Capitolo 10 La media pesata - Dipartimento di Fisica e Astronomia

Capitolo 10
La media pesata
Supponiamo che una stessa grandezza sia stata misurata da osservatori differenti (es. velocità della luce) in laboratori con strumenti e metodi di misura
differenti:
Laboratorio A: c = cA ± σA
Laboratorio B: c = cB ± σB
Come si possono combinare questi dati per ottenere la miglior stima di c
?
Non è conveniente applicare la media aritmetica perchè in generale σA 6=
σB .
10.1
Calcolo della media pesata
Sia X il valore di aspettazione della comune grandezza x che entrambi gli
sperimentatori stanno misurando. Ciascuna serie di misure (A e B) segua
una distribuzione gaussiana, con errore quadratico medio σA e σB , rispettivamente. La probabilità che lo sperimentatore A trovi come risultato di una
misura il valore xA è:
"
#
1
− (xA − X)2
P (xA ) ∝
exp
σA
2σA2
Analogamente, la probabilità che lo sperimentatore B trovi come risultato
di una misura il valore xB è:
"
#
1
− (xB − X)2
P (xB ) ∝
exp
σB
2σB2
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CAPITOLO 10. LA MEDIA PESATA
Qual è la probabilità complessiva che i due sperimentatori ottengano i
due valori xA e xB ?
Le due serie di misure rappresentano due eventi compatibili indipendenti,
per cui la probabilità composta è data dal prodotto delle probabilità:
2
1 1
χ
P (xA e xB ) = P (xA ) × P (xB ) ∝
exp −
σA σB
2
2
χ =
xA − X
σA
2
+
xB − X
σB
2
La probabilità composta sarà massima se l’esponente χ2 è minimo:
d
xA − X
xB − X
χ2 = 0 =⇒ −2
−2
=0
2
dX
σA
σB2
2
2
d2
2
χ
= 2 + 2 >0
2
dX
σA σB
xA
xB
+
2
σ2
σB
Xbest = A
1
1
+
σ2
σ2
A
Se definiamo i pesi:
B
pA =
1
σA2
pB =
1
σB2
Possiamo riscrivere il risultato sulla migliore stima di X:
media pesata = x̄p =
pA xA + pB xB
pA + pB
In generale, la forma funzionale della media pesata si ritrova in varie
applicazioni di utilizzo frequente.
• Esempio: coordinate del centro di massa di una distribuzione discreta
di masse nello spazio (i pesi sono le masse dei punti materiali)
~ = m1 r~1 + m2 r~2 + · · · + mk r~k
R
m1 + m2 + · · · + mk
119
10.1. CALCOLO DELLA MEDIA PESATA
• Esempio: voto di laurea dove ciascun voto V è pesato dal rispettivo
numero di crediti formativi cf u
voto di laurea =
cf u1 V1 + cf u2 V2 + · · · + cf uk Vk
cf u1 + cf u2 + · · · + cf uk
Ritornando al caso di misure diverse di una stessa grandezza fisica si
osserva che la misura con peso maggiore è quella che corrisponde all’errore
quadratico σ medio più piccolo, cioè alla distribuzione più stretta. Risultati più precisi, con indeterminazioni più basse, pesano maggiormente nella
determinazione della miglior stima di X.
10.1.1
Media pesata: metodo diretto
Generalizziamo al caso di N serie di misure di una stessa grandezza fisica
ottenute in condizioni differenti (strumento di misura, sperimentatore, laboratorio). Assumiamo che ciascuna serie di misure sia stata ottenuta mediante
l’utilizzo di metodi diretti o di strumenti tarati e sia descrivibile da una distribuzione gaussiana con media aritmetica x̄i e indeterminazione statistica
σx̄i . Quale criterio adottare per ottenere la miglior stima del valore vero e
relativa indeterminazione, sfruttando l’informazione a disposizione ?
Estendendo i risultati appena trovati possiamo scrivere:
x̄p =
N
X
pi x̄i
i=1
N
X
con pi =
pi
1
σx̄i
2
i=1
Quale indeterminazione associare alla media pesata?
Essendo la media pesata vista come funzione di N grandezze si deve
applicare la propagazione degli errori statistici (somma in quadratura):
s
2 2
2
∂ x̄p
∂ x̄p
∂ x̄p
σx̄p =
σx̄
σx̄
σx̄
+
+···+
=
∂ x̄1 1
∂ x̄2 2
∂ x̄N N
v
v
u
u N
N
u X
uX
2
v
u
u
(pi σi )
pi
u
u
2 u
N X
u
u i=1
u i=1
1
1
1
u
σ
=u
=u
=v
!
