Esempio 4 - Mimmo Corrado

Esercizio 4
x
determinare l’equazione della parabola P avente per asse di simmetria
1x
l’asintoto orizzontale di  e tangente a  nell’origine O degli assi. Calcolare l’area del segmento parabolico
delimitato da P e dall’asintoto verticale di  .
Dopo aver disegnato la curva  : y 
Soluzione
 rappresenta un iperbole equilatera
traslata avente asintoti:
y  1 e x  1 .
L’equazione della parabola P
richiesta è del tipo:
x  ay 2  by
Essendo l’asintoto orizzontale di  : y  1 si ha:

b
 1 ;
2a
da cui: b  2 a .
Pertanto la parabola è del tipo: x  ay 2  2 ay .
L’equazione della tangente all’iperbole nell’origine si ottiene risolvendo il sistema:
x

y 
1 x

y  mx
x

mx 
1x


mx  mx 2  x ;
e imponendo la condizione di tangenza   0 ;
mx 2  1  m  x  0 ;
b 2  4 ac  0 ;
1  m 2  4 m  0  0 ; 1  m 2  0 ;
m 1.
Pertanto l’equazione della tangente all’iperbole nell’origine è: y  x
Imponendo che questa tangente sia anche tangente alla parabola nell’origine si ha:
1
 2 a  yO  2 a ;
m
1
 2 a ;
1
a
1
;
2
L’equazione della parabola P richiesta è:
x
1 2
y y.
2
Essa è intersecata dall’asintoto
verticale x  1 nei punti

A 1;  1  3


B 1;  1  3
e
1 2

x  y  y
Infatti: 
2
x  1
y 2  2y  2  0 ;

1 2
y  y 1
2
y1,2  1  3


AB  y B  y A  1  3   1  3  2 3
xV  
b
1

 1 ;
1
2a
2
2
xV 
1
1
2
  1  1   ;
2
2
L’area del segmento parabolico è: S 
Matematica
1 3
 1
AB  xH  xV  1      1   .
2 2
 2
2
2
3
 AB  VH 
2 3 
 2 3 .
3
3
2
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