Serie di Fourier - Dipartimento di Matematica

Capitolo 2
Serie di Fourier trigonometriche
2.1
Prime definizioni
2.1.1 Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche
Oggetto di questo capitolo sono le funzioni che costituiscono il sistema trigonometrico
incontrato nel capitolo precedente. Il sistema trigonometrico reale è la famiglia delle funzioni
reali, della variabile reale x:
{1, cos x, sin x, ..., cos nx, sin nx, ...}n≥1 .
(2.1)
Queste funzioni sono tutte periodiche, con periodo comune 2π, ovvero f (x + 2kπ) = f (x)
per ogni x ∈ R e ogni k ∈ Z. La stessa proprietà vale per i polinomi trigonometrici, ottenibili
come loro combinazioni lineari (finite)
N
a0 X
(an cos nx + bn sin nx) .
+
TN (x) =
2
n=1
(2.2)
Nel seguito, per una scrittura di questo tipo utilizzeremo solo valori reali per i coefficienti
a0 , a1, ..., aN e b1 , ..., bN , e un polinomio di questo tipo assume certamente valori reali. Il
polinomio in (2.2) ha grado N se |aN | + |bN | =
6 0. L’espressione
+∞
a0 X
S (x) ≈
+
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
(2.3)
è una serie trigonometrica, ed il simbolo ≈ sta ad indicare che non abbiamo, a priori, alcuna
informazione sulla sua eventuale convergenza; tuttavia è chiaro che se c’è convergenza per
qualche x ∈ R, lo stesso accade nei punti x + 2kπ, k ∈ Z, e la somma S è una funzione
periodica di periodo 2π. La convergenza della (2.3) è definita, al solito, come
S (x) = lim SN (x)
N →+∞
dove
N
a0 X
SN (x) :=
+
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
1
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
è la somma parziale N -sima della serie.
Accanto al sistema (2.1) è spesso utile introdurre il sistema trigonometrico complesso
ikx .
e
k∈Z
2
(2.4)
Grazie alle identità di Eulero
eikx = cos kx + i sin kx ; cos kx =
eikx + e−ikx
eikx − e−ikx
; sin kx =
2
2i
il polinomio in (2.2) può essere scritto nella forma
TN (x) =
N
X
ck eikx
(2.4)
k=−N
dove
an − ibn
an + ibn
; c−n =
.
(2.5)
2
2
Chiaramente la (2.4) ha senso per ogni scelta dei coefficienti ck in C, ma le condizioni per
avere un polinomio a valori reali sono espresse dalle condizioni c−n = cn . La forma complessa
della (2.3) è
X
ck eikx
(2.6)
S (x) ≈
an = cn + c−n ; bn = i (cn − c−n ) ; cn =
k∈Z
e la convergenza è intesa come
S (x) = lim SN (x) = lim
N →+∞
N
X
N →+∞
ck eikx .
k=−N
2.1.2 Funzioni periodiche
Una funzione f : R → R (o C) è periodica di periodo T > 0 se
f (x + T ) = f (x)
∀x .
Se questo accade, anche ogni nT, n ∈ N, è un periodo per f. È chiaro che la conoscenza di f in
un qualsiasi intervallo della forma [x0 , x0 + T ) fornisce i valori di f in tutto R. Analogamente,
a partire da una f : [x0 , x0 + T ) → R (o C) possiamo estenderla univocamente ad una funzione
(che chiamiamo ancora f ) definita in R e periodica di periodo T. T
x è S-periodica; questo
Inoltre, se f è T -periodica e se S > 0, la funzione g (x) := f
S
mostra che con un cambio di scala possiamo limitarci a trattare funzioni periodiche con periodo
fissato da noi per comodità. Utilizzeremo in prevalenza T = 2π, e l’intervallo Q = [−π, π).
Esercizio 1 : Un polinomio trigonometrico di grado N ha al più 2N zeri in Q.
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
2.2
3
Un po’ di storia (I)
L’esordio delle serie trigonometriche come strumento utile per la risoluzione di problemi
scientifici risale alla metà del ’700. Eulero (1748) le utilizza, in modo un po’ empirico, per lo
studio dei movimenti di Giove e Saturno.
Qualche anno più tardi Daniel Bernoulli, nello studiare i movimenti delle corde vibranti, prova
che una soluzione della “equazione delle onde” utt = v 2 uxx , soggetta ai vincoli u (0, t) =
u (π, t) ≡ 0 e ut (x, 0) ≡ 0 (corda fissata agli estremi, e velocità iniziale nulla), ha la forma
+∞
X
an sin nx cos nvt
n=1
e sostiene che ogni soluzione deve essere di questo tipo. Questa affermazione viene duramente
contestata da Eulero, secondo cui sarebbe impossibile rappresentare come somma della serie
trigonometrica
+∞
X
an sin nx
n=1
la funzione u (x, 0) = f (x) (che rappresenta la configurazione iniziale della corda) se questa
funzione non è più che
regolare (l’esempio che diede è quello della corda inizialmente “pizziπ
cata” f (x) = x − 2 ).
La vera diatriba è perciò condotta sulla possibilità o meno di sommare serie trigonometriche
ed ottenerne somme non troppo regolari.
Circa settant’anni più tardi, nel 1822, J. Fourier riprende questo argomento, questa volta
applicandolo allo studio dell’evoluzione della temperatura in una lamina piana (utt + uxx = 0 è
la “equazione del calore”, a cui vanno poi unite alcune condizioni al bordo). Oltre a scrivere una
soluzione come somma di una serie trigonometrica, Fourier indica come calcolare i coefficienti
partendo dai dati al bordo.
Questa tecnica porta al seguente problema: partendo da una funzione f “arbitraria” ed associandole, seguendo il metodo di Fourier, una serie trigonometrica (detta serie di Fourier Sf
di f ), quando si può garantire che Sf converge ad f, e di quale tipo di convergenza si può
parlare?
