alla
quarta dimensione come a un mostro della natura alquanto improbabile
perche lunghezza, larghezza e spessore riempiono lo spazio intero.
Siamo dunque confinati in uno spazio tridimensionale senza uscita, oppure
possiamo pensare a qualcosa di diverso?
Se la Fisica deve fare i conti con la realtaÁ, la Matematica puoÁ ampliare le
sue vedute e affermare che, se eÁ possibile individuare un punto con una
coordinata se sta su una linea, con due coordinate se sta su una superficie,
con tre coordinate se sta nello spazio, perche non deve essere possibile attribuire a un punto quattro, cinque o anche mille coordinate? Non saraÁ forse
possibile rappresentarlo su un supporto fisico reale, ma la mente non pone
un limite al numero delle dimensioni.
Del resto i frattali hanno dimensioni piuttosto strane, ci sono linee a due dimensioni, spazi a dimensioni frazionarie.
Oggi in qualsiasi ramo della scienza si lavora con spazi pluridimensionali; il
motore di ricerca di Google ne eÁ un esempio. L'ordine con cui vengono
elencate le pagine web si basa su un algoritmo che utilizza uno spazio di
dimensione uguale al numero di pagine disponibili in Internet; una stima
di questo numero si aggira intorno a 800 mila milioni, non male per uno
spazio multidimensionale!
Il problema da risolvere
Nello spazio due rette che non si intersecano sono parallele se appartengono allo stesso piano, altrimenti sono sghembe. La distanza tra due rette parallele eÁ semplice da calcolare: basta prendere un punto su una di esse e
calcolare la sua distanza dall'altra retta.
Se due rette sono sghembe la distanza tra due punti, uno su una retta e uno
sull'altra dipende da come vengono scelti i punti. Trova una procedura che
consenta di calcolare la minima distanza tra due rette sghembe.
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 42
1. ORIENTARSI IN TRE DIMENSIONI
Figura 2
1.1 Il sistema di riferimento
Analogamente a quanto abbiamo fatto nel piano, possiamo introdurre nello
spazio un sistema di riferimento cartesiano che ci permetta di risolvere per
via algebrica alcuni problemi di tipo geometrico.
Indicato con O un punto dello spazio, consideriamo tre rette per O, non complanari e a due a due ortogonali, che indicheremo con x, y e z. Fissato su ognuna di tali rette un verso ed un'unitaÁ di misura, si viene ad individuare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale di cui O eÁ l'origine e le rette x, y, z
sono gli assi coordinati. Se l'unitaÁ di misura scelta eÁ la stessa per tutti gli assi,
il sistema di riferimento si dice monometrico. Gli assi possono essere orientati:
l
l
a.
come in figura 2a in modo che, per sovrapporsi all'asse y, l'asse x deve compiere una rotazione antioraria; si parla in questo caso di sistema destrorso
oppure come in figura 2b in modo che, per sovrapporsi all'asse y, l'asse x
deve compiere una rotazione oraria; si parla in questo caso di sistema sinistrorso.
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b.
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Nella nostra trattazione, salvo diversa specificazione, ci serviremo di un sistema monometrico destrorso.
Poiche sappiamo che una coppia di rette incidenti individua un piano, i tre assi
coordinati, a coppie, individuano tre piani che prendono il nome di piano coordinato xy quello individuato dalle rette x e y, piano coordinato xz quello individuato dalle rette x e z, piano coordinato yz quello individuato dalle rette y e z.
Consideriamo ora un punto qualunque P dello spazio ed i tre piani per P paralleli ai piani coordinati (o, che eÁ lo stesso, perpendicolari agli assi coordinati);
tali piani intersecano gli assi coordinati x, y, z nei punti Px , Py e Pz di ascissa
rispettivamente a, b, c (figura 3a). Ad ogni punto dello spazio eÁ quindi possibile
associare una terna di numeri reali …a, b, c† che, nell'ordine, rappresentano
l'ascissa, l'ordinata e la quota del punto P. Viceversa, tre numeri reali a, b, c
individuano, nell'ordine, un punto Px sull'asse x, un punto Py sull'asse y ed
un punto Pz sull'asse z ; i piani passanti per tali punti e perpendicolari ciascuno
al proprio asse coordinato individuano un punto P dello spazio (figura 3b).
Esiste quindi corrispondenza biunivoca fra i punti P dello spazio e le terne di
numeri reali …a, b, c† che si dicono coordinate del punto P. Per indicare che
…a, b, c† sono le coordinate di P scriveremo, con convenzione analoga a quella adottata nel piano, P…a, b, c†.
Rappresentiamo, ad esempio, in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale i punti A…1, 0, 0†, B…0, 3, 0†, C…0, 0, 2†, D…2, 4, 0†, E…0, 2, 2†,
F…1, 3, 2†.
Il primo dei punti dati, avendo l'ordinata e la quota nulle appartiene all'asse
delle ascisse, il secondo a quello delle ordinate ed il terzo all'asse z ; i punti
D ed E appartengono invece rispettivamente al piano xy e al piano yz; il punto
F non appartiene invece ne agli assi ne ai piani coordinati (figura 4).
Figura 3
a.
b.
Figura 4
Si verifica poi che:
n Due punti sono simmetrici rispetto all'origine O se hanno coordinate opposte; ad esempio A…3, 1, 5† e A 0 … 3, 1, 5†.
n Due punti sono simmetrici rispetto all'asse x, se hanno la stessa ascissa ed ordinate e quote opposte; analogamente, due punti sono simmetrici rispetto all'asse y se hanno la stessa ordinata ed ascisse e quote opposte, sono simmetrici rispetto all'asse z se hanno la stessa quota ed ascisse e ordinate opposte.
Ad esempio i punti A…3, 2, 1† e A 0 …3, 2, 1† sono simmetrici rispetto all'asse x, i punti B…4, 1, 5† e B 0 … 4, 1, 5† sono simmetrici rispetto all'asse
y, i punti C…1, 2, 3† e C 0 … 1, 2, 3† sono simmetrici rispetto all'asse z.
n Due punti sono simmetrici rispetto al piano coordinato xy se hanno la stessa
ascissa e la stessa ordinata ma hanno quote opposte, sono simmetrici rispetto al piano coordinato xz se hanno la stessa ascissa e la stessa quota ma hanno ordinate opposte, sono simmetrici rispetto al piano coordinato yz se hanno la stessa ordinata e la stessa quota ma hanno ascisse opposte.
Ad esempio i punti A…1, 2, 1† e A 0 …1, 2, 1† sono simmetrici rispetto al piano xy, i punti B…2, 3, 6† e B 0 …2, 3, 6† sono simmetrici rispetto al piano
xz, i punti C…1, 3, 3† e C 0 … 1, 3, 3† sono simmetrici rispetto al piano yz.
1.2 I segmenti nello spazio
Consideriamo due punti A…x1 , y1 , z1 † e B…x2 , y2 , z2 †; vogliamo calcolare la loro distanza, cioeÁ la misura del segmento AB.
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
LA MISURA DI UN SEGMENTO
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Cominciamo con l'osservare che, se il segmento AB eÁ parallelo all'asse x, i suoi
estremi hanno ascisse diverse ma ordinate e quote uguali. Proiettando ortogonalmente AB sul piano xy otteniamo un segmento A 0 B 0 che ha la stessa lunghezza di AB ed eÁ ancora parallelo all'asse x (figura 5); i punti A 0 e B 0 hanno
le stesse ascisse e ordinate di A e B, ma quota 0.
Sappiamo adesso come calcolare la misura del segmento A 0 B 0 perche basta applicare le conoscenze di geometria analitica nel piano; si ha quindi che
AB ˆ A 0 B 0 ˆ jx2
Figura 5
x1 j
In modo del tutto analogo, se il segmento AB eÁ parallelo all'asse y abbiamo che
AB ˆ jy2
y1 j
se il segmento AB eÁ parallelo all'asse z abbiamo che
AB ˆ jz2
z1 j
Se AB non eÁ parallelo ad alcuno degli assi, possiamo costruire il parallelepipedo rettangolo che ha come facce i rettangoli individuati dai piani passanti per A
e per B e che sono paralleli a quelli coordinati (figura 6); le dimensioni di tale
parallelepipedo sono segmenti paralleli agli assi coordinati che misurano rispettivamente
jx2
x1 j
jy2
y1 j
jz2
Figura 6
z1 j
Il segmento AB eÁ la diagonale di tale parallelepipedo e si ha che
AB ˆ
q
2
2
2
…x2 x1 † ‡ …y2 y1 † ‡ …z2 z1 †
Se uno dei due punti, ad esempio B, eÁ l'origine O del sistema di riferimento, la
formula si semplifica e diventa
p
OA ˆ x 21 ‡ y 21 ‡ z 21
Osserviamo che la formula trovata eÁ generale, nel senso che comprende anche
quelle individuate nei casi in cui il segmento AB eÁ parallelo ad uno degli assi
cartesiani.
Infatti, se ad esempio eÁ y1 ˆ y2 e z1 ˆ z2 (cioeÁ il segmento eÁ parallelo all'asse
x), applicando la formula si ha che
q
AB ˆ …x2 x1 †2 ˆ jx2 x1 j
ESEMPI
1. Calcoliamo la distanza fra le seguenti coppie di punti.
a. A…5, 1,
2†
e
B… 4, 1,
2†
In questo caso, poiche le ordinate e le quote dei due punti sono uguali, il segmento AB eÁ parallelo
all'asse x; possiamo quindi subito scrivere che
AB ˆ j5 ‡ 4j ˆ 9
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IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
b. A…4, 2, 1†
e
B… 1, 3,
1†
Il segmento AB non eÁ parallelo ad alcuno degli assi coordinati e si ha quindi che:
q p
2
2
2
AB ˆ …4 ‡ 1† ‡ …2 3† ‡ …1 ‡ 1† ˆ 30
p
2. Sia A… 1, 1, 2† e B… 3, 2, k†; vogliamo determinare il valore di k affinche sia AB ˆ 14.
Dalla risoluzione del problema ci aspettiamo di trovare due punti simmetrici rispetto ad A. Verifichiamo
p
le nostre intuizioni: calcoliamo AB e imponiamo che la misura trovata sia uguale a 14:
q p
2
2
2
… 1 ‡ 3† ‡ …1 2† ‡ …2 k† ˆ 14
Elevando al quadrato e svolgendo i calcoli otteniamo l'equazione equivalente
k2
4k
5ˆ0
da cui
kˆ5
_
kˆ
1
Esistono quindi, come previsto, due punti B che soddisfano il problema: B1 … 3, 2, 5† e B2 … 3, 2,
1†.
Figura 7
3. Calcoliamo la distanza del punto P…2, 3, 4† dall'asse x.
Consideriamo il piano per P perpendicolare all'asse x e sia Q il
suo punto di intersezione con tale asse; si ha che Q…2, 0, 0† (figura 7). Poiche il segmento PQ eÁ perpendicolare all'asse x (se una
retta eÁ perpendicolare ad un piano in un suo punto eÁ perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per quel punto), la misura di PQ eÁ la distanza cercata e si ha quindi che
PQ ˆ
p
32 ‡ 42 ˆ 5
L'ultimo degli esempi svolti ci offre l'occasione per individuare una formula
che consente di determinare la distanza di un punto dagli assi coordinati; dato
il punto P…x0 ,y0 ,z0 †
p
n la distanza dx di P dall'asse x eÁ data dalla relazione dx ˆ y 20 ‡ z 20
n la distanza dy di P dall'asse y eÁ data dalla relazione
dy ˆ
n la distanza dz di P dall'asse z eÁ data dalla relazione
dz ˆ
Figura 8
p
x 20 ‡ z 20
p
x 20 ‡ y 20
In pratica la distanza del punto P da ciascun asse eÁ data dalla radice quadrata
della somma dei quadrati delle sue coordinate, esclusa quella che corrisponde
all'asse.
Dati A…x1 , y1 , z1 † e B…x2 , y2 , z2 †, il punto medio M del segmento AB, per il
teorema di Talete, ha la stessa ascissa e la stessa ordinata del punto medio
del segmento che si ottiene proiettando AB sul piano xy; M ha poi la stessa
quota del punto medio del segmento che si ottiene proiettando AB sul piano
xz o yz (figura 8). Poiche sappiamo come calcolare le coordinate del punto
medio di un segmento in un piano, si ha che
xM ˆ
x1 ‡ x2
2
yM ˆ
y1 ‡ y2
2
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
zM ˆ
IL PUNTO MEDIO
DI UN SEGMENTO
z1 ‡ z2
2
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ESEMPI
1. Il punto medio del segmento di estremi A…2, 3, 5† e B… 2, 5,
xM ˆ
2
2
2
ˆ0
yM ˆ
7† ha coordinate
3‡5
ˆ4
2
2. Dato il triangolo di vertici O…0, 0, 0†, A…2, 0, 4† e B…0,
zM ˆ
5
7
2
ˆ
1
4, 0†, calcoliamo la lunghezza della mediana
relativa al lato OB.
Indicato con M il punto medio di OB, la mediana eÁ il segmento AM; calcoliamo allora, prima di tutto, le
coordinate di M:
0 4
xM ˆ 0
yM ˆ
ˆ 2
zM ˆ 0
quindi
M…0, 2,0†
2
p
p
Possiamo adesso calcolare la misura di AM: AM ˆ 22 ‡ 22 ‡ 42 ˆ 2 6.
3. Dati il punto B…1,
2, 3† ed un punto M appartenente al piano yz, determiniamo un punto A sull'asse x
in modo che M sia il punto medio del segmento AB.
Il punto M ha coordinate …0, a, b†, il punto A ha coordinate …k, 0, 0†. Affinche siano verificate le condizioni del problema deve essere:
k‡1
ˆ0
2
da cui k ˆ
0
1
2
ˆa
2
da cui
aˆ
1
0‡3
ˆb
2
da cui b ˆ
3
2
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Il segmento AB di estremi A…1,
a. eÁ parallelo all'asse x
1, 3† e B…1, 1, 3† :
b. eÁ parallelo all'asse y
c. eÁ parallelo all'asse z
d. non eÁ parallelo a nessuno degli assi cartesiani
2. Considerati i punti A…2,
1, 1† e B…0, 3,
p
a. il segmento AB misura:
¬ 2 6
p
b. il segmento OA misura:
¬ 2 6
p
c. il segmento OB misura:
¬ 5
3. Considerato il segmento di estremi A…3,
1† e l'origine O del sistema di assi cartesiani ortogonali:
p
p
p
­ 2 3
® 4 3
¯ 6 2
p
­ 2
® 6
¯ 6
p
p
® 2
¯ 2 2
­ 10
2, 1† e B … 3, 4, 5† :
a. le coordinate del suo punto medio M sono:
b. la distanza di M dall'origine eÁ uguale a:
c. la distanza di M dall'asse y eÁ uguale a:
¬ …0, 1, 2†
p
¬ 5
p
¬ 10
­ …3, 3, 2†
p
­ 3
­ 3
2. RICHIAMI E COMPLEMENTI
® …0, 1, 3†
®
p
10
® 1
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 47
2.1 I vettori nello spazio
Nello studio della geometria analitica nello spazio si ricorre sovente all'uso dei
vettori; estendiamo allora allo spazio cioÁ che giaÁ conosciamo sui vettori nel
piano ed integriamo le nostre conoscenze limitandoci alle parti di questo argomento che ci saranno utili nel seguito.
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IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Un vettore eÁ un segmento orientato dello spazio; tutti i vettori che hanno la
stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo si dicono equipollenti.
In particolare: un vettore di modulo unitario si chiama versore.
Fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali nello spazio, ogni vettore v~ puoÁ
essere scomposto nelle sue componenti vettoriali lungo gli assi cartesiani costruendo il parallelepipedo che lo ha come diagonale (figura 9a); indicate
con v~x , v~y , v~z tali componenti, si ha quindi che
LE COMPONENTI LUNGO GLI ASSI
Figura 9
v~ ˆ v~x ‡ v~y ‡ v~z
Ad ognuno degli assi cartesiani possiamo poi associare un vettore di modulo
unitario (versore) che ha la stessa direzione e verso del proprio asse: all'asse
~ I tre versori
x associamo il versore ~
i, all'asse y il versore ~
j, all'asse z il versore k.
cosõÁ introdotti ~
i, ~
j e k~ sono detti versori fondamentali dello spazio (figura 9b).
Con questa considerazione, i vettori v~x , v~y , v~z possono a loro volta essere visti
~ poscome prodotto del loro modulo vx , vy , vz per i versori fondamentali ~
i, ~
j, k;
siamo cioeÁ scrivere che
v~ ˆ vx ~
i ‡ vy ~
j ‡ vz k~
a.
Un vettore v~ si puoÁ quindi anche indicare con la scrittura v~…vx ,vy ,vz † che mette
in evidenza le sue componenti cartesiane.
In particolare, i versori fondamentali hanno componenti cartesiane
~
i …1,0,0†
k~…0,0,1†
~
j …0,1,0†
Se il vettore ha per estremi i punti A…x1 ,y1 ,z1 † e B…x2 ,y2 ,z2 †, allora
vx ˆ x2
x1
vy ˆ y2
y1
vz ˆ z2
b.
z1
Per esempio:
l
il vettore v~ che ha per estremi l'origine O ed il punto A…1,2, 4† ha come
componenti cartesiane i numeri vx ˆ 1,vy ˆ 2,vz ˆ 4 e si puoÁ scrivere
v~ ˆ ~
i ‡ 2~
j 4k~
l
oppure
v~…1,2,
4†
ƒ!
il vettore ~
s ˆ AB che ha per estremi i punti A… 4,2,1† e B… 1, 1,2† ha come componenti i numeri vx ˆ 1 ‡ 4 ˆ 3, vy ˆ 1 2 ˆ 3,
vz ˆ 2 1 ˆ 1 e si puoÁ scrivere
~
s ˆ 3~
i 3~
j ‡ k~
oppure
~
s …3,
3,1†
Il modulo del vettore v~…vx ,vy ,vz † eÁ la diagonale del parallelepipedo che ha vx ,
vy e vz come spigoli, ed eÁ quindi
q
v ˆ vx2 ‡ vy2 ‡ vz2
IL MODULO
Per esempio:
l
l
il vettore v~…2,3,
4† ha modulo v ˆ
q p
2
22 ‡ 32 ‡ … 4† ˆ 29
ƒ!
il vettore AB che ha per estremi i punti A…2,
q p
2
2
2
v ˆ …1 2† ‡…1 ‡ 1† ‡…0 5† ˆ 30.
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
1,5† e B …1,1,0† ha modulo
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I vettori dello spazio hanno caratteristiche analoghe a quelle dei vettori del piano. Per esempio, possiamo dire che:
LE OPERAZIONI
n il prodotto di un vettore v~…vx , vy , vz † per uno scalare k eÁ il vettore che si ottiene moltiplicando per k le sue componenti:
k v~ ˆ kvx , kvy , kvz
s …sx , sy , sz † eÁ il vettore
n la somma o la differenza di due vettori v~…vx , vy , vz † e ~
che si ottiene sommando o sottraendo le rispettive componenti:
v~ ~
s ˆ …vx sx , vy sy , vz sz †:
Per esempio, dati i vettori v~…3, 4,
l
l
l
4~
v ˆ …12, 16,
8†
~ ˆ …3 ‡ 4, 4 ‡ 0,
v~ ‡ w
v~
~ ˆ …3
2w
8, 4
0,
~…4, 0, 1† si ha che:
2† e w
2 ‡ 1† ˆ …7, 4,
2
1†
2† ˆ … 5, 4,
4†.
Ricordiamo poi la definizione di prodotto scalare.
Si dice prodotto scalare fra due vettori v~ e ~
s , e si indica con il simbolo v~ ~
s,
il prodotto dei loro moduli per il coseno dell'angolo convesso # fra essi compreso (0 # ):
v~ ~
s ˆ v s cos #
Il prodotto scalare di due vettori eÁ dunque uno scalare, cioeÁ un numero reale.
Se i due vettori sono dati mediante le loro componenti cartesiane, il prodotto
scalare eÁ uguale alla somma dei prodotti delle componenti dei due vettori:
v~ ~
s ˆ vx sx ‡ vy sy ‡ vz sz
Per esempio, il prodotto scalare dei vettori v~…3, 4,
2† e ~
s …4, 0, 1† eÁ
v~ ~
s ˆ 3 4 ‡ 4 0 ‡ … 2† 1 ˆ 10
Dalla definizione seguono poi immediatamente le seguenti proprietaÁ.
n Se due vettori sono paralleli il loro prodotto scalare eÁ uguale, in valore assoluto, al prodotto dei loro moduli.
Infatti, se sono paralleli e concordi, si ha che # ˆ 0 e quindi
v~ ~
s ˆ vs cos 0 ˆ vs; se sono paralleli e discordi si ha che # ˆ e quindi
v~ ~
s ˆ vs cos ˆ vs.
Viceversa, se v~ ~
s ˆ jvs j, allora deve essere cos # ˆ 1, cioeÁ # ˆ 0 oppure
# ˆ e questo significa che i due vettori sono paralleli.
Dal punto di vista cartesiano si dimostra che:
due vettori sono paralleli se e solo se hanno le componenti proporzionali.
Per esempio:
l
l
i vettori v~…2,4, 1† e ~
s …6,12, 3† sono paralleli perche il rapporto fra le
loro componenti eÁ 3; essendo poi il rapporto un numero positivo, i due
vettori sono anche equiversi;
i vettori ~
a…1,
3,2† e b~… 2,6,
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4† sono paralleli perche il rapporto fra le
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
loro componenti eÁ 2; essendo poi il rapporto un numero negativo, i due
vettori sono di verso opposto.
n Se due vettori sono perpendicolari il loro prodotto scalare eÁ nullo.
s ˆ 0:
Infatti, essendo # ˆ , si ha che cos # ˆ 0 e quindi v~ ~
2
Viceversa se v~ ~
s ˆ 0, allora o uno dei due vettori eÁ il vettore nullo oppure eÁ
cos # ˆ 0, cioeÁ i due vettori sono perpendicolari.
Dal punto di vista cartesiano si dimostra che:
due vettori sono perpendicolari se e solo se la somma dei prodotti delle
loro componeneti eÁ nulla:
vx s x ‡ v y s y ‡ v z s z ˆ 0
Per esempio sono perpendicolari i vettori v~…1, 1,
2† e ~
s …4,
2, 1† percheÂ:
1 4 ‡ 1 … 2† ‡ … 2† 1 ˆ 0.
2.2 Matrici e determinanti
Si eÁ fatto uso delle matrici e dei determinanti di ordine due e tre nella risoluzione dei sistemi lineari. Ricordiamo alcuni concetti.
Una matrice eÁ un insieme di n m numeri disposti su n righe e m colonne.
Di una matrice che ha n righe e m colonne si dice che eÁ di tipo …n, m†; se
n ˆ m la matrice si dice quadrata di ordine n. Una matrice si indica con una
lettera maiuscola dell'alfabeto, i suoi elementi con una lettera minuscola (di solito corrispondente al nome della matrice) munita di due indici che rappresentano rispettivamente la riga e la colonna cui appartiene l'elemento. La tabella di
numeri viene delimitata da una coppia di parentesi quadre. Per esempio:
1 3
4
l la matrice A ˆ
5
2 0
l
eÁ di tipo …2, 3† e si ha
2
9
la matrice B ˆ 4 3
6
che a1,2 ˆ 3, a2,1 ˆ 5, a2,3 ˆ 0
3
0
2
1
5 5
7 0
eÁ quadrata di ordine 3 e si ha che b2,2 ˆ 1, b1,3 ˆ
2, b3,2 ˆ
7
Ad ogni matrice quadrata A di ordine n si puoÁ associare un numero reale che
viene detto determinante di A e che si indica con il simbolo det A.
IL CALCOLO DEL DETERMINANTE
Il determinante di una matrice quadrata si calcola in modo diverso a seconda
dell'ordine della matrice; per l'uso che ne faremo in seguito, ricordiamo le regole per le matrici di ordine 2 e 3.
n Matrici di ordine 2
Il determinante di una matrice di ordine 2 si calcola con la seguente formula:
prodotto dei due numeri sulla diagonale principale
meri sulla diagonale secondaria
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
prodotto dei due nu-
2
6
Aˆ4
a11
a21
a12
a22
det A ˆ a11 a22
3
7
5
a21 a12
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Per esempio:
2
3
1 4
5
l se A ˆ 4
3 2
3
2
1
0
6
2 7
7
l se B ˆ 6
5
4
p
6
2
allora
det A ˆ 1 2
allora
det B ˆ 0 … 3† 4 ˆ 14
p
2
6
1
ˆ
2
3
n Matrici di ordine 3
Per calcolare il determinante di una matrice di ordine 3 si segue questa procedura che eÁ nota come regola di Sarrus:
1. si riscrivono le prime due colonne sul lato destro della matrice
2. si sommano i prodotti dei numeri sulle tre diagonali principali (in rosso)
3. si sommano i prodotti dei numeri sulle tre diagonali secondarie (in blu)
4. si calcola la differenza tra il valore ottenuto al punto 2. e il valore ottenuto al punto 3.
Per esempio:
2
l
3
se A ˆ 4 1
2
0
1
1
3
1
05
1
2
3
Riscriviamo le prime due colonne sulla destra della matrice data: 4 1
2
Applicando la regola di Sarrus si ottiene che
det A ˆ ‰ 3 … 1† … 1† ‡ 0 0 2 ‡ 1 1 1Š
somma dei prodotti lungo le diagonali principali
l
2
2
B ˆ 40
3
1
4
1
3
1
3
05 1
1
2
‰2 … 1† 1 ‡ 1 0 … 3† ‡ … 1† 1 0Š ˆ
somma dei prodotti lungo le diagonali secondarie
3
0
25
2
Affianchiamo alla matrice le prime due colonne
Si ha dunque
det B ˆ ‰2 4 … 2† ‡ … 1† 2 3 ‡ 0 0 1Š
0
1
1
2
2
40
3
1
4
1
3
0 2
2 50
2 3
0
1
1
2
‰ 2Š ˆ 0
1
4
1
‰3 4 0 ‡ 1 2 2 ‡ … 2† 0 … 1†Š ˆ
26
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Il vettore v~… 1, 3,
4† ha modulo:
a. uguale a quello del vettore ~
a… 3, 4, 1†
b. maggiore di quello del vettore b~…3, 3,
c. minore di quello del vettore c~…0, 4,
5†.
2. Il prodotto scalare dei due vettori v~…1, 0,
p
a. 2 10
b. 3
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3†
2† e ~
s …2,
c. 2
V
F
V
F
V
F
2, 0† eÁ uguale a:
d. 0.
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
2
1
3. Dei determinanti delle matrici A ˆ 4 0
1
3
2
4
3 5eBˆ
2
1
0
2
1
1
0
si puoÁ dire che:
a. det A ˆ det B
b. det A ˆ 2det B
c. det B ˆ 2det A
d. det A non eÁ confrontabile con det B perche le due matrici hanno ordine diverso
3. IL PIANO E LA SUA EQUAZIONE
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 50
3.1 L'equazione
Nel piano un luogo di punti si puoÁ rappresentare mediante una relazione nelle
due variabili x e y; per esempio, una retta eÁ rappresentata da un'equazione di
primo grado, una conica da un'equazione di secondo grado.
Se nel piano un'equazione della forma F …x, y † ˆ 0 rappresenta normalmente
una linea, nello spazio un'equazione della forma F …x, y, z † ˆ 0 rappresenta
in generale una superficie.
