v

jkekuqtu dh fojklr%
jkekuqtu ds ,d vU; xw<+ lw= dk lek/kku
v
Urr% vuqla/kkudÙkkZvksa us
Jhfuokl jkekuqtu dh
xw<+ xf.krh; igsyh dks gy
djus es lQyrk izkIr dj gh
yhA lu~ 1920 esa jkekuqtu us
th-,p- gkMhZ dks fy[ks ,d i=
esa vusd u, xf.krh; Qyuksa dh
:ijs[kk Hksth Fkh ftuds fo"k; esa
igys dHkh lquk Hkh ugha x;k Fkk]
lkFk gh ;g le>kus ds fy, ,d
fl)kar Hkh izLrqr fd;k Fkk fd
Jhfuokl
;s Qyu dSls dk;Z djrs gSaA bu
xf.krh; Qyuksa us 90 o"kZ ls vf/kd rd xf.krKksa
dks pDdj esa Mkys j[kkA ijUrq 5-7 uoEcj 2012
ds nkSjku ¶yksfjMk ;wfuoflZVh esa gq, ,d lEesyu
esa izLrqr fd, x, u, ¼xf.krh;½ [kkstksa esa n'kkZ;k
x;k fd jkekuqtu lgh FksA
beksjh fo'ofo|ky;] la;qDr jkT; vesfjdk ds
,d lEesyu ds nkSjku Iysujh oDrkvksa esa ls ,d] dsu
vksuks us Jksrkvksa dks crk;k fd jkekuqtu ds vafre
jgL;iw.kZ i= ls mUgksaus vUrr% xf.krh; leL;kvksa
dk gy <w<+ fy;kA izksQslj vksuks us izksQslj gkMhZ
dks jkekuqtu }kjk fy[ks vafre i= dk gokyk
fn;k ftlus 90 lkyksa rd xf.krKksa ds lkeus
pqukSrh [kM+h dj nh FkhA tc jkekuqtu dk fu/ku
gqvk Fkk ml le; mudh xf.kr; fojklr fdlh
vU; dh rqyuk esa vR;f/kd egRoiw.kZ gks xbZA
izksQslj vksuks us vius O;k[;ku esa dgk ^geus ;g
lkfcr dj fn;k fd jkekuqtu lgh Fks vkSj vc
jkekuqtu ekWd ekWM~;wyj :iksa dh ladYiuk ds
lkFk igyh ckj 1920 ds n'kd esa lkeus vk, rks
ml le; rd Ñ".k foojksa ds ckjs esa dksbZ ppkZ
ugha Fkh] fQj Hkh muds dk;Z ds vk/kkj ij ';ke
foojksa dk jgL; [kqy ldrk gSA*
ekWd FkhVk Qyu
jkekuqtu us Qyuksa ds 17 mnkgj.kksa dh ,d
lwph izLrqr dhA bu Qyuksa dks mUgksaus ekWd
FkhVk Qyu dgkA viuh uksV cqd esa mUgksaus bl
Qyu ds vkSj Hkh dbZ mnkgj.k fn,A ftUgsa vkt
ekWM~;wyj :Ik dgk tk,xk jkekuqtu us muds
fy, ^^FkhVk Qyu** 'kCn dk mi;ksx fd;k FkkA
jkekuqtu us vuqeku yxk;k Fkk fd muds ekWd
ekWM~;wyj :Ik igys dkyZ ;kdksch }kjk igpkus
x, lkekU; ekWM~;wyj :iksa ds lkFk laxrrk j[krs
gSa vkSj ;s nksuksa gh 1 ds ewyksa ds feyrs-tqyrs
fuxZe iznku djsaxsA ml le; fdlh dks le>
ugha vk;k fd jkekuqtu D;k dg
jgs FksA
jkekuqtu ds ^ljy* iSVuZ
vU; la[;kvksa dks ijLij tksM+ dj
fdrus rjhdksa ls dksbZ la[;k izkIr
dh tk ldrh gS] ns[kus esa ;g
vklku loky yxrk gSA ysfdu]
blds gy ls ^foHkktu la[;kvksa*
tks vuqØeksa ds fy, jkekuqtu
}kjk iz;qDr xw<+ okD;ka'k gS] dks
csgrj <ax ls le>us esa enn
jkekuqtu
feysxhA
fdlh la[;k dk foHkktu iw.kkZadksa dk og
la;kstu gS ftudks tksMus ls og la[;k izkIr gksrh
gSA mnkgj.k ds fy,] 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1
= 1+1+1+1, vr% 4 dh foHkktu la[;k 5 gS(
vFkkZr] p(4) = 5A ;g cgqr ljy ekywe iM+rk
gSA nl dh foHkktu la[;k 42 gS tcfd 100 ds
19 djksM ls vf/kd foHkktu gksrs gSaA blfy,
foHkktu la[;kvksa ds ifjdyu ds fy, ,d Qyu
dh vko';drk FkhA
jkekuqtu igys xf.krK Fks ftUgksus xaHkhjrk
ls bl Qyu ds xq.kksa dh tkap iMrky dhA
mUgksaus p(n)] tks uhps nh xbZ lkj.kh }kjk bafxr
vlk/kkj.k o`f) nj O;Dr djrk gS] ds fy, ,d
lw= Kkr djus dk iz;kl fd;k%
n
p(n)
0
1
1
1
2
2
3
3
4
5
5
7
.
