La geometria analitica nello spazio

La geometria analitica nello spazio: punti, vettori, rette e piani sintesi e integrazione prof. D. Benetti § 1. Il punto in R3 . Un punto P nello spazio è associato a una terna ordinata di numeri reali ( x ;"y ;"z ) ; il primo P
P
P
numero è chiamato ascissa del punto P, il secondo ordinata e il terzo quota. Relazioni da ricordare sui punti: i.
Distanza tra due punti A x1 ;#y1 ;#z1 e B x2 ;#y2 ;#z2 : (
AB =
)
(
)
( x − x ) + (y − y ) + (z − z )
2
2
2
1
2
1
2
1
2
. La relazione si dimostra facilmente, ricordando che la lunghezza della diagonale di un parallelepipedo rettangolo di lati a, b e c vale a2 + b2 + c 2 (Teorema di Pitagora). ii.
Punto medio del segmento AB: !x +x y +y z +z $
M ## 1 2 ;$ 1 2 ;$ 1 2 && . 2
2 %
" 2
Anche questa relazione si dimostra facilmente, applicando il piccolo Teorema di Talete. Relazioni interessanti: i. Il baricentro di un triangolo di vertici A x1 ;#y1 ;#z1 , B x2 ;#y2 ;#z2 e C x3 ;#y3 ;#z3 : (
) (
)
(
)
!x +x +x y +y +y z +z +z $
G ## 1 2 3 ;% 1 2 3 ;% 1 2 3 && . 3
3
3
"
%
ii.
(
) (
) (
(
)
D x 4 ;#y4 ;#z4 : !x +x +x +x y +y +y +y z +z +z +z $
G ## 1 2 3 4 ;& 1 2 3 4 ;& 1 2 3 4 && . 4
4
4
"
%
)
Il baricentro di un tetraedro di vertici A x1 ;#y1 ;#z1 , B x2 ;#y2 ;#z2 , C x3 ;#y3 ;#z3 e 1 di 13 §2. I vettori in R3 . Come nel caso in R2 , un vettore è determinato dalle coordinate del punto di applicazione visto che !
qualsiasi vettore può avere origine in O 0;#0;#0 . Quindi v = v x ;"v y ;"v z . Le coordinate del punto (
)
(
)
di applicazione sono dette componenti del vettore. È possibile scrivere un vettore in funzione delle proprie componenti mediante l’introduzione dei !
versori (vettori di modulo unitario) iˆ = 1;$0;$0 , ĵ = 0;$1;$0 e k̂ = 0;$0;$1 : v = v x iˆ +v y ĵ +v z k̂ (
1
)
(
)
(
)
(coordinate cartesiane) . È possibile scrivere i vettori in R2 in funzione del loro modulo e della loro direzione (o fase). Vale anche per i vettori in R3 , solamente che la direzione è determinata dal valore di due angoli: v
v
!
modulo: v = v = v x2 +v y2 +v z2 ; direzione: cosθ = z ∧tanϕ = y . v
vx
!
Quindi: v = v;"θ ,"ϕ (coordinate polari). (
)
!
!
Osservazione: Due vettori v1 = x1 ;#y1 ;#x1 e v2 = x2 ;#y 2 ;#z2 sono paralleli tra loro quando hanno !
z1 z2 y1 y2
x1 y1 z1 v1
la tessa direzione, ovvero quando ! = ! ∧ = ⇒ = ∧ = ! . x2 y2 z2 v2
v1 v2 x1 x2
(
)
(
)
§2.1. Il prodotto scalare tra vettori in R3 . ! !
!
!
Dati due vettori v1 = x1 ;#y1 ;#x1 e v2 = x2 ;#y 2 ;#z2 , il prodotto scalare è dato da v1 • v2 = v1 #v2 cosϑ , (
)
(
)
dove ϑ è l’angolo tra i due vettori. Questo tipo di prodotto dà come risultato uno scalare. Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà: ! ! ! !
i.
Proprietà commutativa: v1 • v2 = v2 • v1 . iii.
! !
! ! !
Proprietà associativa: la scrittura v1 • v2 • v3 non ha senso in quanto v2 • v3 è uno scalare. ! ! !
! ! ! !
Proprietà distributiva: v1 • v2 + v3 = v1 • v2 + v1 • v3 . iv.
! !
v1 • v2 = 0 ⇔ v1 = 0∨v2 = 0∨ϑ = π 2+ π k,%k ∈ Z . ii.
