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1 Vibrazioni di mezzi continui
1 1.1 Vibrazioni di mezzi continui Vibrazioni longitudinali Consideriamo un prisma elastico di lunghezza l e di sezione variabile A(x). Le forze che agiscono sulle sezioni trasversali di un elemento del prisma sono date da P (x) e P (x + dx) con P = σA = EA ∂u ∂x , dove σ è lo sforzo assiale, E il modulo di Young, u lo spostamento assiale e ∂u ∂x la deformazione assiale; se f (x, t) denota la forza esterna per unità di lunghezza, possiamo scrivere 2 P (x + dx) − P (x) + f (x, t)dx = ρA(x)dx ∂ u2 ∂t ∂2u dx − P (x) + f (x, t)dx = ρA(x)dx P (x) + ∂P ∂x ∂t2 ∂ [EA(x) ∂u ]dx + f (x, t)dx = ρA(x) ∂ 2 u dx. ∂x ∂x ∂t2 Se le sezioni trasversali hanno area costante, si ha EA ∂2u ∂2u + f (x, t) = ρA . ∂x2 ∂t2 Se poniamo f (x, t) = 0, l’equazione risulta 2 ∂2u −2 ∂ u = c ∂x2 ∂t2 con c = q E . ρ Come condizioni al contorno consideriamo i casi seguenti 1.1.1 Soluzione dell’equazione differenziale omogenea Sia data l’equazione uxx = c−2 utt 0<x<p t>0 con le I.C. u(x, 0) = f (x) ut (x, 0) = g(x) 0<x<p e con le B.C. u(0, t) = 0 u(p, t) = 0 t > 0. Per la soluzione impieghiamo la tecnica della separazione delle variabili assumendo u(x, t) = X(x)T (t); sostituendo nell’equazione si ha X 00 + λ2 X = 0 T 00 + λ2 c2 T = 0 0<x<p t > 0. Le condizioni al contorno X(0)T (t) = 0 e X(p)T (t) = 0, non potendo T (t) essere identicamente nulla, richiedono X(0) = X(p) = 0; la soluzione dell’equazione in x è data, a meno di una costante moltiplicativa, da Xn (x) = sin λn x con λn = nπ p dove n = 1, 2, . . . ; le soluzioni dell’equazione in t, con questi valori di λ, valgono Tn (t) = an cos Combinando le due soluzioni abbiamo nπ nπ ct + bn sin ct. p p un (x, t) = (an cos nπ nπ nπ ct + bn sin ct) sin x p p p I punti in cui sin nπ p x = 0, sono detti nodi e fisicamente corrispondono ai punti in cui la corda è immobile, qualunque sia t; il numero dei nodi dipende da n; per n = 1 non vi sono nodi nell’intervallo (0, p). Se pensiamo di fissare x, un (x, t) rappresenta il moto di un punto della corda di ascissa x; per completare la soluzione, formiamo la combinazione lineare u(x, t) = ∞ X un (x, t) = n=1 ∞ X (an cos n=1 nπ nπ nπ ct + bn sin ct) sin x; p p p imponendo la prima I.C. si ha u(x, 0) = f (x) = X an sin nπ x p da cui ricaviamo an = 2Z p nπ f (x) sin xdx. p 0 p Dalla seconda I.C. si ha ut (x, 0) = g(x) = da cui 1.1.2 X nπc p bn sin nπ xdx p nπc 2Z p nπ bn = g(x) sin xdx. p p 0 p Soluzione dell’equazione differenziale non omogenea Caso I: B.C. omogenee; consideriamo l’equazione uxx = c−2 utt − q(x, t) 0<x<p B.C.: B1 [u] = 0 B2 [u] = 0 I.C.: u(x, 0) = f (x) ut (x, 0) = g(x) t>0 t>0 0<x<p Usando un procedimento già adottato nel caso dell’equazione della