Equazione della retta tangente alla parabola di equazione y ax bx c

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di
Enzo Zanghì
Equazione della retta tangente alla parabola di equazione
P ( x0 ; y0 ) .
y = ax 2 + bx + c nel punto
Poiché una generica retta passante per P ha equazione y − y0 = m( x − x0 ) , affinché essa
risulti tangente alla parabola determiniamo l’equazione risultante dal sistema:
 y0 = ax0 2 + bx0 + c
e poniamo la condizione ∆ = 0

2
 y − (ax0 + bx0 + c) = m( x − x0 )
Dal sistema ricaviamo:
ax 2 + bx + c − ax0 2 − bx0 − c − mx + mx0 = 0
ax 2 + ( b − m ) − ax0 2 − bx0 + mx0 = 0
(
∆ = (b − m) 2 − 4a − ax0 2 − bx0 + mx0
)
m 2 − 2m(2ax0 + b) + (2ax0 + b) 2 = 0 ⇒
[ m − (2ax0 + b)]
2
=0
Quindi, il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola nel punto P ( x0 ; y0 ) è
m = 2ax0 + b
(che è la derivata di y = ax 2 + bx + c calcolata in x0 e fornisce la tangente dell’angolo α
formato da t con il semiasse positivo delle ascisse.)
OSSERVAZIONE
Se la parabola ha equazione
x = ay 2 + by + c
(1)
l’espressione 2ay0 + b rappresenta la tangente dell’angolo β formato dalla retta t e dal
semiasse positivo delle ordinate. Quindi, per determinare il coefficiente angolare della
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di
Enzo Zanghì
retta tangente alla parabola (1) si calcola la tangente dell’angolo complementare
1
1
=
m = tg (900 − β ) = ctg β =
tg β 2ay0 + b
Esempio
Determinare l’equazione della retta t tangente alla parabola x = y 2 − 2 y − 3 nel punto
A(0;3)
si ha: x '(3) = 4
e ( tg β = 4 )
1
1
1
1
quindi mt = ctg β =
=
⇒ y − 3 = ( x − 0)
y = x+3
4
4
tg β 4
essendo x ' = 2 y − 2