Diapositiva 1

LA PARABOLA
2
y

ax

bx

c
1
ARGOMENTI TRATTATI
1.
L’equazione della parabola
2.
Questioni basilari
3.
Questioni relative alle rette tangenti
4.
Curve deducibili dalla parabola
5.
Discussione di sistemi di 2° grado con parametro
6.
Il Segmento parabolico
7. Proprietà ottica della parabola
2
L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA
Definizione Si dice parabola P il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto F, detto
fuoco, e da una retta d, detta direttrice.
Il punto medio del segmento, FK in figura, la cui misura è la distanza fuoco-direttrice, è il vertice V della
parabola.
Dalla definizione data, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione
della parabola con il vertce nell’origine.
Sia F (0 ; f ), con f R0 , il fuoco, d: y = -f la direttrice e P(x;y) un generico punto P della P.
Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:
PF  PH ,
PF  x 2  y  f 2

con 
PH  y  f
2
2
quindi, elevando al quadrato : PF  PH ,
x 2  y 2  2fy  f 2  y 2  2fy  f 2 ;
1 2
1
4fy  x 2 ; y 
x ; ponendo a 
,
4f
4f
con f  0 , si ottiene l' equazione
della parabola con vertice nell' origine :
cioè
y  ax 2
3
2
E
lementi
caratteris
tici
della
parabola
diequazione
yax
:

 1
coordinate
del
fuoco
:F
0; ;

 4a



0;0

coordinate
delvertice
:V

1

equazione
della
direttrice
: y- ;

4a

equazione
dell'
asse
disimmetria
: x
0;

Osservazioni sul coefficiente a
Dall’equazione y = ax2 si deduce che:
1. a > 0  y  0 , il grafico della P si trova nel semipiano positivo delle y, concavità verso l’alto;
a < 0  y  0 , il grafico della P si trova nel semipiano negativo delle y, concavità verso il basso;
Per a = 0 la parabola degenera nella retta y = 0 (asse delle ascisse).
4
2. All’aumentare del valore assoluto di a, diminuisce l’apertura della parabola e viceversa.
5
Equazione generale della parabola
con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate
Mediante una traslazione del sistema di riferimento della parabola di equazione y = ax2 , si ottiene
l’equazione generale della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate:
y = ax2 + bx + c .
one
Dimostrazi
xv  xn 
di ottenere
, checonsente
one
o la traslazi
effettuiam
yv  yn 
: yv  ax2v  yn  ax2n  bxn  c.
azione
la trasform
o nell'equazioneyv  ax2v si ottiene
Sostituend
yn   axn 2 , yn   ax2n  a2  2axn ,
b





b  2a

2a
quindi
e
ponendo

2
c  a 
    (*)

4a

(*)   c a2 , con   

4ac- b2
b

, quindi 
4a
4a
2a


l'equazione yn  ax2n  bxn  c .
si ottiene




Osserva
che
e
sono
le
coordina
del
nel
nuovo
vertice
riferim
o
:
V
α
;
β

O
α
;
β
.
vn
6
Elementi caratteristici della parabola di equazione y  ax2  bx  c :


 b
coordinatedel vertice: V  2a ;  4a 




 b 1  
coordinatedel fuoco: F  ;
;


2a 4a 


1 

equazione
della
direttrice
:
y


;

4a

equazionedell'asse di simmetria: x   b ;

2a

Dimostrazione
Dalla figura e dalle relazioni
x v  x n  

y v  y n  
e
b




2a
, si ottienequanto segue:


  

4a

b


Coordinate
del
Vertice
: Vert


x

; y




Vert
2
a
4a
b
1
1



Coordinate
del
Fuoco
: F

x
x



; y

y



y

y



Vert
Fv
Fn
Fn
Fv
2
a
4
a4a
4
a
1
1
1
1 1



Equazione
della
retta
direttrice
:y


y



;y


;y



v
n
n
n
4
a
4
a
4
a
4a
4
a 4
a
b

Equazione
dell'
asse
di
simmetria
: 

x

 (
osserva
che
passa
per
e
e
fuoco).
vertic
2
a
7
Equazione generale della parabola
con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse
Ogni parabola con asse parallelo all’asse x si può
ottenere mediante una trasformazione simmetrica T,
rispetto alla retta y = x, di una parabola con asse di
simmetria parallelo all’asse y.
La
trasform
azione
T
si
ottiene
applicando
x

y

v
n
le
equazioni
(si
scambia
con
xy)
:

y

x
v
n

2
y

ax

bx

c
v
v
v
2


T
x
ay

by
c
n
n
n
Elementicaratteris
tici della parabola
di equazione x  ay2  by  c :

b 
 
coordinatedel vertice: V  4a ;  2a 




b
1 
coordinatedel fuoco: F
; 