conduzione del calore, assumiamo che la soluzione possa scriversi u(x, t) = X En (t)ϕn (x) dove le ϕn sono le autofunzioni del problema agli autovalori associato X 00 + λX = 0 (1) con B1 [X] = B2 [X] = 0 e le En sono funzioni da determinarsi. Riscriviamo l’equazione di partenza nel modo seguente c2 q(x, t) = utt − c2 uxx . Sostituendo nell’equazione (1) otteniamo c2 q(x, t) = X [En00 (t)ϕn (x) − c2 En (t)ϕ00n (x)] Essendo però ϕ00n + λn ϕn = 0 con λn = +kn2 , possiamo scrivere c2 q(x, t) = X [En00 (t)ϕn (x) + c2 k 2 En (t)ϕn (x)]. (2) Se immaginiamo di fissare la variabile t, l’espressione (2) è una serie generalizzata di Fourier della funzione c2 q(x, t) i cui coefficienti si ricavano osservando che En00 (t) −2 2 2 + c k En (t) = ||ϕn (x)|| p Z 0 c2 q(x, t)ϕn (x)dx = c2 Qn (t) dove n = 1, 2, . . . e con ||ϕn (x)||2 = p Z 0 ϕ2n (x)dx. L’equazione (3), per ogni n, è un’equazione differenziale la cui soluzione vale En (t) = an cos kn ct + bn sin kn ct + c Zt sin [kn c(t − τ )]Qn (τ )dτ kn 0 con n = 1, 2, . . . L’equazione (1) si riscrive allora u(x, t) = X c Zt sin [kn c(t − τ )]Qn (τ )dτ }ϕn (x) {an cos kn ct + bn sin kn ct + kn 0 Imponendo le I.C. otteniamo P u(x, 0) = f (x) = an ϕn (x) P ut (x, 0) = g(x) = bn kn cϕn (x) da cui ricaviamo (3) −2 an = ||ϕn (x)|| p Z f (x)ϕn (x)dx 0 kn cbn = ||ϕn (x)||−2 Z 0 p g(x)ϕn (x)dx Nota: una delle differenze maggiori tra la soluzione dell’equazione delle onde e la soluzione dell’equazione della conduzione del calore è che in quest’ultima sono presenti dei termini esponenziali che tendono a zero rapidamente all’aumentare di u, mentre nella prima sono presenti dei termini oscillanti in t; ciò significa che nel caso dell’equazione delle onde si trova, ad esempio uxx = − X nπ ( p )2 [an cos nπct nπct nπ + bn sin ] sin x p p p in cui, a causa del termine in n2 nel numeratore, questa serie può non convergere (anche se converge la corrispondente u(x, t)). Esempio Un prisma di sezione uniforme A, densità ρ, modulo di elasticità E, e lunghezza l, è fissato ad un estremo ed è sottoposto ad una forza assiale F0 all’altra estremità. Come oscilla il prisma se la forza è bruscamente rilasciata all’istante t = 0 ? L’equazione è uxx = c−2 utt con u(0, t) = 0 e ∂u ∂x x=l = 0; poiché vale la relazione FA0 = Eε, l’allungamento del prisma, prima del rilascio di F0 , vale u(x, 0) = εx = F0 x AE 0 < x < l; (4) inoltre, essendo nulla la velocità iniziale, abbiamo u̇(x, 0) = 0, 0 < x < l. La soluzione dell’equazione delle vibrazioni longitudinali si scrive u(x, t) = X (An cos λn ct + Bn sin λn ct)(Cn cos λn x + Dn sin λn x) (5) La condizione u(0, t) = 0 richiede Cn = 0; la condizione X ∂u = (An cos λn ct + Bn sin λn ct)Dn λn cos λn · l = 0 ∂x x=l richiede cos λn l = 0; abbiamo pertanto λn l = (2n+1) π2 ⇒ λn = l’equazione 5 si scrive allora u(x, t) = X (An cos (2n + 1)π , con n = 0, 1, 2, . . . 