Per esempio, il luogo dei punti P …x, y, z † dello spazio che hanno distanza
uguale a 2 dall'origine eÁ una sfera la cui equazione eÁ:
p
x2 ‡ y 2 ‡ z2 ˆ
2
cioeÁ
x2 ‡ y 2 ‡ z2 ˆ 4
|‚‚{z‚‚}
|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
distanza di P dall0 origine
valore della distanza
Il primo luogo dei punti dello spazio di cui ci occupiamo eÁ il piano ed iniziamo
dai piani paralleli a quelli coordinati perche di essi eÁ molto semplice trovare l'equazione. Per esempio, i punti del piano parallelo al piano xy e che incontra
l'asse z in un punto di quota 3 hanno la caratteristica di avere ascissa e ordinata
variabili, ma quota costante uguale a 3; la sua equazione saraÁ quindi z ˆ 3.
Questi piani sono quindi il luogo dei punti dello spazio che hanno la stessa distanza dai piani coordinati; possiamo allora dire che:
n un piano parallelo al piano xy ha equazione della forma
zˆk
n un piano parallelo al piano xz ha equazione della forma
y ˆk
n un piano parallelo al piano yz ha equazione della forma
xˆk
EQUAZIONE DEL PIANO
PARALLELO AI PIANI COORDINATI
essendo k la costante che rappresenta la distanza del piano da quello coordinato ad esso parallelo. In particolare, i piani coordinati stessi si ottengono ponendo uguale a zero la costante k :
zˆ0
yˆ0
piano xy
xˆ0
piano xz
piano yz
Consideriamo adesso un piano passante per l'origine O degli assi, la retta r
per O perpendicolare al piano e scegliamo un punto Q …a, b, c † su di essa (figura 10). La retta r eÁ perpendicolare a tutte le rette di che passano per O,
quindi, qualunque sia il punto P …x, y, z † su , il triangolo QPO eÁ rettangolo
in O e per esso vale il teorema di Pitagora; puoÁ quindi essere interpretato co2
2
2
2
c†
Figura 10
me il luogo dei punti P tali che OQ ‡ OP ˆ QP .
Allora, essendo
2
OQ ˆ a2 ‡ b2 ‡ c 2
2
OP ˆ x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
2
QP ˆ …x
2
a† ‡ … y
b † ‡…z
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
2
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2
2
il piano ha equazione
a2 ‡ b 2 ‡ c 2 ‡ x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 ˆ … x
a† ‡ … y
cioeÁ svolgendo i calcoli
a2 ‡ b 2 ‡ c 2 ‡ x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 ˆ x 2
2ax ‡ a2 ‡ y 2
ovvero
b † ‡…z
c†
2
2by ‡ b 2 ‡ z 2
2cz ‡ c 2
ax ‡ by ‡ cz ˆ 0.
Viceversa, tutti i punti P …x, y, z † che soddisfano l'ultima delle relazioni scritte,
ripercorrendo i passaggi di calcolo in senso inverso, soddisfano anche alla re2
2
2
lazione OQ ‡ OP ˆ QP e quindi appartengono al piano .
In definitiva possiamo quindi concludere che:
un piano passante per l'origine del sistema di riferimento ha equazione
EQUAZIONE DEL PIANO
PER L'ORIGINE
ax ‡ by ‡ cz ˆ 0
Osserviamo che i coefficienti dell'equazione ottenuta sono proprio le coordiƒƒ!
nate del punto Q; allora se consideriamo il vettore OQ le cui componenti cartesiane sono …a, b, c †, possiamo dire che i coefficienti delle variabili x, y, z sono, nell'ordine, le componenti cartesiane del vettore uscente dall'origine e perpendicolare al piano stesso. Tali coefficienti, che sono definiti a meno di un fattore di proporzionalitaÁ (ricorda che due vettori paralleli hanno le componenti
proporzionali), sono i parametri direttori della direzione normale al piano.
Per esempio, il piano passante per l'origine e perpendicolare al vettore
v~…2, 1,3† ha equazione 2x y ‡ 3z ˆ 0.
Consideriamo adesso un piano non parallelo ai piani coordinati e non passante
per l'origine. Sia tale piano e sia A…x1 , y1 , z1 † un suo punto; consideriamo il
piano 0 ad esso parallelo e passante per l'origine, che sappiamo avere equazione ax ‡ by ‡ cz ˆ 0 (figura 11).
Il piano corrisponde al piano 0 nella traslazione di vettore v~…x1 , y1 , z1 † che
porta l'origine in A; le equazioni di questa traslazione sono analoghe a quelle
piuÁ volte utilizzate nel piano e sono
( 0
x ˆ x ‡ x1
y 0 ˆ y ‡ y1
z 0 ˆ z ‡ z1
Figura 11
Per avere l'equazione di dobbiamo quindi operare sull'equazione di 0 con
le sostituzioni
(x ! x x
1
y ! y y1
z ! z z1
ottenendo cosõÁ l'equazione
a… x
che, sviluppando i calcoli, diventa
ax ‡ by ‡ cz ‡ … ax1
x1 † ‡ b … y
y1 † ‡ c … z
by1
z1 † ˆ 0
cz1 † ˆ 0
Tenendo presente che l'espressione fra parentesi eÁ un numero reale che possiamo indicare con d si ottiene infine
ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0
EQUAZIONE GENERALE
DEL PIANO
che rappresenta quindi l'equazione del piano .
In tutti i casi analizzati abbiamo sempre ottenuto un'equazione di primo grado
nelle variabili x, y, z; al variare dei coefficienti a, b, c, d in R si ottengono tutti i
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IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
possibili piani dello spazio. Per esempio, se a ˆ b ˆ 0 si ottiene l'equazione
d
che rappresenta un piano parallelo al piano xy e cosõÁ via.
zˆ
c
Evidenziamo in particolare i seguenti casi.
CASI PARTICOLARI
n Un piano parallelo all'asse x ha una direzione normale che eÁ perpendicolare a tale asse; il vettore normale al piano ha quindi nulla la componente
lungo l'asse x. I parametri direttori del piano sono allora 0, b, c ed il piano
ha equazione
by ‡ cz ‡ d ˆ 0
Se poi eÁ d ˆ 0, allora il piano contiene l'asse x.
n Analogamente, un piano parallelo all'asse y ha come parametri direttori
della direzione normale i numeri reali a, 0, c; la sua equazione eÁ quindi
ax ‡ cz ‡ d ˆ 0
e, se d ˆ 0, allora il piano contiene l'asse y.
n Infine, un piano parallelo all'asse z ha come parametri direttori della direzione normale i numeri reali a, b, 0; la sua equazione eÁ quindi
ax ‡ by ‡ d ˆ 0
e, se d ˆ 0, allora il piano contiene l'asse z.
Riassumendo possiamo dire che:
un piano eÁ sempre rappresentato nello spazio da un'equazione lineare nelle
variabili x, y, z della forma
ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0
dove i coefficienti a, b, c rappresentano i parametri direttori della direzione
normale al piano.
ESEMPI
1. Il piano passante per il punto P…1, 5,
3† e parallelo al piano xz ha equazione y ˆ 5; il piano passante
per il punto Q…0, 2, 4† e parallelo al piano xy ha equazione z ˆ 4; il piano passante per il punto
R…7, 1, 8† e parallelo al piano yz ha equazione x ˆ 7.
2. Stabiliamo le caratteristiche dei piani individuati dalle seguenti equazioni:
a. x
4y ˆ 5
b. 3y ‡ 4z ˆ 0
c. x ˆ 0
d. x
y ‡ 2z ˆ 0
a. Poiche manca il termine in z, si tratta di un piano parallelo all'asse z.
b. Poiche manca il termine in x ed il termine noto eÁ nullo, si tratta di un piano che contiene fra le sue
rette l'asse x.
c. E' il piano yz.
d. Poiche manca il termine noto, si tratta di un piano passante per l'origine.
3. Scriviamo l'equazione del piano passante per l'origine degli assi e per i punti A…2, 2,
1), B…1, 0,
3†.
L'equazione generale di un piano di questo tipo ha la forma ax ‡ by ‡ cz ˆ 0
Dal punto di vista analitico, un punto appartiene ad un piano se le sue coordinate ne soddisfano l'equazione: imponendo dunque il passaggio per i punti A e B dati si ottiene il sistema
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2a ‡ 2b c ˆ 0
a 3c ˆ 0
Il piano ha dunque equazione
3cx
da cui ricaviamo che
5
cy ‡ cz ˆ 0
2
cioeÁ 6x
8
< a ˆ 3c
:b ˆ
5
c
2
5y ‡ 2z ˆ 0.
Attenzione: affincheÁ un problema di questo tipo abbia una sola soluzione, i punti dati non devono essere
allineati; in caso contrario, infatti, il problema avrebbe infinite soluzioni rappresentate da tutti i piani che
hanno per sostegno la retta che passa per quei punti. Osserva il seguente esempio.
4. Scriviamo l'equazione del piano che passa per l'origine e per i punti A…2,
1, 4† e B … 4, 2,
8
<d ˆ 0
Imponendo il passaggio per i punti si ottiene il sistema:
2a b ‡ 4c ‡ d ˆ 0
:
4a ‡ 2b 8c ‡ d ˆ 0
8†.
che eÁ un sistema indeterminato dal quale ricaviamo, per esempio, che eÁ b ˆ 2a ‡ 4c
Non esiste quindi un solo piano, ma infiniti piani di equazione ax ‡ …2a ‡ 4c †y ‡ cz ˆ 0:
5. Scriviamo l'equazione del piano passante per i tre punti A…1, 2, 1†, B…2,
1, 0†, C…3, 1, 5†.
L'equazione generica del piano eÁ ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0; imponiamo il passaggio per ciascuno dei punti
8
dati
13
>
>
>
> a ˆ 20 d
8
>
>
>
<
< a ‡ 2b ‡ c ‡ d ˆ 0
3
risolvendo
il
sistema
otteniamo
2a b ‡ d ˆ 0
bˆ
d
>
:
10
>
>
>
3a ‡ b ‡ 5c ‡ d ˆ 0
>
>
>
:c ˆ 1 d
4
13
3
1
Il piano ha dunque equazione
dx
dy ‡ dz ‡ d ˆ 0
20
10
4
che, dividendo per d e facendo il denominatore comune, diventa
13x ‡ 6y
5z
20 ˆ 0.
6. Determiniamo l'equazione del piano parallelo all'asse z che passa per i punti P… 2, 1, 1† e Q…1,
2, 2†.
Un piano parallelo all'asse z ha equazione ax ‡ by ‡ d ˆ 0. Imponiamo l'appartenenza dei punti P e Q
2a ‡ b ‡ d ˆ 0
aˆd
da cui
a 2b ‡ d ˆ 0
bˆd
L'equazione del piano eÁ quindi
dx‡dy ‡d ˆ0
cioeÁ x ‡ y ‡ 1 ˆ 0.
3.2 Piani perpendicolari e piani paralleli
La condizione di parallelismo
Siano ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0 e a 0 x ‡ b 0 y ‡ c 0 z ‡ d 0 ˆ 0 le equazioni di due
piani. Osserviamo subito che, se tali piani sono paralleli, un vettore ortogonale
al primo eÁ ortogonale anche al secondo; questo significa che i coefficienti delle
variabili delle equazioni dei due piani sono proporzionali; deve quindi essere
a 0 ˆ ha ^ b 0 ˆ hb ^ c 0 ˆ hc con h 2 R f0g.
Viceversa, se i parametri direttori di due piani soddisfano alla condizione apQ ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
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pena scritta, i loro vettori ortogonali hanno la stessa direzione e quindi i piani
sono paralleli. Possiamo quindi concludere che:
condizione necessaria e sufficiente affinche due piani siano paralleli eÁ che
siano verificate le relazioni
a 0 ˆ ha ^ b 0 ˆ hb ^ c 0 ˆ hc
con
h2R
f0g
cioeÁ che siano uguali i rapporti fra i coefficienti delle stesse variabili:
a
b
c
ˆ 0 ˆ 0
0
a
b
c
Se poi si verifica anche che d 0 ˆ hd, allora i due piani, avendo la stessa equazione, coincidono.
Dato un piano di equazione ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0, vogliamo ora determinare l'equazione del piano ad esso parallelo che passa per un punto
P0 …x0 , y0 , z0 † assegnato. L'equazione di ha gli stessi coefficienti a, b e c di
ed ha quindi equazione ax ‡ by ‡ cz ‡ d 0 ˆ 0.
Imponiamo il passaggio per P0
PIANO PER UN PUNTO E
PARALLELO A UN ALTRO PIANO
ax0 ‡ by0 ‡ cz0 ‡ d 0 ˆ 0
da cui ricaviamo che
d0 ˆ
Il piano ha quindi equazione
ax ‡ by ‡ cz
ax0
by0
ax0
cz0
by0
cz0 ˆ 0
Riordinando opportunamente i termini dell'equazione ottenuta possiamo concludere che:
il piano passante per un punto P …x0 , y0 , z0 † e parallelo al piano
: ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0 ha equazione
a… x
x0 † ‡ b … y
y0 † ‡ c … z
z0 † ˆ 0
(A)
ESEMPI
1. Stabiliamo se le seguenti coppie di piani sono paralleli:
a.
6x ‡ 9y
b. 2x
c. 4x
3z
3ˆ0
3y ‡ 3z ‡ 1 ˆ 0
2y ‡ 8z ‡ 1 ˆ 0
2x
4x
3y ‡ z ‡ 1 ˆ 0
6y ‡ 6z ‡ 5 ˆ 0
2x ‡ y ‡ 4z ‡ 1 ˆ 0
a. Il rapporto fra i coefficienti delle stesse variabili eÁ costante e vale 3; i due piani sono quindi paralleli.
Inoltre, poiche anche il rapporto fra i termini noti vale 3, i due piani coincidono. In effetti la seconda
equazione si ottiene dalla prima dividendo i suoi membri per 3.
1
; i due piani sono quindi paralleli.
2
Inoltre, poiche il rapporto fra i termini noti non ha lo stesso valore, i due piani sono distinti.
b. Il rapporto fra i coefficienti delle stesse variabili eÁ costante e vale
c. Il rapporto fra i coefficienti delle stesse variabili non eÁ costante; i due piani non sono quindi paralleli.
2. Scriviamo l'equazione del piano passante per il punto P…2, 0,
2x
1† e parallelo a quello di equazione
7y ‡ 4z ˆ 3.
Possiamo risolvere il problema in due modi.
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I modo
Possiamo servirci della relazione (A) e scrivere subito l'equazione del piano:
2…x
2†
7…y
0† ‡ 4…z ‡ 1† ˆ 0
da cui, sviluppando i calcoli
2x
7y ‡ 4z ˆ 0
II modo
Un piano parallelo a quello dato ha gli stessi parametri direttori ed ha quindi equazione
2x
7y ‡ 4z ‡ d ˆ 0
Imponendo il passaggio per P otteniamo
22
7 0 ‡ 4 … 1† ‡ d ˆ 0
da cui ricaviamo che
dˆ0
7y ‡ 4z ˆ 0. Ovviamente il risultato ottenuto eÁ lo stesso.
Il piano ha quindi equazione 2x
La condizione di perpendicolaritaÁ
Siano ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0 e a 0 x ‡ b 0 y ‡ c 0 z ‡ d 0 ˆ 0 le equazioni di
~ ˆ …a, b, c† e n
~0 ˆ …a 0 , b 0 , c 0 † i rispettivi vettori ortogonali.
due piani e siano n
Osserviamo ora che se i due piani sono fra loro perpendicolari, anche i loro
vettori ortogonali lo sono e viceversa. Ma due vettori non nulli sono ortogonali
se e solo se il loro prodotto scalare eÁ nullo, quindi la condizione di perpendi~ n
~0 ˆ 0. Possiamo allora dicolaritaÁ dei due piani eÁ espressa dalla relazione n
re che:
condizione necessaria e sufficiente affinche due piani siano perpendicolari eÁ
che sia verificata la relazione
aa 0 ‡ bb 0 ‡ cc 0 ˆ 0
ESEMPI
1. Stabiliamo se le seguenti coppie di piani sono perpendicolari:
a. x ‡ y ‡ z ‡ 1 ˆ 0
b. x
y ‡ 3z ˆ 2
c. x ‡ y ‡ 3z ˆ 4
x
2x
2x
z‡3ˆ0
4y
2z ˆ 0
8y
zˆ1
Verifichiamo se eÁ soddisfatta la condizione di perpendicolaritaÁ
a. 1 1 ‡ 1 0 ‡ 1 … 1† ˆ 0
i due piani sono perpendicolari
b. 1 2 ‡ … 1† … 4† ‡ 3 … 2† ˆ 0
c. 1 2 ‡ 1 … 8† ‡ 3 … 1† ˆ
9
i due piani sono perpendicolari
i due piani non sono perpendicolari
2. Scriviamo l'equazione del piano che passa per l'origine degli assi ed eÁ perpendicolare a quelli di equazione
x
2y
3z ‡ 1 ˆ 0
e
4x
y ‡ 2z ‡ 3 ˆ 0.
Un piano che passa per l'origine degli assi ha equazione ax ‡ by ‡ cz ˆ 0.
Se deve essere perpendicolare al primo dei piani dati, deve verificarsi la relazione
a
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2b
3c ˆ 0
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Se deve essere perpendicolare al secondo dei piani dati, deve verificarsi la relazione
4a
b ‡ 2c ˆ 0
Risolvendo il sistema delle due equazioni ottenute troviamo che deve essere a ˆ
Il piano ha dunque equazione
cx
2cy ‡ cz ˆ 0
da cui, supposto c 6ˆ 0,
x ‡ 2y
c ^ bˆ
2c.
zˆ0
3.3 La distanza di un punto da un piano
Dato un piano di equazione ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0 e un punto P …x0 , y0 , z0 †
che non gli appartiene, ci proponiamo di individuare una formula che esprima
la misura della distanza di P dal piano.
ƒ!
Preso un punto A…x1 , y1 , z1 † su consideriamo il vettore AP ed un qualunque
ƒ!
vettore AQ perpendicolare ad ; sia poi # l'angolo formato dai due vettori (figura 12a).
La distanza del punto P dal piano , che indicheremo con d…P, †, eÁ la proieƒ!
zione del vettore AP sulla retta di AQ ed eÁ quindi data dall'espressione
AP cos #. Per ricavare il valore di questa espressione in funzione delle coordinate di P e dei parametri dell'equazione del piano ragioniamo in questo modo.
ƒ! ƒ!
Calcoliamo il prodotto scalare dei due vettori AP e AQ :
Figura 12a
ƒ! ƒ!
AQ AP ˆ AQ AP cos #
D'altra parte, se consideriamo le componenti cartesiane dei due vettori che sono:
ƒ!
l per il vettore AP :
x0 x1 ,
y0 y1 ,
z0 z1
ƒ!
l per il vettore AQ :
ha,
hb,
hc
(sono proporzionali ai parametri direttori del piano)
lo stesso prodotto scalare puoÁ essere espresso in questo modo:
ƒ! ƒ!
AQ AP ˆ ha…x0
x1 † ‡ hb…y0
y1 † ‡ hc…z0
z1 †
Dal confronto fra le due relazioni e tenendo presente che
p
AQ ˆ h a2 ‡ b 2 ‡ c 2 , si ha che:
p
ha…x0 x1 † ‡ hb…y0 y1 † ‡ hc…z0 z1 † ˆ h a2 ‡ b2 ‡ c 2 AP cos #
da cui ricaviamo che:
AP cos # ˆ
ha…x0
x1 † ‡ hb…y0 y1 † ‡ hc…z0
p
h a2 ‡ b 2 ‡ c 2
z1 †
ˆ
a…x0
x1 † ‡ b…y0 y1 † ‡ c…z0
p
a2 ‡ b 2 ‡ c 2
z1 †
Svolgendo i calcoli al numeratore di questa espressione e tenendo conto che
ax1 ‡ by1 ‡ cz1 ˆ d (il punto A appartiene al piano ), possiamo scrivere che
AP cos # ˆ
ax0 ‡ by0 ‡ cz0 ‡ d
p
a2 ‡ b 2 ‡ c 2
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Osserviamo adesso che l'espressione di sinistra di quest'ultima uguaglianza
rappresenta proprio la distanza del punto P dal piano se # eÁ acuto, l'opposto
di tale distanza se # eÁ ottuso (figura 12b).
In definitiva, possiamo quindi scrivere che
d…P, † ˆ
Figura 12b
jax0 ‡ by0 ‡ cz0 ‡ dj
p
a2 ‡ b 2 ‡ c 2
Questa formula richiama nella sua struttura quella della distanza di un punto
da una retta nel piano:
l
l
al numeratore troviamo l'espressione che si ottiene dall'equazione del piano
scritta in forma implicita quando al posto delle variabili si sostituiscono le
coordinate del punto P;
~ normale al piano, cioeÁ la
al denominatore troviamo il modulo del vettore n
radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti delle variabili dell'equazione del piano.
ESEMPI
1. Calcoliamo la distanza del punto P… 3,
1, 0† dal piano di equazione 4y
3z ‡ 5 ˆ 0.
L'equazione del piano eÁ giaÁ scritta in forma implicita con il termine noto a sinistra del simbolo di uguaglianza; possiamo subito applicare la formula e scrivere
j 4 ‡ 5j
1
d…P,† ˆ q ˆ
5
2
42 ‡ … 3†
2. Dato il punto P…0, 1, 1† e l'equazione 2x ‡ 3y ‡ z ‡ d ˆ 0, determiniamo il valore del parametro d in
modo che il piano da essa rappresentato abbia distanza
Calcoliamo la distanza di P dal piano:
p
14 da P.
j3 ‡ 1 ‡ dj
j4 ‡ dj
p ˆ p
2
2
2
14
2 ‡3 ‡1
Imponiamo che tale distanza sia uguale a
p
14:
j4 ‡ dj p
p ˆ 14
14
Risolvendo l'equazione ottenuta troviamo che d ˆ 10 _ d ˆ 18. Esistono quindi due piani la cui distanza da P soddisfa la condizione richiesta: 2x ‡ 3y ‡ z ‡ 10 ˆ 0 e 2x ‡ 3y ‡ z 18 ˆ 0.
p
3. Troviamo i punti P dello spazio per cui vale 41 la distanza dal piano di equazione 2x
y ‡ 6z ˆ 3.
Osserviamo innanzi tutto che i punti P richiesti appartengono ai due piani paralleli a quello dato che si
p
trovano a distanza 41 da questo. Sia dunque P…x, y, z† un punto dello spazio; l'equazione del piano in
forma implicita eÁ 2x y ‡ 6z 3 ˆ 0 e deve essere
j2x y ‡ 6z 3j p
p ˆ 41
4 ‡ 1 ‡ 36
I due piani hanno dunque equazione 2x
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
cioeÁ
y ‡ 6z ˆ 44
e
2x
y ‡ 6z
3 ˆ 41
2x
y ‡ 6z ˆ
38.
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Del piano di equazione 3x ‡ y
a.
b.
c.
d.
2z ˆ 0 puoi dire che:
passa per l'origine del sistema di riferimento
eÁ parallelo al vettore v~…3, 1, 2†
eÁ perpendicolare al vettore v~…6, 2, 4†
eÁ parallelo all'asse z.
V
F
V
F
V
F
V
F
2. Un piano ha equazione ax ‡ 2y ‡ cz ‡ d ˆ 0.
a. Se a ˆ 0, il piano eÁ parallelo all'asse x.
b. Qualunque siano i valori dei parametri a, c, d, il piano non eÁ parallelo all'asse y.
c. Se c ˆ d ˆ 0, il piano contiene l'asse z.
2
d. Il piano passa per il punto C
, 1, 1 se eÁ a ˆ 3, c ˆ
3
1, d ˆ
1.
Una sola delle precedenti affermazioni eÁ falsa, quale?
3. Il piano che passa per il punto P … 4, 1, 1† ed eÁ perpendicolare al vettore v~ ˆ 3~
i ~
j ha equazione:
a. 3x
b. x
y ‡ 13 ˆ 0
4. La distanza del punto P …4,
p
3 26
a.
13
3y ‡ 13 ˆ 0
c. 3x
y
2, 1† dal piano di equazione x ‡ 3y
p
p
2 51
11 51
b.
c.
17
51
13 ˆ 0
4z
4. LA RETTA E LA SUA EQUAZIONE
d. 3x ‡ y ‡ 13 ˆ 0
5 ˆ 0 eÁ uguale a:
p
11 26
d.
26
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 59
4.1 L'equazione
Il modo piuÁ semplice di individuare una retta nello spazio eÁ quello di fissare un
vettore v~ che ne indichi la direzione ed un punto che la determini in modo unico fra tutte le rette che hanno quella direzione. Sia dunque r la retta che passa
per il punto P0 …x0 , y0 , z0 † ed eÁ parallela al vettore v~…`, m, n† (figura 13) e sia
P…x, y, z† un generico punto dello spazio. Il punto P appartiene alla retta r
ƒ!
se il vettore P0 P eÁ parallelo al vettore v~.
Sappiamo che cioÁ accade se le componenti cartesiane dei due vettori sono proporzionali, cioeÁ se
8
< x x0 ˆ `t
con t 2 R
y y0 ˆ mt
:
z z0 ˆ nt
LA FORMA PARAMETRICA
Figura 13
ed esplicitando rispetto alle variabili
8
< x ˆ x0 ‡ `t
y ˆ y0 ‡ mt
:
z ˆ z0 ‡ nt
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
…B†
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Al variare di t, il punto P si muove su r e quindi il sistema ora scritto rappresenta
l'equazione parametrica di una retta r dello spazio passante per il punto
P0 …x0 , y0 , z0 † e parallela al vettore v~…`, m, n†. I parametri `, m, n si dicono parametri direttori della retta.
Ad esempio, la retta passante
v~…1, 3, 1† ha equazione
8
<x
y
:
z
2, 3† e parallela al vettore
per P0 …1,
ˆ1‡t
ˆ 2 3t
ˆ3 t
Se ora ricaviamo il parametro t da ciascuna delle equazioni del sistema (B),
nell'ipotesi che i parametri direttori siano non nulli, otteniamo
tˆ
x
x0
`
^ tˆ
y
y0
m
^ tˆ
z
z0
n
cioeÁ, confrontando le espressioni trovate
x
x0
ˆ
`
y
y0
m
ˆ
z
LA FORMA NORMALE
z0
n
La relazione ottenuta rappresenta l'equazione in forma normale della retta r.
La retta dell'esempio precedente ha equazione normale
1ˆ
x
y ‡2
z 3
ˆ
3
1
Un terzo modo di scrivere l'equazione di una retta eÁ quello di vederla come
intersezione di due piani che la contengano.
LA RETTA COME INTERSEZIONE
DI PIANI
Tornando all'esempio precedente, se ricaviamo t da una delle equazioni, ad
esempio dalla prima, troviamo che t ˆ x 1; sostituendo l'espressione di t nelle altre due equazioni troviamo il sistema
3x ‡ y ˆ 1
x‡z ˆ4
che rappresenta proprio l'intersezione di due piani. Alla stessa conclusione si
arriva confrontando a due a due le espressioni della forma normale dell'equazione:
8
2‡y
<
3x ‡ y ˆ 1
x 1ˆ
cioeÁ ancora
3
:
x‡z ˆ4
x 1ˆ3 z
oppure
oppure ancora
8
>
>
<x
1ˆ
2‡y
3
>
2‡y
>
:
ˆ3
3
8
>
<x
1ˆ3
2‡y
>
:
ˆ3
3
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cioeÁ
3x ‡ y ˆ 1
y 3z ˆ 11
cioeÁ
x‡z ˆ4
y 3z ˆ 11
z
z
z
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
I parametri direttori
Quando l'equazione di una retta eÁ data in forma parametrica o in forma normale i parametri direttori si ricavano direttamente dall'equazione stessa:
8
<x ˆ 1 t
i parametri direttori sono ` ˆ 1 m ˆ 3 n ˆ 4
y ˆ 2 ‡ 3t
:
z ˆ 4t
1
x
2
ˆ
y
ˆz‡2
3
i parametri direttori sono
`ˆ2
mˆ
3
nˆ1
Quando l'equazione eÁ data come intersezione di due piani,
ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0
a 0x ‡ b 0y ‡ c 0z ‡ d 0 ˆ 0
si dimostra che i parametri direttori sono dati dai seguenti determinanti:
a b
a c
b c
n
ˆ
m
ˆ
` ˆ 0
0
a b0
a c0
b0 c0
Per esempio, la retta di equazione
rettori:
3
1
4 ˆ
6
m
ˆ
` ˆ 1
2
2
Attenzione!