2a 
 4a

1 

equazionedella direttrice: x   4a

equazionedell'asse di simmetria: y   b

2a

8
PARABOLE PARTICOLARI
Data l’equazione y = ax2 + bx + c :
• se b = 0 l’equazione diventa y = ax2 + c e il grafico della parabola è simmetrico rispetto all’asse
delle ordinate, infatti ax2 + c = a(-x)2 + c ;
• se c = 0 l’equazione diventa y = ax2 + bx e il grafico della parabola passa per l’origine del
riferimento, infatti il punto O(0;0) soddisfa sempre l’equazione y = ax 2 + bx .
Data l’equazione x = ay2 + by + c :
• se b = 0 l’equazione diventa x = ay2 + c e il grafico della parabola è simmetrico rispetto all’asse
delle ascisse, infatti ay2 + c = a(-y)2 + c ;
• se c = 0 l’equazione diventa x = ay2 + by e il grafico della parabola passa per l’origine del
riferimento, infatti il punto O(0;0) soddisfa sempre l’equazione x = ay2 + by .
9
QUESTIONI BASILARI
1.
Date le seguenti equazioni di parabole, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato gli
elementi caratteristici (vertice, fuoco, asse di simmetria, direttrice) e le intersezioni con gli assi
cartesiani.
1a. y  x 2 - 4x  7 ; a  1 ; b  4 ; c  7
La parabola ha l' asse di simmetria parallelo all' asse delle y ,
con concavità verso l' alto , perchè a  1  0 ;

 b
 vertice V 
;   ; V2 ; 3 ;
4a 
 2a
 b 1     13 
 fuoco F 
;
 ; F 2 ;  ;
 2a 4a   4 
b
 asse di simmetria x   ; x  2
2a
1 
11
 direttrice y  
; y
4a
4
x  0
 Intersezione con l' asse y : 
 A(0;7)
 y  x 2 - 4x  7
 y  0
 Intersezione con l' asse x : 
 y  x 2 - 4x  7

 -3  0 ,
4
quindi non esiste intersezione con l' asse x.
x 2 - 4x  7  0 ,
10
2
1b.

3
x
y
4y
4
; a

3
;b


4
;c


4
La
parabola
ha
l'
asse
di
simmetria
parallelo
all'
asse
delle
,x
con
concavità
verso
destra,
perchè
a

3

0;
2
1

 b  21
2
  b 16



e
vertic
V
 ; 
;V
; 
fuoco
F
;F
; 


 ; 

2
a
a
 4a
  33

4a2
  43

b
2
1


65
asse
di
simmetria
y

 ;y

direttrice


x ; 

x
2
a
3
4a
12
y

0
x

0




Intersezio
ne
con
l'
asse
:x

A(4;0) Intersezio
ne
con
l'
asse
y
:

2
2


x

3
y
4y
4
x

3
y
4y
4




2

4
2
3
y
4y
4

0
, 
16
;y
 ;
1,2
4
3
2
 2



y

- ;y

2
B
0;0;2

; C
1
2
3
 3

11
2. PROBLEMA RICORRENTE:
determinare l’equazione di una parabola.
Facendo riferimento all’equazione y = ax2 + bx + c , determinare l’equazione di una parabola significa
determinare i tre coefficienti a, b, c. Pertanto il problema deve fornire tre condizioni tra loro indipendenti,
da cui ricavare tre equazioni indipendenti.
Alcune di tali condizioni sono le seguenti:
• le coordinate del vertice V(xV;yV), forniscono due fra le seguenti tre condizioni: condizione di
passaggio, xV = -b/2a , yV = -/4a ;
• le coordinate del fuoco F(xF;yF), forniscono due condizioni: xF = -b/2a, yF = (1-)/4a ;
• conosco l’equazione della direttrice: ydir = -(1+)/4a ;
• conosco l’equazione dell’asse di simmetria: xasse = -b/2a ;
• condizione di passaggio per un dato punto P(xp ; yp);
• tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q
Se si conoscono le coordinate del Fuoco e l’equazione della direttrice, basta applicare la definizione di
parabola come luogo geometrico (pag. 3) .
Si fanno considerazioni analoghe per la parabola di equazione x = ay2+ by + c.
12
2a. Determina l’equazione della parabola avente il fuoco e la direttrice indicati.
3
 5
F 0;  ;
d: y 
4
 4
Dai dati si deduce che la parabola ha l' asse di simmetria
parallelo all'asse y, cioè con equazione del tipo y  ax 2  bx  c .
Per la definizione di parabola, come luogo geometrico,
si ha : PF  PH (vedi pag.3) , cioè
2
3
 5
x y-   y 
4
 4
2
2
 y  x2 1
Per il grafico devo trovare:
 Concavità: verso l' alto , perchè a  1  0;
 Vertice: V0;1
 asse di simmetria x  0 ;
y  0
 Intersezione asse ascisse 
 x 2  1  0 , nessuna sol.;
2
y  x  1
x  0
 Intersezione asse ordinate 
 V(0;1)
2
y

x

1

 Osservazione : manca il termine di primi grado (b  0) ,
quindi il grafico della parabola è simmetrico rispetto all'asse y.
13
2b. Determina l’equazione della parabola avente il fuoco e la direttrice indicati.
F  2;1  ;
d:x 3
Dai dati si deduce che la parabola ha l' asse di simmetria
parallelo all' asse x, cioè con equazione del tipo x  ay 2  by  c .
Per la definizion e di parabola , come luogo geometrico ,
si ha : PF  PH
 x - 2  2   y - 1 2
(vedi pag. 3) , cioè
 x3
2

x
1 2
y y2
2
Per il grafico devo trovare :
 Concavità : verso sinistra , perchè a  
1
 0;
2
5 
V  ;1  ;
2 
 asse di simmetria y  1 ;
 Vertice :

Intersezio ne asse ascisse
y  0



1 2
 x   2 y  y  2
A(2;0) ;
 Intersezio ne asse ordinate
x  0



1 2
 x   2 y  y  2
B(0;1 - 5 ) ; C(0;1  5 ) .
14
2c. Determina l’ equazione della parabola avente il fuoco F(2 ; 3/2) e il vertice V(2;2).
Dai
dati
si
deduce
che
la
parabola
ha
l'
asse
di
simmetria
parallelo
all'
asse
y,
quindi
ha
l'
equazione
del
tipo
2
y

ax

bx

c
; per
poter
determinar
ei tre
coefficien
ti
,a,
b,
c,
occorrono
tre
condizioni
:


2

4a

2b

c condizione
di
passaggio
della
parabola
per
V(2;2)


2

4a

2b

c
b

-4a



b
- 
2
ascisse
di
Fuoco
eVertice
; 
b

-4a
;
2

4a

8a

c ;

2a
 2

2
1

b
4
ac

6
a
1

16
a

4
ac

6
a


1
- 3


ordinata
del
Fuoco

4a 2
 1
a


b

-4a
2


12
c
4a

2
; 
b

2 ; l'
equazione
della
parabola
è
:y

-x

2
x.

2


2
c
0
1

16
a
4
ac

6
a 


Per
il
grafico
devo
trovare
:
Concavità
:
verso
il
basso,
perchè
a


1/2

0;
y

0


Intersezio
ne
asse
ascisse

O(0;0)
;A(4
;0)
;
 12
y

- x
2
x

 2
Intersezio
ne
asse
ordinate
, 
x
0
, O(0;0)
.
15
2d. Determina l’ equazione della parabola avente il vertice V(0;1) e direttrice d: x = -1/4 .
Dai
dati
si
deduce
che
la
parabola
ha
l'
asse
di
simmetria
parallelo
all'
asse
x,
quindi
ha
l'
equazione
del
tipo
2

ay
x

by

c
; per
poter
determinar
ei tre
coefficien
ti
,a,
b,
c,
occorrono
tre
condizioni
:


0

a

b

c condizione
di
passaggio
della
parabola
per
V(0;1)


a

b

c

0
a

2
a

c

0



b
- 
1
ordinata
del
Vertice
; 
b

-2a
;
b

-2a
;

2a


2
2

1

b

4
ac


a

1

4
a

4
ac


a

1
- 1



equazione
della
direttrice

4a 4

c

a

b

-2a
;