2l 2n + 1 2n + 1 2n + 1 πct + Bn sin πct) sin πx 2l 2l 2l imponendo la condizione u̇(x, 0) = 0 X ∂u 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 (−An πc sin πct + Bn πc cos πct) sin πx|t=0 = ∂t t=0 2l 2l 2l 2l 2l ricaviamo Bn = 0; la condizione (4) richiede X 2n + 1 F0 x= An sin πx AE 2l da cui An = 2 Z l F0 2n + 1 8F0 l (−1)n x sin πxdx = . l 0 AE 2l EAπ 2 (2n + 1)2 La soluzione generale è allora u(x, t) = 8F0 l X (−1)n 2n + 1 2n + 1 sin πx cos πct 2 2 EAπ (2n + 1) 2l 2l e, per x = l, u(l, t) = 8F0 l X 1 2n + 1 cos πct 2 2 EAπ (2n + 1) 2l ancora, per t = 0, u(l, 0) = 8F0 l X 1 1 1 8F0 l π 2 F0 l (1 + + + + . . .) = · = 2 2 EAπ 9 25 49 EAπ 8 EA cioè lo spostamento iniziale. 1.2 Vibrazioni trasversali Per ricavare l’equazione differenziale del moto delle oscillazioni trasversali di un prisma, consideriamo le forze ed i momenti agenti sull’elemento di figura Se la deflessione W (x, t) è dovuta soltanto al momento flettente, il modello è detto di Euler-Bernoulli; indichiamo con M (x, t), V (x, t) ed f (x, t) rispettivamente il momento flettente, la forza di taglio e la forza esterna per unità di lunghezza; l’equazione del moto nella direzione z è data da V (x, t) − V (x + dx, t) + f (x, t)dx = ρA(x)dx ∂ 2 W (x, t) ∂t2 (6) dove ρ è la densità ed A(x) l’area della sezione trasversale del prisma. La risultante dei momenti intorno all’asse y nel punto 0, conduce a M (x + dx, t) − M (x, t) − V (x + dx, t)dx + f (x, t)dx dx = 0; 2 (7) sviluppando V (x + dx) in serie di Taylor, V (x + dx) ≈ V (x) + ∂V ∂x dx, dall’ equazione (6) si ottiene − ∂V ∂2W dx + f (x, t)dx = ρA(x)dx 2 . ∂x ∂t (8) Sviluppando M (x + dx) in serie di Taylor, e trascurando i termini del secondo ordine in dx, dall’equazione (7) si ottiene ∂M (x, t) dx − V (x, t)dx = 0 ∂x Pertanto l’equazione (8) si può scrivere ∂ 2 M (x, t) ∂ 2 W (x, t) + f (x, t) = ρA(x) (9) ∂x2 ∂t2 Dalla teoria elementare dell’elasticità si ricava la seguente relazione tra il momento flettente e la deflessione − M (x, t) = E · I(x) ∂ 2 W (x, t) ∂x2 (10) dove I(x) è il momento d’inerzia della sezione trasversale intorno all’asse y; ponendo l’equazione (10) nell’equazione (9) otteniamo ρA(x) ∂ 2 W (x, t) ∂2 ∂ 2 W (x, t) + [E · I(x) ] = f (x, t). ∂t2 ∂x2 ∂x2 (11) Se la sezione A(x) è costante, segue ∂4W ∂2W + ρA = f (x, t) ∂x4 ∂t2 (12) ∂4W ∂2W 1 + = f (x, t) 4 2 ∂x ∂t ρA (13) EI oppure c2 r avendo posto EI = c. ρA Poiché l’equazione del moto contiene una derivata seconda rispetto al tempo ed una derivata quarta rispetto ad x, si richiedono due I.C. e quattro B.C.; alcune delle condizioni al contorno sono schematizzate nella figura seguente 1.2.1 Soluzione