3x y ‡ 4z 1 ˆ 0
x ‡ 2y 2z ˆ 0
4 ˆ 10
2
ha parametri di-
3
n ˆ 1
1 ˆ7
2
Se nel piano l'equazione di una retta eÁ definita in modo unico (a meno di un
fattore moltiplicativo costante), nello spazio equazioni diverse nella loro forma
possono rappresentare la stessa retta. Ne abbiamo appena visto un esempio
scrivendo la retta precedente come intersezione di piani. Anche le equazioni
8
8
< x ˆ 2 3t
< x ˆ 1 3k
e
y ˆ 1 ‡ 4t
y ˆ 5 ‡ 4k
:
:
zˆt
z ˆ1‡k
rappresentano la stessa retta; entrambe infatti hanno gli stessi parametri direttori
3, 4 e 1 (quindi sono parallele) e passano per lo stesso punto di coordinate
…2, 1, 0† che si ottengono per t ˆ 0 e k ˆ 1.
Occorre quindi prestare attenzione ai risultati degli esercizi: un risultato diverso
da quelli proposti non sempre eÁ indice di errore nello svolgimento.
ESEMPI
1. Scriviamo l'equazione dell'asse delle ascisse.
L'asse x eÁ parallelo al vettore v~…1, 0, 0† e passa per l'origine; le sue equazioni parametriche sono quin8
<x ˆ t
di
y ˆ 0 . Tale retta puoÁ anche essere vista come intersezione dei piani xz e xy ed eÁ quindi indi:
zˆ0
y ˆ0
viduata anche dal sistema
.
zˆ0
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Non possiamo invece scrivere l'equazione di questa retta in forma normale perche due dei suoi parametri
direttori sono nulli.
2. Scriviamo l'equazione della retta parallela all'asse y e passante per il punto A…0,
La retta richiesta ha parametri direttori 0, 1, 0 ed ha quindi equazione
2, 4†.
8
<x ˆ 0
y ˆ 2‡t
:
zˆ4
Anche in questo caso la retta puoÁ essere vista come l'intersezione dei due piani x ˆ 0 e z ˆ 4; non possiamo invece scriverne l'equazione normale.
3. Scriviamo l'equazione della retta che passa per l'origine degli assi ed ha parametri direttori 2, 3, 7.
8
< x ˆ 2t
L'equazione in forma parametrica eÁ
y ˆ 3t
:
z ˆ 7t
L'equazione in forma normale eÁ
x
ˆ
2
y
z
ˆ
3
7
Ricavando ad esempio t dalla prima equazione e sostituendo nelle altre (oppure confrontando le espressioni della forma normale), la retta puoÁ essere vista come intersezione di due piani
2y ‡ 3x ˆ 0
2z 7x ˆ 0
4. Scriviamo l'equazione della retta che passa per il punto P…1,4,2† ed eÁ parallela al vettore v~…5,
3,0†.
8
< x ˆ 1 ‡ 5t
Á
L'equazione in forma parametrica e
y ˆ 4 3t
:
zˆ2
Si tratta di una retta parallela al piano xy. Non si puoÁ scrivere la sua equazione in forma normale percheÂ
uno dei parametri direttori eÁ nullo. Ricavando t , ad esempio dalla seconda equazione e sostituendo il
valore ottenuto nella prima, si ha l'equazione della retta come intersezione di due piani:
3x ‡ 5y ˆ 23
zˆ2
5. Troviamo l'equazione parametrica della retta individuata dall'intersezione dei piani di equazione
2x
4y ‡ 3z ˆ 0 e individuiamo i suoi parametri direttori.
2x y ‡ z 1 ˆ 0
La retta eÁ individuata dal sistema
x 4y ‡ 3z ˆ 0
y ‡z
1ˆ0ex
Il modo piuÁ semplice di procedere per trovare la sua equazione parametrica eÁ quello di indicare con t
una delle variabili, per esempio x; otteniamo cosõÁ:
8
<x ˆ t
2t y ‡ z 1 ˆ 0
:
t 4y ‡ 3z ˆ 0
8
<x ˆ t
Risolvendo adesso il sistema rispetto alle variabili x, y, z si ottiene
y ˆ 3 5t
:
z ˆ 4 7t
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
che rappresenta l'equazione parametrica della retta; i parametri direttori sono quindi 1,
Essi potevano anche essere ricavati dall'intersezione dei due piani:
2 1
1 1
ˆ 5
mˆ `ˆ
ˆ1
1 3
4 3
2
n ˆ 1
5,
1 ˆ
4
7.
7
L'equazione della retta per due punti
Una retta puoÁ anche essere individuata da due suoi punti. Siano dunque
A…x1 , y1 , z1 † e B…x2 , y2 , z2 † due punti dello spazio; vogliamo scrivere l'equazione della retta che passa per questi due punti.
ƒ!
Osserviamo che il vettore AB , le cui componenti cartesiane sono x2 x1 ,
y2 y1 , z2 z1 daÁ la direzione della retta; possiamo quindi assumere tali componenti come parametri direttori e scegliere uno dei due punti, ad esempio A
(sarebbe la stessa cosa scegliere B), per utilizzare la forma parametrica che abbiamo visto all'inizio del paragrafo. Si ha cosõÁ che
la retta che passa per i punti A…x1 , y1 , z1 † e B…x2 , y2 , z2 † ha equazione
8
>
< x ˆ x1 ‡ …x2 x1 †t
in forma parametrica
y ˆ y1 ‡ …y2 y1 †t
>
:
z ˆ z1 ‡ …z2 z1 †t
e, se i parametri direttori sono tutti non nulli
x
x2
x1
y
ˆ
x1
y2
y1
z
ˆ
y1
z2
z1
z1
in forma normale
ESEMPI
1. La retta che passa per i punti A…3, 1,
8
>
< x ˆ 3 ‡ …1 3†t
y ˆ 1 ‡ …0 1†t
>
:
z ˆ 1 ‡ … 5 ‡ 1†t
x
3
y 1
z‡1
ˆ
ˆ
2
1
4
cioeÁ
1† e B…1, 0,
5† ha equazione
8
< x ˆ 3 2t
yˆ1 t
:
z ˆ 1 4t
in forma parametrica
in forma normale
Possiamo anche vedere la retta come intersezione di piani confrontando le espressioni della forma normale; ad esempio
8
x 3
y 1
>
(
>
ˆ
<
x 2y ˆ 1
2
1
cioeÁ
>
4y z ˆ 5
>
:y 1 ˆ z‡1
1
4
2. Scriviamo l'equazione della retta che passa per i punti A…2, 5,
intersezione con il piano di equazione 3x
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
3† e B…0, 0,
5† e determiniamo la sua
2y ‡ z ˆ 1.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
La retta AB ha equazione
8
>
< x ˆ 2 ‡ …0 2†t
y ˆ 5 ‡ …0 5†t
>
:
z ˆ 3 ‡ … 5 ‡ 3†t
cioeÁ
8
< x ˆ 2 2t
y ˆ 5 5t
:
z ˆ 3 2t
Le coordinate del punto di intersezione della retta con il piano dato si ottengono dal sistema dell'equa8
x ˆ 2 2t
>
>
>
< y ˆ 5 5t
zione della retta con quella del piano:
>
z ˆ 3 2t
>
>
:
3x 2y ‡ z ˆ 1
Sostituendo le espressioni di x, y e z nell'ultima equazione otteniamo
8x ˆ 6
8 x ˆ 2 2t
>
>
>
>
< y ˆ 15
< y ˆ 5 5t
da cui
>
>
>
>
: z ˆ 11
: z ˆ 3 2t
2t 8 ˆ 0
t ˆ4
La retta ed il piano si intersecano nel punto P… 6,
retta in corrispondenza di t ˆ 4.
15,
11†; tale punto si ottiene dall'equazione della
3. Scriviamo l'equazione della retta che passa per i punti A… 4, 0, 3† e B…0, 4, 4† e troviamo poi la sua intersezione, se esiste, con la retta di equazione
1
x
13
ˆ
y ‡3
ˆz
5
2.
Osserviamo prima di tutto che per trovare il punto di intersezione fra due rette si deve risolvere il sistema
formato dalle loro equazioni; eÁ allora opportuno conoscere l'equazione di entrambe in forma parametrica. La retta AB ha equazione (usiamo questa volta il punto B )
8
8
>
< x ˆ 4t
< x ˆ 0 ‡ … 4 0†t
Á
cioe
y ˆ 4 ‡ …0 4†t
y ˆ 4 4t
:
>
:
z ˆ 4 ‡ …3 4†t
zˆ4 t
Scriviamo la retta data in forma parametrica (non possiamo usare ancora il parametro t usato per la prima
retta, ci serviremo quindi di un nuovo parametro s)
8
x 1
>
>
sˆ
8
>
>
13
>
< x ˆ 1 ‡ 13s
<
y ‡3
cioeÁ
y ˆ 3 ‡ 5s
sˆ
:
>
>
>
5
>
z ˆ2‡s
>
:
sˆz 2
Osserviamo che le due rette, non avendo parametri direttori proporzionali, non sono parallele; quindi, o
si intersecano in un punto, o sono sghembe.
8
x ˆ 4t
>
>
>
>
>
y ˆ 4 4t
>
>
>
<z ˆ 4 t
Impostiamo il sistema delle due equazioni
>
x ˆ 1 ‡ 13s
>
>
>
>
>
y ˆ 3 ‡ 5s
>
>
:
z ˆ2‡s
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
da cui, confrontando le espressioni delle variabili con lo stesso nome, otteniamo il sistema
8
< 4t ˆ 1 ‡ 13s
sˆ 1
che ha soluzione
4 4t ˆ 5s 3
:
t ˆ3
4 t ˆ2‡s
Esiste quindi intersezione fra le due rette ed il punto di intersezione si ottiene sostituendo nella prima,
oppure nella seconda retta, il valore trovato del parametro; si ha cosõÁ che il punto di intersezione eÁ
P… 12, 8, 1†.
4. Stabiliamo la posizione reciproca delle rette AB e CD essendo A…1, 1, 0†, B… 3, 2, 6†, C…1, 0, 4†,
D… 1, 9, 3†.
Possiamo trovare l'equazione delle due rette e procedere come nell'esempio precedente. Oppure, visto
che l'equazione delle due rette non eÁ esplicitamente richiesta, possiamo riflettere sul fatto che se le rette
sono complanari uno dei quattro punti deve appartenere al piano degli altri tre; in caso contrario le rette
sono sghembe.
Scriviamo allora l'equazione del piano passante per i primi tre punti:
8
5
>
>
d
aˆ
>
>
13
8
>
>
a
‡
b
‡
d
ˆ
0
passaggio
per
A
>
<
<
8
!
3a ‡ 2b ‡ 6c ‡ d ˆ 0 passaggio per B
d
bˆ
>
:
13
>
>
a ‡ 4c ‡ d ˆ 0
passaggio per C
>
>
>
2
>
:c ˆ
d
13
5
dx
13
Il piano ha dunque equazione
8
dy
13
2
dz ‡ d ˆ 0
13
cioeÁ 5x ‡ 8y ‡ 2z
13 ˆ 0.
Vediamo se il punto D appartiene o meno a questo piano; sostituendo le sue coordinate nell'equazione
otteniamo 60 ˆ 0 che eÁ falso, quindi D non appartiene al piano definito dai punti A, B, C e le due rette
AB e CD sono sghembe.
Rette complanari
Si puoÁ dimostrare che:
condizione necessaria e sufficiente affinche due rette r e s rispettivamente di
parametri direttori
r :` m
n
e
s : `0
m0
n0
e passanti la prima per il punto …x1 , y1 , z1 †, la seconda per …x2 , y2 , z2 † siano
complanari eÁ che sia:
x2 x1 y2 y1 z 2 z1 `
m
n ˆ 0
`0
m0
n0 Per ricordare come costruire questo determinante osserva che:
l
la prima riga eÁ data dalla differenza fra le coordinate di un punto di una delle
due rette e di un punto dell'altra
l
la seconda riga eÁ quella dei parametri direttori di una retta
l
la terza riga eÁ quella dei parametri direttori dell'altra retta.
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Per esempio:
n stabiliamo se sono complanari le due rette di equazioni:
8
8
x ˆ 2 4t
x ˆ 1 ‡ 2t
>
>
>
>
<
<
1
1 1
‡t
s: yˆ ‡ t
r: yˆ
>
>
2
2 2
>
>
:
:
z ˆ 1 ‡ 2t
z ˆ1‡t
Basta individuare un punto su ciascuna retta e i rispettivi parametri direttori:
1
relativamente a r : scegliamo come punto 2,
, 1 , i parametri di2
rettori sono 4, 1, 2
1
relativamente a s : scegliamo come punto 1, , 1 , i parametri direttori
2
1
sono 2, , 1.
2
Calcoliamo il determinante:
1 1 2
4 1 2
ˆ0
!
2 1 1
2
le rette r e s sono complanari
n stabiliamo se sono complanari le due rette di equazioni:
(
(
x ˆ2‡t
x ˆ 1 3t
r : yˆ3 t
s: y ˆt
z ˆ 1 ‡ 2t
z ˆ 2 2t
Relativamente a r : scegliamo come punto …2, 3, 1†, i parametri direttori
sono 1, 1, 2
Relativamente a s : scegliamo come punto …1, 0, 2†, i parametri direttori
sono 3, 1, 2.
Calcoliamo
1
3
1
1
3 1
il determinante:
1 2 ˆ 10
2
!
le rette r e s non sono complanari.
4.2 Rette parallele e rette perpendicolari
Condizione di parallelismo fra rette
Due rette sono parallele se coincidono o se hanno la stessa direzione (quindi
sono complanari). Possiamo quindi dire che:
condizione necessaria e sufficiente affinche due rette siano parallele eÁ che
abbiano parametri direttori proporzionali, cioeÁ che
`
m
n
ˆ 0 ˆ 0
0
`
m
n
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Per esempio, le rette di equazioni
hanno parametri direttori 5,
5
ˆ
10
8
< x ˆ 1 ‡ 5s
yˆ2 s
:
z ˆ 3 ‡ 2s
1, 2 la prima, 10,
8
< x ˆ 3 ‡ 10t
y ˆ 1 2t
:
z ˆ 7 ‡ 4t
e
2, 4 la seconda ed essendo
1
2
ˆ , esse sono parallele.
2
4
Condizione di perpendicolaritaÁ
Due rette nello spazio sono perpendicolari se lo sono le loro direzioni (questo
significa che non eÁ indispensabile che le rette siano complanari); allora, detto
v~…`, m, n† il vettore che indica la direzione della prima retta e v~0 …` 0 , m 0 , n 0 †
quello che indica la direzione della seconda, il prodotto scalare dei due vettori
v~ e v~0 deve essere nullo. Possiamo quindi dire che:
condizione necessaria e sufficiente affinche due rette siano perpendicolari eÁ
che
`` 0 ‡ mm 0 ‡ nn 0 ˆ 0
8
<x ˆ 1 ‡ s
Ad esempio, le rette di equazioni
y ˆ1 s
:
z ˆ 3 ‡ 2s
8
< x ˆ 1 ‡ 3t
y ˆ 2 3t
:
z ˆ 3 3t
e
sono perpendicolari; i loro parametri direttori verificano infatti la condizione di
perpendicolaritaÁ:
1 3 ‡ … 1†… 3† ‡ 2 … 3† ˆ 3 ‡ 3
6ˆ0
ESEMPI
1. Scriviamo l'equazione della retta r passante per il punto P…2, 2,
normale
1
x
3
9† e parallela alla retta s di equazione
y ‡3
ˆ
ˆ z ‡ 6.
5
I parametri direttori della retta s sono 3, 5, 1; la retta r deve avere parametri direttori proporzionali a
quelli di s (possiamo sceglierli uguali), ed ha quindi equazione
8
< x ˆ 2 ‡ 3t
y ˆ 2 5t
:
z ˆ 9‡t
2. Verifichiamo che la retta r passante per i punti A…2, 3, 0† e B…1, 2,
finita dall'intersezione dei piani di equazioni x ‡ y ‡ z ˆ 0 e 2x ‡ y
I parametri direttori della retta r sono
I parametri direttori della retta s sono
`ˆ2
1
` ˆ 1
Verifichiamo la condizione di perpendicolaritaÁ:
La due rette sono quindi perpendicolari.
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
1 ˆ 1,
1 ˆ
4
mˆ3
5, m ˆ
1† eÁ perpendicolare a quella s de4z ˆ 0.
2 ˆ 1, n ˆ 0 ‡ 1 ˆ 1.
1
2
1
1 ˆ 6, n ˆ 2
4
1 … 5† ‡ 1 6 ‡ 1 … 1† ˆ 0
1 ˆ
1
1
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Della retta di equazione
(
a. eÁ parallela al piano zy
xˆ3
y ˆ 2 ‡ t , puoi dire che:
zˆ3 t
b. passa per il punto di coordinate …3, 2, 3†
c. eÁ parallela al vettore v~…3, 1,
1†
d. puoÁ essere riscritta nella forma parametrica x
2. Le rette di equazioni
(
x ˆ 1 8t
y ˆ 6t
z ˆ 7 4t
a. sono parallele
3. Le rette di equazioni
3ˆy
e
2ˆ3
x ˆ 1 ‡ 5t
y ˆ 12 t
z ˆ 14 ‡ 2t
a. sono parallele
e
(
V
F
V
F
V
F
c. non sono ne parallele ne complanari
x ˆ 2s
y ˆ 4s
z ˆ 5 ‡ 3s
b. sono perpendicolari
5. PARALLELISMO
F
x 2z ˆ 0
2x 2y z ˆ 3
b. sono perpendicolari
(
z.
V
c. non sono ne parallele ne complanari
Á TRA RETTE E
E PERPENDICOLARITA
PIANI
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 68
Condizione di parallelismo fra una retta ed un piano
~…a, b, c† il vettore ortogonale ad un piano e sia v~…`, m, n† il vettore dei
Sia n
parametri direttori di una retta r.
~ eÁ ortogonale a v~ e quindi il loro prodotto scalare
Se r eÁ parallela ad , allora n
eÁ nullo (figura 14).
~ v~ ˆ 0, essendo i due vettori non nulli, allora n
~ eÁ ortogonale a
Viceversa se eÁ n
v~ e questo significa che r e sono paralleli.
Possiamo quindi dire che:
Figura 14
condizione necessaria e sufficiente affinche una retta sia parallela ad un
piano eÁ che
a` ‡ bm ‡ cn ˆ 0
Ad esempio, la retta di equazione
8
< x ˆ 2 ‡ 8t
y ˆ 4 6t
:
z ˆ 18 ‡ t
ed il piano di equazione
x‡y
2z ˆ 0
sono paralleli percheÂ
8 1 ‡ … 6† 1 ‡ 1 … 2† ˆ 0
Se l'equazione della retta eÁ data come intersezione di due piani, cioeÁ
0
a x ‡ b 0y ‡ c 0z ‡ d 0 ˆ 0
r:
a 00 x ‡ b 00 y ‡ c 00 z ‡ d 00 ˆ 0
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
allora la condizione che esprime la relazione di parallelismo fra la retta r ed il
piano ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0 puoÁ anche essere formulata nel seguente modo
a b c 0
a b0 c0 ˆ 0
a 00 b 00 c 00 Sviluppando
0
b c0 a 00
b c 00 il determinante si ottiene infatti
0
0
a b0 a c0 ˆ0
cioeÁ ancora
‡ c 00
b 00
a b 00 a c 00 a` ‡ bm ‡ cn ˆ 0.
Condizione di perpendicolaritaÁ fra una retta ed un piano
Se una retta r ed un piano sono perpendicolari, il vettore v~…`, m, n† che daÁ la
~…a, b, c† ortogonale al piano sono paralleli
direzione della retta ed il vettore n
(figura 15); sappiamo che cioÁ accade se e solo se i due vettori hanno le componenti proporzionali.
Possiamo quindi affermare che:
Figura 15
condizione necessaria e sufficiente affinche una retta sia perpendicolare ad
un piano eÁ che
con
` ˆ ha ^ m ˆ hb ^ n ˆ hc
h2R
f0g
`
m
n
ˆ
ˆ
a
b
c
o anche
y
7
z
ed il piano di equa13
6
zione 2x ‡ 26y 12z ˆ 5 sono perpendicolari perche i parametri direttori del
piano sono il doppio di quelli della retta.
Ad esempio, la retta di equazione x ‡ 3 ˆ
ˆ
In base a queste considerazioni, possiamo dare ora una formula per scrivere:
n l'equazione della retta passante per un punto assegnato P0 …x0 , y0 , z0 † e
perpendicolare ad un piano di equazione ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0:
x x0
y y0
z z0
ˆ
ˆ
a
b
c
n l'equazione di un piano passante per un punto assegnato P0 …x0 , y0 , z0 † e
perpendicolare ad una retta di parametri direttori `, m, n :
`…x
x0 † ‡ m…y
y0 † ‡ n…z
z0 † ˆ 0
ESEMPI
8
< x ˆ 1 ‡ 2t
1. Stabiliamo se la retta r di equazione y ˆ 4 ‡ t
:
paralleli e se r 2 .
zˆ2 t
ed il piano di equazione x
y ‡z ˆ
1 sono
Verifichiamo la condizione di parallelismo:
quindi r eÁ parallela ad .
a` ‡ bm ‡ cn ˆ 2
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
1
1ˆ0
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Per sapere se la retta appartiene o meno al piano, basta verificare se un punto qualsiasi della retta soddisfa
l'equazione del piano; scegliamo il punto P…1, 4, 2† che si ottiene per t ˆ 0 :
1
4‡2ˆ
1
!
1ˆ
1
Avendo ottenuto una identitaÁ possiamo concludere che la retta giace sul piano.
2. Stabiliamo se la retta intersezione dei due piani di equazione x ‡ 2y
dicolare al piano di equazione 6x
4 ˆ 0 e 2y ‡ z
3y ‡ 6z ‡ 1 ˆ 0.
Troviamo i parametri direttori della retta:
2 0
ˆ2
mˆ
` ˆ 2 1
I parametri direttori del piano sono 6,
perpendicolari.
1 0
0 1 ˆ
1
n ˆ 0
1
2 ˆ2
2
3, 6 e sono il triplo di quelli della retta; retta e piano sono dunque
3. Stabiliamo se la retta intersezione dei due piani e di equazioni x ‡ 2y
2x ‡ y
2z
2 ˆ 0 eÁ perpen-
3 ˆ 0 ed il piano : 6x
3y ‡ 6z ˆ 0 sono paralleli.
4z ‡ 1 ˆ 0
e
La retta eÁ data come intersezione di piani; la condizione di parallelismo eÁ che sia nullo il determinante
dei coefficienti dei tre piani:
6
3
6 1
2
4 ˆ 24 ‡ 24 ‡ 6 24 ‡ 24 6 ˆ 0
2
1
2
Retta e piano sono dunque paralleli.
4. Scriviamo l'equazione del piano passante per il punto P…4, 0, 0† e perpendicolare alla retta di equazione
x
2ˆ
y
1
z 1
ˆ
.
3
1
I parametri direttori della retta sono 1,
…x
4†
3…y
3,
0†
1; il piano ha dunque equazione:
0† ˆ 0
…z
cioeÁ
5. Scriviamo l'equazione della retta passante per il punto P…1, 5,
zione 2x
x
3y
zˆ4
12† e perpendicolare al piano di equa-
6y ‡ z ˆ 3.
6, 1; l'equazione della retta eÁ quindi
I parametri direttori del piano sono 2,
1
x
2
ˆ
y
5
ˆ z ‡ 12
6
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Della retta r :
(
x ˆ1‡t
y ˆ 2t
zˆ 1 t
a. r eÁ parallela ad c. r appartiene ad Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
e del piano : x
y
z ˆ 3 si puoÁ dire che:
b. r eÁ perpendicolare ad d. r interseca in un solo punto P
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
2. Il piano passante per il punto P …1, 0, 6† e perpendicolare alla retta avente la direzione del vettore
v~…1, 2,
a. x 2y
c. x ‡ 2y
5†, ha equazione:
b. x ‡ 2y ‡ 5z ‡ 29 ˆ 0
d. x ‡ 2y 5z ‡ 29 ˆ 0
5z ‡ 29 ˆ 0
5z 29 ˆ 0
3. La retta passante per il punto P …0,
x
ˆy ‡4ˆz
a.
8
(
x ˆ 8t
c. y ˆ 4 t
z ˆ 10 ‡ t
4, 10† e perpendicolare al piano 8x y ‡ z ˆ 7, ha equazione:
x
b.
ˆ y 4 ˆ z 10
8
(
x ˆ 8t
d. y ˆ 4 t
z ˆ 10 t
10
6. LA SUPERFICIE SFERICA
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 70
6.1 L'equazione
La sfera eÁ il luogo dei punti dello spazio che sono equidistanti da un punto fisso
che ne costituisce il centro.
Se C …, , † eÁ il centro e r eÁ il raggio, un punto P …x, y, z † dello spazio appar-
Figura 16
tiene alla sfera di centro C e raggio r se CP ˆ r (figura 16).
q
2
2
Poiche CP ˆ …x † ‡…y † ‡…z †2 , l'equazione della sfera eÁ rappresentata dall'uguaglianza:
q
2
2
…x † ‡…y † ‡…z †2 ˆ r
cioeÁ
2
†2 ‡…y
…x
† ‡…z
†2 ˆ r 2
Svolgendo i calcoli e riordinando i termini in modo opportuno si ottiene:
x2 ‡ y 2 ‡ z2
2x
2z ‡ 2 ‡ 2 ‡ 2
2y
r2 ˆ 0
e ponendo:
2 ˆ a
2 ˆ b
2 ‡ 2 ‡ 2
2 ˆ c
r2 ˆ d
(C)
possiamo riscrivere l'equazione nella forma:
x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 ‡ ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0
Per esempio, la sfera di centro C …1,
2
…x
2
2
1† ‡…y ‡ 2† ‡…z ‡ 1† ˆ 4
2,
cioeÁ
1† e raggio r ˆ 2 ha equazione:
x2 ‡ y 2 ‡ z2
2x ‡ 4y ‡ 2z ‡ 2 ˆ 0
Viceversa, risolvendo le equazioni (C) rispetto ad , , e r otteniamo che:
ˆ
a
2
ˆ
b
2
ˆ
c
2
rˆ
1 p
a2 ‡ b2 ‡ c 2 4d
2
L'equazione x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 ‡ ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0 rappresenta allora una sfera
solamente se a2 ‡ b2 ‡ c 2 4d 0.
Per esempio:
l
l'equazione x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
x ‡ 4y
3z
2ˆ0
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
essendo a2 ‡ b2 ‡ c 2
4d ˆ 1 ‡ 16 ‡ 9 ‡ 8 ˆ 34 > 0 rappresenta una su
1
3
1 p
34
e raggio r ˆ
, 2,
perficie sferica di centro C
2
2
2
l
l'equazione x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 ‡ 2x 3y ‡ z ‡ 4 ˆ 0
essendo a2 ‡ b 2 ‡ c 2 4d ˆ 4 ‡ 9 ‡ 1 16 ˆ 2 < 0 non rappresenta
una sfera.