(
(
)
)
1
Si sta facendo implicitamente uso del prodotto di uno scalare per uno vettore. 2 di 13 Se consideriamo le componenti, si ! !
v1 • v2 = x1iˆ + y1 ĵ + z1k̂ • x2iˆ + y2 ĵ + z2k̂ = )(
(
ottiene )
= x1 x2iˆ • iˆ + x1 y2 + x2 y1 iˆ • ĵ + y1 y2 ĵ • ĵ + x1 z2 + x2 z1 iˆ • k̂ + z1 z2k̂ • k̂ + y1 z2 + y2 z1 ĵ • k̂ . (
)
(
)
(
)
Ora, poiché i versori sono tra loro perpendicolari, per la proprietà iii si ha che iˆ • ĵ = iˆ • k̂ = ĵ • k̂ = 0 . ! !
Osservato che iˆ • iˆ = ĵ • ĵ = k̂ • k̂ = 1 , si ottiene v • v = x x + y y + z z . 1
2
1 2
1 2
1 2
!
!
! !
Osservazione: due vettori v1 e v2 sono perpendicolari tra loro quando v1 • v2 = 0 , ovvero quando x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 . Osservazione: a partire dalla definizione è sempre possibile determinare l’angolo tra due vettori:
! !
v1 • v2
cosϑ = ! ! . v1 & v2
§2.2. Il prodotto vettoriale tra vettori in R3 . ! !
!
!
Dati due vettori v1 = x1 ;#y1 ;#x1 e v2 = x2 ;#y 2 ;#z2 , il prodotto vettoriale è dato da v1 × v2 , ovvero (
)
(
)
un vettore di modulo v1 "v2 sinϑ , dove ϑ è l’angolo tra i due vettori, direzione perpendicolare al piano dove giacciono i due vettori e verso dato dalla regola della mano destra. Questo tipo di prodotto dà come risultato un vettore. Il prodotto vettoriale ha le seguenti caratteristiche: i.
Non gode della proprietà commutativa: ad esempio − ĵ = iˆ × k̂ ≠ k̂ × iˆ = ĵ . Si dice che il ! !
! !
prodotto vettoriale gode della proprietà anti-­‐commutativa: v1 × v2 = −v2 × v1 . Non gode neanche della proprietà associativa: ad esempio −k̂ = iˆ × − ĵ = iˆ × iˆ × k̂ ≠
!
!
!
≠ iˆ × iˆ × k̂ = 0 × k̂ = 0 , dove 0 = 0;#0;#0 indica il vettore nullo. ( )
ii.
( )
(
)
iii.
! ! !
! ! ! !
Proprietà distributiva: v1 × v2 + v3 = v1 × v2 + v1 × v3 . iv.
! !
v1 × v2 = 0 ⇔ v1 = 0∨v2 = 0∨ϑ = π k,%k ∈ Z . (
( )
)
v.
v1 "v2 sinϑ corrisponde geometricamente all’area del parallelogrammo di lati v1 e v2 . ! !
consideriamo le componenti, si ottiene v1 × v2 = x1iˆ + y1 ĵ + z1k̂ × x2iˆ + y2 ĵ + z2k̂ = ) (
(
= x x iˆ × iˆ + ( x y − x y ) iˆ × ĵ + y y ĵ × ĵ + ( x z − x z ) iˆ × k̂ + z z k̂ × k̂ + ( y z − y z ) ĵ × k̂ . Se 1 2
1 2
2 1
1 2
1 2
2 1
1 2
1 2
)
2 1
! !
Ora, poiché iˆ × iˆ = ĵ × ĵ = k̂ × k̂ = 0 e iˆ × ĵ = k̂ ∧ iˆ × k̂ = − ĵ ∧ ĵ × k̂ = iˆ , si ottiene v1 × v2 = y1 z2 − y2 z1 iˆ + (
(
) (
)
− x1 z2 − x2 z1 ĵ + x1 y2 − x2 y1 k̂ . Si osserva che il risultato appena ottenuto si può scrivere come y
! !
v1 × v2 = 1
y2
z1
z2
iˆ −
x1
z1
x2
z2
3 di 13 ĵ +
x1
y1
x2
y2
k̂ )
e, in modo compatto, diventa: iˆ
! !
v1 × v2 = x1
ĵ
y1
k̂
z1 . x2
y2
z2
Esempio: calcolo dell’area di un triangolo in R3 . Considerando la caratteristica iv del prodotto (
) (
)
vettoriale, posso facilmente calcolare l’area di un triangolo di vertici A x1 ;#y1 ;#z1 , B x2 ;#y2 ;#z2 e !!"
