1 Vibrazioni di mezzi continui

1
1.1
Vibrazioni di mezzi continui
Vibrazioni longitudinali
Consideriamo un prisma elastico di lunghezza l e di sezione variabile A(x).
Le forze che agiscono sulle sezioni trasversali di un elemento del prisma sono date da P (x)
e P (x + dx) con P = σA = EA ∂u
∂x , dove σ è lo sforzo assiale, E il modulo di Young, u lo
spostamento assiale e ∂u
∂x la deformazione assiale; se f (x, t) denota la forza esterna per unità
di lunghezza, possiamo scrivere
2
P (x + dx) − P (x) + f (x, t)dx = ρA(x)dx ∂ u2
∂t
∂2u
dx
−
P
(x)
+
f
(x,
t)dx
=
ρA(x)dx
P (x) + ∂P
∂x
∂t2
∂ [EA(x) ∂u ]dx + f (x, t)dx = ρA(x) ∂ 2 u dx.
∂x
∂x
∂t2
Se le sezioni trasversali hanno area costante, si ha
EA
∂2u
∂2u
+
f
(x,
t)
=
ρA
.
∂x2
∂t2
Se poniamo f (x, t) = 0, l’equazione risulta
2
∂2u
−2 ∂ u
=
c
∂x2
∂t2
con c =
q
E
.
ρ
Come condizioni al contorno consideriamo i casi seguenti
1.1.1
Soluzione dell’equazione differenziale omogenea
Sia data l’equazione
uxx = c−2 utt
0<x<p
t>0
con le I.C.
u(x, 0) = f (x)
ut (x, 0) = g(x)
0<x<p
e con le B.C.
u(0, t) = 0
u(p, t) = 0
t > 0.
Per la soluzione impieghiamo la tecnica della separazione delle variabili assumendo u(x, t) =
X(x)T (t); sostituendo nell’equazione si ha
X 00 + λ2 X = 0
T 00 + λ2 c2 T = 0
0<x<p
t > 0.
Le condizioni al contorno X(0)T (t) = 0 e X(p)T (t) = 0, non potendo T (t) essere identicamente nulla, richiedono X(0) = X(p) = 0; la soluzione dell’equazione in x è data, a meno
di una costante moltiplicativa, da
Xn (x) = sin λn x
con λn = nπ
p dove n = 1, 2, . . . ;
le soluzioni dell’equazione in t, con questi valori di λ, valgono
Tn (t) = an cos
Combinando le due soluzioni abbiamo
nπ
nπ
ct + bn sin
ct.
p
p
un (x, t) = (an cos
nπ
nπ
nπ
ct + bn sin
ct) sin
x
p
p
p
I punti in cui sin nπ
p x = 0, sono detti nodi e fisicamente corrispondono ai punti in cui la
corda è immobile, qualunque sia t; il numero dei nodi dipende da n; per n = 1 non vi sono
nodi nell’intervallo (0, p).
Se pensiamo di fissare x, un (x, t) rappresenta il moto di un punto della corda di ascissa
x; per completare la soluzione, formiamo la combinazione lineare
u(x, t) =
∞
X
un (x, t) =
n=1
∞
X
(an cos
n=1
nπ
nπ
nπ
ct + bn sin
ct) sin
x;
p
p
p
imponendo la prima I.C. si ha
u(x, 0) = f (x) =
X
an sin
nπ
x
p
da cui ricaviamo
an =
2Z p
nπ
f (x) sin
xdx.
p 0
p
Dalla seconda I.C. si ha
ut (x, 0) = g(x) =
da cui
1.1.2
X nπc
p
bn sin
nπ
xdx
p
nπc
2Z p
nπ
bn =
g(x) sin
xdx.
p
p 0
p
Soluzione dell’equazione differenziale non omogenea
Caso I: B.C. omogenee; consideriamo l’equazione
uxx = c−2 utt − q(x, t)
0<x<p
B.C.:
B1 [u] = 0
B2 [u] = 0
I.C.:
u(x, 0) = f (x)
ut (x, 0) = g(x)
t>0
t>0
0<x<p
Usando un procedimento già adottato nel caso dell’equazione della conduzione del calore,
assumiamo che la soluzione possa scriversi
u(x, t) =
X
En (t)ϕn (x)
dove le ϕn sono le autofunzioni del problema agli autovalori associato
X 00 + λX = 0
(1)
con B1 [X] = B2 [X] = 0
e le En sono funzioni da determinarsi. Riscriviamo l’equazione di partenza nel modo seguente
c2 q(x, t) = utt − c2 uxx .