In sintesi:
una sfera di centro C …, , † e raggio r ha equazione
…x
2
2
† ‡ …y
† ‡…z
†2 ˆ r 2
Viceversa, l'equazione di secondo grado
x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 ‡ ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0
rappresenta una sfera se e solo se
a2 ‡ b 2 ‡ c 2
4d 0
In tal caso, il centro della sfera e il raggio sono dati dalle relazioni
a
b
c
1 p
,
,
C
rˆ
a2 ‡ b2 ‡ c 2 4d
2
2
2
2
ESEMPI
1. Scriviamo l'equazione della superficie sferica che ha centro in C …2, 1, 0† e raggio r ˆ 2.
Utilizziamo la definizione:
Sviluppando i calcoli:
…x
2
2† ‡…y
x2 ‡ y 2 ‡ z2
2
1† ‡…z
4x
2
0† ˆ 4
2y ‡ 1 ˆ 0
2. Scriviamo l'equazione della sfera che passa per i punti A…1, 1, 0†, B… 2, 0, 1†, C …1, 1,
1†, D …0, 0, 3†.
L'equazione di una sfera dipende da quattro parametri, quindi per determinarne l'equazione sono necessarie quattro informazioni indipendenti, come per esempio le coordinate di quattro punti che non appartengono allo stesso piano.
Imponiamo il passaggio per i quattro punti:
8
8
1‡1‡a‡b‡d ˆ0
passaggio per A
a‡b‡d ˆ 2
>
>
>
>
>
>
< 4 ‡ 1 2a ‡ c ‡ d ˆ 0
< 2a c d ˆ 5
passaggio per B
!
>
>
1‡1‡1‡a‡b c‡d ˆ0
passaggio per C
a‡b c‡d ˆ 3
>
>
>
>
:
:
9 ‡ 3c ‡ d ˆ 0
passaggio per D
3c ‡ d ˆ 9
Risolvendo il sistema si ottiene:
8a ˆ 3
>
>
< b ˆ 13
>
>
:c ˆ 1
d ˆ 12
La sfera ha quindi equazione: x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 3x ‡ 13y ‡ z 12 ˆ 0.
3
13
1
1 p 1 p
, il raggio eÁ r ˆ
227.
,
,
9 ‡ 169 ‡ 1 ‡ 48 ˆ
Il centro eÁ il punto C
2
2
2
2
2
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
3. Scriviamo l'equazione della sfera che ha centro nel punto C …3,
1, 2† e passa per il punto P … 2, 1, 0†.
Possiamo procedere in due modi.
l
Avendo le coordinate del centro conosciamo i valori dei parametri a, b, c :
x2 ‡ y 2 ‡ z2
6x ‡ 2y
da cui:
19
4z ‡ d ˆ 0
per trovare d imponiamo il passaggio per P :
dˆ
4 ‡ 1 ‡ 12 ‡ 2 ‡ d ˆ 0
x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 6x ‡ 2y 4z 19 ˆ 0
q p
2
2
2
Il raggio della sfera eÁ il segmento CP : r ˆ …3 ‡ 2† ‡… 1 1† ‡…2 0† ˆ 33
L'equazione della sfera eÁ dunque:
l
L'equazione eÁ quindi:
2
…x 3† ‡…y ‡ 1†2 ‡…z
2
2† ˆ 33
x2 ‡ y 2 ‡ z2
!
6x ‡ 2y
4z
6.2 Il piano tangente a una sfera
19 ˆ 0
Figura 17
Un piano eÁ tangente a una sfera di centro C se la distanza del centro dal piano eÁ uguale al raggio (figura 17):
condizione di tangenza:
d …C, † ˆ r
Se, in particolare, si conosce il punto di tangenza P, allora il piano tangente
passa per P ed eÁ perpendicolare alla retta CP.
Vediamo alcuni esempi.
ESEMPI
1. Scriviamo l'equazione della sfera che ha centro in C …1; 0; 1† ed eÁ tangente al piano di equazione
2x
3y ‡ x
5 ˆ 0.
Il raggio della sfera eÁ la distanza di C dal piano:
rˆ
L'equazione cercata eÁ quindi:
…x
2
1† ‡…y
2
2
0† ‡…z ‡ 1† ˆ
8
7
!
j2 1 3 0 1
p
4‡9‡1
7x 2 ‡ 7y 2 ‡ 7z 2
5j
4
ˆ p
14
14x ‡ 14z ‡ 6 ˆ 0
2. Considerata la sfera di equazione x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
6x 6y ‡ 6z ‡ 21 ˆ 0 e la retta s di equazione normale x ˆ y ˆ z, troviamo l'equazione del piano tangente alla sfera che contiene la retta s.
p
La sfera ha centro nel punto C …3, 3, 3† e raggio r ˆ 6.
Possiamo vedere la retta s come intersezione dei piani di equazione:
x
y ˆ0 e y
zˆ0
L'insieme dei piani che passano per s (il fascio di piani di origine s) ha quindi equazione
x
y ‡ k…y
z† ˆ 0
!
x ‡ y …k
1†
kz ˆ 0
Tra essi, quelli tangenti alla sfera hanno distanza dal centro uguale al raggio della sfera:
3 ‡ 3…k 1† ‡ 3k j6k j
l distanza centro-piano:
q ˆ p
2
2
2k
2k ‡ 2
1 ‡ …k 1† ‡k 2
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
l
condizione di tangenza:
l
soluzioni dell'equazione:
p
j6k j
p ˆ 6
2
2k
2k ‡ 2
kˆ
1
2
1
_ kˆ
I due piani tangenti hanno quindi equazione:
l
l
per k ˆ
per k ˆ
1
2
1
x
1
y
2
1
zˆ0
2
x
2y ‡ z ˆ 0
2x
!
y
zˆ0
3. Data la sfera di centro C …2,
3, 0† e raggio r ˆ 2, troviamo le equazioni dei piani ad essa tangenti che
sono paralleli al piano di equazione 3x y ‡ z ˆ 0.
La sfera ha equazione:
…x
2
2
2† ‡…y ‡ 3† ‡z 2 ˆ 4
Un piano parallelo ad ha equazione:
3x
x2 ‡ y 2 ‡ z2
!
4x ‡ 6y ‡ 9 ˆ 0
y ‡z‡k ˆ0
Calcoliamo la distanza del centro della sfera dal piano e imponiamo che sia uguale al raggio:
j6 ‡ 3 ‡ k j
j9 ‡ k j
p ˆ p
9‡1‡1
11
l
distanza centro-piano:
l
condizione di tangenza:
l
soluzioni dell'equazione:
j9 ‡ k j
p ˆ 2
11
p
k ˆ 9 2 11
I due piani tangenti hanno quindi equazione: 3x
y ‡z
p
9 2 11 ˆ 0.
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. La superficie sferica di equazione x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
a. ha centro nel punto:
¬ C …1, 2, 2†
b. ha raggio:
¬ r ˆ3
2. Il piano di equazione x
a. secante
4x
2y ‡ 4z ˆ 0 :
­ C …2, 2,
­ r ˆ2
1†
2y ‡ z ˆ 1 rispetto alla sfera di equazione x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
b. tangente
c. esterno
3. La sfera di centro C…2, 0, 1† che eÁ tangente al piano x ‡ y
2
2
2
® C …2,1,
® r ˆ1
2†
3x ‡ 2y ˆ 4 eÁ:
z ˆ 4 ha equazione
x ‡ y ‡ z ‡ :::::x ‡ :::::y ‡ :::::z ˆ ::::::::::::
Completa inserendo i coefficienti mancanti.
APPROFONDIMENTI
LE EQUAZIONI DI ALCUNE SUPERFICI NOTEVOLI
L'equazione di una superficie cilindrica
In geometria analitica si dice superficie cilindrica una qualunque superficie che ha come direttrice una
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
curva appartenente ad un piano e come generatrici le rette che
passano per e che sono parallele ad una data retta r (figura 18).
Per scrivere l'equazione di un cilindro eÁ necessario quindi conoscere l'equazione di e la direzione delle generatrici.
Figura 18
Particolarmente semplice eÁ il caso in cui il cilindro ha le generatrici
parallele ad uno degli assi cartesiani e la curva appartiene al piano coordinato ad esse perpendicolare; si dimostra che, in questi casi, la superficie cilindrica ha nello spazio la stessa equazione che
ha nel piano cui appartiene.
Ad esempio, la superficie cilindrica che ha come direttrice la circonferenza del piano xy di equazione
x 2 ‡ y 2 ˆ 9 e per generatrici le rette parallele all'asse z che passano per i punti della circonferenza,
ha ancora equazione x 2 ‡ y 2 ˆ 9; la superficie cilindrica che ha come direttrice la parabola z ˆ y 2
del piano yz e come generatrici le rette parallele all'asse x che passano per i punti della parabola ha ancora equazione z ˆ y 2 .
L'equazione di una superficie conica
Una superficie conica eÁ una qualunque superficie che eÁ luogo di
rette passanti per un punto fisso V, detto vertice, e per i punti di
una curva dello spazio che non passi per V, detta generatrice (figura 19).
Supponiamo ad esempio di voler scrivere l'equazione del cono che
ha vertice nel punto V …0, 1, 0† e che ha per generatrice la circonferenza di equazione (intersezione di una superficie sferica con un
piano)
2
x ‡ y 2 ‡ z 2 2x y z ‡ 1 ˆ 0
xˆ1
8
< x ˆ `t
(D)
Una retta passante per V ha equazioni
y ˆ 1 ‡ mt
:
z ˆ nt
Figura 19
Troviamo le intersezioni di tali rette con il piano x ˆ 1 cui appartiene la circonferenza
8
8 x ˆ `t
xˆ1
>
>
>
>
>
<
<
m
y ˆ 1 ‡ mt
y ˆ1‡
da cui
`
> z ˆ nt
>
>
>
:
>
:z ˆ n
xˆ1
`
m n
I punti intersezione sono quindi i punti P 1,1 ‡ ,
.
` `
Affinche le rette per V siano generatrici del cono, tali punti devono appartenere alla circonferenza, cioeÁ
devono soddisfare l'equazione x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 2x y z ‡ 1 ˆ 0.
Troviamo cosõÁ che deve essere
2
m
n2
‡ 2
1‡ 1‡
`
`
2
m
1‡
`
n
‡1ˆ0
`
cioeÁ
m 2 n2 m
‡ 2 ‡
`
`2
`
n
ˆ0
`
(E)
Quest'ultima equazione rappresenta la relazione che individua i punti che appartengono al cono. Cerchiamo di riscriverla in funzione delle variabili x, y e z.
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Ricaviamo allora t dalla prima equazione del sistema (D) e sostituiamo nelle altre ottenendo
8
x
>
tˆ
8
>
>
m
y 1
`
>
>
>
>
>
<
< ` ˆ x
m
y ˆ1‡ x
cioeÁ
`
>
>
>
>
>
:n ˆ z
>
>
n
>
`
x
:z ˆ x
`
m n
e nell'equazione (E) abbiamo infine l'equazione
Sostituendo poi le espressioni trovate per i rapporti
`
`
del cono
Figura 20
2
2
y ‡ z ‡ xy xz x 2y ‡ 1 ˆ 0
Un caso in cui si ottiene un'equazione particolarmente semplice si ha
quando il cono eÁ generato dalla rotazione di una retta r per l'origine
attorno a uno degli assi cartesiani. Se eÁ l'ampiezza dell'angolo formato da r con tale asse (figura 20), l'equazione del cono eÁ
n x 2 ‡ y 2 ˆ z 2 tan2 se la rotazione avviene attorno all'asse z
n x ‡ z ˆ y tan se la rotazione avviene attorno all'asse y
2
2
2
2
n y 2 ‡ z 2 ˆ x 2 tan2 se la rotazione avviene attorno all'asse x
1 2
z rappresenta una superficie conica avente vertice in O, asse di
3
1
rotazione coincidente con l'asse z e angolo di semiapertura ˆ 30 (tan2 ˆ implica ˆ 30 †.
3
Ad esempio l'equazione x 2 ‡ y 2 ˆ
L'equazione di una superficie di rotazione
Una superficie di rotazione eÁ la superficie generata dalla rotazione di una curva attorno ad una retta
fissa.
F…x, z† ˆ 0
Se appartiene al piano xz ed ha equazione
e la rotazione avviene attorno all'asse z, un
y ˆ0
punto P…x0 ,0,z0 † di tale curva descrive una circonferenza,
con centro sull'asse z, che appartiene al piano z ˆ z0 e
2
x ‡ y 2 ˆ x02
che ha quindi equazione
(figura 21). L'ez ˆ z0
Figura 21
quazione della superficie generata dalla rotazione di attorno all'asse z si ottiene eliminando x0 e z0 dalle equazioni
F…x0 ,z0 † ˆ 0
ed ha quindi equazione
x 2 ‡ y 2 ˆ x02
z ˆ z0
p F x2 ‡ y 2, z ˆ 0
p
L'equazione della superficie di rotazione si ottiene quindi sostituendo l'espressione x 2 ‡ y 2 al posto
di x nell'equazione di .
L'equazione del cono precedente si trova appunto in questo modo: se z ˆ mx eÁ l'equazione della retta r,
p
il cono ha equazione z ˆ m x 2 ‡ y 2 da cui elevando al quadrato e tenendo conto del significato tri
1
si ottiene l'equazione data.
gonometrico di m, m ˆ
tan Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
l
Ad esempio, la superficie che si ottiene facendo ruotare
x2 z2
l'ellisse di equazione 2 ‡ 2 ˆ 1 attorno all'asse z ha
a
c
equazione
Figura 22
x2 ‡ y 2 z2
‡ 2 ˆ1
a2
c
e si dice ellissoide rotondo (figura 22).
l
Analogamente, la superficie che si ottiene facendo ruotare l'ix2 z2
ˆ 1 attorno all'asse z ha equaperbole di equazione 2
a
c2
zione
x2 ‡ y2
a2
Figura 23
z2
ˆ1
c2
e si dice iperboloide rotondo a una falda (figura 23).
l
La stessa iperbole, ruotando attorno all'asse x (il ragionamento eÁ analogo), genera una superficie la cui equazione si ottiep
ne sostituendo y 2 ‡ z 2 al posto di z e cioeÁ
x2
a2
y 2 ‡ z2
ˆ1
c2
Tale superficie prende il nome di iperboloide rotondo a due
falde (figura 24).
l
Figura 24
Figura 25
Infine la parabola di equazione z ˆ ax 2 , ruotando attorno all'asse z, genera una superficie di equazione
z ˆ ax 2 ‡ ay 2
che si dice paraboloide rotondo (figura 25).
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Date due rette sghembe r e s, la loro minima distanza eÁ il segmento HK
che si ottiene tracciando la retta t perpendicolare ad entrambe le rette (figura 25). Per trovarla si puoÁ seguire una procedura abbastanza semplice:
l
consideriamo il piano che contiene s ed eÁ parallelo alla retta r
l
prendiamo un punto P su r
l
determiniamo la distanza PQ di P da .
La risposta al
quesito iniziale
Il segmento PQ eÁ la distanza cercata. Infatti essa rappresenta la distanza
tra e il piano che contiene r ed eÁ parallelo ad .
Per esempio, consideriamo le rette di equazione (consideriamo volutamente un caso semplice)
nx ˆ y
xˆ1
r:
e
s:
yˆz
yˆ2
La retta r passa per l'origine e ha come parametri direttori i numeri 1, 1, 1;
la s eÁ una retta parallela all'asse z e ha quindi come parametri direttori i
numeri 0, 0, 1. Poiche i parametri direttori non sono proporzionali, le rette
non sono parallele.
Inoltre, poiche i punti di r hanno uguali le tre coordinate mentre quelli di s
hanno tutti coordinate …1, 2, k †, le due rette non hanno punti in comune e
sono percioÁ sghembe.
Seguiamo adesso la procedura che abbiamo descritto.
l
Troviamo il piano parallelo a r che contiene s :
± scriviamo l'equazione del fascio di piani che passa per s:
x 1 ‡ k …y 2† ˆ 0
!
x ‡ ky 2k 1 ˆ 0
± i parametri direttori del piano sono:
1 k 0
± imponiamo la condizione di parallelismo tra e r:
11‡1k‡10ˆ0
!
kˆ 1
± il piano ha equazione: x
y ‡1ˆ0
l
Scegliamo l'origine come punto su r:
P …0, 0, 0†
p
2
1
d ˆ p ˆ
2
2
l
Calcoliamo la distanza di P da :
Un altro modo di risolvere il problema eÁ mostrato nell'esercizio n. 262
dell'eserciziario.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
I concetti e le regole
Il sistema di riferimento nello spazio
Fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali nello spazio, ciascun punto eÁ individuato da una terna ordinata di
numeri …, , † che rappresentano rispettivamente la sua ascissa, la sua ordinata e la sua quota. In tale sistema
di riferimento, dati i punti …1 , 1 , 1 † e …2 , 2 , 2 †, si ha che:
q
l la misura del segmento e
Á ˆ …2 1 †2 ‡…2 1 †2 ‡…2 1 †2
e, in particolare,
se eÁ parallelo all'asse se eÁ parallelo all'asse se eÁ parallelo all'asse l
!
!
!
ˆ j2
ˆ j2
ˆ j2
1 j
1 j
1 j
il punto medio del segmento ha come coordinate la semisomma delle coordinate di e di :
1 ‡ 2
1 ‡ 2
1 ‡ 2
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
2
2
2
I vettori nello spazio
Un vettore ~
nello spazio eÁ individuato dalle sue componenti cartesiane , , .
Dati due vettori ~
e~
ed un numero reale , si definiscono le seguenti operazioni:
l moltiplicazione per uno scalare
~
ˆ , , l
l
somma e differenza
~
~
ˆ … , , †
prodotto scalare ~
~
ˆ cos # oppure, evidenziando le componenti ~
~
ˆ ‡ ‡ In particolare, si verifica che:
l
l
due vettori sono paralleli se e solo se hanno le componenti proporzionali
due vettori sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare eÁ nullo, cioeÁ se la somma dei prodotti delle loro
componenti eÁ uguale a zero.
Il piano e la sua equazione
Un piano nello spazio ha equazione della forma ‡ ‡ ‡ ˆ 0
In particolare: l se ˆ 0 il piano passa per l'origine
l se manca una delle variabili, il piano e
Á parallelo all'asse di quella variabile
l se mancano due variabili, il piano e
Á parallelo al piano di quelle variabili.
Due piani di equazioni
l
l
‡ ‡ ‡ ˆ 0
e 0 ‡ 0 ‡ 0 ‡ 0 ˆ 0 sono poi:
ˆ 0 ˆ 0
paralleli se e solo se i coefficienti delle tre variabili sono proporzionali:
0
perpendicolari se e solo se 0 ‡ 0 ‡ 0 ˆ 0
Inoltre l'equazione del piano che passa per il punto 0 …0 , 0 , 0 † ed eÁ parallelo a quello di equazione
‡ ‡ ‡ ˆ 0 si trova con la formula
…
0 † ‡ …
0 † ‡ …
0 † ˆ 0
La distanza del punto …0 , 0 , 0 † dal piano ‡ ‡ ‡ ˆ 0 si calcola con la formula
0 ‡ 0 ‡ 0 ‡ p
ˆ
2 ‡ 2 ‡ 2
La retta e la sua equazione
Una retta nello spazio si puoÁ individuare mediante:
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
l
un punto 0 …0 , 0 , 0 † ed il vettore ~
…`, , † ad essa parallelo; in questo caso la sua equazione eÁ:
8
< ˆ 0 ‡ `
in forma parametrica
ˆ 0 ‡ :
ˆ 0 ‡ in forma normale
l
ˆ
0
ˆ
0
se `, , 6ˆ 0
due punti …1 , 1 , 1 † e …2 , 2 , 2 † ed in questo caso la sua equazione eÁ:
8
>
< ˆ 1 ‡ …2 1 †
ˆ 1 ‡ …2 1 †
in forma parametrica
>
: ˆ ‡ … 2 1 †
1
2
in forma normale
l
0
`
1
ˆ
1
2
1
ˆ
1
2
1
1
se
1 6ˆ 2 _ 1 6ˆ 2 _ 1 6ˆ 2
‡ ‡ ‡ ˆ 0
0 ‡ 0 ‡ 0 ‡ 0 ˆ 0
ˆ
in questo caso i parametri direttori sono: ` ˆ 0
0 due piani di cui essa eÁ intersezione:
Parallelismo e perpendicolaritaÁ fra rette e piani
0
0 ˆ 0
0 Date due rette di parametri direttori `, , e ` 0 , 0 , 0 ed un piano di equazione ‡ ‡ ‡ ˆ 0, si ha che:
`
l le due rette sono parallele se e solo se i parametri direttori sono proporzionali:
ˆ 0 ˆ 0
`0
l le due rette sono perpendicolari se e solo se
`` 0 ‡ 0 ‡ 0 ˆ 0
l
la retta eÁ parallela al piano se e solo se
l
la retta eÁ perpendicolare al piano se e solo se
` ‡ ‡ ˆ 0
`
ˆ
ˆ
Inoltre:
l
la retta che passa per il punto 0 …0 , 0 , 0 † ed eÁ perpendicolare al piano di equazione ‡ ‡ ‡ ˆ 0
equazione
l
0
ˆ
0
ˆ
ha
0
il piano che passa per il punto 0 …0 , 0 , 0 † ed eÁ perpendicolare alla retta di parametri direttori `, , ha equazione `… 0 † ‡ … 0 † ‡ … 0 † ˆ 0.
La superficie sferica
La superficie sferica di centro …, , † e raggio ha equazione:
Viceversa, ogni equazione di secondo grado della forma
…
†2 ‡…
†2 ‡…
†2 ˆ 2
2 ‡ 2 ‡ 2 ‡ ‡ ‡ ‡ ˆ 0
1 p
rappresenta una sfera di centro e raggio ˆ
,
,
2 ‡ 2 ‡ 2 4 se e solo se
2
2
2
2
2
2
2
‡ ‡
4 0.
La condizione di tangenza tra un piano e una sfera eÁ che la distanza del centro della sfera dal piano sia uguale al
raggio.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Il sistema di riferimento
nello spazio
ORIENTARSI IN TRE DIMENSIONI
la teoria eÁ a pag. 3
RICORDA
Á AB ˆ
n La distanza fra i punti A…x1 , y1 , z1 † e B…x2 , y2 , z2 † e
In particolare:
l
Á parallelo all'asse x
se il segmento AB e
AB ˆ jx2
x1 j
l
Á parallelo all'asse y
se il segmento AB e
AB ˆ jy2
y1 j
l
Á parallelo all'asse z
se il segmento AB e
AB ˆ jz2
z1 j
q
2
2
2
…x2 x1 † ‡ …y2 y1 † ‡ …z2 z1 †
n Il punto medio M del segmento AB di estremi A…x1 , y1 , z1 † e B…x2 , y2 , z2 † ha coordinate
xM ˆ
x1 ‡ x2
2
yM ˆ
y1 ‡ y2
2
zM ˆ
z1 ‡ z2
2
Comprensione
1 Il simmetrico del punto P …2, 2, 3† rispetto all'origine ha coordinate:
1
1 1
,
,
b. …2, 2, 3†
c. … 2, 2, 3†
a.
2
2 3
1
1
1
1
,
2 I punti P
1, ,
e P 0 1,
:
2
3
2
3
a.
b.
c.
d.
d. … 2,
2, 3†
sono simmetrici rispetto all'asse x
sono simmetrici rispetto all'asse y
sono simmetrici rispetto all'asse z
non sono simmetrici rispetto agli assi cartesiani.
3 I punti P …4, 2, 1† e P 0 … 4, 2, 1† :
a. sono simmetrici rispetto al piano xy
b. sono simmetrici rispetto al piano xz
c. sono simmetrici rispetto al piano yz
d. non sono simmetrici rispetto ai piani coordinati.
4 Il triangolo di vertici A… 1, 1, 3†, B … 1, 5, 3†, C …3, 3, 2† :
a. ha il lato AB parallelo al piano xy
b. ha il lato AB parallelo all'asse y
c. eÁ isoscele di base AB
d. eÁ rettangolo in A.
Quale delle precedenti proposizioni eÁ falsa?
42
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
5 Il punto P …3,
p
a. 5
2,
1† dista dall'asse x di un segmento di lunghezza:
p
p
b. 13
c. 10
d. 3
6 Il punto P … 1, 4, 3† dista dall'origine di un segmento di lunghezza:
p
a. 8
b. 6
c. 24
7 Il punto medio del segmento di estremi A…0, 1,
1
1
b. …4, 1, 1†
a. 2, ,
2
2
d.
1†, B…4, 0, 2† ha coordinate:
1 1
c. 2, ,
2 2
p
26
d. 2,
1 3
,
2 2
Applicazione
Fissato nello spazio un sistema di assi cartesiani ortogonali, rappresenta i punti che hanno le seguenti
coordinate.
8 A…0, 1, 2†
9 A…0, 0, 0†
2
10 A 5,
2,
3
11 A…1, 3, 2†
12 A…3,
1,
2†
B … 1, 3,
1
, 0,
B
2
2†
2
C …2,
4, 3†
5
C
2,
,1
6
B … 1, 0, 0†
C … 4,
B … 1, 3, 2†
C …1, 3,
2†
C … 3,
1, 2†
B … 3, 1,
2†
13 Determina i simmetrici dei punti P…1, 2, 3†, Q…2, 0, 0†, R… 3, 1,
a. l'origine del sistema di riferimento;
b. l'asse x, l'asse y, l'asse z;
c. il piano xy, il piano yz, il piano xz.
4,
4†
3†, S…0, 1,
1† rispetto a:
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, determina la distanza tra le seguenti coppie di
punti.
14 A…1, 1, 3†
15 A…0, 4,
B…0,
2†
B… 1, 2,
16 A… 1, 3, 6†
1
, 2, 0
17 A
2
B…3,
B…0, 2, 1†
B…2, 3, 2†
19 A…5,
B…0, 0, 0†
20 A… 4,
1, 1†
21 A… 3, 2, 4†
22 A… 1,
23 A…2, 0, 0†
1 2
, ,
24 A
3 3
B…2,
B…1, 4,
1,
1†
1
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
2†
4, 5†
18 A…2, 1, 2†
2, 3†
p
30
p
5
p
66
p 5
2
4, 5†
‰2Š
p
38
p
37
p
2 14
p
3 2
3
2
p 4 3
3
1, 2†
2†
B… 2, 5, 2†
1
B 1, 1,
2
2 1
B
1,
,
3 3
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
43
p
p
3, 0, 6
p p p
2
26 A 1 ‡ 2, 2,
2
25 A
27 A… 2,
2,
2†
28 A…2, 3, 0†
p 3
1
, 0,
29 A
2
2
B…0, 0, 0†
p 2
B 1, 0,
2
‰3Š
‰2Š
B…2,
2, 2†
p
B 1, 5, 2
‰4Š
p
7
p 2, 0
B 3,
‰3Š
30 Un triangolo ha vertici nei punti A…2, 1, 3†, B…3,
lo e calcolane il perimetro.
1,
2†, C …0, 2,
1†; stabilisci la natura del triango-
p p p
triangolo scaleno; 2p ˆ 21 ‡ 30 ‡ 19
31 Verifica che il triangolo di vertici A…4, 3, 1†, B…2, 1, 2†, C …0, 2, 4† eÁ isoscele.
32 Verifica che il triangolo di vertici A…3,
1,
1, 2† eÁ rettangolo e calcolane l'area.
1†, B …1, 2, 1†, C …6,
p 3 34
area ˆ
2
33 Dopo averli rappresentati in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, stabilisci la natura dei solidi
che hanno vertici nei seguenti punti:
a. A…0, 1, 2†, B …1, 3, 1†, C …0, 3, 1†, D …0, 1,
3†, E …1, 3,
b. A…1, 1, 0†, B…1, 2, 0†, C …2, 2, 0†, D …2, 1, 0†, E …1, 1,
34 Calcola le distanze del punto P…3,
4†, F …0, 3,
1†, F …1, 2,
1,4† dagli assi cartesiani.
4†
‰prismaŠ
1†, G …2, 2,
1†, H …2, 1,
1†
‰cuboŠ
h
p
pi
dx ˆ 17; dy ˆ 5; dz ˆ 10
35 Determina un punto P sull'asse y che sia equidistante dai punti A…2, 3, 5† e B…2,
1,
5†.