Questo capitolo cerca di far luce sulle risposte al problema esposto.
2.3
Coefficienti e serie di Fourier di funzioni integrabili
Abbiamo messo a fuoco due problemi.
Pb. 1: se f : R → R (o C) è 2π-periodica, è possibile esprimerla come somma di una serie
trigonometrica?
Pb. 2: quali devono essere i coefficienti da utilizzare?
Una risposta al secondo problema può essere data facilmente, almeno nel caso in cui f è la
somma di una serie trigonometrica uniformemente convergente in Q. Infatti, se
X
f (x) =
ck eikx
k∈Z
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
4
converge uniformemente in Q, per ogni j ∈ Z la funzione f (x) e−ijx può essere integrata
termine a termine, ottenendo
Z
X Z
−ijx
i(k−j)x
f (x) e
dx =
e
dx .
ck
Q
Inoltre, per ogni h ∈ Z
Q
k∈Z
Z
ihx
e
dx =
Q
0
2π
se h 6= 0
se h = 0
e quindi è necessario avere
1
ck =
2π
Z
f (x) e−ikx dx
∀k ∈ Z.
(2.7)
Q
Esercizio 2 : Dimostrare che, in termini di coefficienti reali, se
+∞
a0 X
f (x) =
+
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
e la serie converge uniformemente in Q, si deve avere
Z
Z
1
1
f (x) cos nx dx ∀n ≥ 0; bn =
f (x) sin nx dx ∀n ≥ 1.
an =
π Q
π Q
(2.7’)
Le relazioni tra i coefficienti complessi ck e quelli reali sono date dalle (2.5) .
♦♦♦
Riguardando la (2.7) ci accorgiamo che le quantità
Z
1
ˆ
f (k) := ck =
f (x) e−ikx dx , k ∈ Z
2π Q
come pure le quantità
Z
1
an (f ) :=
f (x) cos nx dx , n ≥ 0;
π Q
1
bn (f ) :=
π
(2.8)
Z
f (x) sin nx dx , n ≥ 1
(2.8’)
Q
hanno senso per ogni funzione f integrabile in Q.
Definizione:
ad ogni f ∈ L1 (Q) associamo la successione dei coefficienti di Fourier
n
o
definiti dalla (2.8) , e la serie di Fourier
fˆ (k)
k∈Z
Sf (x) ≈
X
fˆ (k) eikx .
(2.9)
k∈Z
La forma reale di Sf è definita come
+∞
Sf (x) ≈
a0 (f ) X
+
(an (f ) cos nx + bn (f ) sin nx) .
2
n=1
(2.9’)
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
5
Esercizio 3 : Se f ∈ L1 (Q) assume valori reali, si ha fˆ (−n) = fˆ (n) per ogni n ≥ 0.
2 Rπ
f (x) cos nx dx.
Inoltre, se f è pari ogni “coefficiente seno” bn (f ) è nullo, mentre an (f ) =
π 0
2 Rπ
Se f è dispari ogni “coefficiente coseno” an (f ) è nullo, e bn (f ) =
f (x) sin nx dx.
π 0
Esercizio 4 : Se f (x) = x per x ∈ Q, è
Sf (x) ≈ 2
+∞
X
(−1)n+1
n
n=1
sin 2x sin 3x
sin nx = 2 sin x −
+
− ... .
2
3
(2.10)
Esercizio 5 : Dimostrare che
+∞
X
π2
1
=
n2
6
n=1
(2.11)
(Sugger.: la funzione dell’esercizio precedente appartiene ad L2 (Q) , in cui il sistema trigonometrico è completo, quindi ...).
Esercizio 6 : Se f (x) = x2 per x ∈ Q, è
Sf (x) ≈
+∞
X
π2
(−1)n
+4
cos nx .
2
3
n
n=1
(2.12)

 −1
0
Esercizio 7 : Se f (x) = sgn x =

1
x ∈ [−π, 0)
x=0
è
x ∈ (0, π)
+∞
4 X sin (2n + 1) x
4
sin 3x sin 5x
Sf (x) ≈
=
sin x +
+
+ ... .
π n=0
2n + 1
π
3
5
(2.13)
♦♦♦
Terminiamo questa sezione richiamando, ed ampliando, i risultati visti nel Lemma 1.24,
relativi alle relazioni che legano i coefficienti di Fourier alla differenziazione.
Proposizione 2.1 : i) Sia f : Q→ C assolutamente continua. Allora
ˆ
(f 0 ) (k) = ik fˆ (k) ∀k ∈ Z.
Rx
ii) Sia f ∈ L1 (Q) . Allora g (x) := 0 f (t) dt − fˆ (0) x è 2π-periodica e
ĝ (k) =
1 ˆ
f (k)
ik
∀k ∈ Z, k 6= 0.
(2.14)
(2.15)
m
iii) Se f ∈ Cper
(R) allora
f (m)
iv) Se P (t) =
ˆ
(k) = (ik)m fˆ (k)
Pm
j
j=0 cj t è un polinomio, e P (D) =
∀k ∈ Z.
Pm
m
associato, per ogni f ∈ Cper
(R) vale
[P (D) f ]ˆ (k) = P (ik) fˆ (k)
Esercizio 8 : Dimostrare la Proposizione.
j=0 cj
dj
è il polinomio differenziale
dxj
∀k ∈ Z.
(2.16)
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
2.4
6
Ancora un po’ di storia (II)
I due problemi enunciati all’inizio dellai sezione precedente possono perciò essere modificati come:
Pb. 3: per quali funzioni f , 2π-periodiche ed integrabili in Q, la serie di Fourier converge?
Pb. 4: quando si ha Sf = f ?