Sostituendo nell’equazione (1) otteniamo
c2 q(x, t) =
X
[En00 (t)ϕn (x) − c2 En (t)ϕ00n (x)]
Essendo però
ϕ00n + λn ϕn = 0
con λn = +kn2 , possiamo scrivere
c2 q(x, t) =
X
[En00 (t)ϕn (x) + c2 k 2 En (t)ϕn (x)].
(2)
Se immaginiamo di fissare la variabile t, l’espressione (2) è una serie generalizzata di Fourier
della funzione c2 q(x, t) i cui coefficienti si ricavano osservando che
En00 (t)
−2
2 2
+ c k En (t) = ||ϕn (x)||
p
Z
0
c2 q(x, t)ϕn (x)dx = c2 Qn (t)
dove n = 1, 2, . . . e con
||ϕn (x)||2 =
p
Z
0
ϕ2n (x)dx.
L’equazione (3), per ogni n, è un’equazione differenziale la cui soluzione vale
En (t) = an cos kn ct + bn sin kn ct +
c Zt
sin [kn c(t − τ )]Qn (τ )dτ
kn 0
con n = 1, 2, . . .
L’equazione (1) si riscrive allora
u(x, t) =
X
c Zt
sin [kn c(t − τ )]Qn (τ )dτ }ϕn (x)
{an cos kn ct + bn sin kn ct +
kn 0
Imponendo le I.C. otteniamo
P
u(x, 0) = f (x) = an ϕn (x)
P
ut (x, 0) = g(x) = bn kn cϕn (x)
da cui ricaviamo
(3)
−2
an = ||ϕn (x)||
p
Z
f (x)ϕn (x)dx
0
kn cbn = ||ϕn (x)||−2
Z
0
p
g(x)ϕn (x)dx
Nota: una delle differenze maggiori tra la soluzione dell’equazione delle onde e la soluzione
dell’equazione della conduzione del calore è che in quest’ultima sono presenti dei termini
esponenziali che tendono a zero rapidamente all’aumentare di u, mentre nella prima sono
presenti dei termini oscillanti in t; ciò significa che nel caso dell’equazione delle onde si trova,
ad esempio
uxx = −
X nπ
(
p
)2 [an cos
nπct
nπct
nπ
+ bn sin
] sin
x
p
p
p
in cui, a causa del termine in n2 nel numeratore, questa serie può non convergere (anche se
converge la corrispondente u(x, t)).
Esempio Un prisma di sezione uniforme A, densità ρ, modulo di elasticità E, e lunghezza
l, è fissato ad un estremo ed è sottoposto ad una forza assiale F0 all’altra estremità. Come
oscilla il prisma se la forza è bruscamente rilasciata all’istante t = 0 ?
L’equazione è
uxx = c−2 utt
con u(0, t) = 0 e ∂u
∂x x=l = 0;
poiché vale la relazione FA0 = Eε, l’allungamento del prisma, prima del rilascio di F0 , vale
u(x, 0) = εx =
F0
x
AE
0 < x < l;
(4)
inoltre, essendo nulla la velocità iniziale, abbiamo u̇(x, 0) = 0, 0 < x < l. La soluzione
dell’equazione delle vibrazioni longitudinali si scrive
u(x, t) =
X
(An cos λn ct + Bn sin λn ct)(Cn cos λn x + Dn sin λn x)
(5)
La condizione u(0, t) = 0 richiede Cn = 0;
la condizione
X
∂u =
(An cos λn ct + Bn sin λn ct)Dn λn cos λn · l = 0
∂x x=l
richiede cos λn l = 0; abbiamo pertanto λn l = (2n+1) π2 ⇒ λn =
l’equazione 5 si scrive allora
u(x, t) =
X
(An cos
(2n + 1)π
, con n = 0, 1, 2, . . .