‰P…0, 2, 0†Š
36 Un punto P appartenente al piano xy ha l'ascissa doppia dell'ordinata e la sua distanza dal punto
p
Q…0, 0, 3† eÁ 2 volte la sua distanza dall'asse y. Calcola le coordinate di P.
p p P1 2 3, 3, 0 _ P2
p
2 3,
p 3, 0
p
p 37 I punti O…0, 0, 0†, A 5, 0, 0 , B 0, 5, 0 , sono tre vertici di una delle facce di un cubo. Determina le
coordinate degli altri vertici. Quanti cubi si possono individuare?
38 Determina le coordinate del punto medio M dei segmenti i cui estremi sono i punti A e B che seguono:
a. A…2,
p
b. A 3,
1
,
c. A
2
2, 4†
1, 0
1
2,
3
B…3,
M 5,
2
p
M 3,
M 1,
4
1, 2†
p
3, 7, 2
1
B 0, 2,
3
B
3,3
2
3, 1
2, 0
Nei seguenti esercizi determina le coordinate dei tre punti che dividono il segmento AB in quattro parti
congruenti.
"
#
7
1
5
3
1
3
5
3
7
, ,
, ,
, ,
,
,
39 A…2, 0, 1†
B…1, 1, 2†
4
40 A
44
1 2
, ,
3 3
1
B
1,
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
2 1
,
3 3
0, 1 ,
3
4 4
2
2 ,
1 , 0,
3
3
2
2
1 ,
3
4
2,
3
4
4
1,0
3
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
p
p
41 A 3, 0, 6
p p p
2
42 A 1 ‡ 2, 2,
2
"
B…0, 0, 0†
p 2
B 1, 0,
2
p
p p
p #
p
3
6
3
6
3 p
3
,
, 0,
, 0,
3, 0,
6 ,
2
2
4
4
4
4
p
p p p p p p p p 2
2
2
2
2
4‡3 2 3 2
2‡ 2
4‡ 2
,
,
,
,
,
,
,
,
2
2
2
4
2
4
4
2
4
43 Determina la lunghezza delle mediane del triangolo di vertici A…2, 1, 3†, B …3,
1,
2†, C …0, 2,
1†.
p p
p 83
77 5 2
,
,
2
2
2
44 Verifica che i punti medi dei lati del triangolo di vertici A…4, 3, 1†, B …2, 1, 2†, C …0, 2, 4† individuano un
secondo triangolo che ha il perimetro uguale alla metaÁ del perimetro di ABC.
45 Un triangolo ha i vertici nei punti A…3, 1, 1†, B …1, 2, 1†, C …6, 1, 2†; verifica che il segmento che
congiunge i punti medi dei lati AB e AC eÁ uguale alla metaÁ di BC.
46 Un triangolo equilatero ha i vertici sui semiassi positivi di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale
p
nello spazio ed il suo perimetro eÁ 6 2. Trova le coordinate dei vertici. ‰A…2, 0, 0†, B …0, 2, 0†, C …0, 0, 2†Š
47 Determina le coordinate dell'estremo A di un segmento AB, sapendo che B…4, 6,
medio M di tale segmento ha coordinate …2, 1, 6†.
3† e che il punto
4, 15†Š
‰…0,
48 Determina le coordinate dell'estremo A di un segmento AB, sapendo che B…a, a, a† e che il suo punto
‰… 5a, 5a, a†Š
medio M ha coordinate … 2a, 3a, a†.
49 Determina le coordinate del punto P appartenente al segmento AB di estremi A…1, 4,
2† e B… 3, 6, 7†
in modo che AP sia il triplo di PB.
11 19
(Suggerimento: indicato con M il punto medio di AB, P eÁ il punto medio di.....)
P
2,
,
2
4
p
p
50 Determina le coordinate dell'estremo A di un segmento AB, sapendo che B 2, 0, 3 e che il punto
p
p
p
p
medio M di tale segmento ha coordinate 1 ‡ 2, 1, 3
3 .
2 ‡ 2, 2, 6 3 3
51 L'estremo A del segmento AB ha coordinate … 2, 1, 6† e il punto medio M di tale segmento ha ordinata
‰M…1, 3, 0†; B…4,5,
6†Š
3. L'estremo B ha ascissa 4 e quota 6. Calcola le coordinate di B e di M.
52 Determina le coordinate del punto P 0 simmetrico di P… 2, 1, 3† rispetto al punto M…1,
1, 1†.
‰P 0 …4,
53 Dopo aver verificato che il triangolo di vertici A… 5,
calcolane il perimetro e l'area.
54
4,
5†, B … 1, 2, 3†, C …3, 2,
3,
1†Š
1† eÁ isoscele,
h
pi
p p
2p ˆ 4 29 ‡ 2 ; area ˆ 12 6
ESERCIZIO GUIDA
Dividiamo il segmento AB di estremi A…xA , yA , zA † e B…xB , yB , zB † in n parti congruenti e determiniamo le coordinate dei punti di suddivisione.
AB
Ciascuna delle parti in cui viene diviso il segmento AB ha lunghezza
. Indicando con Pk il k-esimo
n
punto di suddivisione …k ˆ 1, 2, :::::, n 1† si ha che
AP k ˆ
k
AB
n
Proiettando il segmento AB ed i punti Pk sui piani coordinati (nella figura di pagina seguente abbiamo
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
45
diviso AB in 5 parti e abbiamo proiettato sul piano xy) ed applicando il teorema di Talete si ha che
xk ˆ xA ‡
k
…xB
n
xA †
yk ˆ yA ‡
k
…yB
n
yA †
zk ˆ zA ‡
k
…zB
n
zA †
Ad esempio, dividiamo il segmento AB di estremi A…2, 3, 1† e B…1, 0, 4† in tre parti congruenti. I
punti di suddivisione hanno coordinate …n ˆ 3 e k ˆ 1, 2†:
8
8
2
4
1
5
>
>
>
>
x2 ˆ 2 ‡ …1 2† ˆ
x1 ˆ 2 ‡ …1 2† ˆ
>
>
>
>
3
3
3
3
>
>
>
>
<
<
P2 ˆ y2 ˆ 3 ‡ 2 …0 3† ˆ 1
P1 ˆ y1 ˆ 3 ‡ 1 …0 3† ˆ 2
>
>
3
3
>
>
>
>
>
>
>
>
1
2
>
>
: z2 ˆ 1 ‡ 2 …4 ‡ 1† ˆ 7
: z1 ˆ 1 ‡ …4 ‡ 1† ˆ
3
3
3
3
1
55 Dato il segmento di estremi A
, 0;
2
parti uguali.
"
P1
2
1 e B 4, , 5 , trova i punti Pk che lo dividono in cinque
3
#
6 2 1
19 4 7
13 2 13
33 8 19
; P3
,
,
,
,
, ,
,
,
; P2
; P4
5 15 5
10 15 5
5 5 5
10 15 5
56 Dato il segmento di estremi A…3, 1, 0† e B…1, 0,
2†, trova i punti Pk che lo dividono in tre parti uguali.
" 7 2
P1
, ,
3 3
57 Dividi il segmento AB di estremi A… 2, 3, 0† e B…5,
suddivisione.
2
5 1
; P2
, ,
3
3 3
4
3
#
2; 1† in tre parti congruenti individuando i punti di
1 4 1
8
, ,
,
P1
; P2
3 3 3
3
1 2
,
3 3
58 Dato il segmento di estremi A…2, 0, 1† e B … 2, 4, 5†, trova i punti Pk che lo dividono in 6 parti uguali.
(Suggerimento: puoi dividere AB in due parti uguali mediante il suo punto medio M e poi dividere AM e
MB in tre parti uguali ciascuno).
" 4 2
2 4
, , 0 , P2
, , 1 ; P3 …0, 2, 2†; P4
P1
3 3
3 3
2 8
, , 3 ; P5
3 3
#
4 10
,
,4
3 3
59 Determina, nello spazio cartesiano di origine O, il punto B…2, 1, h† di quota positiva che abbia distanp
za dall'asse x pari a 10; dato poi il punto A…1, 1, k† determina i valori di k per i quali si ha che AB ˆ 3;
scelto il minimo di tali valori, calcola il perimetro del triangolo AOB.
p p
h ˆ 3; k ˆ 1; 2p ˆ 3 ‡ 3 ‡ 14
` p
6, calcola il volume del te60 Dopo aver dimostrato che l'altezza di un tetraedro regolare di lato ` eÁ
3
traedro che ha un vertice nell'origine del sistema di riferimento prefissato e un vertice in B…9, 0, 0†.
46
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
p
V ˆ 243 2
4
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
61 Si dice mediana di un tetraedro il segmento che ha per estremi un vertice e il baricentro della faccia opp posta al vertice considerato. Dato il tetraedro di vertici A 3, 5, 6 , B…1, 1, 0†, C…3, 2, 0†, D…2, 3, 0†
determina la lunghezza della mediana relativa alla faccia BCD del tetraedro.
‰4Š
62 Dimostra che ogni diagonale interna congiungente i vertici opposti di un parallelepipedo rettangolo biseca le altre tre.
(Suggerimento: scegli una faccia del solido sul piano xy ed un vertice nell'origine)
RICHIAMI E COMPLEMENTI
la teoria eÁ a pag. 7
RICORDA
~…vx , vy , vz † e ~
v
s …sx , sy , sz † ed il numero reale k :
~ ˆ kvx , kvy , kvz
k v
n Dati i vettori
l
l
l
l
l
~~
v
s ˆ …v x sx , v y sy , v z sz †
~~
v
s ˆ vs cos #
oppure, evidenziando le componenti cartesiane
~k~
v
s
~~
v
s ˆ vx sx ‡ vy sy ‡ vz sz
se e solo se i due vettori hanno le componenti proporzionali
~?~
~~
v
s se e solo se v
sˆ0
n Per calcolare il determinante di una matrice quadrata si applicano le seguenti procedure:
a11 a12
l se la matrice e
Á di ordine due:
Aˆ
det A ˆ a11 a22 a21 a12
a21 a22
l
Á ordine tre si applica la regola di Sarrus.
se la matrice e
Comprensione
63 Dai la definizione di vettore geometrico specificando anche che cos'eÁ un versore. Indica poi:
a. come si individuano le componenti cartesiane di un vettore nello spazio
b. quali sono le componenti cartesiane dei versori fondamentali
c. come si individuano le componenti cartesiane quando si conoscono le coordinate dei punti estremi
del vettore
d. come si determina il modulo di un vettore quando sono note le sue componenti cartesiane.
ƒ!
64 Del vettore AB di estremi A… 3, 1, 2† e B…1, 2, 1†, si puoÁ dire che:
V F
a. ha componenti vx ˆ 4, vy ˆ 3, vz ˆ 1
ƒ!
V F
b. si puoÁ rappresentare nella forma AB ˆ ~
i 3~
j ‡ 4k~
p
V F
c. ha modulo 26
3
1
V F
.
d. eÁ parallelo al vettore v~ 2, ,
2 2
65 Dati i vettori ~
a… 2, 3, 1† e b~…0,
2† e il numero reale k :
3
1
!
,
:
a. il vettore v~ ˆ k a ha componenti 1,
2 2
¬ se k ˆ 1
­ se k ˆ 1
® per nessun valore di k
2
2
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
5,
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
47
b. il vettore ~
sˆ~
a ‡ b~ ha componenti:
¬ … 2,
2, 3†
­ … 2, 2,
~
c. il vettore ~
sˆ~
a 3b ha componenti:
¬ … 2,
1†
­ … 2, 18, 7†
2, 3†
® … 2, 8, 3†
® …0,
18, 5†
66 Considerato il prodotto scalare k di due vettori v~ e ~
s , completa le seguenti proposizioni in modo che
risultino vere:
a. se l'angolo formato dai due vettori eÁ acuto allora k eÁ un numero ...............
b. se i due vettori sono ortogonali, allora k eÁ ...............
c. se v~ ~
s ˆ 0, allora ...............
d. k assume il suo valore massimo quando ...............
67 Quale tra le seguenti matrici ha determinante uguale a 1?
4
3 3
0 2
c.
b.
a.
7
1 2
3 1
1
2
68 Stabilisci quali fra le seguenti matrici hanno determinante nullo:
2
3
2
3
2
3
2
5 0
5
0 5 7
1 1 1
1
a. 4 1 1
15
b. 4 1 0 3 5
c. 4 0 0 0 5
d. 4 1
1 2
1
7 0 0
1 2 3
1
d.
1
1
2
3
1
15
3
1
2
1
2
2
1
e. 4 0
1
1
0
1
3
0
15
1
Applicazione
69 Un vettore v~ ha un estremo nell'origine del sistema di riferimento e l'altro nel punto A. Scrivi il vettore
per mezzo delle sue componenti cartesiane nei seguenti casi:
a. A…2, 3,
c. A…1,
b. A…1,
1†
1, 2†
d. A… 2, 1, 1†
2, 1†
ƒ!
70 Scrivi mediante le componenti cartesiane i vettori AB di estremi assegnati:
a. A…2, 1,
3†
e
B…1,
b. A… 3, 1, 2†
e
B…1, 0, 2†
c. A… 5, 1, 4†
e
B…2, 3,
d. A…1,
4, 2† e
B…3,
2, 1†
‰… 1,
3, 4†Š
‰…4,
1, 0†Š
1†
‰…7, 2,
5†Š
2, 1†
‰…2, 2,
1†Š
71 Calcola il modulo dei seguenti vettori:
~
~ˆ ~
a. v~ ˆ 3~
i ‡ 7~
j 2k;
w
i ‡~
j k~
p
p v ˆ 62; w ˆ 3
p p
v ˆ 29; c ˆ 10 2
p AB ˆ 3 2
PQ ˆ 3
~
b. v~ ˆ 4~
i ‡ 3~
j ‡ 2k;
c~ ˆ 6~
i ‡ 8~
j 10k~
ƒ!
c. AB dove A…2, 1, 3†
e B…1, 0, 1†
ƒ!
d. PQ dove P…3, 1, 2† e Q…2, 1, 0†
72 Osservando le componenti cartesiane dei seguenti vettori, stabilisci se ve ne sono di paralleli. In caso di
risposta affermativa, distingui quelli equiversi:
~
a ˆ 3~
i 2~
j ‡ 4k~
d~ ˆ
48
3~
i ‡ 6~
j 12k~
b~ ˆ 7~
i 6~
j ‡ 8k~
e~ ˆ 6~
i 4~
j ‡ 8k~
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
c~ ˆ
f~ˆ
~
i ‡ 2~
j 4k~
7~
i ‡ 6~
j 8k~
h
i
~ f~paralleli di verso opposto
~
a, e~; c~, d~ paralleli equiversi; b,
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
v~ ˆ 3~
i 2~
j ‡ 4k~ e
~ˆ
w
1 ~
w
b. v~
2
73 Dati i vettori
~
a. v~ ‡ w
74 Dati i vettori ~
rˆ
~ calcola:
2~
i ‡~
j k,
~
c. 2~
v ‡ 3w
~
~
i ‡~
j 2k~ e ~
sˆ~
j ‡ k,
a. ~
r ‡~
s
calcola:
b. ~
r ~
s
c.
1~ 1~
r‡ s
2
3
75 Calcola il prodotto scalare dei vettori v~ e ~
s nei seguenti casi:
~
a. v~…1, 2, 3†
s … 1, 1, 2†
b. v~…1,
1,
c. v~…0, 3,
d. v~ 1,
~
s …5, 1,
1
~
, 4,
s
2
1
~
s
,
3
1†
2†
2
3,
3
~w
~ˆ
76 Dati i vettori v~ ˆ 3~
i ‡ t~
j t k,
in modo che:
~
a. v~ sia parallelo a w
‰ 9Š
2†
0
‰6Š
‰12Š
3
,1
4
~~
~
i ‡~
j 2k,
sˆ
13
4
7~
j ‡ 3k~ , determina il valore del parametro t 2 R
‰6 9tŠ
b. v~ sia perpendicolare a ~
s.
‰t ˆ 0Š
77 Dato il vettore v~ ˆ … 2, 1, 2† ed il punto P …1,
ƒ! ƒ!
quali valga la relazione PQ ˆ RP ˆ 2~
v:
2, 3†, determina le coordinate dei punti R e Q per i
p
3 2~ 3~ ~
78 Calcola l'angolo # formato dai vettori v~ ˆ
i‡ j‡k e
2
2
(Suggerimento: utilizza il prodotto scalare)
‰R…5,
~ˆ~
w
i
79 Determina il valore del parametro reale a in modo che i vettori v~ ˆ
4,
1†; Q… 3, 0, 7†Š
p
~
2~
j ‡ 2 k.
3
‰# 82 35 0 11 00 Š
~
~ ˆ a~
i ‡ 3~
j 2k~ e w
i 3a~
j ‡ 2k~
siano perpendicolari. Esiste un valore del parametro in corrispondenza del quale essi sono paralleli?
2
,aˆ1
5
aˆ
Calcola il determinante delle seguenti matrici.
80
ESERCIZIO GUIDA
Aˆ
2
5
1
2
det A ˆ 2 … 2†
2
81 4
82
"
3
2
0
3
1
1
2
1
p
5
15ˆ
3
5
#
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
2
9
1
7
3
0
p
6 5
4
1
2
3
3
4 7
5
p
5
5
42
0
2 p
2
6
4 2
1
3
05
1
p 3
2
7
2 5
1
5
2
23 ; p
2
4
7 ; 21;
2
3;
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
49
2
6
6
83 6
4
84
3
5 7
7
7
10 5
3
1
5
1
3
2
61
66
4
0
r 3
37
27
5
2
"
1
2
p #
2
p
2 2
1; 1 ; 0
3
ESERCIZIO GUIDA
2
3
4
Aˆ
1
1
2
2
1
3
4
25
1
Affianchiamo alla matrice le prime due colonne
2
3
2
4 1
2
1
1
e applichiamo la regola di Sarrus:
3
4
3
2
25 1
2
1
1
1
Calcoliamo la somma dei prodotti degli elementi che si trovano sulle tre diagonali principali
3 … 2† 1 ‡ … 2† …2† … 1† ‡ 4 1 1 ˆ
6‡4‡4ˆ2
Calcoliamo poi la somma dei prodotti degli elementi che si trovano sulle tre diagonali secondarie
4 … 2† … 1† ‡ 3 2 1 ‡ … 2† 1 1 ˆ 8 ‡ 6
Abbiamo dunque
2
1
6
85 4 2
3
1
2
1
2
7
86 4 6
3
2
3
4
2
3
3
1
15
1
3
7
15
1
3
2
1 4
87 4 1
1 05
4
0 3
2
3
36 4
5
88 4 12 2
35
24 5
4
2
3
3
0 1
89 4 4
2 05
5
1 3
det A ˆ 2
12 ˆ
2
1
6
41
1
10
2
3
4
2
3
4 1
1
2 ˆ 12
2
4
3
3
1
7
25
3
‰ 4;
3
0
25
1
2
3
5 0 2
4 6 1 25
2 3 1
2
3
2
1
3
4 4
0
05
2
1
8
2
3
10
2
1
4 1
1
05
5
1
3
IL PIANO E LA SUA EQUAZIONE
2Š
‰2; 28Š
‰ 13; 57Š
‰ 384; 20Š
‰ 4;
28Š
la teoria eÁ a pag. 12
RICORDA
n Un piano ha equazione della forma
50
ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
a
b
c
ˆ 0 ˆ 0
a0
b
c
n Due piani sono paralleli se e solo se hanno i coefficienti delle variabili proporzionali:
n Due piani sono perpendicolari se e solo se:
aa 0 ‡ bb 0 ‡ cc 0 ˆ 0
Á parallelo a ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0 ha equazione:
n Il piano che passa per il punto P …x0 , y0 , z0 † ed e
a …x x0 † ‡ b …y y0 † ‡ c …z z0 † ˆ 0
jax0 ‡ by0 ‡ cz0 ‡ d j
Á:
p
n La distanza del punto P …x0 , y0 , z0 † dal piano ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0 e
a 2 ‡ b 2 ‡ c2
Comprensione
90 Dopo aver spiegato come si giunge all'equazione di un piano, completa le seguenti proposizioni:
a. un piano parallelo al piano xy ha equazione .................
b. un piano parallelo all'asse x ha equazione .....................
c. un piano che contiene l'asse y ha equazione ..................
d. un piano che passa per l'origine ha equazione ...............
91 Due piani hanno equazioni 3x ‡ 2y ‡ kz ‡ 1 ˆ 0 e 3 x ‡ y ‡ 1 z
2
2
a. sono paralleli se:
¬ kˆ1
­ kˆ2
2
b. sono perpendicolari se:
¬ k ˆ 12
­ k ˆ 13
3 ˆ 0; di essi si puoÁ dire che:
® kˆ1
® k ˆ 12
92 Stabilisci quale fra le seguenti equazioni eÁ quella del piano che passa per il punto P …1, 3,
rallelo a quello di equazione 3x 2y ‡ z 2 ˆ 0:
a. 3x
c. 3x
b. 2x
d. 3x
y ‡z‡4ˆ0
2y ‡ z ‡ 4 ˆ 0
3y ‡ z
2y ‡ z
1† ed eÁ pa-
2ˆ0
4ˆ0
93 Stabilisci se fra le seguenti coppie di piani ve ne sono di perpendicolari:
a. 3x ‡ y z ˆ 0
b. 4x 3y ‡ 2z 5 ˆ 0
c. x ‡ 2y z 1 ˆ 0
2x 5y ‡ z ‡ 2 ˆ 0
x 2y z 1 ˆ 0
x‡y ‡z‡7ˆ0
94 Sia d la distanza del punto P … 1, 1, 0† dal piano di equazione x 2y z ‡ 1 ˆ 0 e sia d 0 la distanza di
P dal piano 4x ‡ 2z 3 ˆ 0; quale fra le seguenti relazioni eÁ quella giusta?
a. d < d 0
b. d ˆ d 0
c. d > d 0
Applicazione
95
ESERCIZIO GUIDA
Scrivi l'equazione del luogo geometrico individuato dall'insieme dei punti dello spazio equidistanti da
A…2, 1, 3† e B…3, 1, 1†.
Sia P…x, y, z† un generico punto nel riferimento cartesiano assegnato. Per determinare l'equazione del
2
2
luogo geometrico richiesto dobbiamo imporre che sia AP ˆ BP o meglio AP ˆ BP , cioeÁ
…x
2
2
2† ‡ …y ‡ 1† ‡ …z
2
3† ˆ …x
Svolgendo i calcoli si ottiene l'equazione 2x ‡ 4y
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
2
3† ‡ …y
2
1† ‡ …z ‡ 1†
2
8z ‡ 3 ˆ 0.
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
51
96 Determina l'equazione del luogo dei punti dello spazio equidistanti dai punti A… 2, 0, 1† e B…1, 1, 0†.
‰6x ‡ 2y
2z ‡ 3 ˆ 0Š
97 Determina l'equazione del luogo dei punti dello spazio equidistanti dai punti A…2, 0, 1† e B…1, 0, 1†.
3 ˆ 0Š
‰2x
98 Scrivi l'equazione del luogo geometrico dei punti che hanno distanza 5 dal punto A…0, 2,
2
x ‡ y 2 ‡ z2
3†.
4y ‡ 6z ˆ 12
99 Scrivi la relazione algebrica che individua il luogo dei punti dello spazio aventi distanza minore di una
2
lunghezza r assegnata dall'origine del sistema di riferimento.
x ‡ y 2 ‡ z2 < r 2
100 Scrivi la relazione algebrica che individua il luogo dei punti dello spazio aventi distanza maggiore di 2
2
dal punto A…1, 0, 1†.
x ‡ y 2 ‡ z 2 2x 2z 2 > 0
101 Scrivi la relazione algebrica che individua il luogo dei punti dello spazio tali che la somma
dei quadrati
2
delle distanze da A…0, 1, 0† e da B…0, 1, 0† sia minore od uguale a 4.
x ‡ y 2 ‡ z2 1
102 Individua la tipologia dei seguenti piani:
a. x ˆ 2;
y ˆ 3;
b. 3x
c. 2x
2y ‡ 1 ˆ 0;
2x
3y ‡ z ˆ 0;
x
4z ˆ 0;
y ‡ 4z
zˆ
y
3 ˆ 0;
2y
p
2;
3z ‡ 4 ˆ 0;
3z ˆ 4;
yˆ0
x‡y ˆ0
x
zˆ3
103 Scrivi le equazioni dei piani che hanno le seguenti caratteristiche:
a. passa per P…1, 1, 3†
ed eÁ parallelo al piano yz
b. passa per
R…2, 0,
c. passa per Q…3,
1†
ed eÁ parallelo al piano xy
1, 4†
ed eÁ parallelo al piano xz
‰x ˆ 1Š
‰z ˆ
‰y ˆ
1Š
1Š
104 Stabilisci se i seguenti punti appartengono al piano indicato a fianco:
a. A…5, 2, 1†,
p p p
b. A 3, 3, 3 ,
p
p
c. A 2, 2,
2 ,
B… 1, 4,
9†
: 3x
2y
z‡2ˆ0
3y ‡ z ˆ 0
B…1, 0,
2†
: 2x
B…1, 1,
3†
:x‡y ‡z ˆ2
‰no, si]
‰si, siŠ
‰si, noŠ
Scrivi l'equazione del piano passante per l'origine del sistema di riferimento e per le seguenti coppie di
punti.
105 A… 1, 0, 4†
B…9, 2, 5†
(Suggerimento: considera l'equazione generale del piano e imponi la condizione di appartenza dei punti
dati)
‰8x 41y ‡ 2z ˆ 0Š
106 A…0, 0, 1†
B…1, 0, 0†
107 A… 1, 1, 1†
B…1, 2, 3†
‰x ‡ 4y
108 A… 2, 0, 1†
B…0, 1, 1†
‰x
109 A…0, 1,
B…4, 5, 1†
‰3x
1†
110 A…1, 0, 1†
B… 1, 2,
111 A…1, 2, 3†
B…2, 3, 1†
112 A…2, 2, 3†
B… 1,
52
‰y ˆ 0Š
1†
1,
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
2y ‡ 2z ˆ 0Š
2y
‰x
‰7x
1†
3z ˆ 0Š
2z ˆ 0Š
z ˆ 0Š
5y ‡ z ˆ 0Š
‰x
y ˆ 0Š
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Determina l'equazione del piano passante che passa per i punti A, B, C assegnati.
113 A…0, 0,
114 A…0,
1†
B…2, 2,
1†
C…1, 4, 1†
2, 3†
B…1, 2, 2†
C… 1,
1†
B…2, 0, 3†
C…2, 2, 2†
116 A…0, 0, 1†
B…1, 0, 0†
C…0, 1, 0†
117 A…5, 2, 1†
B…1,
118 A… 3, 1, 1†
1
, 1, 0
119 A
2
B…0, 2, 0†
C… 2,
B…0,
C…0, 0, 1†
115 A…4, 5,
120 A…0, 2, 1†
p
121 A 3, 0, 1
122 A…2,
2, 0†
2,
1†
2, 0†
B…0, 4, 2†
p
B 2 3, 1, 1
B…1, 1, 1†
‰2x
1, 0†
2y ‡ 3z ‡ 3 ˆ 0Š
4y
‰11x
5z ‡ 7 ˆ 0Š
‰3x ‡ 2y ‡ 4z
C… 3, 0, 1†
2,
‰x ‡ y ‡ z
1 ˆ 0Š
4y ‡ 6z
3 ˆ 0Š
‰x
2†
4y ‡ 5z ‡ 8 ˆ 0Š
‰3x
‰6x
6, 3†
p
C
3, 4, 1
p
p
C 2,
2,
18 ˆ 0Š
C…0,
y ‡ 2z
2 ˆ 0Š
‰punti allineatiŠ
h p
2
1
p
5 x‡ 2
‰z 1 ˆ 0Š
i
p
2 2 z‡4ˆ0
3 y‡ 4
123 Scrivi l'equazione del piano che passa per il punto P…1, 1, 3† ed eÁ parallelo all'asse x. Sono sufficienti le
informazioni date per risolvere il problema?