!!!"
1 !!" !!!"
C x3 ;#y3 ;#z3 : AABC = AB × AC , dove AB x2 − x1 ;$y2 − y1 ;$z2 − z1 e AC x3 − x1 ;$y3 − y1 ;$z3 − z1 . 2
(
)
(
)
(
)
Esempio: calcolo dell’area di un triangolo in R2 . Molto più semplice risulta la relazione (
) (
)
(
)
dell’esempio precedente relativa ai triangoli di vertici A x1 ;#y1 , B x2 ;#y2 e C x3 ;#y3 del piano 1 !!" !!!" 1 !!" !!!" 1 x2 y2
. Per AB × AC = OB ×OC =
2
2
2 x 3 y3
!!"
affrontare il caso generale, basta considerare i vettori, nel piano, AB = x1 − x2 ;y1 − y2 e !!!"
AC = x1 − x3 ;y1 − y3 ; si ottiene cartesiano Oxy. Se A ≡ O , abbiamo visto che AABC =
(
(
)
)
1 !!" !!!" 1 x1 − x2
AABC = AB × AC =
2
2 x1 − x 3
y1 − y2
y1 − y3
x1
=
1
x
2 2
x3
y1 1
y2 1 . y3 1
§2.3. Il prodotto misto. !
! ! !
!
!
Dati tre vettori a x1 ;#y1 ;#z1 , b x2 ;#y2 ;#z2 e c x3 ;#y3 ;#z3 , il prodotto misto è dato da a × b • c , (
) (
)
(
(
)
)
ovvero dà come risultato uno scalare. ! ! ! !
È importante osservare che il prodotto non cambia se permuto i vettori ( a → b → c → a ): ! ! ! ! ! ! ! ! !
a × b • c = b × c • a = c × a • b . (
)
(
)
(
)
Da un punto di vista geometrico, esso rappresenta il volume del parallelepipedo di lati a, b e c. In forma matriciale, si ottiene x1
! ! !
V = a × b • c = x2
y1
z1
y2
z2 . x3
y3
z3
(
)
4 di 13 Esempio: il calcolo del volume del tetraedro. Se il tetraedro è regolare, basta ricordare la formula 1
del volume, V = ℓ3 2 , dove ℓ indica la lunghezza dello spigolo. Dato un tetraedro qualsiasi di 12
vertici A x1 ;#y1 ;#z1 , B x2 ;#y2 ;#z2 , C x3 ;#y3 ;#z3 e D x 4 ;#y4 ;#z4 non allineati e non tutti (
)
(
)
(
)
(
)
complanari, il volume del tetraedro è la sesta parte del volume del parallelepipedo circoscritto: x 2 − x1
1 !!" !!!" !!!" 1
VABCD = AB × AC • AD = x3 − x1
6
6
x 4 − x1
(
)
5 di 13 y2 − y1
z2 − z1
y3 − y1
z3 − z1 . y4 − y1
z4 − z1
§3. Il piano in R3 . §3.1. L’equazione cartesiana di un piano in forma implicita. L’equazione in forma implicita di un piano è Γ : ax + by + cz + d = 0 , a,b,c,d ∈ R . In effetti, (
)
(
)
O a un piano Γ . Considerato un punto generico P ( x;"y;"z ) ∈ Γ , si ha che OH ⊥ HP , quindi per il consideriamo un piano non passante per l’origine O 0;#0;#0 . Sia H a;"b;"c il piede dell’altezza da 2
2
2
triangolo OHP vale il Teorema di Pitagora: OP = OH + HP . Sostituendo le coordinate dei punti e (
)
utilizzando la relazione data in 1i, si ottiene l’equazione ax + by + cz + −a2 − b2 − c 2 = 0 . Posto d = −a2 − b2 − c 2 , si ottiene quanto voluto. Viceversa, si può dimostrare che ogni equazione del tipo ax + by + cz + d = 0 rappresenta sempre un piano nello spazio. Nella dimostrazione appena svolta abbiamo visto che il segmento OH è, per costruzione, !!!" !