2l
2n + 1
2n + 1
2n + 1
πct + Bn sin
πct) sin
πx
2l
2l
2l
imponendo la condizione u̇(x, 0) = 0
X
∂u 2n + 1
2n + 1
2n + 1
2n + 1
2n + 1
(−An
πc sin
πct + Bn
πc cos
πct) sin
πx|t=0
=
∂t t=0
2l
2l
2l
2l
2l
ricaviamo Bn = 0; la condizione (4) richiede
X
2n + 1
F0
x=
An sin
πx
AE
2l
da cui
An =
2 Z l F0
2n + 1
8F0 l (−1)n
x sin
πxdx =
.
l 0 AE
2l
EAπ 2 (2n + 1)2
La soluzione generale è allora
u(x, t) =
8F0 l X (−1)n
2n + 1
2n + 1
sin
πx cos
πct
2
2
EAπ
(2n + 1)
2l
2l
e, per x = l,
u(l, t) =
8F0 l X
1
2n + 1
cos
πct
2
2
EAπ
(2n + 1)
2l
ancora, per t = 0,
u(l, 0) =
8F0 l X
1
1
1
8F0 l π 2
F0 l
(1
+
+
+
+
.
.
.)
=
·
=
2
2
EAπ
9 25 49
EAπ
8
EA
cioè lo spostamento iniziale.
1.2
Vibrazioni trasversali
Per ricavare l’equazione differenziale del moto delle oscillazioni trasversali di un prisma,
consideriamo le forze ed i momenti agenti sull’elemento di figura
Se la deflessione W (x, t) è dovuta soltanto al momento flettente, il modello è detto di
Euler-Bernoulli; indichiamo con M (x, t), V (x, t) ed f (x, t) rispettivamente il momento flettente, la forza di taglio e la forza esterna per unità di lunghezza; l’equazione del moto nella
direzione z è data da
V (x, t) − V (x + dx, t) + f (x, t)dx = ρA(x)dx
∂ 2 W (x, t)
∂t2
(6)
dove ρ è la densità ed A(x) l’area della sezione trasversale del prisma. La risultante dei
momenti intorno all’asse y nel punto 0, conduce a
M (x + dx, t) − M (x, t) − V (x + dx, t)dx + f (x, t)dx
dx
= 0;
2
(7)
sviluppando V (x + dx) in serie di Taylor, V (x + dx) ≈ V (x) + ∂V
∂x dx, dall’ equazione (6) si
ottiene
−
∂V
∂2W
dx + f (x, t)dx = ρA(x)dx 2 .
∂x
∂t
(8)
Sviluppando M (x + dx) in serie di Taylor, e trascurando i termini del secondo ordine in dx,
dall’equazione (7) si ottiene
∂M (x, t)
dx − V (x, t)dx = 0
∂x
Pertanto l’equazione (8) si può scrivere
∂ 2 M (x, t)
∂ 2 W (x, t)
+
f
(x,
t)
=
ρA(x)
(9)
∂x2
∂t2
Dalla teoria elementare dell’elasticità si ricava la seguente relazione tra il momento flettente e la deflessione
−
M (x, t) = E · I(x)
∂ 2 W (x, t)
∂x2
(10)
dove I(x) è il momento d’inerzia della sezione trasversale intorno all’asse y; ponendo l’equazione
(10) nell’equazione (9) otteniamo
ρA(x)
∂ 2 W (x, t)
∂2
∂ 2 W (x, t)
+
[E
·
I(x)
] = f (x, t).
∂t2
∂x2
∂x2
(11)
Se la sezione A(x) è costante, segue
∂4W
∂2W
+
ρA
= f (x, t)
∂x4
∂t2
(12)
∂4W
∂2W
1
+
=
f (x, t)
4
2
∂x
∂t
ρA
(13)
EI
oppure
c2
r
avendo posto
EI = c.