2
u
u N !2 = u N !2
2 i
uN
N
σi
u X
u X
u X
uX
i=1
t
t
t
t
pi
pi
pi
pi
i=1
i=1
i=1
i=1
120
CAPITOLO 10. LA MEDIA PESATA
Quindi, ricapitolando, la media pesata è definita come:
x̄p =
N
X
pi x̄i
i=1
N
X
pi
i=1
e l’indeterminazione sulla media pesata :
1
σx̄p = v
uN
uX
t
pi
i=1
2
maggiori alle misure più precise,
dove si attribuiscono “pesi” pi = σ1x̄
i
corrispondenti a distribuzioni più strette.
Caso particolare.
N gruppi di misure prese in identiche condizioni: σ1 = σ2 = · · · σN = σ
→ pesi uguali =⇒ la media pesata coincide con la media aritmetica.
La media pesata consente di migliorare la precisione delle misure, essendo l’indeterminazione della media pesata sempre minore della più piccola
indeterminazione singola.
Infatti essendo
N
X 1
1
1
1
=⇒ 2 > 2 ∀ i =⇒ σx̄2p < σx̄2i ∀ i
=
2
2
σx̄p
σ
σx̄p
σx̄i
i=1 x̄i
Inoltre, ne segue che l’aggiunta di una nuova misura, anche se di precisione
inferiore rispetto a quelle già esistenti (σ maggiore), consente comunque di
migliorare la stima della grandezza fisica, diminuendone l’indeterminazione
finale.
10.1.2
Media pesata: metodo indiretto
I risultati possono essere estesi al caso in cui la grandezza fisica G = G(x1 , x2 , · · · xk )
sia misurabile con un metodo indiretto, ovvero sia funzione di altre grandezze
xj misurate direttamente.
121
10.1. CALCOLO DELLA MEDIA PESATA
Si abbiano a disposizione n misure di G, suddivise in N serie di misure
N
X
ripetute in condizioni identiche. Deve valere la condizione
nj = n, dove
j=1
nj è la popolazione (numero di misure) della serie j-esima.
Ciascuna serie contenga misure delle grandezze xj ottenute con il metodo
diretto, con media aritmetica x̄j e scarto quadratico medio σx̄j . Relativamente a ciascuna serie j-esima la soluzione al problema della misura è dato
da: Ḡj ± σḠj dove Ḡj = G(x̄1j , x̄2j , · · · x̄kj ) e σḠj è dato dalla propagazione
degli errori statistici. La soluzione al problema della misura per la grandezza
G è data dalla media pesata Ḡp ± σḠp , dove
Ḡp =
N
X
Ḡj pj
j=1
N
X
σḠp
pj
j=1
10.1.3
v
u 1
=u
u N
uX
t
pj
pj =
1
2
σḠ
j
j=1
Media pesata: compatibilità dei dati
L’utilizzo della media pesata richiede una verifica a priori del grado di compatibilità dei diversi dati a nostra disposizione. Non esiste un criterio assoluto,
ma solo una pratica ragionevole.
Supponiamo di avere 2 misure diverse della stessa quantità:
m̄1 ± σ(m̄1 ) e m̄2 ± σ(m̄2 )
Si calcoli il modulo della differenza D = |m̄1 − m̄2 |. L’incertezza sulla
differenza D si stima con la formula di propagazione degli errori statistici:
σ(D) =
p
σ 2 (m̄1 ) + σ 2 (m̄2 )
Infine si calcoli la differenza tra le misure D in unità dell’indeterminazione
statistica su D (numero di deviazioni standard):
Nσ =
D
|m̄1 − m̄2 |
=p
2
σ(D)
σ (m̄1 ) + σ 2 (m̄2 )
È chiaro che il caso D = 0 indica compatibilità dei dati, i rispettivi valori
medi coincidono. Tuttavia anche se D 6= 0 vi può essere compatibilità se le
indeterminazioni statistiche sono sufficientemente grandi.
Regola pratica:
122
CAPITOLO 10. LA MEDIA PESATA
• Nσ < 1 compatibilità ottima
• 1 < Nσ < 2 compatibilità buona
• 2 < Nσ < 3 compatibilità discreta/mediocre
• Nσ > 3 incompatibilità
Nel caso di k misure si valuta la compatibilità tra quelle due più lontane, m̄a e m̄b . Se sono compatibili anche tutte le altre lo sono, se sono
incompatibili si confrontano:
Da =
k
X
j=1
|m̄j − m̄a | e Db =
k
X
|m̄j − m̄b |
j=1
Quindi si scarta il max(Da , Db ) e si ripete la procedura con le k −1 misure
restanti.
Alternativa:
si procede per via grafica, trovando l’intersezione comune tra gli intervalli
m̄j ±σ(m̄j ) (oppure ±2σ(m̄j ) oppure ±3σ(m̄j )). Se l’intersezione è non nulla
la compatibilità è assicurata, altrimenti si procede al rigetto della misura
“anomala” e si ripete il confronto grafico con quelle restanti.