La teoria sugli spazi di Hilbert vista nel precedente capitolo fornisce risposte esaurienti per
funzioni a quadrato integrabile. In L2 (Q) infatti si ha sempre convergenza di Sf alla funzione
f, nel senso indicato dal Corollario 1.26. Ma questo è un punto di vista decisamente successivo
a quello “naturale” proprio dei matematici che per primi si occuparono del problema.
Ritornando al tempo di Fourier, è da segnalare che l’unico integrale noto è quello di
Cauchy, per funzioni continue o, al più, con un numero finito di discontinuità di I specie.
Inoltre, la nozione di convergenza di una serie di funzioni è ancora estremamente vaga.
Da un lato Fourier sembra essere convinto che la “sua” serie debba comunque convergere,
anche nel caso di funzioni con qualche discontinuità. Dall’altro, Cauchy “dimostra” che se
una serie di funzioni continue converge in ogni punto la somma è una funzione continua (la
falsità di questo risultato viene messa in luce da Abel).
Un risultato positivo, in termini di convergenza puntuale, arriva nel 1829 grazie a Dirichlet: “Una funzione regolare a tratti è somma, nei punti di continuità, della propria serie di
Fourier”. Questo risultato risente ancora di una scarsa rigorosità nella definizione di integrale, e viene poi esteso da Riemann (1854) che, proprio nello studiare il problema, arriva alla
nozione di integrale che va sotto il suo nome. Nel frattempo, anche la nozione di convergenza
di una serie di funzioni viene precisata in dettaglio da Weierstrass, arrivando al concetto di
convergenza uniforme.
Infine, segnaliamo che un grande “scandalo” viene messo in luce nel 1876 da P. du BoisRaymond, che produce un esempio di funzione f ∈ Cper (R) la cui serie di Fourier non converge
in un punto, smentendo perció con un controesempio una delle convinzioni di Fourier.
2.5
Convergenza puntuale delle serie di Fourier
2.5.1 Un teorema di convergenza puntuale
Una funzione f : R → R è continua a tratti se in ogni intervallo limitato [a, b] ha al più
un numero finito di discontinuità, tutte di I specie. Questo significa
che
f è continua in [a, b] ,
+
−
tranne che nei punti x1 , ..., xN in cui, però, i limiti f xi e f xi esistono e sono finiti.
Chiaramente queste funzioni sono Riemann-integrabili in [a, b] .
Se, inoltre, f è derivabile tranne che nei punti xi e in un numero finito di punti y1 , ..., yM , e se
f 0 è continua e limitata la funzione è detta regolare a tratti.
Teorema 2.2 (convergenza puntuale): Sia f : R → R una funzione 2π-periodica e regolare a tratti. Per ogni x0 ∈ R la serie di Fourier di f converge, e
−
f x+
0 + f x0
Sf (x0 ) =
.
2
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
7
Oss. 2.1: ovviamente nei punti di continuità di f si ha Sf (x) = f (x) . Poichè in Q gli
eventuali punti di discontinuità xj sono in numero finito, i valori degli integrali che definiscono
i coefficienti di Fourier non vengono modificati se cambiamo il valore di f nei punti xj e
consideriamo la funzione
f (x+ ) + f (x− )
.
f # (x) :=
2
La f # è ancora regolare a tratti, coincide con f dove f è continua, e Sf # = Sf. Cosı̀, il
teorema afferma che Sf (x) = f # (x) per ogni x ∈ R.
Oss. 2.2: Le funzioni degli Esercizi 4,6,7 sono regolari a tratti, e quindi il teorema afferma
che
+∞
X
sin 2x sin 3x
(−1)n+1
sin nx = 2 sin x −
+
− ...
∀x ∈ (−π, π) .
(2.17)
x=2
n
2
3
n=1
+∞
X
π2
(−1)n
x =
+4
cos nx
3
n2
n=1
2
∀x ∈ [−π, π] .
+∞
4
sin 3x sin 5x
4 X sin (2n + 1) x
=
+
+ ...
sin x +
1≡
π n=0
2n + 1
π
3
5
(2.18)
∀x ∈ (0, π) .
(2.19)
Come casi particolari, da queste eguaglianze si possono ricavare le formule:
π
1 1 1
= 1 − + − + ... ;
4
3 5 7
2
π
1 1
1
=1− + −
+ ... ;
12
4 9 16
+∞
1 1
1
π2 X 1
=
=1+ + +
+ ... .
2
6
n
4 9 16
n=1
2.5.2 Il nucleo di Dirichlet
Nell’occuparci della convergenza puntuale della serie di Fourier di una f : R → R (o C),
2π-periodica ed integrabile in Q, ci troviamo a studiare l’(eventuale) esistenza del limite, per
N → +∞, delle somme parziali
N
X
SN f (x) =
fˆ (k) eikx .
k=−N
Queste quantità possono essere scritte come
SN f (x) =
N
X
fˆ (k) e
ikx
k=−N
=
f (t)
Q
k=−N
"
Z
=
N Z
X
N
X
#
eik(x−t)
k=−N
Z
f (t) DN (x − t)
=
Q
Q
−ikt
f (t) e
dt
2π
dt
2π
dt
= (f ∗ DN ) (x)
2π
eikx
(2.20)
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
8
dove abbiamo posto
N
X
DN (u) :=
eiku
(2.21)
k=−N
e dove il simbolo ∗ indica l’operazione di convoluzione.
La famiglia {DN }N ≥0 è detta nucleo di Dirichlet; ogni DN è un polinomio trigonometrico di
grado N.
Lemma 2.3 : i) Ogni funzione DN ha valori reali, è pari, e vale
sin
DN (u) =
(2N + 1) u
2
.
u
sin
2
ii)
1
π
Z
0
1
DN (u) du =
π
−π
π
Z
DN (u) du = 1 .