1, 0† e B…0, 6, 3† ed eÁ parallelo all'asse z.
124 Scrivi l'equazione del piano che passa per i punti A…2,
‰7x ‡ 2y
125 Scrivi l'equazione del piano parallelo all'asse x che passa per i punti P…3, 1,
12 ˆ 0Š
4† e Q…0, 2,
1†.
‰3y
z ˆ 7Š
z
2 ˆ 0Š
1
126 Nella stella di piani di centro P 2, , 1 , determina quello che passa anche per i punti A…1, 0, 0† e
2
B…0, 1, 0†.
(Suggerimento: devi scrivere l'equazione di un piano passante per tre punti assegnati)
‰2x
2y
Determina se i quattro punti dati sono complanari.
127
ESERCIZIO GUIDA
A…1,
2, 3†,
B…4, 2, 2†,
C…1,
3, 0†,
D…0, 0, 1†
Scriviamo l'equazione del piano che passa per i primi tre punti e verifichiamo se anche il quarto gli
8
appartiene:
13
>
>
d
aˆ
8
>
>
40
a
2b
‡
3c
‡
d
ˆ
0
passaggio
per
A
>
>
>
<
<
9
!
4a ‡ 2b ‡ 2c ‡ d ˆ 0
passaggio per B
bˆ
d
>
>
40
>
:
>
>
a 3b ‡ d ˆ 0
passaggio per C
>
3
>
:c ˆ
d
40
Il piano ha dunque equazione:
13x
9y ‡ 3z
Verifichiamo se il punto D gli appartiene: 3
40 ˆ 0
40 ˆ 0
Non avendo ottenuto un'identitaÁ, si deve concludere che D 2
= .
128 A…4, 5,
1†
B…2, 0, 0†
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
C…2, 2, 2†
D…2, 1, 1†
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
‰siŠ
53
129 A…0, 0, 1†
B…1,
130 A… 5, 2, 1†
B… 1,
131 A…0, 2,
3†
B…1, 2,
132 A…2, 5,
1†
B… 2, 0, 3†
5, 0†
2,
1†
2†
C…0, 1, 0†
1
, 0, 0
D
6
C… 3, 0, 1†
D…1, 1, 0†
‰noŠ
C… 4,
D…1, 0, 1†
‰noŠ
1, 0†
C…2, 2, 2†
D… 14, 1,
‰siŠ
1†
‰siŠ
133 Stabilisci il valore di h in corrispondenza del quale sono complanari i seguenti gruppi di punti:
a. P …3, 2, 0†
Q …0, 1, 1†
b. P …1,
2, h†
Q …0, 0, 1†
c. P …0,
3, 1†
Q …h,
1,
R …1, 0, 1†
1†
S …h,
1, 2†
R …1, 0,
1†
S … 1, 2, 0†
R …1, 0,
2†
S … 2, 2, 1†
‰ 2Š
‰2Š
2
3
Individua i punti di intersezione dei seguenti piani con gli assi cartesiani e calcola il perimetro dei triangoli aventi per vertici tali punti.
134
ESERCIZIO GUIDA
2x
3y ‡ z
1ˆ0
Il punto di intersezione con l'asse x ha uguali a zero l'ordinata e la quota; esso ha dunque ascissa che
si ricava dall'equazione 2x 1 ˆ 0
Analogamente puoi trovare i punti di intersezione con gli altri assi.
135 2x ‡ y
136 y
137 3x
z
3ˆ0
3x ‡ z ‡ 2 ˆ 0
y
138 x ‡ y ‡ z
4z ‡ 1 ˆ 0
4ˆ0
139 Determina il valore del parametro a in modo che il piano di equazione:
…a 1†x ‡ …a 2†y 3az ‡ a ˆ 0

p
p 1 p
13 ‡ 3 5 ‡ 2 10
6
p p
3 5‡ 2
p
p
2 2 2 5‡1
3
p p
5 ‡ 4 10 ‡ 3 17
12
p
12 2
a. passi per l'origine del sistema di riferimento
b. passi per il punto P…1, 0, 2†
c. intersechi il piano xy lungo la retta di equazione 2x ‡ y ‡ 3 ˆ 0.
‰0Š
1
4
‰3Š
Piani paralleli e piani perpendicolari
Stabilisci se le seguenti coppie di piani sono:
a. paralleli e distinti;
b. coincidenti;
c. perpendicolari;
d. non presentano alcuna delle caratteristiche precedenti.
140 1 : x ‡ y ‡ z ˆ 0
2 : 3x ‡ 3y ‡ 3z
141 1 : 2x
2 : 4x
54
y ‡ 3z ‡ 1 ˆ 0
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
3ˆ0
‰aŠ
2y ‡ 9z ‡ 2 ˆ 0
‰d Š
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
142 1 : 4x
143 1 : x
y ‡ 2z
3ˆ0
y ‡ 2z ˆ 0
144 1 : 3x
y ‡z‡3ˆ0
145 1 : z ˆ 2x
2 : x
2y
2 : x
y
2 : 2y
3y ‡ 1
2 :
147 1 : 4x
2 : 4x
5y ‡ 3z ˆ 0
2 : x
149 1 : y ˆ x
2 : 2x
3ˆ0
‰cŠ
6x
x
148 1 : z ˆ 0
‰cŠ
z
2z
2 : z ˆ 2x
146 1 : x ‡ y ‡ 2z ‡ 2 ˆ 0
3z ‡ 7 ˆ 0
y
6ˆ0
‰bŠ
3y ‡ 7
‰aŠ
2z
‰aŠ
4ˆ0
5 ‡ 3z ˆ 0
‰dŠ
10 ˆ 0
‰cŠ
2z ˆ 0
‰dŠ
Determina la posizione reciproca dei seguenti piani.
150
ESERCIZIO GUIDA
2x
y ‡z ˆ3
4x
2y ‡ 2z ˆ 1
I due piani possono essere:
l
l
l
paralleli se i coefficienti delle tre variabili sono proporzionali
perpendicolari se a a 0 ‡ b b 0 ‡ c c 0 ˆ 0
secanti in modo diverso negli altri casi.
Nel nostro caso si verifica la prima condizione:
2
ˆ
4
1
1
ˆ
2
2
I due piani sono quindi paralleli.
151 x
y ‡ 2z
152 3x
6y ‡ 18z
153 x ‡ 2y
154 2x
157
x
158 5x
159 x
9ˆ0
2x ‡ y ‡ z ‡ 1 ˆ 0
x
3z ‡ 1 ˆ 0
y ‡ 3z ˆ 2
155 x ‡ 3y
156 4x
2ˆ0
2y ‡ 6z
2x ‡ y
x
zˆ1
y
‰piani secantiŠ
3ˆ0
z‡3ˆ0
zˆ1
‰piani coincidentiŠ
x
y ‡ 4z ‡ 4 ˆ 0
si intersecano in P 4 ,
7
2x
x ‡ 2y ‡ z ˆ 0
x
y ‡z ˆ3
8x
2y ‡ 2z
y ‡z ˆ3
x
y ‡ 2z ‡ 2 ˆ 0
x ‡ y ˆ 2z ‡ 1
4z ‡ 1 ˆ 2x ‡ 2y
y ‡z‡1ˆ0
3x
2y
x
2x
8y ‡ 2z
4y ‡ z ˆ 1
3y ‡ z ˆ 1
y ‡ 3z ˆ 1
zˆ0
2ˆ0
y
2x
3x
2y ˆ 0
x
161 2x
4x
2y ‡ 2z ˆ 3
2x
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
15
7
‰due piani paralleli, il terzo secanteŠ
si intersecano in P 9 , 1 , 7
5 5 5
6ˆ0
‰due piani coincidono, il terzo li interseca lungo una rettaŠ
160 y ‡ z ‡ 1 ˆ 0
y ‡z ˆ0
4,
z
2z ˆ
‰tre piani paralleliŠ
2 ˆ 0 si intersecano in P 5 , 7, 13
2
2
8y
4
‰due piani coincidono, il terzo e parallelo a questiŠ
zˆ2
si intersecano in P 2 , 3 , 8
5 5
5
y ‡z ˆ2
‰tre piani paralleliŠ
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
55
Determina l'equazione del piano parallelo a e passante per Q.
162
ESERCIZIO GUIDA
:x
3y ‡ 2z
1ˆ0
Q… 1, 2, 1†
Possiamo risolvere il problema in due modi.
I modo
Un generico piano parallelo a quello dato ha equazione:
x
Imponendo il passaggio per Q otteniamo che deve essere … 1†
Il piano richiesto ha dunque equazione
x
3y ‡ 2z ‡ 5 ˆ 0.
3y ‡ 2z ‡ d ˆ 0.
3…2† ‡ 2…1† ‡ d ˆ 0 da cui d ˆ 5.
II modo
L'equazione di un piano passante per Q eÁ:
a…x ‡ 1† ‡ b…y
2† ‡ c…z
1† ˆ 0.
Dovendo tale piano essere parallelo a quello dato si ha che a ˆ 1, b ˆ 3, c ˆ 2. Il piano ha dunque
equazione …x ‡ 1† 3…y 2† ‡ 2…z 1† ˆ 0 cioeÁ x 3y ‡ 2z ‡ 5 ˆ 0.
163 : x
5y ‡ z
164 : 2x
3y
1ˆ0
2z
165 : y ‡ z
3ˆ0
166 : z ˆ x
y ‡1
2ˆ0
167 : 5x
7ˆ0
168 : 3x
2z ‡ 3 ˆ 0
169 : z ˆ y
170 : 4x
Q… 2, 0, 3†
Q…0, 0, 0†
p
Q 5, 1, 1
2z ˆ 0Š
‰y ‡ z
2 ˆ 0Š
‰z ˆ x
y ‡ 4Š
‰x ˆ 0Š
2z
‰3x
Q…0, 0, 1†
5y ‡ 7z ˆ 0
1 ˆ 0Š
3y
‰2x
Q…1, 2, 3†
3 5
Q 0, ,
4 7
7
, 2, 0
Q
3
5
5y ‡ z
‰x
7 ˆ 0Š
‰z ˆ y ‡ 1Š
Q…0, 0, 0†
‰4x
5y ‡ 7z ˆ 0Š
Determina l'equazione del piano passante per Q e perpendicolare al vettore v~ assegnato.
171
ESERCIZIO GUIDA
Q…1, 2, 3†
v~… 1, 4,
2†.
Ricordiamo che i coefficienti a, b, c dell'equazione di un generico piano ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0 sono
proporzionali alle componenti di un vettore perpendicolare al piano stesso; il piano richiesto ha quindi un'equazione della forma
x ‡ 4y 2z ‡ d ˆ 0
Imponendo poi il passaggio per il punto Q otteniamo
Il piano richiesto ha equazione
x
1 ‡ 4…2†
2…3† ‡ d ˆ 0
da cui
dˆ
1
4y ‡ 2z ‡ 1 ˆ 0.
Si puoÁ anche risolvere il problema scrivendo l'equazione del piano per Q e con parametri direttori
uguali alle componenti cartesiane del vettore v~:
1…x
1† ‡ 4…y
2†
2…z
3† ˆ 0
da cui otteniamo la stessa equazione.
56
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
v~…1, 2, 3†
1
3 1
v~ ,
,
2
2 2
172 Q…1, 0, 0†
173 Q…4,
2, 3†
174 Q…1, 1, 1†
v~…0, 0, 2†
175 Q… 1, 1, 1†
2
, 2, 2
176 Q
3
3
177 Q 1, 0,
2
v~…1, 0, 1†
v~…3, 1,
v~…0,
‰x ‡ 2y ‡ 3z
3y ‡ z
‰x
1 ˆ 0Š
13 ˆ 0Š
1 ˆ 0Š
‰z
‰x ‡ z ‡ 2 ˆ 0Š
1†
‰3x ‡ y
2, 3†
z
2 ˆ 0Š
6z ‡ 9 ˆ 0Š
‰4y
Determina l'equazione del piano passante per i punti A e B e perpendicolare al piano assegnato.
178
ESERCIZIO GUIDA
A…0, 1, 2†
B… 1,
2, 0†
:x
y ‡ z ˆ 1.
Il piano deve passare per A, quindi ......
Il piano deve passare per B, quindi ......
La condizione di perpendicolaritaÁ eÁ a
b ‡ c ˆ 0.
Risolvendo il sistema delle tre equazioni ottenute trovi i coefficienti dell'equazione del piano.
‰5x ‡ y
179 A… 2, 1, 0†
B…4,
180 A…1, 1, 1†
B…2, 1, 0†
: 2x
B… 3, 1, 0†
181 A…3, 0,
1†
182 A…0, 5, 3†
1
1
, 1,
183 A
2
2
184 A…1, 4, 2†
3, 2†
: x
y ‡z
y
5ˆ0
4z ‡ 7 ˆ 0Š
‰x ‡ 2y ‡ z ˆ 0Š
zˆ0
‰x ‡ y ‡ z
3 ˆ 0Š
: y
2z ‡ 3 ˆ 0
‰x ‡ 4y ‡ 2z
1 ˆ 0Š
B… 7, 0, 8†
: z
3ˆ0
B… 2, 0, 0†
: 5x
B…0, 0, 0†
: x‡y ˆ0
‰5x
3y ‡ z
7ˆ0
7y ‡ 35 ˆ 0Š
‰x ‡ 2y ‡ z ‡ 2 ˆ 0Š
‰2x
2y ‡ 3z ˆ 0Š
Determina, se esiste, il punto di intersezione dei seguenti piani.
185 : x
2z
186 : x ‡ y
4ˆ0
z
4ˆ0
: x ‡ 3y ‡ 2z
: x
1ˆ0
y ‡ 2z ‡ 5 ˆ 0
: x ‡ 3y
z
: 3x ‡ y ‡ 2z
7ˆ0
P 0, 5 ,
3
1ˆ0
‰P …0, 3,
2
1†Š
187 : 2x y z 5 ˆ 0
: 2x y z 2 ˆ 0
: 4x ‡ y 3z ˆ 0
‰nessuna intersezioneŠ
(Suggerimento: i primi due piani sono.........., quindi..........)
1
determina quello parallelo al piano di equazione
188 Fra i piani passanti per P 2, , 1
2
2x 3y ‡ z ‡ 1 ˆ 0.
‰4x 6y ‡ 2z 7 ˆ 0Š
3† e parallelo ai vettori v~1 … 2,
6, 3† e
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
57
189 Determina l'equazione del piano passante per A…1, 2,
v~2 …2, 3, 4†.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
‰15x
14y
18z
41 ˆ 0Š
190 Determina l'equazione del piano passante per il punto A…0, 1, 2† e perpendicolare a quello di equazio‰x ‡ 2y ‡ 3z 8 ˆ 0Š
ne x ‡ y z ‡ 5 ˆ 0 e a quello di equazione x 2y ‡ z 3 ˆ 0.
191 Il piano assiale di un segmento eÁ il piano che passa per il suo punto medio ed eÁ ad esso perpendicolare.
Considerato il triangolo di vertici A…4, 1, 3†, B…2, 1, 3†, C…0, 3, 1†, scrivi le equazioni dei piani assiali dei suoi lati.
‰x ‡ y 3z 3 ˆ 0; x 2y ‡ z 1 ˆ 0; 2x y 2z 4 ˆ 0Š
192 Scrivi l'equazione del piano che passa per il punto P…2, 3,† ed eÁ perpendicolare ai piani
: 2x 3y 6z ‡ 1 ˆ 0 e : x ‡ 2y 3z ‡ 2 ˆ 0; verifica poi che eÁ parallelo all'asse y.
‰3x ‡ z
11 ˆ 0Š
Distanza di un punto da un piano
Calcola la distanza dei punti P dai piani assegnati.
193 P…3, 1,
194 P…1,
2†
: 3x
y ‡z
1, 2†
: 3x
2y ‡ 3z ˆ 5
195 P…2, 0, 3†
:
6x ‡ y
p 11
11
p 3 22
11
p 8 38
19
7ˆ0
zˆ1
196 Dato il punto P…2,
1, 0† ed il piano di equazione x
1
modo che la distanza di P dal piano sia .
3
2y ‡ kz
3 ˆ 0, determina il valore di k in
‰k ˆ 2Š
197 Calcola le equazioni dei piani paralleli a quello di equazione 3x y ‡ 2z ‡ 1 ˆ 0 che hanno da esso
p
14
.
‰3x y ‡ 2z ˆ 0; 3x y ‡ 2z ‡ 2 ˆ 0Š
distanza
14
p
198 Fra i punti del tipo P…1, 2, t† determina quelli che distano 6 dal piano 2x y z ˆ 6.
p
199 Determina i punti dell'asse y che distano 2 3 dal piano di equazione x
200 Fra i tre piani : x ‡ 3y
re distanza dall'origine.
z ˆ 1, : x
2y ‡ z ˆ 0, : x
‰t ˆ
12 _ t ˆ 0Š
y ‡ z ˆ 3.
‰…0, 3, 0†; …0,
9, 0†Š
y ‡ z ˆ 3 individua quello che ha maggio-
p : 3
201 Determina l'equazione del piano parallelo a quello di equazione 2x y ‡ z 3 ˆ 0 e tangente alla sfera di centro O…0, 0, 0† e raggio 1.
(Suggerimento: un piano eÁ tangente ad una sfera se la sua distanza dal centro eÁ uguale al raggio)
2x
y ‡z
p
6ˆ0
202 Determina l'equazione della famiglia di piani perpendicolari al piano xy e tangenti
alla sfera di centroi
h
p
O…0, 0, 0† e raggio 1.
ax ‡ by a2 ‡ b2 ˆ 0
203 Determina l'equazione
del luogo geometrico dei punti dello spazio la cui distanza dal piano
p
3
volte quella dal punto A…0, 0, 1†.
x y z ˆ 0 eÁ
‰2xy ‡ 2xz 2yz 2z ‡ 1 ˆ 0Š
3
204 Siano dati i due piani paralleli 1 : 3x 2y ‡ z 1 ˆ 0 e 2 : 3x 2y ‡ z ‡ 7 ˆ 0. Calcola la distanza tra i due piani.
(Suggerimento: considera un qualunque punto del primo piano, ad esempio A…1, 0, 2† e calcola la sua
p
distanza dall'altro)
4
7
58
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
14
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
205 Calcola la distanza tra il piano x
Q…3, 2, 1†.
y
3z ‡ 1 ˆ 0 ed il piano ad esso parallelo passante per il punto
p 11
11
206 Determina le equazioni dei piani perpendicolari a quello di equazione 3x ‡ 4y
stanza uguale a 1 dai punti P1 …0, 0, 1† e P2 …0, 0, 1†.
2z ˆ 0 ed aventi di‰4x
3y 5 ˆ 0Š
207 Determina l'equazione del luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti dai piani di equazione
‰y ‡ z ˆ 0, 2x y ‡ z ˆ 0Š
x y ˆ 0 e x ‡ z ˆ 0.
208
ESERCIZIO GUIDA
Una piramide avente per base il triangolo ABC dove A…2, 0, 0†, B…2, 1, 0†, C…0, 2, 1†, ha vertice in
V …1, 1, 3†. Calcola il suo volume.
L'altezza della piramide eÁ la distanza del punto V dal piano di ABC.
Tale piano ha equazione...............
l'altezza vale dunque.....................
Per calcolare l'area di base conviene usare la formula di Erone
area ˆ
p
p…p a† …p b† …p c†
dove p eÁ il semiperimetro del triangolo e a, b, c sono le misure dei suoi lati. Applicando questa forp
5
.
mula trovi che l'area del triangolo ABC eÁ
2
5
V ˆ
6
Il volume della piramide eÁ quindi..........
209 Un prisma ha per base il triangolo ABC di vertici A…1, 0, 0†, B… 1, 0, 0†, C…0, 1, 1† ed un vertice del‰V ˆ 6Š
l'altra base eÁ il punto D…2, 1, 5†. Calcola il suo volume.
210 Calcola il volume della piramide che ha per base il triangolo di vertici A…3, 4, 1†, B…3, 0, 4† e C…0, 0, 1†
e altezza h, dove h eÁ la distanza dell'origine O del sistema di riferimento dal piano di equazione
p
p
‰V ˆ 4Š
4x ‡ 5y ‡ 2 5z ‡ 8 ˆ 0.
LA RETTA E LA SUA EQUAZIONE
la teoria eÁ a pag. 20
RICORDA
~…`, m, n† ed un punto P0 …x0 , y0 , z0 †, l'equazione della retta per P0 parallela a v
~
n Dati nello spazio un vettore v
Á
e
8
< x ˆ x0 ‡ `t
in forma parametrica
y ˆ y0 ‡ mt
:
z ˆ z0 ‡ nt
x
x0
`
ˆ
i numeri
y
y0
m
ˆ
`, m, n
z
z0
n
in forma normale
…se `, m, n 6ˆ 0†
sono i parametri direttori della retta.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
59
Á
n L'equazione della retta passante per i punti A…x1 , y1 , z1 † e B…x2 , y2 , z2 † e
8
>
< x ˆ x1 ‡ …x2 x1 †t
y ˆ y1 ‡ … y 2 y 1 † t
in forma parametrica
>
:
z ˆ z1 ‡ …z2 z1 †t
x
x2
x1
y
ˆ
x1
y2
y1
z
ˆ
y1
z2
z1
z1
in forma normale …se x2
Á data come intersezione di piani
n Se la retta e
i suoi parametri sono:
b c
`ˆ 0
mˆ
b c0
a
0
a
c c0
x 1 , y2
y1 , z2
z1 6ˆ 0†
ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0
a 0x ‡ b 0y ‡ c 0z ‡ d 0 ˆ 0
a
n ˆ 0
a
b b0
n Due rette sono parallele se e solo se hanno parametri direttori proporzionali
n Due rette sono ortogonali se e solo se ` ` 0 ‡ m m 0 ‡ n n 0 ˆ 0
Comprensione
8
< x ˆ 3 ‡ 2t
211 Della retta r di equazione parametrica: y ˆ 1 t si puoÁ dire che:
:
z ˆ 1 4t
a. passa per P …2, 1, 4†
1
b. eÁ parallela al vettore v~ 1, , 2
2
c. eÁ parallela al vettore v~…2,
1, 4†.
V
F
V
F
V
F
8
<x ˆ 1 t
212 Una retta r ha equazione parametrica y ˆ 0
. Considera le seguenti proposizioni:
:
z ˆ2‡t
¬ l'equazione di r in forma normale eÁ 1 x ˆ z 2
­ non eÁ possibile scrivere l'equazione di r in forma normale
® r si puoÁ vedere come intersezione dei piani y ˆ 0 e z ˆ 3
Delle precedenti affermazioni sono vere:
b. solo la ®
a. solo la ¬ e la ®
213 Le equazioni
8
< x ˆ 2 ‡ 2t
¬ yˆ t
:
z ˆ 1 3t
­
x 2 ˆ 2y
3y ˆ 1 z
c. solo la ­ e la ®
d. nessuna
8
< x ˆ 2k
® yˆ1 k
:
z ˆ 4 3k
8
< x ˆ 2 4v
¯ y ˆ 2v
:
z ˆ 1 ‡ 6v
a. rappresentano quattro rette diverse
b. solo la ¬ e la ® rappresentano la stessa retta
c. rappresentano tutte la stessa retta
d. tutte tranne la ¯ rappresentano la stessa retta.
214 La retta che passa per i punti A…1, 0, 1† e B …0,
8
8
<x ˆ 1 ‡ t
<x ˆ 1 t
a.
b.
yˆ t
yˆt
:
:
z ˆ 1 ‡ 2t
z ˆ 1 ‡ 2t
60
x.
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
1, 1† ha equazione parametrica:
8
8
<x ˆ 1 t
<x ˆ 1 t
c.
d.
yˆ t
yˆ t
:
:
z ˆ 1 ‡ 2t
z ˆ 1 ‡ 2t
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
215 Quali delle seguenti equazioni corrispondono alla retta che passa per i punti A…2, 1, 1† e B …1,
8
<x ˆ 2 t
x y 3ˆ0
x y ‡3ˆ0
c.
b.
a.
yˆ 1 t
:
x‡z 3ˆ0
x‡z 3ˆ0
z ˆ1‡t
8
<x ˆ 2 ‡ t
d. 2 x ˆ 1 y ˆ z 1
e. x 2 ˆ y ‡ 1 ˆ z 1
f.
y ˆ 1‡t
:
z ˆ1‡t
8
< x ˆ 1 2t
216 Data la retta r di equazione y ˆ 3t
:
:
z ˆ 1‡t
a. una retta ad essa parallela ha equazione:
8
8
< x ˆ 1 ‡ 2h
< x ˆ 1 4h
¬ y ˆ 2 ‡ 3h
­ y ˆ 6h
:
:
z ˆ 1‡h
z ˆ 1 ‡ 2h
b. la retta ad essa perpendicolare ha equazione:
8
8
< x ˆ 1 3v
<x ˆ 2 h
¬ y ˆ3 h
­ y ˆ 2‡v
:
:
z ˆ 1 ‡ 2v
z ˆ 1 ‡ 2h
2, 2†?
8
< x ˆ 1 4h
® y ˆ 6h
:
z ˆ 1 2h
8
< x ˆ 2k
® y ˆ3‡k
:
z ˆ1‡k
217 Individua se fra le seguenti rette ve ne sono di perpendicolari:
8
8
8
<x ˆ 2 ‡ t
<x ˆ 1 s
< x ˆ 3v
a.
b.
c.
y ˆ 2 3s
y ˆ 1 2t
y ˆ 2 ‡ 4v
:
:
:
z ˆ 1‡s
zˆ3 t
z ˆ 1 5v
8
< x ˆ 2 ‡ 7k
d.
y ˆ 1 ‡ 4k
:
zˆ 3 k
Applicazione
218
ESERCIZIO GUIDA
Scrivi, in tutti i modi possibili, l'equazione della retta passante per il punto P assegnato e parallela al
vettore v~ nei seguenti casi:
a. P … 1, 2, 1†
v~… 3, 1,
b. P …3, 1,
v~…2, 1,
v~ 0, 1,
c. P …1, 0, 3†
1†
a. In forma parametrica:
2†
1†
1
2
8
< x ˆ 1 3t
y ˆ2‡t
:
z ˆ 1 2t
In forma normale:
y 2
x‡1
z 1
ˆ
ˆ
1
3
2
Come intersezione di piani ricavando per esempio t dalla seconda equazione:
x ‡ 3y 7 ˆ 0
x ˆ 1 3…y 2†
!
t ˆy 2:
2y ‡ z 5 ˆ 0
z ˆ 1 2…y 2†
Procedi allo stesso modo per i casi b. e c.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
61
219 Individua almeno tre punti appartenenti a ciascuna delle seguenti rette:
8
8
xˆ1 t
>
>
x
ˆ
2t
<
<
y 2
x 1
z 3
1
c.
b.
ˆ
a.
ˆ
yˆ
y ˆ 1 3t
4t
:
>
2
1
4
2
>
:
z ˆ2‡t
z ˆ 1 ‡ 2t
220 Verifica che le equazioni
8
<x ˆ 1 t
y ˆ 1 ‡ 2t
:
z ˆ 2 2t
8
< x ˆ 2 2t
y ˆ 5 ‡ 4t
:
z ˆ 4 4t
e
rappresentano la stessa retta.
(Suggerimento: trova due punti della prima retta e verifica che appartengono anche alla seconda)
221 Trova i parametri direttori delle seguenti rette
1
y
4
a.
2x
b.
2x 3y ‡ 4z 1 ˆ 0
x‡y z‡4ˆ0
c.
