FASCI DI RETTE

FASCI DI RETTE
Data l’equazione del fascio di rette
F:
(k + 2)x − 3y − 3(k + 1) = 0
1. Dire se il fascio è proprio o improprio.
Spesso conviene pensare all’equazione del fascio, piuttosto che come ad una famiglia di rette (e al variare
di k si ottiene ciascuna delle rette di questa famiglia), come ad una retta singola in movimento, la cui
equazione, e di conseguenza la cui posizione e caratteristiche, dipendono dal parametro k (al variare di k
la retta cambia, si sposta, ruota e si muove nel piano cartesiano).
Questo facilita lo svolgimento di alcune domande. Se pensiamo al fascio come ad una retta, viene più
facile, ad esempio, pensare che questa retta abbia un proprio coefficiente angolare che dipende dal parametro k, un coefficiente angolare generico (il coefficiente angolare del fascio).
In altre parole, questo coefficiente angolare del fascio assume, al variare di k, il valore dei coefficienti
angolari di tutte le rette del fascio.
Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio portando l’equazione in forma esplicita:
F:
y=
k+2
x − (k + 1)
3
mF =
k+2
3
Il coefficiente angolare del fascio varia perchè dipende da k (rette del fascio diverse hanno coefficiente
angolare diverso), perciò il fascio è proprio.
2. Trovare l’equazione delle rette generatrici.
Scriviamo l’equazione del fascio raccogliendo k dove possibile, (portandolo cioè nella forma r1 + k r2 = 0):
F:
2x − 3y − 3 + k(x − 3) = 0
Le rette generatrici sono (di fianco è scritto per quale valore di k si ottengono):
r1 : 2x − 3y − 3 = 0
r2 : x − 3 = 0
(k = 0)
(retta esclusa: non si ottiene per nessun valore di k)
Una delle due generatrici (r1 , quella che portando il fascio nella forma r1 + k r2 = 0 si trova fuori dalla
parentesi), si ottiene per k=0 (infatti sostituendo k = 0 nell’equazione r1 +k r2 = 0, si ottiene l’equazione
di r1 ).
L’altra generatrice (r2 ) è invece la retta esclusa del fascio: l’unica retta del fascio la cui equazione non
si può ottenere per nessun valore di k (questo dipende dal fatto che, sempre in riferimento all’equazione
r1 + k r2 = 0, l’unico modo per ottenere l’equazione di r2 sarebbe quello di eliminare r1 , ma questo non
è possibile per nessun valore di k).
Talvolta si dice impropriamente che r2 ha k = ∞ (perchè, se k = ∞, nella somma r1 + k r2 = 0 i termini
dell’equazione di r1 diventano cosı̀ trascurabile che rimane solo k r2 = 0 da cui r2 = 0).
3. Trovare il centro del fascio.
• Primo modo
Avendo le due rette generatrici, si può trovare il centro del fascio intersecandole.
{
r1
r2
{
⇒
2x − 3y − 3 = 0
x=3
Il centro ha coordinate C(3,1).
1
{
⇒
x=3
y=1
• Secondo modo
Talvolta si può trovare il centro del fascio senza passare per le generatrici. Ricordiamo che ogni
volta che sostituiamo un particolare valore a k nell’equazione del fascio troviamo l’equazione di una
particolare retta del fascio. Possiamo sostituire a k valori ’intelligenti’ che ci forniscano le rette del
fascio con la più semplice equazione possibile: quelle parallele agli assi. I valori di k che dobbiamo
sostituire sono quelli che annullano i coefficienti di x e y.
Per k = −2 l’equazione del fascio diventa:
−3y + 3 = 0
⇒
y=1
Ovvero, la retta y = 1 (parallela all’asse x) è una retta del fascio. Allora l’ordinata di C non può
che essere 1.
Per trovare la retta parallela all’asse y, dovremmo sostituire a k un valore che elimini il coefficiente
di y, ma in questo caso il coefficiente di y è -3 e non dipende da k, non si può eliminarlo. Ciò
significa che la retta parallela all’asse y non si trova per nessun valore di k: la retta che cerchiamo
dev’essere quindi la generatrice esclusa, l’unica retta del fascio che non si ottiene per nessun valore
di k (vedi punto precedente). L’equazione di tale generatrice è x2 : x = 3, allora l’ascissa di C non
può che essere 3.