0
iii)
kDN k1 '
4
log N
π2
per N → +∞ .
Esercizio 9 : Dimostrare il lemma.
Prima di passare alla dimostrazione del teorema di convergenza puntuale, osserviamo che
se f è una funzione regolare a tratti certamente sono Riemann-integrabili f, |f | e |f |2 , per
cui f ∈ L2 (Q) , e quindi vale l’eguaglianza di Parseval che riportiamo, per comodità, sia nella
forma complessa
Z
2
X 2 dx
ˆ
=
|f (x)|
f (k)
2π
Q
Z
che nella forma reale (per funzioni reali)
1
π
Z
f 2 (x) dx =
Q
+∞
a20 (f ) X 2
an (f ) + b2n (f ) .
+
2
n=1
Una conseguenza di ció è:
lim fˆ (k) = 0 = lim an (f ) = lim bn (f ) .
n→+∞
|k|→+∞
n→+∞
(2.22)
Questo risultato va sotto il nome di lemma di Riemann-Lebesgue.
Certamente vale per ogni f ∈ L2 (Q) (e quindi per ogni f regolare a tratti e 2π-periodica).
Con poca fatica riusciamo a dimostrare che vale addirittura per ogni f ∈ L1 (Q) ; anzi, lo
enunciamo in una forma un po’ più generale, utile nel seguito.
Teorema 2.4 (lemma di Riemann-Lebesgue): Se f ∈ L1 (R) si ha
Z
lim
f (x) eiξx dx = 0 .
ξ→±∞
R
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
9
Dim.: Per ξ 6= 0 e per χ[a,b] abbiamo
Z
iξx
χ[a,b] (x) e
Z
dx =
b
eiξx dx =
a
R
eiξb − eiξa
iξ
per cui
Z
iξx
χ[a,b] (x) e dx ≤ 2 → 0
|ξ|
R
ed il risultato si estende a tutte le combinazioni lineari finite g di funzioni caratteristiche. Queste
funzioni sono dense in L1 (R) , cosı̀ per ogni ε > 0 troviamo una
R di queste g per
cui kf − gk1 < ε.
Poi, è sufficiente considerare |ξ| abbastanza grande da avere R g (x) eiξx dx < ε per ottenere la
tesi.
2.5.3 Dimostrazione del Teorema di Convergenza Puntuale
La tesi consiste nel provare che, per f : R → R regolare a tratti e 2π -periodica, si ha
−
f x+
0 + f x0
per N → +∞ .
SN f (x0 ) → f (x0 ) =
2
#
Con una traslazione possiamo chiaramente ricondurci a considerare x0 = 0. Allora:
#
Z
dt
− f # (0)
2π
ZQ
dt
− f # (0)
=
f (t) DN (t)
2π
Q
Z
1 1 0
=
f (t) − f 0− DN (t) dt +
2 π −π
Z
1 π
+
f (t) − f 0
DN (t) dt
+
π 0
Z
(2N + 1) t dt
=
g (t) sin
2
2π
Q
SN f (0) − f (0) =
f (t) DN (−t)
per la (2.20)
per la parità di DN
per il lemma 2.3
avendo posto

 [f (t) − f (0− )] / sin (t/2)
0
g (t) =

[f (t) − f (0+ )] / sin (t/2)
se − π < t < 0
se t = 0
.
se 0 < t < π
La funzione f ha, in x = 0, rapporti incrementali destro e sinistro limitati, per cui g è regolare a
tratti in [−π, π). Inoltre
sin N +
1
2
t = sin N t cos 2t + cos N t sin 2t
per cui la quantità SN f (0) − f # (0) coincide con la somma del coefficiente aN (h) della funzione
h (t) := g (t) sin 2t e del coefficiente bN (k) della funzione k (t) := g (t) cos 2t . Le funzioni h, k sono
regolari a tratti e quindi, per il lemma di Riemann-Lebesgue, questi coefficienti tendono a zero se
N → +∞.
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
10
2.5.4 Altri teoremi di convergenza
Altri risultati classici di una certa importanza sono:
Teorema 2.5 (test del Dini): Sia f ∈ L1 (Q) . Se, per x ∈ Q, esiste A ∈ R tale che
Z π
|f (x + t) + f (x − t) − 2A|
dt < +∞
(2.23)
sin (t/2)
0
allora Sf (x) = A.
Dim.:
Z
dt
−A
2π
Q
Z
dt
=
[f (x − t) − A] DN (t)
2π
Q
Z π
dt
f (x + t) + f (x − t) − 2A
=
sin N + 12 t
sin (t/2)
2π
0
SN f (x) − A =
f (x − t) DN (t)
e l’espressione in [...] è integrabile in (0, π) . La dimostrazione può essere terminata come nel paragrafo
precedente, utilizzando il lemma di Riemann-Lebesgue.
Oss. 2.3: Per la convergenza dell’integrale in (2.23) i valori di t che contano sono quelli vicini
a 0, per cui la condizione del test di Dini può essere sostituito dalla
Z π
|f (x + t) + f (x − t) − 2A|
dt < +∞ .
(2.23’)
t
0
Oss. 2.4: Se f ha in x una discontinuità di I specie, o se è continua, l’unico valore che rende
possibile la (2.230 ) è
f (x+ ) + f (x− )
.
A=
2
Corollario 2.6 : Siano f ∈ L1 (Q) , x ∈ Q, ed esistano finiti f (x+ ) e f (x− ) . Se
Z π
Z π
|f (x + t) − f (x+ )|
|f (x − t) − f (x− )|
dt ,
dt < +∞
t
t
0
0
allora
f (x+ ) + f (x− )
.