3x ‡ y z ˆ 0
x 2y ‡ z ˆ 3
3
ˆ
2
ˆ 3z
1
3 , 2, 1
2
3
‰ 1, 6, 5Š
‰ 1,
4,
7Š
222 Scrivi, in tutti i modi possibili, l'equazione della retta parallela all'asse z2 e passante per il punto
3
8
xˆ9
>
1
>
6<
.
A 9, 2,
xˆ9 7
6 yˆ 2
7
2
;
6
7
4>
>
:z ˆ 1 ‡ t
2
223 Scrivi, in tutti i modi possibili, l'equazione della retta parallela al vettore v~…1,
28
A…1, 0, 2†:
<x ˆ 1 ‡ t
6
4
:
;
y ˆ 2t
z ˆ 2 ‡ 3t
x
1ˆ
yˆ
25
2; 3† e passante per
y
ˆ z 2;
3
2
2x ‡ y
3x z
3
2ˆ0 7
5
1ˆ0
Scrivi in forma normale ed in forma parametrica le seguenti rette date come intersezioni di piani.
224
ESERCIZIO GUIDA
2x 3y ‡ z ˆ 0
x y ‡ 2z 1 ˆ 0
Per scrivere l'equazione della retta in forma parametrica basta risolvere il sistema ponendo uguale a t
una delle variabili. Ad esempio, posto z ˆ t si ha:
8
8
< x ˆ 3 5t
<z ˆ t
2x 3y ‡ t ˆ 0
da cui
y ˆ 2 3t
:
:
x y ‡ 2t 1 ˆ 0
zˆt
Per scrivere l'equazione in forma normale, basta osservare che la retta passa per il punto …3, 2, 0† e
che i suoi parametri direttori sono 5, 3, 1; l'equazione in forma normale eÁ quindi
x
225
62
x ‡ y 4z ˆ 0
2x 3y ‡ 6z ‡ 1 ˆ 0
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
3 ˆ y 2 ˆz
5
3
226
3x ‡ 2y z 1 ˆ 0
x ‡ y 6z 4 ˆ 0
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
227
3x 3y ‡ z 4 ˆ 0
2x ‡ y ‡ 4z ˆ 0
229
3x y ‡ 1 ˆ 0
2x ‡ y z 2 ˆ 0
228
x 2y 3z ‡ 1 ˆ 0
6x y ‡ 4z 3 ˆ 0
230
3x 2y ‡ z 1 ˆ 0
x ‡ 2y 4 ˆ 0
Determina le equazioni delle rette passanti per i punti A e B assegnati.
231
ESERCIZIO GUIDA
A…1, 3,
4†
B… 2, 1, 0†.
I parametri direttori della retta sono:
` ˆ x2
x1 ˆ
2
1ˆ
3
m ˆ y2
y1 ˆ 1
3ˆ
2
n ˆ z2
z1 ˆ 0 ‡ 4 ˆ 4
L'equazione della retta eÁ quindi (scegliendo il punto A )
8
< x ˆ 1 3t
l in forma parametrica:
y ˆ 3 2t
:
z ˆ 4 ‡ 4t
l
l
x
in forma normale:
y 3
1
z‡4
ˆ
ˆ
3
4
2
come intersezione di piani
(ricavando t dalla prima equazione del sistema)
232 A…0,
2, 3†
233 A…4, 5,
B… 1,
1†
235 A…1,
2,
1, 0†
B…1, 0, 0†
1†
2x 3y ‡ 7 ˆ 0
4x ‡ 3z ‡ 8 ˆ 0
B…2, 0, 3†
234 A…0, 0, 1†
x
y ‡2
ˆz 3
xˆ
3
1
4 ˆ y 5 ˆ z‡1
2
4
5
‰x ˆ t ^ y ˆ 0 ^ z ˆ 1
B… 3, 0, 1†
x
1 ˆ y ‡2 ˆ z‡1
4
2
2
x‡5 ˆ y 2 ˆ z 2
7
5
3
236 A… 5, 2, 2†
B…2,
237 A…0,
B…0, 0, 1†
‰x ˆ 0 ^ y ˆ
B…0, 1, 1†
238 A… 3,
239 A…0,
240 A
2, 0†
4,
1†
2, 1†
p
3, 0, 1
B…0,
B
1,
4, 2†
p
3, 1, 1
241 A…1, 0, 0†
B 3, 1,
2 2
242 A…0, 0, 0†
B 4,
7
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
3†
3, 5
7 7
2 ‡ 2t ^ z ˆ t Š
x‡3 ˆ y ‡4 ˆ z‡1
3
2
5
‰x ˆ 0 ^ y ˆ
1
2
tŠ
2
2t ^ z
"
x
z
xˆ
yˆ
28
>
6< x ˆ
6
4>
:y ˆ
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
ˆ 1 ‡ tŠ
p #
ˆ 3
ˆ1
z‡1
z
3
4z
7
5
7
3z 5
5
63
Determina, se esiste, il punto di intersezione delle seguenti rette.
8
8
<x ˆ 1 ‡ v
<x ˆ 2‡ t
243
yˆ t
y ˆ2‡v
:
:
z ˆ1‡t
z ˆ 2v
8
xˆ1 t
>
>
<
1
244
y ˆ ‡ 2t
>
2
>
:
z ˆ 3 2t
x‡1
ˆy
245
2
246
x
247
2x
248
(
249
3
ˆ
2
1
3
(
x
1ˆ
z
2
3
y
2 z
ˆ
4
3
ˆ
3y ‡ 1
ˆz
2
2y ‡ z ˆ 0
2x ‡ y
3x
4ˆ0
y ‡z ˆ1
x ‡ 2y
zˆ3
8
xˆ1 v
>
>
<
3
y ˆ ‡v
>
2
>
:
z ˆ 4 3v
5
P 0, , 1
2
x‡3 y ‡1
ˆ
ˆ1
2
3
z
x‡3
2z 4
ˆy ‡5ˆ
2
4
y 1
x
z‡2
ˆ
ˆ
3
2
4
(
x ‡ 3y ‡ z 4 ˆ 0
2x ‡ y
(
2x
‰rette sghembeŠ
6z
4ˆ0
y ‡ 5z ˆ 0
3x ‡ 3y ˆ 4
1
1
P
2, ,
2 2
P …1,
3, 6†Š
‰rette sghembeŠ
P 8, 4,0
5 5
‰rette sghembeŠ
Stabilisci se le seguenti rette appartengono allo stesso piano.
250
ESERCIZIO GUIDA
8
<x ˆ 2 t
r : y ˆ 1 ‡ 2t
:
z ˆ 4t
8
<x ˆ t
s: yˆ2 t
:
z ˆ1‡t
Ricorda che, se …x0 , y0 , z0 † e …x1 , y1 , z1 † sono i punti di r e s che si ottengono per esempio per t ˆ 0, le
due rette sono complanari se e solo se
x1 x0 y1 y0 z1 z0 `
m
n ˆ 0
`0
m0
n0 In alternativa puoi impostare il sistema fra le due rette e, se questo eÁ impossibile, le rette sono sghembe.
‰det 6ˆ 0, rette sghembeŠ
8
x
>
>
<
251 r : y
>
>
:
z
8x
<
252 r : y
:
z
64
ˆ1‡t
ˆ
1t
2
ˆ 3t
ˆ2‡t
ˆ 2 ‡ 2t
ˆ 3t
8
x
>
<
s: y
>
:
z
8
<x
s: y
:
z
ˆ2
t
ˆ1
t
ˆ
2 ‡ 2t
ˆ1 t
ˆ 2t
ˆ3‡t
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
‰rette complanari]
‰rette complanari]
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
253 r :
x
1
4
ˆ
y ‡2
ˆz‡2
1
s:
2y 3
x‡1
ˆ
ˆz
3
2
‰rette sghembeŠ
Rette parallele e rette ortogonali
254 Scrivi l'equazione della retta passante per il punto P 1, 0,
8
x ˆ 2t
>
<
yˆ1 t
>
:
p
z ˆ 2 4t
255 Scrivi l'equazione della retta passante per il punto P …1,
x
3
2 ˆ 2y ‡ 1 ˆ z
2
4.
256 Scrivi l'equazione della retta passante per il punto P…1,
x 2y ‡ z ‡ 3 ˆ 0
x ‡ y 2z ˆ 2
257 Scrivi l'equazione della retta passante per il punto A…3,
(
x y ‡ 3z ‡ 2 ˆ 0
r:
4x 3y ‡ 5 ˆ 0
3
2
e parallela a quella di equazione
28
> x ˆ 1 ‡ 2v
<
6>
6 yˆ v
6
4>
>
: z ˆ 3 4v
2
3
7
7
7
5
3, 0† e parallela a quella di equazione
2,
x
1 ˆ 2y ‡ 6 ˆ z
3
2
1† e parallela alla retta di equazione
x
1 ˆ y ‡2 ˆ z‡1
3
3
3
2, 0† e parallela alla retta di equazione
258 Determina le equazioni della retta r passante per il punto A…2,
per i punti P… 2, 1, 5† e Q…1, 4, 6†.
x
3 ˆ y ‡2 ˆz
9
12
1, 3† e parallela alla retta s passante
28
3
< x ˆ 2 3t
6
7
4 y ˆ 1 5t 5
:
z ˆ 3 ‡ 11t
259 Determina il valore del parametro a 2 R in modo che la retta che passa per i punti A…a, 0, 3† e B…1, 1, 1†
y 1
x 3
z 3
ˆ
.
aˆ 3
ˆ
sia perpendicolare a quella di equazione
2
2
4
3
260
ESERCIZIO GUIDA
y 2
y ‡2
x‡1
z 1
2x 1
3z ‡ 1
ˆ
e s:
ˆ
, determina
ˆ
ˆ
2
3
8
6
3
5
l'equazione della retta t passante per il punto P…2, 0, 0† e perpendicolare ad entrambe le rette date.
Date le rette di equazioni r :
I parametri direttori della retta r sono: ..........
I parametri direttori della retta s sono: ..........
Indicati con `, m, n i parametri direttori della retta t deve essere
:::::::::: condizione di perpendicolarit
a fra r e t
a fra s e t
:::::::::: condizione di perpendicolarit
Risolvendo il sistema trovi che
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
8
9
>
>
> ` ˆ 22 n
>
<
8
n
mˆ
>
>
11
>
>
:
nˆn
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
65
Poiche i parametri direttori di una retta sono definiti a meno di un fattore di proporzionalitaÁ, ponendo
n ˆ 22 si ha che
`ˆ9
m ˆ 16
n ˆ 22
La retta t ha quindi equazione
x
2
9
ˆ
y
z
.
ˆ
22
16
261 Scrivi l'equazione della retta passante per P…1, 0,
y 3
x‡1
z‡1
ˆ
ˆ
4
2
5
262
e
y 2
x
ˆ z ‡ 2.
ˆ
1
3
8
<x ˆ 2 r : y ˆ 3 ‡ 5
:
z ˆ 2‡
8
< x ˆ 6 ‡ 3
s : y ˆ 1‡
:
z ˆ1‡
3† e perpendicolare alle rette di equazioni
x
1ˆ
9
y
ˆ z‡3
14
13
ESERCIZIO GUIDA
Siano
le equazioni di due rette sghembe; determina le
coordinate del segmento di minima distanza tra le rette stesse.
Siano R…2 , 3 ‡ 5, 2 ‡ † e S… 6 ‡ 3,
segmento RS ha componenti cartesiane
…3 ‡ 8, 1 ‡ , 1 ‡ † i generici punti delle due rette. Il
5 ‡ 2, ‡ 3†
Tale segmento rappresenta la minima distanza se eÁ perpendicolare sia a r che a s.
I parametri direttori della retta r sono 1, 5, 1; quelli della retta s sono 3, 1, 1. Imponiamo allora le
condizioni di perpendicolaritaÁ
(
1…3 ‡ 8† ‡ 5… 5 ‡ 2† ‡ 1… ‡ 3† ˆ 0
RS?r
3…3 ‡ 8† ‡ 1…
5 ‡ 2† ‡ 1… ‡ 3† ˆ 0
ˆ1
Risolvendo il sistema troviamo che deve essere
ˆ2
Gli estremi del segmento di minima distanza sono dunque i punti
263 Date le rette r e s di equazioni parametriche
R…1, 2,
1†, S…0, 1, 3†.
8
< x ˆ 1 ‡ 2
r : y ˆ 2 ‡ 3
:
z ˆ 3
8
<x ˆ 1 ‡ s : y ˆ 2 ‡ 3
:
zˆ
8
<x ˆ 2 ‡ r : y ˆ
:
z ˆ 2
8x ˆ <
s : y ˆ 1‡
:
zˆ2 verifica che sono sghembe e determina la minima distanza tra esse.
264 Date le rette r e s di equazioni parametriche
RS?s

2 p
46
23
verifica che sono sghembe e determina le equazioni della retta di minima distanza tra esse.
28
1
>
>x ˆ 1 ‡ t
6>
<
2
6
6
6> y ˆ 1 t
4>
>
2
:
zˆ1
66
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
3
7
7
7
7
5
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Posizioni reciproche fra rette e piani
8
<x ˆ 3 t
e il piano
265 Determina le coordinate dell'eventuale punto di intersezione tra la retta r : y ˆ 2 ‡ 3t
:
: z ˆ 5.
z ˆ 1 ‡ 2t
‰…0, 11, 5†Š
8
< x ˆ 3 ‡ 2t
266 Determina le coordinate degli eventuali punti di intersezione tra la retta r : y ˆ 7 ‡ 8t
:
coordinati.
z ˆ 2‡t
0,
7 , 5 , 0,
2
4
5,
267 Determina le coordinate del punto di intersezione tra il piano : 3x
y ‡1
x‡1
1 z
ˆ
.
ˆ
r:
3
2
2
268
y ‡ 2z
e i piani
23 , …7, 23, 0†
8
3 ˆ 0 e la retta
‰…2, 1,
1†Š
ESERCIZIO GUIDA
Nella stella di piani di centro P 2, 1 , 1 , determina quello passante per la retta r : 2x ˆ 4y ˆ 6z.
2
Un piano passante per P ha equazione a…x 2† ‡ b y 1 ‡ c…z 1† ˆ 0.
2
La retta r ha parametri direttori proporzionali a 1 , 1 , 1 e passa per l'origine; un suo punto Q ha
2 4 6
quindi coordinate …6t, 3t, 2t† (abbiamo moltiplicato per 12 i parametri direttori).
Se il piano deve passare per r, il punto Q deve soddisfare la sua equazione, deve cioeÁ essere
a…6t
2† ‡ b 3t
1
2
‡ c…2t
1† ˆ 0
t…6a ‡ 3b ‡ 2c†
!
Poiche questa relazione deve essere vera 8t (il piano contiene
8
>
< 6a ‡ 3b ‡ 2c ˆ 0
da cui
>
: 2a 1 b c ˆ 0
2
Il piano richiesto ha quindi equazione
2
2
1
c…x 2† ‡ c y
‡ c…z
3
3
2
1† ˆ 0
1
b
2
2a
cˆ0
r), deve essere
8
2
>
c
<a ˆ
3
>
:b ˆ 2 c
3
cioeÁ
2x
2y
3z ˆ 0
269 Nella stella di rette passanti per A…1, 2, 3†, determina l'equazione di quella che interseca le due rette
sghembe di equazioni
8
8
<x ˆ 2‡ <x ˆ 1 ‡ s : y ˆ 1‡
r : y ˆ 1 ‡ 2
:
:
zˆ
zˆ
(Suggerimento: la retta cercata eÁ l'intersezione dei piani e che passano per A e contengono rispetti
vamente la retta r e la retta s. Quindi ............)
3x y z 4 ˆ 0
3x
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
y
2z
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
7ˆ0
67
270 Scrivi l'equazione del piano che passa per il punto A…0, 1, 3† e che contiene la retta di equazione
8
<x ˆ t
‰x ‡ y 1 ˆ 0Š
yˆ1 t
:
z ˆ 2 ‡ 2t
(
(
x 5y ˆ 0
x ‡ 6y ‡ 2 ˆ 0
271 Dopo aver verificato che le due rette di equazioni r :
s:
7y z ‡ 1 ˆ 0
x y ‡z‡1ˆ0
sono complanari, determina il piano a cui esse appartengono.
8
<x ˆ 1 ‡ 272 Dopo aver verificato che le due rette di equazioni r : y ˆ 2
:
zˆ
‰7y
z ‡ 1 ˆ 0Š
8
<x ˆ 1 ‡ s : y ˆ1‡
:
z ˆ 1 ‡ 2
sono complanari, determina le coordinate del loro punto di intersezione e l'equazione del piano a cui
tali rette appartengono.
‰…0, 2, 1†; x ‡ y z 1 ˆ 0Š
8
< x ˆ 2 ‡ 3t
e per il punto di interse273 Determina l'equazione del piano passante per la retta r : y ˆ 3 ‡ 2t
:
zione dei tre piani
zˆt
3x y ‡ z 1 ˆ 0,
x ‡ y ‡ 2z ‡ 1 ˆ 0,
5y 1 ˆ 0:
‰16x 5y 38z 47 ˆ 0Š
PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ TRA RETTE E PIANI
la teoria eÁ a pag. 29
RICORDA
n Dati un piano ed una retta r di equazioni
l
Á parallela ad se e solo se
r e
l
Á perpendicolare ad se e solo se
r e
8
x ˆ x0 ‡ `t
>
<
r : y ˆ y0 ‡ mt
>
:
z ˆ z0 ‡ nt
: ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0
a` ‡ bm ‡ cn ˆ 0
`
m
n
ˆ
ˆ
a
b
c
Inoltre si ha che:
l
l
Á
l'equazione della retta per P0 …x0 , y0 , z0 † perpendicolare ad e
x
x0
a
ˆ
y
y0
b
ˆ
z
z0
c
Á
l'equazione del piano passante per P0 …x0 , y0 , z0 † e perpendicolare alla retta r e
`…x
x0 † ‡ m…y
y0 † ‡ n…z
z0 † ˆ 0
Comprensione
274 Dato il piano di equazione x
68
3y ‡ 2z
1 ˆ 0:
a. la retta ad esso parallela passante per P …5, 2, 1† ha equazione:
8
8
8
x ˆ 1 ‡ 2t
x ˆ 1 2t
>
>
<
<
< x ˆ 1 ‡ 2t
y
ˆ
t
¬ y ˆ 3 ‡ 6t
­
® yˆ6
>
>
:
1
:
:z ˆ 2‡ 1 t
z ˆ 2‡ t
z ˆ 4t
2
2
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
b. la retta ad esso perpendicolare passante per P …1, 3, 0† ha equazione:
8
8
8
x ˆ 1 2t
>
<
< x ˆ 1 2t
< x ˆ 1 ‡ 2t
® y ˆ 3 2t
­ yˆt
¬ y ˆ 3 6t
>
:
:
:z ˆ 2‡ 1 t
z ˆ 4t
z ˆ 4t
2
275 La retta che passa per il punto P …1,
a. 4x
c.
x
4 ˆ 6y ‡ 6 ˆ
1
3
ˆy ‡1ˆ
3z
z
1, 0† ed eÁ perpendicolare al piano 3x ‡ 2y
b. 4x
d.
x
4 ˆ 6y ‡ 6 ˆ 3z
1
3
ˆ
4z ˆ 0 ha equazione:
y ‡1
z
ˆ
4
2
276 Il piano che passa per P … 2, 3, 1† ed eÁ perpendicolare alla retta di parametri 1, 2,
a. x ‡ 2y 2z
c. x ‡ 2y ‡ 2z
10 ˆ 0
2ˆ0
b. x ‡ 2y
d. x ‡ 2y
2z
2z
2 ha equazione:
2ˆ0
6ˆ0
Applicazione
277 Nella stella di piani passanti per O…0, 0, 0†, determina l'equazione del piano parallelo alla retta di equazione
8
<x ˆ t
‰z ˆ xŠ
y ˆ 2 ‡ 3t e perpendicolare al piano z ˆ x ‡ 5y ‡ 4.
:
zˆt
278 Nella stella di piani passanti per O…0, 0, 0†, determina l'equazione del piano perpendicolare alla retta di
x‡y ‡3ˆ0
equazione
‰x y 3z ˆ 0Š
3x ‡ z ‡ 2 ˆ 0
279 Determina le equazioni della retta passante per il punto A…1, 0, 1†, parallela al piano di equazione 3x ‡ y z ‡ 1 ˆ 0, sapendo che interseca la retta di equazione
x 2z 1 ˆ 0
y ˆ5
(Suggerimento: la retta puoÁ essere determinata come intersezione tra il piano parallelo a e passante per A
"(
#
ed il piano, anch'esso passante per A, contenente la retta data)
3x ‡ y z 4 ˆ 0
5x ‡ 2y
10z
15 ˆ 0
280 Nella stella di piani passanti per O…0, 0, 0†, determina l'equazione del piano parallelo alle rette di equazioni parametriche
8
8
x ˆ 1 ‡ 4
x ˆ 1 ‡ 5
>
>
<
<
r : y ˆ 2‡
‰x ‡ y 6z ˆ 0Š
s : y ˆ 1 ‡ 2
>
>
:
:
zˆ
zˆ
281 Nella stella di rette passanti per A…1, 0, 1†, determina l'equazione della retta complanare a quella di
2x 3y 1 ˆ 0
x 1ˆ y ˆ1 z
equazione
e ad essa perpendicolare.
27
10
56
3y 4z 1 ˆ 0
282 Nella stella di rette passanti per A…1, 0, 1†, determina l'equazione di quella perpendicolare al piano : x y ‡ 2z 1 ˆ 0.
‰2x 2 ˆ 2y ˆ z 1Š
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
69
283 Determina l'equazione della retta passante per il punto Q…1, 2,
anch'esso per Q e contenente l'asse y.
284 Tra tutte le rette passanti per Q…2, 0,
x 2y 3z ‡ 1 ˆ 0.
1† e perpendicolare al piano passante
x
y
z 2ˆ0
2ˆ0
1†, determina le equazioni di quelle parallele al piano
x 2 ˆ y ˆ z‡1
m
2m ‡ 3n
n
285 Determina le equazioni delle rette parallele al piano : x y ‡ 3z ‡ 2 ˆ 0; appartenenti al piano
p
: 2x y ‡ 2z ‡ 1 ˆ 0 ed aventi distanza 5 2 dal punto Q…1, 1, 1†.
286 Scrivi l'equazione della retta passante per P…1, 0,
A…1, 2, 1†, B…0, 0, 3†, C…1, 0, 0†.
2x y ‡ 2z ‡ 1 ˆ 0
;
x y ‡ 3z 7 ˆ 0
2x y ‡ 2z ‡ 1 ˆ 0
x y ‡ 3z ‡ 13 ˆ 0
2† e perpendicolare al piano passante per i punti
x
LA SUPERFICIE SFERICA
1 ˆy ˆ z‡2
6
2
la teoria eÁ a pag. 32
RICORDA
Á:
n L'equazione della superficie sferica di centro C…, , † e raggio r e
…x
2
† ‡ …y
2
† ‡ …z
†2 ˆ r 2 .
n Un'equazione della forma x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 ‡ ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0 rappresenta una superficie sferica di cen
a
b
c
1 p
tro C
,
,
a 2 ‡ b 2 ‡ c 2 4d se e solo se a 2 ‡ b 2 ‡ c 2 4d 0.
e raggio r ˆ
2
2
2
2
Comprensione
287 Tra le seguenti equazioni:
¬ x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 ‡ xy ‡ 3z ‡ 1 ˆ 0
® x2 ‡ y 2 ‡ z2 ‡ x
2y ‡ z ‡ 10 ˆ 0
­ x2 ‡ y 2 ‡ z2
¯ x2 ‡ y 2 ‡ z2
3x ‡ y ‡ 5z
1ˆ0
x ‡ 3yz ‡ 1 ˆ 0
rappresentano delle superfici sferiche:
b. solo la ­
a. tutte
288 La superficie sferica che ha centro in C…1,
2
2
2
2
2
2
a. x ‡ y ‡ z
c. x ‡ y ‡ z
8x ‡ 24y
2x ‡ 6y
16z ‡ 55 ˆ 0
4z ˆ 1
c. la ® e la ¯
d. nessuna
3, 2† e raggio r ˆ 2 ha equazione:
b. 4x 2 ‡ 4y 2 ‡ 4z 2 ‡ 6y
2
2
d. x ‡ y ‡ z
2
2x ‡ 6y
289 Quale dei seguenti piani eÁ tangente alla superficie sferica di equazione x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
a. x ‡ y
1ˆ0
b. x
y ‡ 2z ˆ 0
c. x
yˆ0
d.
2x
2z ‡ 5 ˆ 0
4z ˆ
10
4x ‡ 4y ˆ 0?
3x ‡ y ‡ 5z ‡ 1 ˆ 0
Applicazione
Fra le seguenti equazioni riconosci quali rappresentano delle superfici sferiche reali e di queste individua
centro e raggio.
290 x 2 ‡ z 2 ˆ 25
70
y2
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
‰C…0, 0, 0†, r ˆ 5Š
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
291 x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
4x ‡ 2y
6z ‡ 13 ˆ 0
292 x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
4x
4z ‡ 13 ˆ 0
293 …x
4y
2
1† ‡ z 2 ˆ 25
294 x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
…y ‡ 3†
2x ‡ 3y
‰C…2,
1, 3†, r ˆ 1Š
‰non e una superficie sfericaŠ
2
3, 0†, r ˆ 5Š

3 , 0 ; r ˆ 1 p
17
2
2
‰C…1,
C 1,
1ˆ0
295 x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 ‡ 16 ˆ 0
‰non e una superficie sfericaŠ
296 Determina l'equazione della superficie sferica con centro nell'origine e raggio 3. ‰x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
297 Scrivi l'equazione della sfera che ha centro nel punto C …1, 3,
298 Stabilisci la posizione
a. x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 2x
b. x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 4x
c. x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 ‡ x
del punto P …1, 0,
4y ‡ 6z 2 ˆ 0
2y ‡ 2z 4 ˆ 0
4y 6 ˆ 0
1† e passa per A… 2, 0, 1†.
‰x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
2x
6y ‡ 2z
9 ˆ 0Š
11 ˆ 0Š
2† rispetto alle sfere S di equazioni:
299 EÁ data la sfera di equazione x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 2x
rica ad essa concentrica avente raggio r ˆ 4.
‰a: interno; b: interno; c: P 2 S Š
8z
3 ˆ 0; determina l'equazione della superficie sfe‰x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
8z ‡ 1 ˆ 0Š
2x
300 Scrivi l'equazione della superficie sferica sapendo che un diametro ha come estremi i punti A…2, 0, 1†,
‰x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 2x 4y 2z 3 ˆ 0Š
B …0, 4, 3†.
301 Scrivi l'equazione della superficie sferica che ha centro sul piano xy e passa per i punti A…2, 1, 4†,
‰4x 2 ‡ 4y 2 ‡ 4z 2 60x 7y ‡ 43 ˆ 0Š
B …2, 3, 1†, C …1, 1, 2†.
302 Determina l'equazione della superficie sferica con centro nel punto di intersezione tra la retta di equa8
< x ˆ 2 ‡ 2t
2
zione y ˆ 3 t ed il piano x ‡ y ‡ z ˆ 0, e raggio 4.
x ‡ y 2 ‡ z 2 8x ‡ 8y ‡ 16 ˆ 0
:
z ˆ 2 2t
303 Determina l'equazione della sfera passante per i punti O…0, 0, 0†, A…1, 0, 0†, B…0, 2, 0†, C…0, 0, 3†:
304 Scrivi l'equazione della sfera che passa per i punti A…1, 2, 3†, B …0,
2
x ‡ y 2 ‡ z2
1, 2†, C …1, 1,
‰6x 2 ‡ 6y 2 ‡ 6z 2 ‡ x
305 Scrivi l'equazione della sfera che passa per i punti A…1,
1
D 3, , 1 .
