SERIE NUMERICHE Esercizi proposti 1. Applicando la definizione

SERIE NUMERICHE
Esercizi proposti
1. Applicando la definizione di convergenza di una serie trovare il carattere delle seguenti serie, e, in caso di
convergenza, trovarne la somma:
∞
1
+n
n=1
∞
6
b)
2−1
4n
n=1
∞ √
√ c)
n+1− n
a)
[Sn = 1 −
n2
[Sn = 3 1 −
[Sn =
√
1
n+1
1
2n+1
; S = 1]
; S = 3]
n + 1 ; S = +∞]
n=0
2. Verificare (utilizzando la condizione necessaria per la convergenza) che le seguenti serie divergono:
∞
n
n+1
n=1
∞
1
c)
(log n)1/n
n=2 ∞
1 n
1−
e)
n
n=1
a)
∞
b)
n=1
∞
d)
f)
1
2n
(−1)n
n=1
∞
n2
n2 + 1
3n
2n n 2
n=1
3. Utilizzando la serie geometrica, discutere il comportamento delle serie seguenti e calcolarne la somma:
a)
∞
3n+1
[S =
πn
n=1
∞
(−1)n
b)
(1 + α2 )n
n=0 ∞
3 n
c)
1−
α
n=0
[conv. per α = 0 ; S =
[conv. per α >
3
2
9
π−3 ]
1+α2
]
2+α2
; S = α3 ]
4. Utilizzando i criteri del rapporto, della radice, del confronto e del confronto asintotico, dire se le seguenti
serie (a termini positivi) convergono:
a)
c)
∞
2n + 1
n=1
∞
2n
2n
n5
n+1 n
e)
3n − 1
n=0
∞
2 + cos n
g)
n
n=1
∞
1
i)
log n
n=2
∞
1
√
m)
n
−
n
n=2
∞
5n − 1
o)
3n2 + 2
n=0
1
1
1 1
+
+ ...
q) 1 + + +
5 9 13 17
n=1 ∞
[ conv.]
b)
[div.]
d)
[conv.]
f)
[div.]
h)
[div.]
l)
[div.]
n)
[div.]
p)
[div.]
r)
∞
n5
n!
3n n!
nn
n=1
∞
1
(log n)n/2
n=2
∞
1
n+n
3
n=1
∞
1 2
sin
n
n=1
∞
| sin n + cos n|
n3
n=1
∞
n
3
n +1
n=0
1
2
3
4
+
+
+
+ ...
8 27 64 125
n=1
∞
[conv.]
[div.]
[conv.]
[conv.]
[conv.]
[conv. ]
[conv.]
[conv.]
5. Utilizzando il criterio di Leibniz, indagare sulla convergenza semplice e assoluta delle seguenti serie:
∞
n+1
2n
n=1
∞
1
b)
(−1)n α , α ∈ IR
n
n=1
∞
n
c)
(−1)n 2
n +1
n=1
√
∞
n+2
(−1)n 2
d)
n +1
n=1
∞
log n
(−1)n
e)
2n − 1
n=1
∞
1
(−1)n
f)
log
n
+1
n=1
∞
1
n
(−1) 1 − cos
g)
n
n=1
∞
37
n
h)
(−1)n
(n
+ 1)!
n=1
∞
sin (2n + 1) π
2
i)
(2n + 1)2
n=1
∞
1
l)
(−1)n
n
log
n
n=2
a)
(−1)n
[conv.ass.]
[conv. ass. se α > 1 ; conv. semp. se α > 0]
[conv.]
[conv.ass.]
[conv.]
[conv.]
[conv.ass.]
[conv.ass.]
[conv.ass.]
[conv.]
6. Utilizzando il criterio di MacLaurin discutere il comportamento delle seguenti serie:
∞
1
n n log n
n=2
∞
1
b)
, α ∈ IR
α log n
n
n=2
∞
1
, α ∈ IR
c)
n(log n)α
n=2
∞
e−αn
d)
, α ∈ IR
n2 + 1
n=0
a)
e)
f)
∞
√
(n2 + 1)αn , α ≥ 0
n=0
+∞
1
nα− 2 , α ∈ IR
[conv.]
[conv. se α > 1 ]
[conv. se α > 1]
[conv. per α ≥ 0]
[conv. se 0 ≤ α < 1]
[conv. se α < − 12 ]
n=1
7. Utilizzando il teorema di MacLaurin provare che la seguente serie converge e trovare un maggiorante e
un minorante per la somma.
∞
e−n
[ 1e < S < 2e ]
n=1
8. Utilizzando le maggiorazioni derivanti dal teorema di MacLaurin stimare il numero di termini necessario
per calcolare la somma della serie seguente commettendo un errore trascurabile rispetto a 10−4 .
∞
1
n=1
[n ≥ 8]
n5
9. Date le seguenti serie, dopo aver dimostrato che convergono, calcolare un’approssimazione delle rispettive
somme a meno di 10−2 .
a)
b)
∞
1
3
n=2 n log n
∞
n=2
(−1)n
1
n log3 n
[n ≥ 1178]
[n ≥ 9]