Teorema di unicità dell`estremo superiore

Teorema di unicitá dell’estremo superiore. Sia A ⊂ IR non vuoto e limitato superiormente, e sia s = supA.
Allora s è l’unico estremo superiore per A.
Dimostrazione. Innanzitutto, dire che s = supA significa dire che
1. s ≥ a, ∀a ∈ A;
2. per ogni ε > 0 esiste aε ∈ A tale che aε > s − ε.
(La 1. dice che s è un maggiorante per A.)
Supponiamo ora per assurdo che A ammetta due estremi superiori e chiamiamoli s e s0 . Allora anche per s0
valgono le proprietà dell’estremo superiore, cioè
1’. s0 ≥ a, ∀a ∈ A;
2’. per ogni ε > 0 esiste a0ε ∈ A tale che a0ε > s0 − ε.
Da 1’. s0 è un maggiorante per A e quindi s ≤ s0 in virtù della 2.
Infatti la 2. ci dice equivalentemente che ogni maggiorante di A è ≥ s.
Ma da 1. s è un maggiorante per A, e quindi per la 2’. troviamo s ≥ s0 cioè s = s0 .
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