Sf (x) =
2
Corollario 2.7 (principio di localizzazione): Siano f, g ∈ L1 (Q) con f (x) = g (x) in
(a, b) ⊂ Q. Allora, per ogni x ∈ (a, b)
|SN f (x) − SN g (x)| → 0
per N → +∞ .
Teorema 2.8 (convergenza uniforme): Sia f : R → R una funzione appartenente a
Cper (R) e regolare a tratti. Allora Sf converge totalmente (e quindi uniformemente) ad f.
Teorema 2.9 : Sia f : R → R una funzione 2π-periodica e regolare a tratti. La convergenza
di Sf ad f è uniforme nei compatti contenuti negli intervalli di continuità di f.
Teorema 2.10 (du Bois-Raymond): esiste una funzione f ∈ Cper (R) la cui serie di
Fourier ha somme parziali illimitate in un punto.
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
2.6
11
La storia prosegue (III)
I risultati enunciati nella precedente sezione sono in qualche modo “classici”, ottenibili
all’interno della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Un grande salto qualitativo si verifica con l’utilizzo della teoria di Lebesgue (1904). Tra i principali risultati segnaliamo:
• Nel 1926 Kolmogorov costruisce una funzione f ∈ L1 (Q) per la quale
lim sup |SN f (x)| = +∞
per ogni x ∈ Q.
N →+∞
Questa funzione è illimitata in ogni sottointervallo di Q, per cui non è Riemann-integrabile.
Per molti anni ci si chiede se un risultato simile possa essere vero addirittura per una
f ∈ C (R) e 2π-periodica.
• Nel 1964 Carleson dimostra però che
“f ∈ L2 (Q)
=⇒
Sf converge q.o.”
e questo risulta comprende ovviamente tutte le funzioni continue e quelle integrabili
secondo Riemann.
Il risultato viene esteso qualche anno più tardi da R.Hunt alle f ∈ Lp (Q) , per ogni
p > 1.
• Il risultato di Carleson non è migliorabile, perchè Kahane e Katznelson dimostrano che
per ogni sottoinsieme E ⊂ Q, di misura nulla, esiste una funzione f ∈ Cper (R) per la
quale
lim sup |SN f (x)| = +∞ per ogni x ∈ E.
N →+∞
2.7
Sommabilità delle serie di Fourier
2.7.1 Sommabilità di serie numeriche
P+∞
Data un successione {αn }n≥0 ⊂ C, la nozione classica di convergenza
della
serie
n=0 αn
Pn
è legata alla convergenza della successione delle somme parziali sn = k=0 αk . Talvolta è
però più conveniente utilizzare metodi diversi per sommare gli αn .
Sia A = [ank ]n,k≥0 una matrice numerica doppiamente infinita, e consideriamo le quantità
tn :=
+∞
X
ank sk = an0 s0 + an1 s1 + ...
(2.24)
k=0
Diciamo che la successione {αn } è A − sommabile al valore T (o anche che {sn } è A −
convergente a T ) se esiste, ed è finito, lim tn .
n→+∞
P
Ovviamente la solita nozione di convergenza della serie +∞
n=0 αn corrisponde alla scelta ank =
δnk per ogni n, k.
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
12
Teorema
2.11 : Sia A = [ank ] tale che:
P
i) Pk |ank | ≤ C per ogni n;
ii) k ank → 1 per n → +∞;
iii) ank → 0 per n → +∞, per ogni k fissato.
Allora, se sn → T ∈ C, anche tn → T.
P
Dim.: La successione {sn } converge, e quindi è limitata; cosı̀ la serie +∞
k=0 ank sk converge, e la
{tn } è ben definita. Inoltre, sn = T + εn con εn → 0, e quindi
!
X
X
X
tn =
ank (T + εk ) = T
ank +
ank εk
k
k
k
ed il primo addendo converge ad T. Vediamo che il secondo addendo tende a zero.
Per ogni N fissato è
−1
+∞
X
N
X
X
ank εk ≤ ank εk +
|ank | |εk | .
k
k=0
k=N
Nella prima somma abbiamo un numero finto di addendi, che tendono a zero, per iii), quando
n → +∞. Poiché εn →0 la seconda somma può essere maggiorata con Cε, con ε > 0 arbitrario,
pur di scegliere N sufficientemente grande.
Esercizio 10 : i) La ii) non è necessaria se T = 0.
ii) Se ∀ank ≥ 0 e gli αn sono tutti reali, il teorema vale anche con T = ±∞.
Nel caso i coefficienti di A = [ank ] siano
(
ank =
1
n+1
0
se 0 ≤ k ≤ n
se k > n
le quantità tn sono dette medie di Cesàro (o medie aritmetiche) della {sn } , e vengono solitamente indicate con la lettera σn . Perciò
1
(s0 + s1 + ... + sn )
n+1
1
=
[α0 + (α0 + α1 ) + ... + (α0 + ... + αn )]
n+1
n
n X
1 X
k
=
(n + 1 − k) αk =
αk .
1−
n + 1 k=0
n
+
1
k=0
σn :=
(2.25)
P
Esercizio 11 : i) Se {αn }n≥0 ⊂ R e se n αn = T ∈ [−∞, ∞] , si ha σn → T.
P
1
ii) Se αn = (−1)n la serie n αn non converge, ma è Cesàro-sommabile con somma .
2
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
13
2.7.2 Medie di Cesàro per le serie di Fourier
Partendo da una f ∈ L1 (Q) costruiamo le somme parziali della sua serie di Fourier
SN f (x) =
N
X
fˆ (k) eikx = (f ∗ DN ) (x) .
k=−N
Le medie di Cesàro sono allora le funzioni
N
N
1 X
1 X
Sk f (x) =
(f ∗ Dk ) (x)
N + 1 k=0
N + 1 k=0
!
