DISUGUAGLIANZA TRA MEDIA GEOMETRICA E ARITMETICA Dati

DISUGUAGLIANZA TRA MEDIA GEOMETRICA E
ARITMETICA
Dati n numeri reali positivi x1 , x2 , · · · xn la formula della media aritmetica è:
Pn
xi
x1 + x2 + · · · + xn
Ma =
= i=1
n
n
Dati n numeri reali positivi x1 , x2 , · · · xn la formula della media geometrica è:
v
un
Y
u
√
n
n
Mg = x1 · x2 · · · xn = t xi
i=1
Si ha la seguente disuguaglianza
v
u n
Pn
Y
u
xi
n
t
= Ma
xi ≤ i=1
Mg =
n
i=1
Si farà uso del principio di induzione
• Per n = 1 la disuguaglianza è vera risultando
x1 = x1
• Supponiamo che al passo n − 1 risulti
v
un−1
Pn−1
uY
xi
n−1
0
xi ≤ i=1
= Ma0
Mg = t
n
−
1
i=1
Si ha
(xn − Ma0 )
(n − 1) 0 xn
0
Ma +
= Ma +
,
Ma =
n
n
n
n n
xn − Ma0 1
Ma
xn − Ma0 1
Ma
=
1
+
,
=
1
+
Ma0
Ma0
n
Ma0
Ma0
n
Per applicare la disuguaglianza di Bernoulli dovrà risultare −Ma0 + xn ≥
−nMa0 ossia (n − 1)Ma0 + xn ≥ 0, che risulta verificata.
Pertanto
n Ma
xn − Ma0
xn
≥ 1+
= 0
Ma0
Ma0
Ma
(Ma )n ≥ xn (Ma0 )n−1 ,
e quindi per l’ipotesi induttiva
(Ma )n ≥ xn (G0a )n−1 = x1 · x2 . . . xn =
n
Y
i=1
e la dimostrazione è completa
1
xi ,