perpendicolare al piano. Quindi il vettore OH = n determina la direzione del piano. Poiché le coordinate del vettore sono proprio i coefficienti a, b e c presenti nell’equazione, tali parametri sono detti coefficienti direttivi del piano. Un piano quindi può essere univocamente determinato dalla direzione normale e un suo punto. §3.2. L’equazione cartesiana di un piano in forma esplicita. L’equazione in forma esplicita di un piano è Γ : z = mx + ny + q = 0 , m,n,q ∈ R . Osservazione: per passare da una forma all’altra basta considerare il sistema "m = −a c
$
#n = −b c . $q = −d c
%
Si nota che tale sistema ha senso solo se c ≠ 0 . Questo significa che non tutti i piani dello spazio possono essere scritti in forma esplicita; sono esclusi i piani della forma ax + by + d = 0 che risultano essere paralleli all’asse z2. §3.3. Le equazioni di piani particolari. Il piano Oxy ha equazione z = 0 ; il piano Oxz ha equazione y = 0 ; il piano Oyz ha equazione x = 0 . Il piano passante per O ha equazione ax + by + cz = 0 . §3.4. L’equazione di un piano passante per tre punti noti. Un piano nello spazio è univocamente determinato da tre punti non allineati. L’equazione di un piano passante per tre punti A x1 ;#y1 ;#z1 , B x2 ;#y2 ;#z2 , C x3 ;#y3 ;#z3 è data dalla seguente3: (
) (
2
Vedi il sotto-­‐paragrafo 4.11. 3
Vedi il sotto-­‐paragrafo 3.7. per una sua giustificazione. 6 di 13 ) (
)
x − x1
y − y1
z − z1
Γ : x 2 − x1
y2 − y1
z2 − z1 = 0 . x 3 − x1
y3 − y1
z3 − z1
Osservazione: la relazione appena scritta mostra anche un criterio per verificare se tre punti nello spazio sono allineati; la relazione non fornisce l’equazione di un piano quando si annullano tutti i minori costruiti con la seconda e terza riga. In altre parole, tre punti nello spazio sono allineati quando: " x −x y −y z −z %
rk $ 2 1 2 1 2 1 ' = 1 . $ x −x y −y z −z '
# 3 1 3 1 3 1 &
Osservazione: un altro metodo per determinare l’equazione di un piano passante per tre punti è quello di sostituire le coordinate dei punti dati nell’equazione generica del piano e scrivere tre incognite in funzione della quarta (ad esempio, a, b e d in funzione di c.) Notando che a, b, c e d non possono essere contemporaneamente tutti nulli, sostituisco i valori trovati nell’equazione e divido per l’incognita indipendente (ad esempio c). Si veda l’esempio 30 pag. 1106 in [1]. §3.5. L’equazione parametrica di un piano. Consideriamo tre punti A, B e C su un piano. Un piano può essere univocamente determinato da !!" !!!"
AB , AC e dal punto A. due direzioni d
ate d
ai v
ettori !!"
!!!"
(
)
(
)
Poiché AB x2 − x1 ;$y2 − y1 ;$z2 − z1 e AC x3 − x1 ;$y3 − y1 ;$z3 − z1 , si ha !x = x + x − x t + x − x s
1
2
1
3
1
#
!!" !!" !!" !!!"
#
Γ : " y = y1 + y2 − y1 t + y3 − y1 s ⇔ Γ : OP = OA + AB%t + AC %s , #
#$ z = z1 + z2 − z1 t + z3 − z1 s
dove i parametri sono t,s ∈ R . §3.6. Come passare dalle coordinate cartesiane alle coordinate parametriche? (
(
(
) (
) (
) (
)
)
)
Data l’equazione cartesiana di un piano, determiniamo su di esso tre punti distinti non allineati A, B e C e procediamo come al punto precedente. Oppure, più semplicemente, possiamo ad esempio porre y = t , z = s e sostituire i parametri nell’equazione del piano. Esempio: determinare le equazioni parametriche del piano Γ : x −2y + z = 0 . Posto y = t , z = s , ottengo x = 2t − s , perciò le equazioni sono # x = 2t − s
%
. Γ : $y = t
%z = s
&
§3.7. Come passare dalle coordinate parametriche alle coordinate cartesiane? I metodo: il metodo più lungo e noioso è quello di svincolare le incognite x, y e z dai parametri t ed s, rimaneggiando il sistema. 7 di 13 II metodo: un altro metodo è quello di dare dei valori ai parametri in modo da determinare tre punti distinti e non allineati del piano (ne basterebbero solo due che posso dedurre facilmente le coordinate del punto A); a questo punto basta applicare la relazione data nel §3.4. !!" !!!"
