Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani
L’equazione di una parabola generica è data da:
Consideriamo l’equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l’asse delle
ascisse (y=0):
si verificano 3 casi:
1. Il discriminte è maggiore di zero:
L’equazione considerata ha due soluzioni distinte quindi la parabola interseca l’asse delle ascisse in
due punti.
Esempio 1:
Consideriamo la parabola:
Troviamo l’intersezione con l’asse x risolvendo l’equazione:
La parabola passa per i punti:
Troviamo il vertice. L’ascissa del vertice è data da:
Posso trovare l’ordinata del vertice in due modi:
Posso anche sostituire il valore di
nell’equazione:
1
Abbiamo tre punti quindi possiamo disegnare la parabola:
2. Il discriminante è uguale a zero.
L’equazione considerata ha come soluzione due punti coincidenti quindi la parabola interseca l’asse
delle ascisse in un punto (si dovrebbe dire in due punti coincidenti).
Esempio 2:
Consideriamo la parabola:
Troviamo l’intersezione con l’asse x risolvendo l’equazione:
La parabola passa per il punto:
Troviamo il vertice. L’ascissa del vertice è data da:
Posso trovare l’ordinata del vertice in due modi:
2
Posso anche sostituire il valore di
nell’equazione:
Il vertice coincide con l’intersezione con l’asse x. (D’altra parte era prevedibile...).
Troviamo altri due punti della parabola. Poniamo x=0:
Poniamo x=1:
La parabola passa per i punti:
Disegnamo la parabola.
3. Il discriminante è minore di zero:
La parabola non interseca l’asse delle ascisse.
Esempio 3:
Consideriamo la parabola:
Troviamo l’intersezione con l’asse x risolvendo l’equazione:
3
L’equazione non ha soluzioni.
Disegnamo la parabola.
Troviamo il vertice. L’ascissa del vertice è data da:
Posso trovare l’ordinata del vertice in due modi:
Posso anche sostituire il valore di
nell’equazione:
Troviamo altri due punti della parabola. Poniamo x=0:
Poniamo x=1:
La parabola passa per i punti:
Disegnamo la parabola.
4
Esercizio 1:
a. Determinare a,b,c, in modo che la parabola
,
passi per i punti A
,
.
b. Trovare le coordinate del vertice e del fuoco, l’equazione dell’asse, della direttrice e le
intersezioni con gli assi coordinati.
c. Determinare gli intervalli in cui la parabola ha segno positivo o negativo.
d. Disegnare il grafico.
Svolgimento:
a) La parabola deve passare per i punti dati quindi devo determinare i valori a, b e c che soddisfano
il seguente sistema:
La parabola cercata è:
b)
L’ascissa
del
vertice
è
data
da
.
L’ordinata
del
vertice
è
Se non ricordo la formula posso trovare l’ordinata
sostituendo questo valore nell’equazione della parabola:
5
Le coordinate del fuoco sono: ascissa
ordinata:
.
La parabola ha asse di simmetria verticale quindi l’equazione dell’asse è:
L’equazione della direttrice è:
Per trovare le intersezioni con l’asse x risolvo il sistema:
È un’equazione di secondo grado. Cerco le soluzioni:
Soluzioni:
. La parabola interseca l’asse delle ascisse in
Per trovare l’intersezione con l’asse y risolvo il sistema;
Intersezione con l’asse y in
.
c) Per trovare il segno della parabola risolvo la disequazione:
Le soluzioni dell’equazione associata sono
quindi posso scrivere:
6
e
1
+
-
+
La parabola è positiva per
d) Grafico
7
Esercizio 2:
a. Determinare a,b,c, in modo che la parabola
passi per il punto A
e abbia vertice in
.
b. Trovare le coordinate del fuoco, l’equazione dell’asse, della direttrice e le intersezioni con gli
assi coordinati.
c. Determinare gli intervalli in cui la parabola ha segno positivo o negativo.
d. Disegnare il grafico.
Svolgimento:
a) La parabola deve passare per il punto A ed avere il vertice in V quindi devo determinare i valori
a, b e c che soddisfano il seguente sistema:
Nella terza equazione ho diviso ambo i membri per a. Posso farlo perché è sicuramente a≠0
altrimenti l’equazione data non rappresenterebbe una parabola.
La parabola cercata è:
b) Le coordinate del fuoco sono: ascissa
ordinata:
La parabola ha asse di simmetria verticale quindi l’equazione dell’asse è:
L’equazione della direttrice è:
Per trovare le intersezioni con l’asse x risolvo il sistema:
8
.