2
2

1

4
a
4
a

a

a

1


2
b


2 ; l'
equazione
della
parabola
è
:x

y

2
y

1
.


c

1

Per
il
grafico
devo
trovare
:
Concavità
:
verso
destra
, perchè
a

1

0
;
x

0

Intersezio
ne
asse
ordinate

V(0
;
1)
;
 2
x

y
2
y

1

Intersezio
ne
asse
ascisse
,y

0
, A(1;0)
.
16
QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI
Analizziamo questi due problemi:
1.
2.
determinare le equazioni delle rette tangenti alla parabola, condotte da un punto di note coordinate;
determinare l’equazione della parabola tangente ad una retta di nota equazione.
1.
Rette tangenti alla parabola, condotte da un punto P
Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle “coniche”, con il metodo del
discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento.
Di solito conviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene alla
parabola.
Esempi
a. Determina le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equaz. y = x2 - 2 e passanti per P(1; -5) .
Metodo
del
discrimina
nte
nullo
2

m


2

y

x

2
1
2
2

...

x
mx

m

3

0
; 

m

4
m

12

0
;

m

6
y

5

m
(
x

1
)
2


Rette
tangenti
in
P
:y


2
x

3ey

6
x

11
.
17
a.
Determina l’equazione della retta tangente alla parabola di equaz. y = -x2 +3x , nel suo punto A di
ascissa positiva e di ordinata -4.
Metodo
delle
"
formule
di
sdoppiamen
to"
x


1

1
2


Determino
l'
ascissa
di
A
:4

-x

3
x
;
;
quindi
A
4
;4
x

4
2

y
4
x

4
applico
le
formule
di
sdoppiamen
to
:

4x

3 ;r
etta
polare
e tangente

:y

-5x

16
.
2
2
18
2. Parabola tangente ad una retta di nota equazione
Esempio
Determina l'equazionedellaparabolacon asse di simmetria
paralleloall'asse y , passanteper A(2;0)e tangentein B(1;3)
alla retta t : 2x  y - 5  0 .


passaggioper A
0  4a  2b  c

passaggioper B
3  a  b  c

2
y  ax  bx  c    0 condizionedi tangenza

2x  y - 5  0
b  3a  3

c  2a  6
 2
2
2
ax - 3a 1x  2a 1  0    a  2a 1  0 ; a 1  0
a  1

b  0
c  4


equazioneparabola: y  -x2  4 .
Per
il
grafico
devo
trovare
:
Concavità
:
il
verso
basso
, perchè
a


1

0
;
y

0

Intersezio
ne
asse
ascisse

A(2
;
0)
;C(-2;0)

2
y


x

4

Intersezio
ne
asse
ordinate
, 
x
0
, V(0;4)
.
19
CURVE DEDUCIBILI DALLA PARABOLA
1. Rappresent
a graficamen
telafunzione
y1 x1:
y2 2y1x1
xy2 2y


y1 x1 ; y-1 x1  x10
; x1
y-10
y1


Per
ilgrafico
della
parabola
x
y2 2y:
 Asse
disimmetria
parallelo
all'
asse
x
;
 Concavità
:
verso
destra
, perchè
a10;
 Vertice
: V(-1;1)
; asse
disimmetria
y1;
x0
 Intersezio
neasse
ordinate
O(0;0)
; A(0;2)
;

2
x

y

2
y

 Intersezio
neasse
ascisse
, y0: x
0, O(0;0)
.
2
2
.Rappresent
a
graficamen
te
la
funzione
y

x
3x
x
1

1
:
2

y

x
4x

2per

1

y

x
3x
x
1

1

 2

y

x
2xper

1

2
20
x
x
DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO
CASO PARABOLA – RETTA
Si
possono
presentare
i
seguenti
casi
:
equazione
di
una
parabola
equazione
di
un
fascio
di
parabo




(1)
equazione
di
un
fascio
di
rette
oppure
(2)
equazione
di
una
retta




eventuali
limitazion
i
per
e/o
y
x
eventuali
limitazion
i
per
e/o
y
x


Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di parabole.
Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali
limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano la parabola nel caso (1), o la retta
interseca le parabole nel caso (2).
In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1).
Esempi
2

y

x

2
x

1.
Discuti
il
seguente
sistema
: 
y

2
x

k
sistema
del
tipo
(1)