ρA
Poiché l’equazione del moto contiene una derivata seconda rispetto al tempo ed una
derivata quarta rispetto ad x, si richiedono due I.C. e quattro B.C.; alcune delle condizioni
al contorno sono schematizzate nella figura seguente
1.2.1
Soluzione dell’equazione differenziale omogenea
Poniamo W (x, t) = X(x)T (t) nell’equazione (13) con f (x, t) = 0; otteniamo
c2 d4 X(x)
1 d2 T (t)
=
−
=λ
X(x) dx4
T (t) dt2
da cui
d4 X
λ
− 2X = 0
4
dx
c
(14)
d2 T
+ λT = 0
dt2
(15)
Poiché la costante λ non può essere negativa (⇒ λ = ω 2 ) scriveremo
d4 X(x)
− β 4 X(x) = 0
dx4
(16)
2
ρA ω 2 ; la soluzione dell’ equazione (15) si scrive
avendo posto ω2 = β 4 = EI
c
T (t) = A cos ωt + B sin ωt.
(17)
Per risolvere l’equazione (14) poniamo X(x) = Cesx dove C ed s sono delle costanti da
determinarsi. L’equazione ausiliaria s4 − β 4 = 0 ammette le radici
s1,2 = ±β e s3,4 = ±iβ.
La soluzione dell’equazione (14) può allora scriversi
X(x) = C1 cos βx + C2 sin βx + C3 cosh βx + C4 sinh βx.
(18)
Per determianre le costenti Ci dobbiamo imporre le condizioni al contorno
Esempio Determinare le frequenze naturali di vibrazione di un prisma di sezione uniforme
vincolata in x = 0 e libero in x = L.
Ricordiamo che le condizioni al contorno richiedono
in x = 0 la def lessione è uguale a zero, cioè W (0, t) = 0 cioè X(0) = 0
(19)
∂W (0, t)
dx in x = 0 la pendenza della def lessione è uguale a zero, cioè
= 0 cioè
=0
∂x
dx x=0
(20)
∂ 2 W d2 X
=
0
cioè
=0
∂x2 x=L
dx2
(21)
in x = L il momento f lettente è uguale a zero, cioè EI
∂
∂ 2 W d3 X
in x = L la f orza di taglio è uguale a zero, cioè
(EI
)
= 0 cioè
=0
∂x
∂x2 x=L
dx3
(22)
Le equazioni (19) (20) richiedono
X(0) = C1 · 1 + C2 · 0 + C3 · 1 + C4 · 0 = C1 + C3 = 0 ⇒ C1 = −C3
(23)
dX = β[−C1 sin βx+C2 cos βx+C3 sinh βx+C4 cosh βx]x=0 = β(C2 +C4 ) = 0 ⇒ C2 = −C4
dx x=0
(24)
L’equazione (18) si può quindi scrivere
X(x) = C1 (cos βx − cosh βx) + C2 (sin βx − sinh βx).
L’equazione (21) richiede
d2 X = −C1 β 2 (cos βL + cosh βL) − C2 β 2 (sin βL + sinh βL) = 0.
dx2 x=L
(25)
Analogamente l’equazione (22) richiede
d3 X = C1 β 3 (sin βL − sinh βL) − C2 β 3 (cos βL + cosh βL) = 0.
dx3 x=L
(26)
Il sistema formato dalle equazioni (25) e (26) richiede
cos βL + cosh βL
sin βL − sinh βL
sin βL + sinh βL
−(cos βL + cosh βL)
=0
cos2 βL + cosh2 βL + 2 cos βL cosh βL + sin2 βL − sinh2 βL = 0
cos βL cosh βL + 1 = 0.
(27)
Se ricaviamo le radici βn di questa equazione, poiché vale la relazione
ω2
ρA 2
ω = β4
2 =
EI
c
possiamo scrivere, con n = 1, 2, . . .,
ωn2 =
EI 1
(βn L)4
ρA L4
(28)
I primi quatto valori di βn L che soddisfano l’equazione (27) sono
β1 L= 1.875
β2 L= 4.694
β3 L= 7.854
β4 L=10.995.
Se il valore di C2 corrispondente a βn lo indichiamo con C2n , dall’equazione (25) ricaviamo
C2n = −C1n
cos βn L + cosh βn L
sin βn L + sinh βn L
e quindi
h
Xn (x) = C1n cos βn x − cosh βn x −
i
cos βn L + cosh βn L
(sin βn x − sinh βn x) .
sin βn L + sinh βn L
I modi normali di vibrazione possono scriversi
W (x, t) =
X
Wn (x, t) =
X
Xn (x)(An cos ωn t + Bn sin ωn t)