Intersezione con l’asse x nei punti
Q
Per trovare l’intersezione con l’asse y risolvo il sistema;
Intersezione con l’asse y nel punto
.
c) Per studiare il segno della parabola risolvo la disequazione:
0
+
2
-
+
Dal grafico si vede che la parabola assume valori positivi per x<0 e x>2.
d) Grafico
9
Esercizio 3:
a. Determinare l’equazione della parabola
in modo che abbia direttrice la retta
e vertice nel punto
b. Trovare le coordinate del fuoco e l’equazione dell’asse.
c. Determinare gli intervalli in cui la parabola ha segno positivo o negativo.
d. Disegnare il grafico.
Svolgimento:
a) Impongo le condizioni date:
Equazione della parabola:
b) Le coordinate del fuoco sono: ascissa
ordinata:
10
La parabola ha asse di simmetria verticale quindi l’equazione dell’asse è:
c) Per studiare il segno della parabola risolvo la disequazione:
La parabola è sempre positiva.
d) Grafico
11
Esercizio 4:
Data la parabola di equazione:
si scrivano le equazioni delle tangenti passanti per il punto
e verificare se sono
perpendicolari tra loro.
Svolgimento:
Scrivo l’equazione di un fascio di rette generico:
Impongo la condizione di passaggio per il punto P:
La retta deve avere punti in comune con la parabola. Per trovarli scrivo il sistema:
La retta tangente ha come punti di intersezione con la parabola due punti coincidenti quindi devo
determinare m in modo da avere il discriminante dell’equazione di secondo grado uguale a zero.
Adesso posso scrivere le equazioni delle due rette tangenti:
Prima retta
Seconda retta
:
:
Le due rette sono perpendicolari perché i due coefficienti angolari sono l’uno l’inverso del
reciproco dell’altro. Infatti i coefficienti angolari sono:
12
13
Esercizio 5:
Data la parabola di equazione:
Trovare il vertice, il fuoco e le equazioni dell’asse e della direttrice.
Determinare i punti di intersezione con gli assi cartesiani.
Dato il fascio proprio di rette di equazione:
Scrivere l’equazione della retta tangente alla parabola.
Disegnare il grafico.
Svolgimento:
Trovo le coordinate del vertice:
Trovo le coordinate del fuoco:
Equazione dell’asse:
Equazione della direttrice:
Per trovare l’intersezione con l’asse x devo risolvere il sistema:
14
La parabola interseca l’asse x in due punti:
Per trovare l’intersezione con l’asse y risolvo il sistema:
La parabola interseca l’asse y in un punto:
Per determinare la retta appartenente al fascio dato tangente alla parabola si imposta il seguente
sistema:
La retta tangente e la parabola hanno in comune due punti coincidenti quindi devo trovare m (il
coefficiente angolare della retta) tale che il discriminante dell’equazione di secondo grado del
sistema sia nullo.
Ci sono due rette appartenenti al fascio dato e tangenti alla parabola:
Punti di tangenza con la retta y=7x+2:
Il primo membro dell’equazione di secondo grado del sistema rappresenta il quadrato di un
binomio.
Punti di tangenza con la retta y=-x+2:
Il primo membro dell’equazione di secondo grado del sistema rappresenta il quadrato di un
binomio.
15
Grafico:
16
Esercizio 6:
Siano dati l’equazione della parabola
e il punto
.
Determinare l’equazione delle rette r ed s tangenti alla parabola e passanti per il punto P.
Determinare le coordinate dei punti di contatto.
Detti A e B i punti di contatto delle tangenti con la parabola, determinare l’equazione della retta t
passante per tali punti.
Svolgimento:
Scrivo l’equazione di un generico fascio proprio di rette:
Individuo il fascio proprio di centro P:
Per individuare le rette del fascio che hanno punti in comune con la parabola imposto il sistema:
Per trovare le rette tangenti devo determinare m in modo che il discriminante di questa equazione
sia nullo: la condizione di tangenza, infatti, impone che ciascuna retta incontri la parabola in due
punti coincidenti.
Calcolo i valori di m:
Scrivo le equazioni delle due rette tangenti:
Per trovare le coordinate dei punti di contatto devo risolvere due sistemi. Punti di contatto con la
retta r:
Come ci aspettavamo troviamo due punti coincidenti
Punti di contatto con la retta r:
17
Risolvo il secondo sistema per calcolare i punti di contatto con la retta s:
I due punti sono
Punti di contatto con la retta s:
Determino ora la retta passante per i due punti A e B.
Scrivo l’equazione del fascio improprio di rette con centro A:
Tra tutte le rette del fascio individuo quella passante per B:
Equazione della retta t:
18
Esercizio 7:
Data la parabola di equazione:
Determinare le eventuali intersezioni con la retta di equazione
Determinare le tangenti alla parabola nei punti di intersezione.