N
1 X
Dk (x)
=f∗
N + 1 k=0
σN f (x) =
ossia
σN f (x) = (f ∗ KN ) (x)
(2.26)
dove abbiamo posto
N
1 X
KN (x) :=
Dk (x) .
N + 1 k=0
(2.27)
La famiglia {KN } è detta nucleo di Fejér per Q .
Esercizio 12 : Il nucleo di Fejér soddisfa:
i)
N X
KN (x) =
1−
k=−N
|k|
N +1
eikx .
ii)
"
#2
sin (N +1)x
1
2
KN (x) =
.
N +1
sin x2
iii) KN è pari e non-negativa.
iv)
Z
KN (x)
Q
v)
KN (x) ≤
vi)
Z
dx
=1.
2π
c
(N + 1) x2
per x 6= 0 .
π
KN (x) dx → 0
se N → +∞, per ogni 0 < δ < π .
δ
Il risultato di du Bois-Raymond mostra che per f ∈ Cper (R) non possiamo assicurare la
convergenza di Sf. Molto diverso è invece il caso delle medie di Cesàro di Sf. Infatti
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
14
Teorema 2.12 (Fejér): Se f ∈ Cper (R) si ha σn f → f uniformemente in R.
Dim.:
|σn f (x) − f (x)| = |(f ∗ Kn ) (x) − f (x)|
Z
dt
≤
|f (x − t) − f (x)| Kn (t)
2π
Q
Per ε > 0, l’integrale viene spezzato come
Z
Z
Z
=
Q
+
|t|<δ
δ≤|t|<π
dove δ viene scelto in modo che la uniforme continuità di f assicuri |f (x − t) − f (x)| < ε se
|t| < δ, in modo da maggiorare il primo addendo con ε. Il secondo addendo è maggiorabile con
4 kf k∞
Rπ
δ
Kn (t)
dt
→ 0 per la vi) dell’esercizio precedente.
2π
Corollario 2.13 : Se f ∈ Cper (R) ed Sf (x) converge, la somma vale f (x) .
Con una richiesta meno forte sulla regolarità di f è possibile ottenere un risultato, ovviamente più blando rispetto alla convergenza uniforme. Sempre a Fejér è dovuto il
Teorema 2.14 : Se f ∈ L1 (Q) , si ha σn f (x) → f (x) là dove f è continua, e la convergenza
è uniforme nei compatti in cui f è continua. Se invece f ha una discontinuità di I specie in
x si ha
f (x+ ) + f (x− )
.
σn f (x) →
2
♦♦♦
Terminiamo la sezione mostrando come dal teorema di Fejér è possibile far seguire un
celebre risultato di K.Weierstrass sulle densità uniforme dei polinomi nella classe delle funzioni
continue in un intervallo compatto.
Teorema 2.15 (K. Weierstrass) : Sia f ∈ C ([a, b]) ; per ogni ε > 0 è possibile trovare un
polinomio P tale che
sup |f (x) − P (x)| < ε .
x∈[a,b]
Dim.: Con una trasformazione polinomiale di primo grado sulla variabile x ci riportiamo al caso
[a, b] = [−1, 1] . Se f ∈ C ([−1, 1]) , la funzione h (ϑ) := f (cos ϑ) è continua in [0, π] , e può
essere estesa per parità a [−π, π] e poi per periodicità ad una h̃ ∈ Cper (R) . Ora approssiamo
uniformemente h̃ con un’opportuna σN h̃, che è un polinomio trigonometrico che contiene solo potenze
di cos ϑ. Con la sostituzione x = cos ϑ otteniamo un polinomio P che approssima uniformemente f
in [−1, 1] .
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
2.8
15
La teoria Lp (Q) , p ≥ 1
Ora lasciamo i problemi di convergenza e sommabilità puntuale, per passare a considerare
problemi di convergenza e sommabilità in norma.
2.8.1 L’operatore F
L’operazione che ad ogni f ∈ L1 (Q) associa la successione dei n
suoi coefficienti
di Fourier può
o
essere descritta come l’azione di un operatore lineare F : f 7→ fˆ (k)
, detto trasformata
di Fourier. Poichè
k∈Z
Z
dx
ˆ |f (x)|
= kf kL1 (Q)
f (k) ≤
2π
Q
abbiamo
kFf k`∞ (Z) ≤ kf kL1 (Q)
e quindi possiamo affermare che
F : L1 (Q) → `∞ (Z)
è un operatore lineare che ha norma operatoriale kFk1,∞ ≤ 1.
Esercizio 13 : Verificare che
kFk1,∞ = 1 .
(2.28)
(Sugger.: studiare l’azione di F quando viene applicato alle funzioni fk (x) = eikx , k ∈ Z.)
Possiamo addirittura dire di più; il Lemma di Riemann-Lebesgue implica che
F : L1 (Q) → c0 (Z)
con norma 1
cioè che F(L1 ) è contenutonel sottospazio
delle successioni infinitesime.
dx
sono tutti “inscatolati”, nel senso che
D’altra parte, gli spazi Lp Q,
2π
L∞ (Q) ⊂ Lp (Q) ⊂ L1 (Q)
(2.29)
con
kf k1 ≤ kf kp ≤ kf k∞
se 1 < p < +∞
(2.30)
e pare lecito aspettarsi che una “maggiore integrabilità” di f possa riflettersi in una informazione più dettagliata su Ff.
Questa aspettativa è suffragata da quel che accade quando f ∈ L2 (Q): in questo caso sappiamo (eguaglianza di Parseval) che Ff è ben più che infinitesima: è addirittura a quadrato
sommabile, cioè
kFf k`2 (Z) = kf kL2 (Q)
per cui
F : L2 (Q) → `2 (Z)
con
kFk2,2 = 1 .
Una risposta esauriente si ottiene utilizzando il seguente risultato, valido in ambito molto più
generale, e che ci limitiamo ad enunciare.