2
306
2,
x
2y
3z ˆ 0
1† e D …2, 1, 0†.
14y
13z
18 ˆ 0Š
2†, B …0, 1, 5†, C … 1, 0, 4† e
‰impossibileŠ
ESERCIZIO GUIDA
Scrivi l'equazione del piano tangente alla sfera di equazione x 2 ‡ y 2 ‡ x 2 ˆ 14 nel suo punto
P… 1, 2, 3†.
p
La sfera ha centro nell'origine O e raggio 14.
Il piano tangente eÁ perpendicolare in P alla retta PO, quindi ..........
307 Determina il valore del parametro reale k in modo che il piano x
perficie sferica di equazione x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 4x ˆ 0.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
‰x
2y
3z ‡ 14 ˆ 0Š
3y ‡ z ‡ k ˆ 0 sia tangente alla su
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
p
2 2 11
71
308 Scrivi l'equazione della sfera che ha centro nel punto P…0, 0, 1† ed eÁ tangente al piano
: 2x 3y ‡ z 5 ˆ 0.
x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 2z 1 ˆ 0
7
309 Scrivi l'equazione della sfera che eÁ tangente ai piani coordinati e passa per il punto A…2,
‰x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
310
12x ‡ 12y
2, 8†.
12z ‡ 72 ˆ 0Š
ESERCIZIO GUIDA
Determiniamo le coordinate degli eventuali punti di intersezione tra la sfera di equazione
x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 2x 1 ˆ 0 e la retta x ˆ y ˆ z. Troviamo poi le equazioni dei piani tangenti alla sfera in tali punti.
I punti richiesti sono le soluzioni del sistema fra l'equazione della sfera e quella della retta che conviene scrivere come intersezione dei piani x ˆ y e y ˆ z.
8
2
2
2
2x 1 ˆ 0
>
<x ‡ y ‡ z
Si ha cosõÁ il sistema
xˆ y
>
:
yˆ z
1 1
1
dalla risoluzione del quale si ottengono i punti A…1, 1, 1† e B
, ,
:
3 3
3
Trova adesso le equazioni dei piani tangenti.
‰y
z ‡ 2 ˆ 0; 4x
311 Determina l'equazione dei piani tangenti alla sfera di equazione x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
no di equazione x 2y ‡ z 1 ˆ 0.
y ‡ z ‡ 2 ˆ 0Š
2x ˆ 0 e paralleli al pia-
x ‡ 2y ‡ z
1
p
6ˆ0
312 Scrivi l'equazione della sfera che passa per i punti A…0, 1, 2† e B …2, 1, 1† ed eÁ tangente nel punto
3y ‡ z 4 ˆ 0
‰x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 2x ‡ 2y 3z 1 ˆ 0Š
C …0, 1, 1† alla retta
.
3x 2z ‡ 2 ˆ 0
Le equazioni di alcune superfici notevoli
APPROFONDIMENTI
Superficie cilindrica
Individua le caratteristiche delle seguenti superfici.
generatrici parallele all'asse y; curva direttrice:
nel piano xz, circonferenza con centro in O…0, 0† e raggio 3
generatrici parallele all'asse y; curva direttrice:
nel piano xz, parabola con asse di simmetria coincidente con l'asse x e vertice in V … 9, 0†
313 x 2 ‡ z 2 ˆ 9
314 x ˆ z 2
315 y
2
4…x
316 y 2 ˆ
9
1† ˆ 0
generatrici parallele all'asse z; curva direttrice:
nel piano xy, parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y e vertice in V …1, 0†
z2
317 16x 2 ‡ 9z 2 ˆ 144
72
‰asse xŠ
generatrici parallele all'asse y; curva direttrice: nel piano xz, ellisse con centro di simmetria in O…0, 0†,
assi coincidenti con gli assi coordinati del piano xz, semiassi 3 e 4, fuochi sull'asse z
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
318 x 2 ‡ y 2 ‡ 2x ‡ 2y ˆ 0
generatrici parallele all'asse z; curva direttrice:
nel piano xy, circonferenza con centro in C… 1,
p
1† e raggio 2
319 Scrivi l'equazione della superficie cilindrica con generatrici parallele all'asse x e avente come curva direttrice sul piano yz la circonferenza con centro nell'origine e raggio 4.
‰y 2 ‡ z 2 16 ˆ 0Š
320 Scrivi l'equazione della superficie cilindrica con generatrici parallele all'asse z e avente come curva direttrice, sul piano xy, l'ellisse con assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani del piano indicato,
semiassi uguali a 2 e 3 e fuochi sull'asse x.
‰4x 2 ‡ 9y 2 36 ˆ 0Š
321 Scrivi l'equazione della sfera che ha centro nel punto di coordinate …2, 1, 0† e raggio r ˆ 2. Verificato
p
che il punto P 1, 0, 2 appartiene alla superficie, determina il piano ad essa tangente in P.
x‡y
Superficie conica
p
2z ‡ 1 ˆ 0
Individua le coordinate del vertice, l'asse di rotazione e l'angolo di semiapertura delle seguenti superfici
coniche.
h
i
V …0, 0, 0†, asse z, ˆ 6
h
i
V …0, 0, 0†, asse x, ˆ
4
h
i
V …1, 0, 0†, asse z, ˆ 3
h
i
V …0, 0, 2†, asse y, ˆ 4
322 3x 2 ‡ 3y 2 ˆ z 2
323 y 2 ‡ z 2
324 …x
x2 ˆ 0
2
1† ‡ y 2
3z 2 ˆ 0
325 x 2 ‡ z 2 ‡ 4z ˆ y 2
4
326 Determina l'equazione della superficie conica con vertice nell'origine del riferimento cartesiano, asse
2
x
3y 2 3z 2 ˆ 0
coincidente con l'asse x ed angolo di semiapertura ˆ .
6
327 Determina l'equazione della superficie conica con vertice nell'origine del riferimento cartesiano,
asse
2
x ‡ z 2 ˆ 2y 2
coincidente con l'asse y e passante per il punto Q…1, 1, 1†.
Superfici di rotazione
Individua le caratteristiche delle seguenti superfici.
328
x2 ‡ y 2 z2
ˆ1
‡
9
4
329
x2 ‡ y2
25
330
x2
3
‰ellissoide rotondo di semiassi 2, 2, 3Š
z2 ˆ 1
y 2 ‡ z2
ˆ1
10
331 z ˆ 3x 2 ‡ 3y 2
‰iperboloide rotondo a una falda di semiassi 5, 5, 1Š
iperboloide rotondo a due falde, semiassi
p p p 3, 10, 10
‰paraboloide rotondoŠ
ESERCIZI RIASSUNTIVI
332 Scrivi l'equazione del piano che passa per i punti A…1, 2,
a. eÁ parallelo al piano di equazione 3x
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
6y ‡ 3z
2ˆ0
1†, B… 2, 3, 4† e inoltre:
‰x
2y ‡ z ‡ 4 ˆ 0Š
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
73
b. passa per il punto C…2, 2, 2†
c. stacca sull'asse x un segmento orientato OA di lunghezza
333
‰3x ‡ 14y
2.
z
32 ˆ 0Š
12y ‡ 9z ‡ 22 ˆ 0Š
‰11x
ESERCIZIO GUIDA
Dopo aver verificato che i piani e di equazioni
: 3x ‡ y
z‡1ˆ0
: 6x ‡ 2y
2z ‡ 3 ˆ 0
sono paralleli, scrivi l'equazione del piano mediano dello strato da essi individuato.
Considerato un punto qualsiasi P di ed un punto qualsiasi Q di , il piano mediano deve essere parallelo ad e e deve passare per il punto medio di PQ.
‰12x ‡ 4y 4z ‡ 5 ˆ 0Š
334 Dato il punto A…1, 3, 1†, determina le coordinate di un punto D appartenente alla retta di equazione
x 1 ˆ 3y ˆ z ‡ 1 in modo che il punto medio M del segmento AD appartenga al piano di equazione
x ‡ y 1 ˆ 0.
5,
4
D
335
3,
4
13
4
ESERCIZIO GUIDA
Dimostra che ogni combinazione lineare delle equazioni di due piani e paralleli fra loro, daÁ origine ad un piano ad essi parallelo.
Sia
: ax ‡ by ‡ cz ‡ d ˆ 0
e
: a 0x ‡ b 0y ‡ c 0z ‡ d 0 ˆ 0
con
a
b
c
ˆ 0 ˆ 0
a0
b
c
Sia ax ‡ by ‡ cz ‡ d ‡ …a 0 x ‡ b 0 y ‡ c 0 z ‡ d 0 † ˆ 0 la combinazione lineare delle equazioni dei due
piani. I coefficienti delle variabili di tale piano sono...
336 Scrivi l'equazione del piano simmetrico a quello di equazione 3x
P…1, 2, 0†.
y ‡ 2z
1 ˆ 0 rispetto al punto
‰3x
y ‡ 2z
9 ˆ 0Š
337 Determina il valore dei parametri a e b che compaiono nelle coordinate dei punti A…a, 1, 1† e B…2, 2, b†
in modo che la retta AB sia parallela alla retta r di equazione x ˆ 2y ˆ 1 z.
‰a ˆ 0, b ˆ 1; x ‡ z 1 ˆ 0Š
Scrivi inoltre l'equazione del piano individuato dalle rette r e AB.
338 Scrivi l'equazione del piano passante per il punto P…2, 1, 1†, che eÁ parallelo alla retta
x ˆz‡1
‰x
r:
ed eÁ ortogonale al piano di equazione 3x ‡ 2y z ‡ 1 ˆ 0.
y ˆ 2z
y ‡ z ˆ 0Š
339 Scrivi l'equazione della retta r che passa per il punto P…1, 0, 2†, eÁ perpendicolare alla retta
28
8
> x ˆ 1 11t
< x ˆ 2 3t
6<
6
s : y ˆ 1 ‡ 2t ed eÁ parallela al piano : 3x y ‡ 6z 1 ˆ 0.
4> y ˆ 15t
:
:
zˆ3 t
z ˆ 2 ‡ 3t
340 Scrivi l'equazione del piano che contiene la retta r di
8
< x ˆ 2 3t
ed eÁ parallelo alla retta s di equazione
y ˆ3‡t
:
zˆ t
equazione
8
< x ˆ 3 ‡ 2t
y ˆ 3 ‡ 3t
:
z ˆ 2 2t
‰x
8y
3
7
7
5
11z ‡ 26 ˆ 0Š
341 Calcola le coordinate del punto proiezione ortogonale di P…2, 4, 2† sul piano di equazione
3x ‡ y 5z 105 ˆ 0.
‰P 0 …11, 7, 13†Š
74
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
342 Trova le coordinate del simmetrico del punto P…1,
2x 2y z ‡ 5 ˆ 0.
2, 2† rispetto al piano di equazione
‰P 0 … 3, 2, 4†Š
343 Scrivi le equazioni dei piani bisettori degli angoli diedri formati dai piani : 3x
: 8y 6z ‡ 3 ˆ 0 e verifica che tali piani sono perpendicolari.
(Suggerimento: il piano bisettore eÁ il luogo dei punti equidistanti dai piani e †
‰6x
16y ‡ 6z
4y ‡ 1 ˆ 0 e
1 ˆ 0; 6x
6z ‡ 5 ˆ 0Š
344 Scrivi l'equazione del piano che passa per il punto P… 2, 1, 3† ed eÁ parallelo alle rette r ed s di equazioni r :
x
y
y 2
2
z 2
x 1
z 1
ˆ ˆ
e s:
ˆ
.
ˆ
2
2
2
5
3
3
‰21x ‡ 14y ‡ 28 ˆ 0Š
345 Dopo aver verificato che il punto C …1, 2, 3† appartiene al piano di equazione 2x ‡ 5y 4z ˆ 0, scrivi
l'equazione della circonferenza che ha centro in C e raggio r ˆ 3 che appartiene al piano .
"
x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 2x
2x ‡ 5y 4z ˆ 0
4y
#
6z ‡ 5 ˆ 0
346 Considerata la sfera S di centro C …1, 4, 0† e raggio r ˆ 3, e il piano di equazione z ˆ x ‡ y, calcola
le coordinate del centro A e la misura del raggio della circonferenza determinata da su S.
A…2,
3,
1†; r ˆ
p
6
x‡y ˆ0
, trova le equaziozˆ0
p
ni dei piani che passano per s e individuano sulla sfera una circonferenza di raggio r ˆ 6.
347 Data la sfera di equazione x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
2x ‡ 8y ‡ 8 ˆ 0 e la retta s :
‰x ‡ y z ˆ 0Š
Per la verifica delle competenze
1 Le facce di un tetraedro appartengono ai piani corrispondenti alle seguenti equazioni
1 : 3x ‡ y 3z
3 : 6x ‡ 2y ‡ z
1ˆ0
2ˆ0
2 : x 2y z ‡ 2 ˆ 0
4 : 4x y ‡ 3z 6 ˆ 0
Determina le coordinate dei vertici del tetraedro e le coordinate dei punti medi dei lati del solido. Verifica che i tre segmenti che congiungono i punti medi di coppie di lati opposti hanno lo stesso punto
medio.
1
3
A…0, 0, 2†, B…1, 1, 1†, C…0, 1, 0†, D…1,
2 Dato il triangolo di vertici A…1, 0,
incontrano lungo una retta r.
3 Date le rette di equazione
…h ‡ 1†x 2hy ‡ …h ‡ 2†z
r:
…k 1†x 2ky ‡ kz ˆ 0
2, 0†; M
2
, 0,
4
1†, B…2, 3, 1†, C…0, 1, 2†, verifica che i piani assiali dei suoi lati si
‰x ‡ 3y ‡ 2z
1ˆ0
6 ˆ 0; 2x
2y
6z ‡ 3 ˆ 0; 4x ‡ 4y
8
<x ˆ t
s : y ˆ 2t
:
zˆ1 t
hˆ
determina i valori di h e k in modo che r sia parallela a s.
2z
9 ˆ 0Š
1 ^ kˆ
4
1
4
4 Scrivi l'equazione del piano che passa per i punti A…2, 0, 0†, B…0, 1, 0†, C…0, 0, 1†; determina poi l'equazione del luogo di punti che sono equidistanti da e dall'origine O del sistema di riferimento.
‰x ‡ 2y ‡ 2z
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
2 ˆ 0; 8x 2 ‡ 5y 2 ‡ 5z 2
4xy
4xz
8yz ‡ 4x ‡ 8y ‡ 8z
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
4 ˆ 0Š
75
8
<x ˆ t
5 Data la retta r di equazione
y ˆ 1 ‡ t , scrivi l'equazione della retta r 0 proiezione ortogonale di r sul
:
z ˆ 2t
x ‡ 2y z ˆ 0
piano di equazione x ‡ 2y z ˆ 0.
5x
6 Date le rette di equazioni
r:
x y z 1ˆ0
x ‡ 2y 2z ˆ 0
retta t che passa per il punto P…1, 1,
s : 2x ˆ y
1ˆ
z
2† ed eÁ perpendicolare alle rette r e s.
3y
z‡3ˆ0
scrivi l'equazione della
4x ‡ y ‡ 3z ‡ 1 ˆ 0
x ‡ 2y 2z 7 ˆ 0
8
<x ˆ t
7 Scrivi l'equazione del piano che passa per il punto P…1, 2, 3†, eÁ parallelo alla retta y ˆ 2t ed eÁ per:
zˆt
pendicolare al piano che passa per i punti A…1, 2, 1†, B…1, 0, 1† e per l'origine del sistema di riferimento.
‰x 2y ‡ 3z 6 ˆ 0Š
8 Dati i piani e di equazioni x 3y ‡ 2z ˆ 5 e 2x y 3z ˆ 4, scrivi l'equazione della retta r che
passa per il punto P…2, 1, 3† ed eÁ parallela sia ad che a .
x 3y ‡ 2z ‡ 1 ˆ 0
2x
y
3z
14 ˆ 0
9 Determina il valore del parametro h per il quale risultano incidenti le rette di equazioni
2x hy ‡ z ˆ 1
x ‡ hz ˆ 1
e
x ‡ 3y ‡ …h ‡ 1†z ˆ 1
…2h ‡ 1†y ‡ z ˆ 0
10 Dati i punti A…1, 1, 3†, B …1, 1, 1† e il piano di equazione x ‡ y ‡ z
luogo dei punti P di tali che le rette AP e BP siano perpendicolari.
p
11 Una sfera ha raggio r ˆ 5 e taglia il piano : 2x
C …1, 3, 1† e raggio unitario. Scrivine l'equazione.
‰3x 2 ‡ 3y 2 ‡ 3z 2
14x
14y
"
y ‡ 2z
‰h ˆ 1Š
1 ˆ 0, scrivi l'equazione del
x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 2x
x‡y ‡z 1ˆ0
2y
2z
1ˆ0
#
1 ˆ 0 lungo una circonferenza di centro
14z ‡ 34 ˆ 0; 3x 2 ‡ 3y 2 ‡ 3z 2 ‡ 2x
22y ‡ 2z ‡ 26 ˆ 0Š
8
<x ˆ t 1
x y ‡z ˆ1
e s:
. Scrivi l'equazione della sfera che ha il
12 Sono date le rette r : y ˆ t
:
2x y z ˆ 0
z ˆ 2t
‰x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 14x ‡ 16y 32z ‡ 27 ˆ 0Š
centro sulla r ed eÁ tangente alla s nel punto A…1, 1, 1†.
Risultati di alcuni esercizi.
1 c.
2 c.
3 c.
4 d.
5 a.
6 d.
7 c.
64 a. V, b. F, c. V, d. F
67 c.
68 c., d., e.
91 a.
92 c.
93 a., c.
94 a.
211 a. F, b. V, c. F
212 c.
213 b.
214 d.
215 c., d.
217 a., c.; a., d.
274 a.
287 b.
288 d.
65 a.
®, b. ­, c. ­
216 a.
276 b.
76
­, b. ®
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
­, b. ¬
®, b. ­
275 a.
289 c.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Testfinale di autovalutazione
C ONOSCENZE
3, 0† e B…0, 5, 1†, stabilisci il valore di veritaÁ delle seguenti affermazioni:
1 Dati i punti A…2,
a. il punto A appartiene all'asse z
b. il punto A appartiene al piano xy
c. il punto B appartiene al piano yz
V
F
V
F
V
F
d. il segmento AB ha lunghezza 3
1
e. il punto medio del segmento AB ha coordinate 1, 1,
:
2
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
~…4,
2 Dei vettori ~
v …2, 3, 1† e w
a. sono paralleli
p
b. v ˆ 14
~ ˆ …6, 9, 3†
c. ~
v ‡w
~ ˆ …8, 12, 4†
d. 2~
v 3w
~ˆ 8
e. ~
v w
5 punti
6, 2†, si puoÁ dire che:
5 punti
3 Del piano di equazione x 4y ˆ 0 si puoÁ dire che:
a. passa per l'origine
b. eÁ parallelo al piano xy
c. contiene fra le sue rette l'asse z d. passa per il punto di coordinate 2, 1 , 3
2
8 punti
4 Il piano individuato dai punti P …1, 1, 1†, Q …2, 0,
a. x ‡ y z ‡ 1 ˆ 0 b. x y ‡ z ‡ 1 ˆ 0
c. x ‡ y ‡ z ‡ 1 ˆ 0 d. x ‡ y ‡ z 1 ˆ 0
1†, R …2, 1,
8 punti
5 La distanza del punto P0 …1,
1, 1† dal piano di equazione 3x
p
p
c. 26
b. 26
26
2

a. p2
26
6 Dato il piano di equazione 5x ‡ 2y ‡ 4z
a.
10x ‡ 4y
c.
5x
2
y
8z
5ˆ0
2z ‡ 1 ˆ 0
2
7 Dato il piano di equazione x
a.
2x ‡ 2y ‡ z
c.
1x
2
y
5ˆ0
1z‡1 ˆ0
3
2
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
y
4z ‡ 1 ˆ 0 eÁ uguale a:
d.
p
26
5 punti
1 ˆ 0, individua quali fra i seguenti sono ad esso paralleli:
b. x ‡ 2 y ‡ 4 z
5
5
d.
1 y ‡ 3z
2
2† ha equazione:
5x
2
1 ˆ0
5
y ‡ 2z ‡ 1 ˆ 0
2
6 punti
2 ˆ 0, individua quali fra i seguenti sono ad esso perpendicolari:
b. x ‡ 2y
3 ˆ0
5
d.
2z ‡ 1 ˆ 0
2
x
y
6 punti
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
77
8
<x ˆ 2 ‡ t
y ˆ 3 ‡ 2t
:
z ˆ 1‡t
eÁ falsa?
8 Quale tra le seguenti affermazioni relative alla retta di equazione
a. Passa per il punto di coordinate …1,
5, 0†
b. Passa per il punto di coordinate …5, 3, 2†
c. Interseca il piano xy nel punto di coordinate …3, 1, 0†
y ‡3
ˆ z ‡ 1.
d. La forma normale della sua equazione eÁ x 2 ˆ
2
8
<x ˆ 1 ‡t
9 Delle rette di equazioni
y ˆ 3 4t
:
z ˆ1‡t
a.
b.
c.
d.
8
<x ˆ 2 ‡ k
e
y ˆ 1 4k
:
z ˆ2‡k
8 punti
si puoÁ dire che:
hanno gli stessi parametri direttori
passano entrambe per il punto …1, 3, 1†
passano entrambe per il punto …2, 1, 2†
rappresentano la stessa retta.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
8 punti
10 Fra le rette che hanno le seguenti equazioni, individua quelle parallele e quelle perpendicolari:
8
8
xˆh
8
8
>
x ˆ 1‡s
>
>
>
>
<
<
< x ˆ 1 ‡ 3t
< x ˆ 3 ‡ 6k
y ˆ 1 ‡ 2s
y ˆ2 1h
d.
a.
b.
c.
y ˆ2 t
y ˆ 1 2k
2
>
>
:
:
>
>
:z ˆ 2 1 s
>
:
z ˆ 3 ‡ 2t
z ˆ 5 ‡ 4k
2
z ˆ 1‡h
7 punti
8
< x ˆ 1 ‡ 6t
11 Della retta di equazione
y ˆ 2 2t si puoÁ dire che:
:
z ˆ 3 ‡ 4t
a. eÁ parallela al piano di equazione x y 2z 3 ˆ 0
b. eÁ perpendicolare al piano di equazione 3x y ‡ 2z 5 ˆ 0
c. appartiene al piano di equazione 2x 4y ‡ z 3 ˆ 0
d. appartiene al piano di equazione 2x 4y 5z ‡ 21 ˆ 0
8 punti
12 La sfera che ha come diametro il segmento OA essendo O l'origine degli assi e A…2,
a. x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 2x ‡ 4y ‡ 2z ˆ 1
c. x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 ‡ 2x 4y ‡ 2z ˆ 0
b. x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
d. x 2 ‡ y 2 ‡ z 2
4,
2x ‡ 4y ‡ 2z ˆ 0
2x ‡ 4y 2z ˆ 0
2† ha equazione:
8 punti
13 A quale dei seguenti piani eÁ tangente la sfera di centro C …1, 0, 2† e raggio unitario?
a. x y ‡ z ˆ 2
b. 2x ‡ y z ˆ 0
c. x y 2z ˆ 1
d. 2x ‡ 2y ‡ z ˆ 3
8 punti
Esercizio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Totale
Punteggio
Voto: totale ‡ 1 ˆ
10
78
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
A BILITÀ
1 Un triangolo ABC ha per base il segmento di estremi B…1, 0, 2† e C …0, 3, 1† ed il vertice A si trova sull'asse
z. Determina le coordinate del punto A in modo che il triangolo sia isoscele.
4 punti
2 Determina un punto C sull'asse y equidistante dai punti A…1, 2, 3† e B… 2, 1, 6†.
3 punti
3 Trova le componenti cartesiane ed il modulo del vettore ~
v che ha per estremi i punti A…3, 2, 1† e B…2, 0,
~
~
~
considerato poi il vettore ~
r ˆ 3i 4j ‡ 2k, calcola:
a. 2~
v
b. ~
v ~
r
3~
r
1†;
6 punti
4 Scrivi l'equazione del piano che eÁ:
a. parallelo al piano xy e passa per il punto P … 2, 2, 3†
b. perpendicolare all'asse y e passa per il punto P …1, 1, 2†
c. parallelo all'asse z e passa per i punti P …3, 2, 1† e Q …1,
5 Stabilisci se i punti A…1, 1, 1†, B…0, 2, 0†, C …2, 0, 2†, D …0,
trova l'equazione del piano a cui appartengono.
3, 2†.
2,
9 punti
4† sono complanari e in caso affermativo
6 punti
6 Scrivi l'equazione del piano che passa per il punto P …1, 2, 1† ed eÁ parallelo a quello di equazione
2x ‡ 3y 2z 2 ˆ 0 e del piano passante per l'origine e perpendicolare ai piani x ‡ y z 1 ˆ 0 e
3x ‡ y 2z 3 ˆ 0; trova poi, se esiste, l'equazione in forma parametrica e normale della loro retta di intersezione.
10 punti
y 1
y ‡1
x‡2
x‡1
z 3
ˆ
ˆ
, scrivi l'equazione di quella che passa
ˆz 1es:
ˆ
2
2
3
3
2
per il punto P …4, 0, 0† ed eÁ perpendicolare sia ad r che ad s.
10 punti
7 Date le rette r :
8 Scrivi l'equazione del piano che passa per A…0, 1, 0† e B… 3, 0, 1† ed eÁ parallelo alla retta che congiunge i
punti C…1, 1, 0† e D…2, 1, 1†.
10 punti
9 Verifica che i punti A…1, 1, 1†, B…0, 2, 4†, C…2, 0, 1† non sono allineati.
10 Dato il punto P…2, 1, 3† ed i piani : x 3y ‡ 2z 5 ˆ 0 e : 2x
della retta r che passa per P ed eÁ parallela sia ad che a .
11 Fra i piani che passano per la retta s :
ne x 2 ‡ y 2 ‡ z 2 4z ˆ 0.
Esercizio
1
2
3
4
8 punti
y
3z
4 ˆ 0, scrivi l'equazione
12 punti
xˆz 2
, individua quelli tangenti alla superficie sferica di equazioy ˆ 3z
12 punti
5
6
7
8
9
10
11
Totale
Punteggio
Voto: totale ‡ 1 ˆ
10
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
79
Soluzioni
C ONOSCENZE
1 a. F, b. V, c. V, d. F, e. V
2 a. V, b. V, c. V, d. F, e. F
3 a. V, b. F, c. V, d. V
4 d.
6 b., c.
8 a.
5 b.
9 a. V, b. V, c. V, d. V
7 a., b.
10 rette parallele , ; rette perpendicolari , ; , 11 a. V, b. V, c. F, d. V
12 b.
13 d.
A BILITÀ
5
6
1 A 0, 0,
3 ~
v … 1,
2,
2
2†; v ˆ 3, a. 2~
v
4 a. z ˆ 3, b. y ˆ 1, c. 5x
2y
27 , 0
2
0,
10†, b. ~
v ~
rˆ1
3~
r ˆ … 11,8,
11 ˆ 0
5 I punti appartengono al piano di equazione 2x ‡ y
6 : 2x ‡ 3y
z 2ˆ0
8
xˆt
>
>
>
>
<
3 3
yˆ
t
2z ‡ 6 ˆ 0, : x ‡ y ‡ 2z ˆ 0, \ :
2 4
>
>
>
>
:z ˆ 3 1 t
4 8
8
< x ˆ 4 ‡ 7t
7
y ˆ 8t
:
z ˆ 10t
x 3y ‡ 2z ‡ 1 ˆ 0
10
2x y 3z 14 ˆ 0
8 x
11 x
IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO
; xˆ
6
4y
3
ˆ6
8z
2y ‡ z ‡ 2 ˆ 0
z ‡2‡
3
p
7 y
3z ˆ 0
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