Determinare le coordinate del punto di intersezione delle due tangenti.
Svolgimento:
Per determinare le intersezioni della parabola con la retta risolvo il sistema:
Tangenti alla parabola nel punto
:
Scrivo l’equazione di un generico fascio proprio di rette:
Individuo il fascio proprio di centro A:
Per individuare le rette del fascio che hanno punti in comune con la parabola imposto il sistema:
Per trovare le rette tangenti devo determinare m in modo che il discriminante di questa equazione
sia nullo: la condizione di tangenza, infatti, impone che ciascuna retta incontri la parabola in due
punti coincidenti.
Calcolo i valori di m notando che
quindi
Retta tangente alla parabola nel punto A:
19
.
Tangenti alla parabola nel punto B
:
Individuo il fascio proprio di centro B:
Per individuare le rette del fascio che hanno punti in comune con la parabola imposto il sistema:
Per trovare le rette tangenti devo determinare m in modo che il discriminante di questa equazione
sia nullo: la condizione di tangenza, infatti, impone che ciascuna retta incontri la parabola in due
punti coincidenti.
Calcolo i valori di m notando che
quindi
Retta tangente alla parabola nel punto B:
Per determinare le coordinate del punto di intersezione delle due tangenti risolvo il sistema:
20
Esercizio 8:
Siano dati l’equazione della parabola
e i due punti
e
.
tracciare dal punto A le tangenti r ed s alla parabola ottenendo i punti di contatto P e Q;
tracciare dal punto B le tangenti t ed u alla parabola ottenendo i punti di contatto R ed S;
trovare le coordinate del punto di intersezione tra la retta che passa per P e Q e la retta che
passa per R ed S;
trovare l’equazione della retta per i due punti A e B.
Svolgimento:
Tangenti alla parabola nel punto
:
Scrivo l’equazione di un generico fascio proprio di rette:
Individuo il fascio proprio di centro A:
Per individuare le rette del fascio che hanno punti in comune con la parabola imposto il sistema:
21
Per trovare le rette tangenti devo determinare m in modo che il discriminante di questa equazione
sia nullo: la condizione di tangenza, infatti, impone che ciascuna retta incontri la parabola in due
punti coincidenti.
Calcolo i valori di m:
Ho trovato due valori di m quindi esistono due rette passanti per il punto A e tangenti alla parabola
data. Ora tra le infinite rette appartenenti al fascio proprio individuo quelle tangenti alla parabola.
L’equazione della retta r si ottiene sostituendo il valore:
all’equazione del fascio proprio
di rette con centro il punto A.
L’equazione della retta s si ottiene sostituendo il valore:
rette con centro il punto A.
all’equazione del fascio proprio di
Per trovare i punti di contatto si risolve il sistema costituito dall’equazione della retta e da quella
della parabola.
Determino il punto P (intersezione della parabola con la retta r):
Determino il punto Q (intersezione della parabola con la retta s):
22
Tangenti alla parabola nel punto B
:
Scrivo l’equazione di un generico fascio proprio di rette:
Individuo il fascio proprio di centro A:
Per individuare le rette del fascio che hanno punti in comune con la parabola imposto il sistema:
Per trovare le rette tangenti devo determinare m in modo che il discriminante di questa equazione
sia nullo: la condizione di tangenza, infatti, impone che ciascuna retta incontri la parabola in due
punti coincidenti.
Calcolo i valori di m:
Ho trovato due valori di m quindi esistono due rette passanti per il punto B e tangenti alla parabola
data. Ora tra le infinite rette appartenenti al fascio proprio individuo quelle tangenti alla parabola.
L’equazione della retta t si ottiene sostituendo il valore:
all’equazione del fascio proprio di
rette con centro il punto B.
L’equazione della retta u si ottiene sostituendo il valore:
di rette con centro il punto B.
all’equazione del fascio proprio
Per trovare i punti di contatto si risolve il sistema costituito dall’equazione della retta e da quella
della parabola.
Determino il punto R (intersezione della parabola con la retta t):
23
Determino il punto S (intersezione della parabola con la retta u):
Equazione della retta passante per i punti
:
Scrivo l’equazione di una generica retta:
Imposto il sistema per trovare m e q:
Equazione della retta:
Equazione della retta passante per i punti R
:
Scrivo l’equazione di una generica retta:
Imposto il sistema per trovare m e q:
Equazione della retta:
Intersezione tra queste due rette:
Il punto cercato ha coordinate
.
Equazione della retta passante per i punti
:
Scrivo l’equazione di una generica retta:
Imposto il sistema per trovare m e q:
24
Equazione della retta:
25