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
16
2.8.2 Un teorema di interpolazione
Teorema 2.16 (di convessità; M.Riesz e G.Thorin, 1939): Siano (X, µ) e (Y, ν) spazi di
misura, e siano p0 , p1 , q0 , q1 ∈ [1, +∞] con p0 6= p1 , q0 6= q1 . Sia T un operatore lineare, e
T : Lpj (X, µ) → Lqj (Y, ν) con norma Mj , j = 0, 1.
Allora, per ogni ϑ ∈ (0, 1) si ha
T : Lp (X, µ) → Lq (Y, ν)
con norma M ≤ M01−ϑ M1ϑ , dove
1
1−ϑ
ϑ
1
1−ϑ
ϑ
=
+
,
=
+
.
p
p0
p1
q
q0
q1
p
q
Questo risultato è notocon il nome di Teorema di Convessità perchè
afferma
che T : L → L
è continuo se gli indici p1 , 1q appartengono al segmento di estremi p10 , q10 e p11 , q11 . Inoltre,
la stima sulla norma operatoriale è logaritmicamente convessa, cioè
log Mp,q ≤ (1 − ϑ) log Mp0 ,q0 + ϑ log Mp1 ,q1 .
2.8.3 Il teorema di Hausdorff-Young
Applicando il teorema di Riesz-Thorin ai casi (X, µ) =
dx
Q,
2π
, (Y, ν) = Z, p0 = 1,
q0 = +∞, p1 = q1 = 2 otteniamo
Teorema 2.17 (Hausdorff-Young): Per ogni p ∈ [1, 2] , e per p−1 + q −1 = 1 si ha
F : Lp (Q) → `q (Z)
cioè
q
X fˆ (k)
!1/q
con kFkp,q ≤ 1
Z
≤
Z
dx
|f (x)|
2π
Q
p
(2.31)
1/p
.
Oss. 2.5: La sola informazione f ∈ L1 (Q) ci dice (lemma di Riemann-Lebesgue) che fˆ (k) →
p
0 quando k → ±∞.
n Con
o il teorema di Hausdorff-Young sappiamo invece che se f ∈ L (Q) ,
1 < p ≤ 2, allora fˆ (k) si annulla più velocemente, perchè è q-sommabile.
Oss. 2.6: Il teorema di Hausdorff-Young non è valido per p > 2 (q < 2) . È possibile diP ˆ 2−ε
mostrare che, per ogni ε > 0, esistono funzioni continue per cui
= +∞. Un
Z f (k)
esempio è rappresentato dalla
f (x) =
+∞
X
n=2
√
ein log n
einx .
n (log n)2
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
17
Oss. 2.7: È però possibile dimostrare che se 1 ≤ q ≤ 2 e p−1 + q −1 = 1, data una {ck }k∈Z ∈ `q
esiste una f ∈ Lp (Q) con fˆ (k) = ck per ogni k , e tale che kf kp ≤ k{ck }kq .
Oss. 2.8: Il lemma di Riemann-Lebesgue non può essere migliorato. I coefficienti di Fourier
di una f ∈ L1 (Q) possono tendere a zero in modo arbitrariamente lento. D’altra parte, la
mappa F : L1 (Q) → c0 (Z) non è surjettiva, e quindi a partire da una {dk }k∈Z ∈ c0 non è
detto che esista una f ∈ L1 (Q) per cui fˆ (k) = dk per ogni k.
Una tecnica simile a quella che ha portato al risultato di Fejér visto nella sezione precedente può essere utilizzata per ottenere risultati di sommabilità in norma-Lp , per medie più
generali di quella di Cesàro. Per arrivare a questi risultati, richiamiamo alcune proprietà del
prodotto di convoluzione.
2.8.4 Convoluzioni
Se f, g : Rn → C sono funzioni misurabili, il loro prodotto di convoluzione è definito come
Z
(f ∗ g) (x) :=
f (x − t) g (t) dt
Rn
purchè l’integrale abbia senso. Questa operazione soddisfa le seguenti proprietà:
Proposizione 2.18 R: i) f ∗ g = g ∗ f. R
R
g (x) dx .
ii) Se f, g ≥ 0 si ha Rn (f ∗ g) (x) dx = Rn f (x) dx
Rn
iii) Se f, g ∈ L1 (Rn ) la quantità (f ∗ g) (x) esiste per quasi ogni x ∈ Rn , ed inoltre f ∗ g ∈
L1 (Rn ) , con kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 .
Esercizio 14 : Dimostrare la Proposizione.
Allo stesso modo definiamo la convoluzione tra due funzioni f, g : R → R, 2π-periodiche,
come
Z
dt
f (x − t) g (t)
.
(2.32)
(f ∗ g) (x) :=
2π
Q
Se f, g ∈ L1 (Q) ne otteniamo una funzione 2π-periodica, appartenente a L1 (Q) , che soddisfa
kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 .
(2.33)
Per f, g, h 2π-periodiche valgono anche le seguenti proprietà:
Proposizione 2.19 : i) f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h e (f + g) ∗ h = f ∗ h + g ∗ h.
ii) (f ∗ g) ˆ (k) = fˆ (k) ĝ (k) .
1
1
iii) Se f ∈ L1 (Q) , g ∈ Cper
(R) allora f ∗ g ∈ Cper
(R) e
(f ∗ g)0 (x) = (f ∗ g 0 ) (x) .
iv) Se f ∈ L1 (Q) e g ∈ L∞ (Q) , allora f ∗ g è uniformemente continua, e
kf ∗ gk∞ ≤ kf k1 kgk∞
v) In L1 (Q) non esiste identità per la convoluzione, cioè: non esiste alcuna g ∈ L1 (Q) tale
che
f ∗ g = f per ogni f ∈ L1 (Q) .