4. Trovare l’equazione delle rette parallele agli assi.
In generale, le rette parallele all’asse x sono date da quel valore di k che annulla il coefficiente di x (infatti
le rette parallele all’asse x hanno un’equazione del tipo y = t, che non contiene termini con x), in questo
caso (k + 2). Ponendo quindi k = −2 si ottiene:
−3y + 3 = 0
⇒
y=1
Analogamente, le rette parallele all’asse y sono date da quel valore di k che annulla il coefficiente di y
(infatti le rette parallele all’asse x hanno un’equazione del tipo x = t, che non contiene termini con y), in
questo caso −3. Non dipendendo da k, il coefficiente non si può annullare e quindi per nessun valore di
k la retta del fascio è parallela all’asse y. La retta parallela all’asse y è infatti la retta generatrice esclusa
r2 : x = 3.
5. Trovare la retta r del fascio che passa per P(4;2).
Un punto P appartiene ad una retta se e solo se le sue coordinate soddisfano l’equazione della retta.
Imponiamo quindi che P appartenga alla retta sostituendo le sue coordinate nell’equazione del fascio, e
calcolando per quale valore di k ciò avviene.
Sostituisco le coordinate di P nell’equazione del fascio:
(k + 2)4 − 3 · 2 − 3(k + 1) = 0
⇒
k=1
La retta r è la retta del fascio che si ottiene per k = 1, ovvero:
r : (1 + 2)x − 3y − 3(1 + 1) = 0
⇒
r :x−y−2=0
6. Trovare la retta del fascio che passa per A(3;-2).
Dal disegno si vede che la retta del fascio che vorremmo trovare è r2 , la generatrice esclusa. Se svolgiamo
i calcoli del punto precedente ignari di ciò, otteniamo:
(k + 2)3 − 3(−2) − 3(k + 1) = 0
⇒
9=0
eq. impossibile
Non esiste nessun valore di k che soddisfi l’equazione, ovvero non esiste nessuna retta del fascio che passi
per A (r2 infatti è esclusa dal fascio, non è ottenibile per nessun valore di k).
2
7. Trovare la retta del fascio che passa per C(3;1).
Ci aspettiamo che tutte le rette del fascio passino per C. Ciò è confermato dai calcoli:
(k + 2)3 − 3 · 1 − 3(k + 1) = 0
⇒
0=0
∀k ∈ R
eq. indeterminata
8. Trovare la retta del fascio perpendicolare a s : 5x − 5y − 1 = 0.
Due rette sono parallele se e solo se hanno coefficiente angolare antireciproco:
⇒
ms = +1
mF = −1
La retta cercata è la retta del fascio di coefficiente angolare -1. Vediamo per quale valore di k ciò si
verifica, ponendo il coefficiente angolare del fascio uguale a -1:
mF =
k+2
= −1
3
⇒
k = −5
La retta cercata è la retta del fascio che si ottiene quando k = −5, ovvero:
s : (−5 + 2)x − 3y − 3(−5 + 1) = 0
⇒
s:x+y−4=0
9. Per quali valori di k le rette del fascio hanno distanza 1 da Q(0;2)?
In forma implicita, l’equazione di una generica retta del fascio ha i seguenti valori di a, b e c:
a=k+2
b = −3
c = −3(k + 1)
Imponiamo che la distanza della retta da Q sia 1 (le C.E. della radice sono automaticamente rispettate,
dal momento che il radicando è una somma di quadrati).
d(F, Q) = 1
⇒
| − 3k − 9| =
⇒
⇒
|(k + 2)0 − 3 · 2 + −3(k + 1)|
√
=1
(k + 2)2 + (−3)2
√
k 2 + 4k + 13
⇒
4k 2 + 25k + 34 = 0
⇒
⇒
9k 2 + 54k + 81 = k 2 + 4k + 13
k1 = −2 ∨ k2 =
⇒
−17
4
10. Per quali valori di k le rette del fascio intersecano il segmento PR, R=(4;0)?
I valori di k delle rette del fascio formano una successione crescente, da −∞ a +∞, in senso orario
o antiorario intorno a C (guardando il disegno, focalizziamoci su uno solo dei due sempipiani originati
dalla retta esclusa r2 , perchè ogni retta sta per metà in un semipiano, e per metà nell’altro). Una volta
che nel disegno si sono tracciate almeno due rette e relativi valori di k, oltre alla retta esclusa, si riesce
a determinare se il verso è orario o antiorario.