dell’equazione differenziale omogenea Poniamo W (x, t) = X(x)T (t) nell’equazione (13) con f (x, t) = 0; otteniamo c2 d4 X(x) 1 d2 T (t) = − =λ X(x) dx4 T (t) dt2 da cui d4 X λ − 2X = 0 4 dx c (14) d2 T + λT = 0 dt2 (15) Poiché la costante λ non può essere negativa (⇒ λ = ω 2 ) scriveremo d4 X(x) − β 4 X(x) = 0 dx4 (16) 2 ρA ω 2 ; la soluzione dell’ equazione (15) si scrive avendo posto ω2 = β 4 = EI c T (t) = A cos ωt + B sin ωt. (17) Per risolvere l’equazione (14) poniamo X(x) = Cesx dove C ed s sono delle costanti da determinarsi. L’equazione ausiliaria s4 − β 4 = 0 ammette le radici s1,2 = ±β e s3,4 = ±iβ. La soluzione dell’equazione (14) può allora scriversi X(x) = C1 cos βx + C2 sin βx + C3 cosh βx + C4 sinh βx. (18) Per determianre le costenti Ci dobbiamo imporre le condizioni al contorno Esempio Determinare le frequenze naturali di vibrazione di un prisma di sezione uniforme vincolata in x = 0 e libero in x = L. Ricordiamo che le condizioni al contorno richiedono in x = 0 la def lessione è uguale a zero, cioè W (0, t) = 0 cioè X(0) = 0 (19) ∂W (0, t) dx in x = 0 la pendenza della def lessione è uguale a zero, cioè = 0 cioè =0 ∂x dx x=0 (20) ∂ 2 W d2 X = 0 cioè =0 ∂x2 x=L dx2 (21) in x = L il momento f lettente è uguale a zero, cioè EI ∂ ∂ 2 W d3 X in x = L la f orza di taglio è uguale a zero, cioè (EI ) = 0 cioè =0 ∂x ∂x2 x=L dx3 (22) Le equazioni (19) (20) richiedono X(0) = C1 · 1 + C2 · 0 + C3 · 1 + C4 · 0 = C1 + C3 = 0 ⇒ C1 = −C3 (23) dX = β[−C1 sin βx+C2 cos βx+C3 sinh βx+C4 cosh βx]x=0 = β(C2 +C4 ) = 0 ⇒ C2 = −C4 dx x=0 (24) L’equazione (18) si può quindi scrivere X(x) = C1 (cos βx − cosh βx) + C2 (sin βx − sinh βx). L’equazione (21) richiede d2 X = −C1 β 2 (cos βL + cosh βL) − C2 β 2 (sin βL + sinh βL) = 0. dx2 x=L (25) Analogamente l’equazione (22) richiede d3 X = C1 β 3 (sin βL − sinh βL) − C2 β 3 (cos βL + cosh βL) = 0. dx3 x=L (26) Il sistema formato dalle equazioni (25) e (26) richiede cos βL + cosh βL sin βL − sinh βL sin βL + sinh βL −(cos βL + cosh βL) =0 cos2 βL + cosh2 βL + 2 cos βL cosh βL + sin2 βL − sinh2 βL = 0 cos βL cosh βL + 1 = 0. (27) Se ricaviamo le radici βn di questa equazione, poiché vale la relazione ω2 ρA 2 ω = β4 2 = EI c possiamo scrivere, con n = 1, 2, . . ., ωn2 = EI 1 (βn L)4 ρA L4 (28) I primi quatto valori di βn L che soddisfano l’equazione (27) sono β1 L= 1.875 β2 L= 4.694 β3 L= 7.854 β4 L=10.995. Se il valore di C2 corrispondente a βn lo indichiamo con C2n , dall’equazione (25) ricaviamo C2n = −C1n cos βn L + cosh βn L sin βn L + sinh βn L e quindi h Xn (x) = C1n cos βn x − cosh βn x − i cos βn L + cosh βn L (sin βn x − sinh βn x) . sin βn L + sinh βn L I modi normali di vibrazione possono scriversi W (x, t) = X Wn (x, t) = X Xn (x)(An cos ωn t + Bn sin ωn t)