.
50
204226
.
.
200 3972999029388
.
.
1000 24061467864032622473692149727991
;fn ge p(n) dks 5 dkWyeksa ds :Ik esa
O;ofLFkr djsa rks ges fuEufyf[kr lkj.kh izkIr
gksrh gS%
fjUVw ukFk
bZ&esy: [email protected]
1
7
42
176 627 1958 1
11
56
231 792 2436 2
15
77
297 1002 3010 3
22 101 385 1255 3718 5
30
135
490
1575
4565
mDr lkj.kh ls tks ckr mHkj dj lkeus vkrh
gS og gS fd vafre dkWye esa izR;sd izfof"V 5 dk
xq.kkad gSA
lu~ 1918 esa fodflr jkekuqtu ds lfUudV
lw= us mUgsa ;g igpkuus esa enn dh fd ftu
la[;kvksa dk vfUre vad 4 ;k 9 gksrk gS mudh
foHkktu la[;k 5 ls foHkkT; gksrh gSA mUgksaus
fl) fd;k fd izR;sd ml la[;k n ds fy,]
tks _.kkRed ugha gS p(5n + 4) ≡ 0 (ekWM 5)
gksrk gSA
jkekuqtu us 7 vkSj 11 ls foHkkT; foHkktu
la[;kvksa ds fy, Hkh blh izdkj ds fu;e izkIr
fd,A fcuk dksbZ izek.k fn, mUgksua s fy[kk fd bu
la[;kvksa ds ^^ljy xq.k** gksrs gSa tks fdlh Hkh vU:
la[;k esa ugha ik, tkrsA ckn es]a vU; foHkktu
la[;kvksa dh foHkkt;rk ds fy, Hkh buls feyrstqyrs fu;e izkIr fd, x,A blfy, fdlh dks Hkh
;g Kkr ugha Fkk fd jkekuqtu ds 'kCnksa ds D;k
vU; xgu vFkZ FksA
p(n) laca/kh jkekuqtu ds dk;Z us ekWM~;wyj
:iksa ds vuqla/kku dks izsfjr fd;kA foHkktu-fl)kar
us] ,sfrgkfld n`f"V ls] ekWM~;wyj :Ikksa ds fl)kUr
es gq, dqN lokZf/kd xgu fodklksa ds fy, ^^ijh{k.k
LFky** dk dk;Z fd;kA
gkMhZ dks fy[kk x;k
jkekuqtu dk vafre i=
12 tuojh 1920 dks] viuh e`R;q ls Bhd rhu
eghus igys] jkekuqtu us gkMhZ dks viuk vafre i=
fy[kkA ml i= dk ,d va'k uhps mn~/k`r gS%
^^eq>s cgqr nq%[k gS fd eSa vHkh rd vkidks
,d Hkh i= ugha fy[k ik;k--- gky gh esa eSua s dqN
cgqr gh jkspd Qyuksa dh [kkst dh gS ftUgsa eSa
^^ekWd** ϑ-Qyu dgrk gwAa ¼vius jkspd 'kks/k i=
esa vkaf'kd :Ik ls ftudk izkQ
s l
s j jkWtlZ }kjk
v/;;u fd;k x;k gS½ mu ^^QkYl**ϑ-Qyuksa ds
Mªhe 2047] Qjojh 2013] [kaM 15 vad 5
xf.kr fparu
i`Foh xzg dk xf.kr & 2013
xf.kr gekjs thou dk vfHkUu vax gSA vius nSufa nu thou esa xf.kr ls vusd :Ikksa esa gekjk lkeuk gksrk
gSA lekt ds lokZx
a h.k fodkl esa Hkh bldh ize[q k Hkwfedk gksrh gSA blfy, xf.kr dk cks/k vkSj leknj
,d vfuok;Z thou dkS'ky gSA O;kogkfjd thou dh vusd leL;kvksa dks rks gy djus esa xf.kr gekjh
enn djrk gh gS] rkfdZd fparu izfØ;k dks fodflr djds ;g gesa le`) Hkh cukrk gSA
ekiu] x.ku rFkk ys[kk-tks[kk j[kus dh rduhdksa dk mckÅ vkSj tfVy ladyu ek= gh ugha gS
xf.krA ;g ijh{kk esa iz'u gy djus ds fy, tfVy fu;eksa dks ;kn j[kuk Hkh ugha gSA ;g O;kogkfjd
thou ls tqMh vusd leL;kvksa ds lac/a k esa iz'u djus] vuql/a kku djus vkSj gy fudkyus dh rkfdZd
