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5^B
08/10/2010
Le funzioni e le loro proprietà
1. Osservando il grafico della figura:
a.
trova dominio e codominio della funzione;
D = ] − ∞ ; 0[ ∪ ] 0 ; 8 ]
C = [ − 4; + ∞[
b.
determina l’equazione di y = f ( x ) ;
Il tratto per
x < 0 è una parabola con vertice nel punto (– 2; – 4), asse parallelo all’asse y e passante per l’origine degli assi
y = a x 2 + b x . Imposto perciò il sistema:
cartesiani, ovvero di generica equazione:
 b
= −2
−
 2a
 − 4 = 4 a − 2b

 b = 4a

 4a − 8a = −4
a =1

b = 4
y = x + 4x.
Perciò la parabola ha equazione:
La retta passante per i punti (2; 0) e (4; 6) è parallela alla bisettrice di primo e terzo quadrante, perciò ha equazione:
y = x + 2 , nell’intervallo 0 < x < 4 .
2
L’ultima parte del grafico, per
4 ≤ x ≤ 8 , è una retta parallela all’asse x di equazione y = 2 .
 x2 + 4 x x < 0

y = x + 2
0<x<4
2
4≤ x≤8

Perciò l’equazione è:
c.
calcola f ( − 3 ) , f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( 5 ) ;
f ( − 3) = − 3
d.
f ( 0 ) non definita
f (1) = 3
f (5) = 2
calcola − 4 = f ( ... ) , 12 = f ( ... ) ;
− 4 = f ( − 2 ) corrisponde al vertice della parabola
12 = f ( ... ) sostituisco nell’equazione della parabola:
x 2 + 4 x = 12
x1, 2 =
−2 ±
⇒
4 + 12
x 2 + 4 x − 12 = 0
=
−6
2
La soluzione accettabile, visto che la parabola è nell’intervallo x < 0 , è – 6, perciò: 12 = f ( − 6 ) .
e.
1
indica se si tratta di una funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva.
Non è una funzione iniettiva, perché, ad esempio, ci sono infiniti valori di x per cui
Non è una funzione suriettiva, tranne che nel suo codominio.
Per questo motivo, non è una funzione biiettiva.
f (x) = 2.
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2. Classifica la funzione y =
log 2 x − 2
x2 − 2 x
Le funzioni e le loro proprietà
, determinane il dominio, gli intervalli di positività e le intersezioni con gli assi
cartesiani. Rappresenta i risultati ottenuti in un piano cartesiano.
a.
Classificazione della funzione:
b.
Dominio:
c.
Intervalli di positività:
Funzione trascendente
x > 0
 2
 x − 2x > 0
D = ]2; + ∞[
log 2 x − 2
x2 − 2 x
x > 0

x < 0 ∨ x > 2
≥0
N ≥ 0 : log 2 x − 2 ≥ 0
D > 0 ∀ x∈ D
f ( x ) ≥ 0:
Perciò:
d.
Intersezioni con gli assi cartesiani:
x>2
x≥4
[ 4; + ∞[
La funzione non può avere intersezioni con l’asse y. Determino le intersezioni con l’asse x
y=0

 y = log 2 x − 2

x2 − 2 x

x = 4

y=0
A ( 4; 0 )
y
A
2
x
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Le funzioni e le loro proprietà
3. Data la funzione y = f ( x ) rappresentata nel grafico della figura sotto, disegna i grafici delle funzioni y = | f ( x ) | ,
y = f ( | x | ) , y = − f ( x ) − 1 , y = f ( − x ) in quattro grafici diversi.
y = | f ( x )|
y = f (| x|)
y = − f (x) − 1
y = f (− x)
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Le funzioni e le loro proprietà
4. Fra le seguenti funzioni indica quali sono pari, quali dispari e quali né pari né dispari, motivando la risposta:
y = x3 − 5 x
y = x 2 + ln x
x3 + sen x
y=
x
y = ex
2
+5
− | x|
f ( − x ) = ( − x )3 − 5 ( − x ) = − x 3 + 5 x = − f ( x )
dispari
È una funzione che ha dominio x > 0, perciò non è
né pari né dispari
( − x )3 + sen ( − x ) − x3 − sen x − ( x3 + sen x )
f (− x) =
=
=
= f (x)
−x
−x
−x
pari
f ( − x ) = e( − x )
pari
2
+5
− | − x | = ex
2
+ 5|
− | x| = f ( x )
5. Date le funzioni f ( x ) = cos x e g ( x ) = x 2 − 5 determina f o g e g o f .
D f = ] − ∞ ; + ∞ [ e C f = [ − 1; 1 ]
Dg = ] − ∞ ; + ∞ [ e C g = ] − ∞ ; + ∞ [
Cg ⊆ D f
⇒
C f ⊆ Dg
⇒
f o g ( x ) = f ( x2 − 5 ) =
g o f ( x ) = g ( cos x ) =
2x − 4
5 − x
6. Dopo averla rappresentata, indica in quali intervalli la funzione y = 
La funzione è crescente per
] − ∞ ; 3[
cos ( x 2 − 5 )
cos 2 x − 5
per x ≤ 3
per x > 3
è crescente.