Sostituisco le coordinate di R nell’equazione del fascio per determinare il valore di k della retta passante
per R:
(k + 2)4 − 3 · 0 − 3(k + 1) = 0 ⇒ k = −5
La retta che passa per R ha k = −5. Dal disegno, si vede che le rette che intersecano il segmento PR
sono quelle con −5 ≤ k ≤ 1.
11. Per quali valori di k le rette del fascio intersecano il segmento PQ?
Sostituisco le coordinate di Q nell’equazione del fascio per determinare il valore di k della retta passante
per Q:
(k + 2)0 − 3 · 2 − 3(k + 1) = 0 ⇒ k = −3
La retta che passa per Q ha k = −3. Dal disegno, si vede che le rette che intersecano il segmento PQ
sono quelle con k < −3 ∨ k > 1.
Si può notare che, detti k1 e k2 i due valori di k delle rette che passano per gli estremi del segmento,
se la retta esclusa dal fascio non interseca il segmento, allora i valori di k delle rette del fascio che
intersecano il segmento sono i valori interni a k1 e k2 (k1 < k < k2 );
se la retta esclusa dal fascio interseca il segmento, allora i valori di k delle rette del fascio che intersecano
il segmento sono i valori esterni a k1 e k2 (k < k1 ∨ k > k2 ).
3
12. Per quale valore di k la retta del fascio forma un triangolo di area 8 con gli assi cartesiani
nel primo quadrante?
E’ utile pensare ancora ad una volta all’equazione del fascio come all’equazione di una retta dipendente
dal parametro k. Possiamo cosı̀ trovare le sue generiche intersezioni con gli assi cartesiani.
Troviamo le coordinate di B, intersezione tra la retta del fascio e l’asse x.
{
{
{
F
(k + 2)x − 3y − 3(k + 1) = 0
x = 3(k+1)
k+2
⇒
⇒
asse x
y=0
y=0
Troviamo le coordinate di D, intersezione tra la retta del fascio e l’asse y.
{
{
{
F
(k + 2)x − 3y − 3(k + 1) = 0
x=0
⇒
⇒
asse y
x=0
y = −(k + 1)
Vogliamo ora calcolare le lunghezze dei cateti del triangolo, OD e OB.
In generale, si avrebbe
OD = |yD − yO | = |xD |
ma poichè il triangolo sta nel primo quadrante, sappiamo che yD > yO (D sta più in alto di O) e quindi
OD = yD − yO = yD = −(k + 1)
Analogamente (B sta più a destra di O),
OB = xB − xO = xB =
3(k + 1)
k+2
Possiamo ora risolvere l’equazione
OD × OB
=8
2
⇒
OD × OB = 16
3(k + 1)
7
= 16 ⇒ k1 = −5 ∨ k2 = −
k+2
3
Ci sono due rette che formano un triangolo di area 8 con gli assi nel primo quadrante.
−(k + 1)
In generale, si deve controllare se le soluzioni trovate conducono a rette che formano effettivamente
un triangolo nel quadrante desiderato (a questo scopo è utile controllare l’ordine seguito dai valori di k
disposti nel disegno). Infatti, l’equazione risolvente è la stessa nel caso di triangoli formati nel primo e
nel terzo quadrante, e nel caso di triangoli formati nel secondo e nel quarto quadrante:
A I quad =
(XO − XB ) × (YO − YD )
(XB − XO ) × (YD − YO )
=
= A III quad
2
2
A II quad =
(XO − XB ) × (YD − YO )
(XB − XO ) × (YO − YD )
=
= A IV quad
2
2
4