!!" !!!"
III metodo: poiché i vettori AB , AC giacciono sul piano, il vettore AB × AC , dato dal prodotto vettoriale dei due vettori, sarà normale al piano. Per quanto detto al sotto-­‐paragrafo 3.1. si ha4 iˆ
ĵ
k̂
!!" !!!"
a;"b;"c = AB × AC = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 . (
)
x 3 − x1
y3 − y1
z3 − z1
Per determinare il coefficiente d basta considerare il punto A dato: d = −ax1 − by1 − cz1 . §3.8. Condizione di parallelismo tra due piani. Dati due piani Γ : ax + by + cz + d = 0 e Γ! : a!x + b!y + c!z + d ! = 0 , essi sono paralleli se i loro coefficienti direttivi sono in proporzione, ovvero $
'
a b c
Γ // Γ! ⇔ = = ⇔ rk & a b c ) = 1 . a! b! c!
% a! b! c! (
§3.9. Condizione di perpendicolarità tra due piani. Dati due piani Γ : ax + by + cz + d = 0 e Γ! : a!x + b!y + c!z + d ! = 0 , essi sono perpendicolari se i !
!
rispettivi vettori normali n = a;"b;"c ed n! = a!;"b!;"c! sono fra loro perpendicolari, ovvero ! !
quando n• n! = 0 . Si ha: Γ ⊥ Γ# ⇔ aa# + bb# + cc# = 0 ⇔ m"m# + n"n# = −1 . §3.10. Distanza di un punto P xP ;yP ;zP da un piano Γ : ax + by + cz + d = 0 . (
(
)
(
)
)
In modo del tutto analogo della distanza punto-­‐retta in R2 , si può dimostrare che (
)
dist P;&Γ =
axP + byP + czP + d
4 Da tale relazione si deduce la formula data nel §3.4. 8 di 13 a 2 + b2 + c 2
. §4. La retta in R3 . §4.1. Le equazioni cartesiane di una retta. Dati due piani Γ : ax + by + cz + d = 0 e Γ! : a!x + b!y + c!z + d ! = 0 non paralleli tra loro, il luogo geometrico dei punti di intersezione tra essi è una retta. Si deduce che le equazioni cartesiane di una retta sono "$ax + by + cz + d = 0
. r :#
$%a!x + b!y + c!z + d ! = 0
Osservazione: poiché ci sono infiniti piani ai quali appartiene una retta r, le equazioni non sono univocamente determinate. §4.2. L’equazione di una retta passante per due punti noti. Una retta nello spazio è univocamente determinata da due punti. L’equazione di una retta passante per due punti A x1 ;#y1 ;#z1 , B x2 ;#y2 ;#z2 è, in analogia con quanto fatto in R2 , (
) (
)
# x−x
y − y1
1
%
=
% x − x y1 − y2
x − x1 y − y1 z − z1
=
=
⇒ r :$ 1 2
. x1 − x2 y1 − y2 z1 − z2
% y − y1 z − z1
%y −y = z −z
& 1 2
1
2
§4.3. L’equazione parametrica di una retta. Consideriamo due punti A e B su una retta. Una retta può essere univocamente determinata da !!"
una direzione data dal vettore AB e dal punto A. Dalla relazione data al sotto-­‐paragrafo precedente, detti l = x1 − x2 , m = y1 − y2 e n = z1 − z2 , le equazioni parametriche in forma scalare della retta sono x − x1
l
$ x = x + lt
1
&
=t∧
=t∧
= t ⇒ r : % y = y1 + mt , m
n
&
' z = z1 + nt
y − y1
z − z1
dove il parametro è t ∈ R . Per in forma vettoriale della retta, tenuto conto che !!" parametrica !!" !!"