{kerk dk fodkl gSA xf.kr bu vfHko`fÙk;ksa dks fodflr vkSj ifj"d`r djus esa gesa lgk;rk djus
okyk laHkor% ,dek= lk/ku gSA
bl vfHkizjs .kk ds lkFk% vUrjkZ"Vªh; xf.kr leqnk; us i`Foh xzg ds xf.kr ¼MPE½-2013 dk fopkj
lkeus j[kkA fo'o Hkj ds lkS ls vf/kd oSKkfud laLFkkvks]a fo'ofo|ky;ks]a vuql/a kku laLFkkuksa vkSj
laxBuksa us fey dj o"kZ 2013 dks i`Foh xzg ds xf.kr o"kZ ds :Ik esa eukus dk fu'p; fd;k gSA bl
o"kZ ds nkSjku izdf` r dh xf.krh; :Ikjs[kk dks le>us rFkk ;g ns[kus ds iz;kl fd, tk,sx
a s fd vU;
fo"k;ksa dh lgk;rk ls xf.kr i`Foh xzg dh pqukSrhiw.kZ leL;kvks]a tSls fd lhfer oSf'od lalk/kuksa ds
fy, izfrLi)kZ djrh c<+rh tula[;k ls mRiUu leL;k] tyok;q esa ukVdh; ifjorZu] i;kZoj.kh;
eqnn~ ksa vkfn dk lkeuk djus esa dSls gy iznku dj ldrk gSA
MPE - 2013 ds nkSjku mRiUu fopkjksa vkSj igydnfe;ksa ls lekt ij bl izdkj dk vfèkizHkko
Mkyus dh laHkkouk gS fd vUos"kdksa dh ubZ ih<+h dks i`Foh xzg dh /kkj.kh;rk ls lacfa /kr oSKkfud
leL;kvksa ds gy ls tqMs+ xf.kr dh ryk'k djus dh izjs .kk feysxhA ;s iz;kl i`Foh xzg ds mn~Hko vkSj
fodkl ds lanHkZ esa varfoZ"k;d vfHkxe ds lkFk xf.kr esa vUos"k.k ds volj iznku dj ldrs gSAa
foijhr ;s xf.kr esa mruh gh [kwclwjrh ls izdV
gksrs gSa ftrus fd lkekU; ϑ-QyuA bl i= ds
lkFk eSa vkidks dqN mnkgj.k Hkst jgk gw-a ------**
bl i= esa 17 mnkgj.k FksA bl i= dk tks
Hkkx fou"V gksus cpk gS] vkSj tks yxHkx pkj Vkbi
fd, gq, i`"Bksa ds :Ik esa gS] blesa bu 17 fofp=
QkWey
Z ?kkr Jsf.k;ksa ds Li"V lw= fo|eku gSAa
jkekuqtu us bu mnkgj.kksa dks muds ^dksfV*
Øekuqlkj oxksZa esa Hkh foHkkftr fd;k gS] gkykafd
mUgksaus ^dksfV* 'kCn dks Li"V ugha fd;k gSA
bu fodV pqukSfr;ksa ds ckotwn vatke fn, th
bZ- ,aMª;wt] ,y-MªSxksusV] ,- lsYcxZ rFkk okWVlu
us jkekuqtu ds ekWd FkhVk Qyuksa ij vUos"k.k
dk;Z fd;kA
fdlh fl)kUr] ;gka rd fd ekWd FkhVk
Qyu dh fdlh ljy mi;ksxh ifjHkk"kk rd ds
vHkko ds ckotwn fd, x, bu izkjafHkd dk;ksZa us
bl fo'okl dks cy fn;k fd jkekuqtu us dksbZ
egÙoiw.kZ [kkst dh FkhA
okWVlu ds vius 'kCnksa esa% ^^jkekuqtu dh
ekWd FkhVk Qyuksa dh [kkst us ;g Li"V dj
fn;k fd muds dkS'ky vkSj izoh.krk us mudh
vdky e`R;q ds {k.k rd mudk lkFk ugha NksMk
FkkA muds iwoZorhZ dk;Z dh rjg gh ekWd FkhVk
Qyu Hkh ,d ,slh miyfC/k gS ftlds fy, muds
uke dks vuar dky rd ;kn j[kk tk,xkA muds
fo|kfFkZ;ksa ds fy, ,slh [kkstsa rc rd vkuUn vkSj
foLe; dk lzksr cuh jgsaxh tc rd fd ge Hkh
vUrZjk"Vªh; lkaf[;dh; o"kZ 2013
o"kZ 2013 dks vUrZjk"Vªh; lkaf[;dh; o"kZ ds :Ik esa