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
18
Esercizio 15 : Dimostrare la Proposizione.
Infine dalle proprietà appena enunciate possiamo dedurre il seguente fatto. Per ogni
g ∈ L1 (Q) definiamo l’operatore
Tg : f 7→ f ∗ g
che è chiaramente lineare, e soddisfa
Tg : L1 (Q) → L1 (Q)
con norma kTg k1,1 ≤ kgk1 ;
Tg : L∞ (Q) → L∞ (Q)
con norma kTg k∞,∞ ≤ kgk1 .
Applicando il Teorema di Riesz-Thorin ne deduciamo
Teorema 2.20 (Young): Per ogni g ∈ L1 (Q) e per ogni p ∈ [1, ∞] si ha
Tg : Lp (Q) → Lp (Q) con norma kTg kp,p ≤ kgk1 .
2.8.5 Nuclei di sommabilità
L’assenza, in L1 (Q) , di un’identità per il prodotto di convoluzione è dovuta al lemma di
Riemann-Lebesgue. Infatti, se fosse f ∗ g = f ∀f ∈ L1 (Q) per qualche g ∈ L1 (Q) , avremmo
ĝ (k) ≡ 1, e questo non può valere.
Esistono però in L1 (Q) le identità approssimate, o nuclei di sommabilità. Queste sono famiglie
{kN }N ∈N ⊂ L1 (Q) che soddisfano:
i)
R
• ii)
R
• iii)
R
•
dx
2π
Q
kN (x)
Q
|kN (x)|
δ<|x|<π
= 1 ∀N.
dx
2π
≤C
|kN (x)|
dx
2π
∀N.
→ 0 per N → +∞, per ogni 0 < δ < π.
Un esempio di nucleo di sommabilità è costituito dal nucleo di Fejér {KN }, mentre non lo è il
nucleo di Dirichlet, perchè kDN k1 → +∞ (vd. Lemma 2.3).
La convoluzione di una f ∈ L1 (Q) con gli elementi kN di un nucleo di sommabilità soddisfa
ovviamente
(f ∗ kN ) ˆ (j) = fˆ (j) (kN ) ˆ (j) ∀j ∈ Z
e quindi la serie di Fourier di f ∗ kN è
S (f ∗ kN ) (x) ≈
X
j∈Z
(kN ) ˆ (j) fˆ (j) eijx .
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
19
2.8.6 Spazi di Banach omogenei ed il teorema di Fejér
Uno spazio di Banach omogeneo su Q è un sottospazio X di L1 (Q) , con norma k·kX ≥
k·kL1 (Q) rispetto a cui è completo, e che soddisfa
A) ∀f ∈ X, ∀y ∈ Q la funzione traslata fy : x 7→ f (x − y) appartiene ad X, e ha la stessa
norma.
B) Le traslazioni sono continue in X, cioè kfy − f kX → 0 se y → 0, ∀f ∈ X.
Esercizio 16 : Dimostrare che sono spazi di Banach omogenei gli spazi Cper Q ed Lp (Q)
con 1 ≤ p < +∞, mentre non lo è L∞ (Q) .
Teorema 2.21 (Fejér): Siano X uno spazio di Banach omogeneo su Q, e {kN } un nucleo di
sommabilità per L1 (Q) . Allora, per ogni f ∈ X
kkN ∗ f − f kX → 0
per N → +∞.
Dim.:
Z
dy
kkN ∗ f − f kX = kN (y) f (· − y) 2π − f (·)
Q
Z
ZX
dy dy
=
|kN (y)| kfy − f kX
kN (y) [fy − f ] (·) 2π ≤
2π
Q
Q
X
Z
Z
dy
+
=
|kN (y)| kfy − f kX
2π
|y|≤δ
δ<|y|≤π
!Z
dy
|kN (y)| +
≤ sup kfy − f kX
2π
|y|≤δ
|y|≤δ
!Z
dy
+
sup kfy − f kX
|kN (y)|
2π
δ<|y|≤π
δ<|y|≤π
Z
dy
≤ C sup kfy − f kX + 2 kf kX
|kN (y)|
2π
|y|≤δ
δ<|y|≤π
per ogni δ ∈ (0, π) . Ora è sufficiente, fissato ε > 0, determinare δ in modo che sup kfy − f k < ε,
|y|≤δ
e poi far tendere N all’infinito.
Oss. 2.9: In L∞ (Q) il teorema non vale. Ad esempio, se f ∈ L∞ (Q) ma f ∈
/ Cper Q , ed
usiamo un nucleo composto da funzioni kN ∈ Cper Q , sappiamo che kN ∗ f ∈ Cper Q e
quindi la convergenza ad f non può essere uniforme.
Oss. 2.10: Applicando il teorema ad X = L2 (Q) ed al nucleo di Fejér otteniamo
σN f → f
in L2 (Q)
e le funzioni σN f sono polinomi trigonometrici. Perciò, i polinomi trigonometrici sono densi in
L2 (Q) (questa è una dimostrazione alternativa della completezza del sistema trigonometrico).
CAPITOLO 2. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE
20
Oss. 2.11: Il prodotto di convoluzione è definibile anche tra una f ∈ L1 (Q) ed una misura
µ in Q come
Z
(f ∗ µ) (x) =
f (x − t) dµ (t) .
Q
In questo caso la misura di Dirac δ0 fungeda unità per
la convoluzione. Il teorema di Fejér
dx
approssima la δ0 .
può essere riletto dicendo che la famiglia kN (x)
2π
Bibliografia
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S.Salsa, Equazioni a Derivate Parziali, Springer, 2004.
D.Roux, Lezioni di Analisi Superiore, Masson, 1992.
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W.Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1974.
E.Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 1989.
Y.Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, Dover, 1976.