!!" determinare l’equazione AB = l;"m;"n , si ottiene r : OP = OA + AB"t . (
)
Poiché i valori l, m ed n danno la direzione della retta, tali valori sono detti coefficienti direttivi della retta. Osservazione: Anche le equazioni parametriche non sono univocamente determinate. Basta considerare una qualsiasi altra coppia di punti per rendersene conto. §4.4. Come passare dalle coordinate cartesiane a quelle parametriche? Data l’equazione cartesiana di una retta, determino su di essa due punti distinti A, B e procedo come al sotto-­‐paragrafo precedente. Un altro modo è quello di porre, ad esempio, z = t e scrivere x e y in funzione di t. 9 di 13 $"2x − y + z −2 = 0
Esempio: scrivere le equazioni parametriche della retta r : #
. %$ x − 3y −2z −1 = 0
I modo. Determiniamo due punti della retta r, assegnando dei valori a caso alla variabile x e determinando i corrispondenti valori di y e z: A 0;# −1;#1 e B 1;#0;#0 . Otteniamo (
)
(
)
"x = t
!!"
$
AB = 1;#1;# −1 . Le equazioni parametriche sono r : # y = −1+t . $ z = 1−t
%
(
)
"x = t
"x = t
"x = t
$$
$
$
II modo. Considero il sistema r : #2x − y + z −2 = 0 ⇔ # y = 2t + z −2
⇔ # y = −1+t . $ x − 3y −2z −1 = 0 $
$
$%t − 3 2t + z −2 −2z −1 = 0 % z = 1−t
%
(
)
"2x − y + z −2 = 0
$
Chiaramente, se invece considero il sistema r : # x − 3y −2z −1 = 0 , ottengo una versione diversa di $z = t
%
" y = 2x +t −2
" x = 1−t
$
$
equazioni parametriche: # x − 3 2x +t −2 −2t −1 = 0 ⇔ # y = −t . $
$z = t
%
%z = t
§4.5. Come passare dalle coordinate parametriche alle coordinate cartesiane? (
)
I metodo: un primo metodo è quello di svincolare le incognite x, y e z dal parametro t, rimaneggiando il sistema, in modo da ottenere due equazioni. II metodo: un altro metodo è quello di dare dei valori al parametro t in modo da determinare due punti distinti della retta (ne basterebbe uno solo visto che posso dedurre facilmente le coordinate del punto A); a questo punto basta applicare la relazione data nel §4.2. " x = 1−t
$
Esempio: determinare le equazioni cartesiani della retta r : # y = −t . $z = t
%
" x = 1−t " x = 1+ z
$
$
$" x − z −1 = 0
I modo. r : # y = −t ⇔ # y = −z ⇒ r : #
. $
y
+
z
=
0
%
$z = t
$z = t
%
%
(
)
II modo. Determiniamo due punti della retta: per t = 0 otteniamo A 1;#0;#0 ; per t = 1 otteniamo " x −1
y −0
=
$
"$ x −1 = y
"$ x − y −1 = 0
$ 1− 0 0 − −1
. ⇔#
⇒ r :#
B 0;# −1;#1 . Quindi r : #
%$ y + z = 0
$ y − 0 = z − 0 %$ y = −z
$ 0 − −1 0 −1
%
Si osserva che le equazioni sono sì distinte ma rappresentano la medesima retta r. (
( )
)
( )
10 di 13 §4.6. La posizione reciproca di due rette nello spazio. Due rette nello spazio possono essere i.
complanari quando appartengono allo stesso piano. In questo caso o le rette sono parallele oppure secanti (in un punto); ii.
sghembe quando non appartengono a uno stesso piano. In questo caso le rette non sono né secanti né parallele. §4.7. Condizione di parallelismo tra due rette. Date due rette r e r ! , esse sono parallele se i loro coefficienti direttivi sono in proporzione, ovvero i vettori l;"m;"n e l !;"m!;"n! , relativi ad r ed r ! rispettivamente, sono linearmente dipendenti. In (
) (
)
sintesi: #
&
l m n
r // r ! ⇔ = = ⇔ rk % l m n ( = 1 . l ! m! n!
$ l ! m! n! '
§4.8. Condizione di perpendicolarità tra due rette. !
!