Hkh euk;k tk,xkA ,d fo'ookih igy ds fy, 111
ns'kksa ds 1]400 ls Hkh vf/kd laxBu lkewfgd :i
ls iz;Ru djus tk jgs gS ftlds varxZr oSf'od
pqukSfr;kas ds gy <w<us esa lkaf[;dh ds ;ksxnku dks
js[kkafdr fd;k tk,xkA bl tkx:irk vfHk;ku dk
mn~ns'; lekt ds lHkh igyqvksa ij lkaf[;dh ds
izHkko dh tu le> esa o`f) djuk rFkk lkaf[;dh dks
,d O;olk; ds :Ik esa laiksf"kr djuk gSA
Mªhe 2047] Qjojh 2013] [kaM 15 vad 5
py dj izkljikbu ¼vFkok ilsZQksu½ miou rd
u igqap tk,a----**
;s 17 mnkgj.k rFkk ekWd FkhVk Qyuksa ds 5
vU; mnkgj.k tks jkekuqtu dh uksV cqd esa feys gS]a
vusd fo"k;ksa ds lkFk lac) fd, x, gSa ftuesa yhfl)kar] ekWM;~ y
w j :Ik vkSj cgqyd-jlk;u 'kkfey
gSAa bu gypy iw.kZ xfrfof/k;ksa ds ckotwn jkekuqtu
ds fl)kUr dk lkj jgL; cuk jgkA gkMhZ dks fy[ks
x, muds vfUre i= dh igsyh ^^ykWLV uksV cqd**
dh cnkSyr] jkekuqtu ds 22 ekWd FkhVk Qyuksa dh
jgL;e; xqRFkh ds :Ik esa lkeus vkbZ FkhA blls
izcy ladrs feyrk Fkk fd ,d fl)kUr ekStnw gS
vkSj mldk gy <w<a k+ tkuk pkfg,A
,d ubZ 'kq:vkr
tSlk fd dsu vksuks dgrs gS]a ^^-------- gkykafd
jkekuqtu ds vafre i= us bu :iksa ds igys
mnkgj.k izLrqr fd,] mudh vlkef;d e`R;q vkSj
ys[ku dh jgL;e; izdf` r ds ifj.kkeLo:i og ,d
cM+h vulqy>h xqRFkh cu x,A gesa dHkh irk ugha
pysxk fd og ekWd FkhVk Qyuksa rd dSls igqp
a s
vkSj fu'p; gh ge ;g tkuus dk fn[kkok ugha dj
ldrs fd og budk D;k djuk pkgrs FksA ysfdu]
;g Li"V gS fd mUgs irk Fkk fd ekWd FkhVk Qyu
la[;k fl)kUr esa ,d egÙoiw.kZ Hkwfedk fuHkk,axAs **
jkekuqtu dk ekWd fFkVk QaD'ku ;k ekWd
ekWM;~ y
w j :i oS'ysf"kd la[;k fl)kar esa u flQZ ,d
egRoiw.kZ ¼xf.krh;½ lk/ku gS cfYd ;g lkafLFkfrd
fu'pj fo'ys"k.k vkSj yh lqijvytsckz vkfn xf.kr
ds vusd vU; {ks=ksa esa mi;ksxh gksrk gSA
blls igys fd jkekuqtu vius ize;s ds fy,
izek.k ns ikrs] mudh e`R;q gks xbZA vksuks vkSj muds
ny us ;g lkfcr fd;k gS fd ;s Qyu okLro
esa gh ekWM;~ y
w j :Ikksa dh vuqfyfi;ka gSa ijUrq buesa
muds ifjHkk"kkRed vfHky{k.k tSls fd vfrlefefr
ugha gSAa ekWd ekWM;~ y
w j :Ikksa ds foLrkj] oSKkfudksa
dks Ñ".k foojksa dh ,UVªkWih vFkok vO;oLFkk ds
Lrjksa ds ifjdyu esa lgk;rk djrs gSAa
lanHkZ%
1- dsu vksuks] ^^vuvfFk±x fotu vkWQ , ekLVj%
gkjeksfud ekWl QkWElZ ,aM uEcj fFk;jh**
2- http://en.wikipedia.org/wiki/Mock_
modular_form
3- tSdc ,sjkWu - ^^eSFksesfVdy izwQ fjohYl
eSftd vkWQ jkekuqtu*l ftfu;l**] U;w
lkbZfVLV] uoEcj 2012
4- http://math.stanford.edu\
5- http://www.huffingtonpost.com
6- http://www.math.ufl.edu
¼vuqokn% jke'kj.k nkl½