0

x

3

E'
molto
comodo
effettuare
la
discussion
e
dal
grafico
(metodo
grafico)
:
21
2
Per
ilgrafico
della
parabola
y
x
-2x
:
 Asse
di
simmetria
parallelo
all'
asse
y
: 
x
1
;
 Concavità
:
verso
l'
alto
, perchè
a
1

0
;
 Vertice
: V(1;-1)
;
y
0

 Intersezio
ne
asse
ascisse

O(0;0)
;A(2;0)
;

2
y

x
2x

 Intersezio
ne
asse
ordinate
, x

0
: y
0
, O(0;0)
.
Le limitazioni 0  x  3 individuano l’arco di par. utile
per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni
rette – parabola.
Dal grafico si evince che si devono individuare i valori
di k per una retta tangente e per le rette passanti per
O(0;0) e per B(3;3).
• Retta per O: kO = 0 ;
• Retta per B: kB= -3 ;
• Retta tangente: kT = - 4 , infatti:
2


y

x

2
x2


4
x

k

x
0
;
4

k

0
;
k

4
;

4
y

2
x

k

Conclusion
i Dal
grafico
si
deduce
che
:




per
k

4
;
3
il
sistema
ammette
due
soluzioni
;
per
k


3
;0
il
sistem
amme
una
solu
.
In
particolar
e
per
k


4
le
due
soluzioni
sono
coincident
i
,
per
k

3
si
ha
una
soluzi
ordin
e
una
soluzione
limite
,

3
x
e
y

3
.Per
k

0
,
una
sol.
limite
,

0
e
x
y

0.
22
2
y

x

x

kx

2
k

2

0 

2.
Discuti
il
seguente
sistema
: 

y


kx

2
k

2

x


1


x


1

2
x


2
per
nessun
k

y


kx

2
k

2
fascio
proprio
,
con
rette
generatric
i
,centro
F(-2
.

y

2
per
k

0

Le limitazioni x  -1 individuano l’arco di par. utile
per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni
rette – parabola.
Dal grafico si evince che si devono individuare i valori
di k per una retta tang. e per la retta passante per A(-1;1).
• Retta per A: kA = 1 ;
• Retta tangente: kT = 4 – 81/2 , infatti:
2
2
x

kx

2
k

2

0



k

8
k

8

0
;
k

4

2
2
1,2
Conclusion
i
Dal
grafico
si
deduce
che
:
per
k

1il
sistema
ammette
una
soluzione
;
per
1

k

4
-22il
sistema
ammette
due
soluzioni
.
In
particolar
eper
k

4
-22le
due
soluzioni
sono
coincident
i,
per
k

1
si
ha
una
soluzione
ordinaria
euna
soluzione
limite
,x

1
ey

1
.
23
IL SEGMENTO PARABOLICO
La regione finita S di piano delimitata dall’arco di parabola AVB e dal segmento AB, prende il
nome di segmento parabolico.
Teorema di Archimede: L’area del segmento parabolico S equivale ai 2/3 dell’area del rettangolo
AHKB ( HK è il segmento parallelo ad AB, che si trova sulla retta t, tangente alla parabola) .
24
Esempio: determina l’area del segmento parabolico S delimitato dalla parabola y = x2 - 2x e dalla retta
y = - 2x + 4 .
2
AS  AAHKB
3
y  x2 2x
Trovole coordinate
di A e B: 
 A(-2;8)
e B(2;0)
,
y  2x  4
quindiAB HK 4 5.
y  x2 2x
Trovola retta"t ": 
 x2 q  0 ,
y  2x q
quindiq  0; t: y  -2x.
Trovola distanza
fra ABe HK, osservando
chela retta"t "
4
passaper O(0;0)
: AH
.
5
2
2
2
4 32
AS  AAHKB AB AH  4 5 

.
3
3
3
5 3
25
PROPRIETA’ OTTICA DELLA PARABOLA
Un raggio di luce proveniente dal fuoco si riflette sulla parabola in direzione parallela all’asse di
simmetria e, viceversa, un raggio proveniente da una direzione parallela all’asse di simmetria viene
riflesso nel fuoco.
Questa proprietà, che si può facilmente dimostrare per via analitica, trova importanti applicazioni
tecniche, per esempio nella costruzione dei proiettori (luce dal fuoco) e degli specchi ustori (luce
verso il fuoco).
26