Date due rette r e r ! , esse sono perpendicolari se i rispettivi vettori r = l;"m;"n ed r ' = l !;#m!;#n! ! !
sono fra loro perpendicolari, ovvero quando r • r ' = 0 . Si ha: r ⊥ r " ⇔ l!l " + m!m" + n!n" = 0 . §4.9. Rette secanti. (
)
(
)
Per determinare il punto di intersezione tra due rette posso operare in due modi. I modo. Considero le loro equazioni cartesiane e risolvo il sistema r ∩ r " . II modo. Considero le loro equazioni parametriche; da quelle di r determino, per ogni variabile, il valore di t e lo sostituisco nell’equazione della retta r ! nelle rispettive variabili. " x = 1+t
# x = −1−t
$
%
Esempio: Considero le rette r : # y = 2−t ed r ! : $ y = t
. $ z = 3+2t
%z = 1
%
&
"t = −1− x
$
Per determinare il punto di intersezione, dalla seconda retta ottengo #t = y
(il valore di z è già $z = 1
%
" x = 1+ −1− x
"x = 0
$$
$
⇒ # y = 1 , cioè il punto in determinato) e sostituisco nell’equazione della prima: # y = 2− y
$z = 1
$z = 1
%
$%
(
(
)
comune è P 0;#1;#1 . 11 di 13 )
!
§4.10. Distanza di un punto P xP ;yP ;zP da una retta r di direzione r = l;"m;"n . (
)
(
)
step 1. Come prima cosa determiniamo l’equazione del piano Γ : ax + by + cz + d = 0 perpendicolare alla retta r, passante per il punto P. Tale piano avrà gli stessi coefficienti direttivi della retta, quindi a = l , b = m e c = n . Per determinare il parametro d impongo il passaggio per P e ottengo d = −lxP − myP − nzP . step 2. Determiniamo la proiezione P! del punto P sulla retta r, ovvero il punto di intersezione del piano con la retta. I modo. Consideriamo l’equazione cartesiana della retta e risolvo il sistema r ∩Γ . II modo. Consideriamo l’equazione parametrica della retta e sostituisco i valori di x, y e z, che dipendono dal parametro t, nell’equazione del piano. Mi trovo così il valore di t relativo al punto P! . Ora basta semplicemente sostituire il valore di t nell’equazione parametrica di r per determinare le coordinate del punto P! . ( )
step 3. Determiniamo la distanza richiesta: dist P;&r = PP! . " x = 1+t
$
Esempio: calcolare la distanza del punto P 2;#0;#1 dalla retta r : # y = 2−t . $ z = 3+2t
%
Innanzitutto notiamo che P ∉ r in quanto, sostituendo le coordinate del punto nell’equazione della retta, il sistema risulta essere incompatibile, cioè non riesco a determinare un valore univoco del parametro t. Determiniamo l’equazione del piano Γ : ax + by + cz + d = 0 passante per P e perpendicolare alla (
)
retta r: a = 1 , b = −1 , c = 2 e d = −lxP − myP − nzP = −2+ 0 −2 = −4 . Quindi Γ : x − y +2z − 4 = 0 . Ora determiniamo la proiezione P! del punto P sulla retta r. Dall’equazione della retta r sostituisco i valori dipendenti da t nell’equazione del piano: 1+t − 2−t +2 3+2t − 4 = 0 ⇒ t = −1 6 . Le ( ) ( ) (
)
coordinate del punto cercato saranno # x = 1−1 6
( 5 13 8 +
%
P! : $ y = 2+1 6 ⇒ P!* ;( (; - . )6 6 3,
% z = 3−1 3
&
Finalmente determino la distanza richiesta: 2
2
2
# 5 & # 13 & # 8 &
22
. dist P;&r = PP! = %2− ( + % 0 − ( + %1− ( =
6 ' $ 3'
12
$ 6' $
( )
§4.11. La posizione reciproca di una retta e un piano. Una retta r e un piano Γ possono essere i.
secanti quando si intersecano in un punto; ii.
paralleli quando la direzione della retta e la normale al piano risultano essere tra loro perpendicolari; iii.
paralleli ed r ⊂ Γ . Per determinare eventuali punti di intersezione, un metodo è quello di mettere a sistema le equazioni cartesiane della retta con quella del piano. Se il sistema risulta essere compatibile (il 12 di 13 determinante della matrice associata è non nullo) allora i due oggetti sono secanti; se risulta incompatibile allora sono paralleli. Per verificare che r ⊂ Γ basta notare che il sistema è indeterminato. Riferimenti bibliografici [1] M. Bergamini, A. Trifone e G. Barozzi, Matematica.blu 2.0, vol. 4, Zanichelli, Bologna, 2012. [2] S. Salomon (PoliTO), http://calvino.polito.it/~salamon/P/G/ [3] Matematicamente, http://www.matematicamente.it/ [4] YouMath, http://www.youmath.it/ [5] Wikipedia, http://it.wikipedia.org/wiki/Pagina_principale 13 di 13