x=π/6

________________________________ IV A GAT
PRIMA VERIFICA DI MATEMATICA
23 ottobre 2014
Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; 2 π ]
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Risultati:
1. x= π/6 e x = 7π/6
2. x=π/2 ; x=π/6 ; x=5π/6
3. x=π/3 ; x=4π/3
4. x=2π/3 ; x=5π/3
5. π/4<x<3π/4
6. π/6<x<5π/6
7. π/3<x<2π/3 ; 4π/3<x<5π/3
8. 0<x<π/6
Tema di matematica
29 novembre 2014
Alunno:
1.
Sono state effettuate 100 prove sul tempo di caduta di un liquido in un
viscosimetro con un cronometro avente sensibilità di un centesimo di
secondo, ottenendo i risultati riportati nella seguente tabella:
tempo (s)
5,03
5,04
5,06
5,10
5,12
5,13
5,16
a)
b)
c)
frequenza frequenza frequenza
assoluta relativa
cumulata
2
10
28
36
16
7
1
Dopo aver completato la tabella con le frequenze relative e cumulate,
rappresenta le frequenze assolute con il diagramma che ritieni più
opportuno.
Calcola la media, la moda e la mediana.
Calcola la varianza e la deviazione standard.
NB: solo per la varianza tieni 5 cifre decimali; per gli altri risultati bastano 3
cifre decimali.
2.
In una classe di 24 alunni, il giorno della verifica ci sono 4 assenti.
L’insegnante, dopo aver corretto i compiti, stabilisce che la media è 6,1. Se,
dopo aver assegnato ai 4 assenti una prova di recupero e averla valutata, la
nuova media della classe è diventata 6,2, qual è stata la valutazione media
degli ultimi 4 compiti?
Possiamo dire con certezza che i 4 alunni assenti hanno preso tutti più di 6?
3.
In una classe di 26 allievi viene fatta un’indagine sull’ultimo libro letto. La
seguente tabella riporta i risultati dell’indagine. X indica il sesso (M o F) e Y il
genere del libro.
Y romanzo
X
M
F
4
8
giallo
fantasy
4
2
6
2
a. Determina la moda dei lettori maschi e delle lettrici femmine.
b. Determina le distribuzioni marginali di X e Y.
c. Determina la distribuzione di X condizionata alla modalità «romanzo» di Y.
d. Costruisci la tabella teorica di indipendenza di X e Y.
e. Valuta il grado di connessione.
4.
I dipendenti di una piccola azienda variano da semestre a semestre a seconda
degli ordini da soddisfare. La seguente tabella riporta quante persone lavorano
in 6 semestri.
X = numero di
semestre
Y = numero di
dipendenti
1
2
3
4
5
6
10
13
15
11
18
20
a. Rappresenta la nuvola di punti  x , y  e determina le coordinate del baricentro.
b. Calcola il coefficiente di correlazione lineare della distribuzione rappresentata.
Arrotonda il risultato alla seconda cifra decimale.
c. Scrivi l’equazione della retta di regressione che esprime il personale in
funzione del tempo. Fornisci i coefficienti arrotondati alla seconda cifra
decimale.
d. Sulla base del modello trovato, stima il numero di persone che lavoreranno
nell’azienda nel decimo semestre.
i
i
Risposte:
1. a. fantasy,romanzo;
e. ≃3.87;
della massima possibile
2. a. (3.5;14.5); b. r≃0.83; c.
normalizzato≃0.15 la connessione è quindi circa del 15%
; d. 26 ( arrotondando ad un numero intero)
Tema di matematica
28 novembre 2014
Alunno:
1. Il grafico seguente riporta le temperature registrate nel mese di maggio 2013
a Roma, espresse in °C.
a)
b)
2.
Limitatamente ai primi 10 giorni, determina la temperatura media e lo
scarto quadratico medio e stabilisci qual è stata la massima escursione
termica rispetto alla media.
Se le temperature fossero espresse in Kelvin, il che richiederebbe di
sommare 273 a ogni valore, come varierebbe la media? E lo scarto
quadratico medio?
In una classe di 24 alunni, il giorno della verifica ci sono 4 assenti.
L’insegnante, dopo aver corretto i compiti, stabilisce che la media è 6,5. Se,
dopo aver assegnato ai 4 assenti una prova di recupero e averla valutata, la
nuova media della classe è diventata 6,7 , qual è stata la valutazione media
degli ultimi 4 compiti?
Possiamo dire con certezza che i 4 alunni assenti hanno preso tutti più di 6,5?
3. In una classe di 30 allievi viene fatta un’indagine sull’ultimo libro letto. La
seguente tabella riporta i risultati dell’indagine. X indica il sesso (M o F) e Y il
genere del libro.
Y romanzo
X
M
F
4
6
giallo
fantasy
3
5
7
5
a. Determina la moda dei lettori maschi e delle lettrici femmine.
b. Determina le distribuzioni marginali di X e Y.
c. Determina la distribuzione di X condizionata alla modalità «romanzo» di Y.
d. Costruisci la tabella teorica di indipendenza di X e Y.
e. Valuta il grado di connessione.
4. I dipendenti di una piccola azienda variano da semestre a semestre a seconda
degli ordini da soddisfare. La seguente tabella riporta quante persone
lavorano in 5 semestri.
X = numero di
semestre
Y = numero di
dipendenti
1
2
3
4
5
5
8
10
16
20
a. Rappresenta la nuvola di punti  xi , yi  e determina le coordinate del baricentro.
b. Calcola il coefficiente di correlazione lineare della distribuzione rappresentata.
Arrotonda il risultato alla terza cifra decimale.
c. Scrivi l’equazione della retta di regressione che esprime il personale in
funzione del tempo.
d. Sulla base del modello trovato, stima il numero di persone che lavoreranno
nell’azienda nel decimo semestre.
Risposte:
1. a. fantasy,romanzo;
e. ≃1.1;
normalizzato≃0.037 la connessione è quindi molto bassa
circa del 3.7% della massima possibile
2. a. (3; 11.8); b r≃0 985; c.
0 ; d. 38 ( arrotondando ad un numero intero)
Calcolo combinatorio
18/12/2014
Fila A
1.
In quanti modi posso disporre 5 penne in un astuccio, scegliendole da un gruppo di 8 penne,
tutte diverse tra loro?
2.
Le targhe delle automobili sono formate da una coppia di lettere, una terna di numeri e infine
una coppia di lettere. Le lettere variano possono essere solo 22 perché sono state tolte la I, la O,
la Q e la U. Quante targhe sono possibili?
3.
In quanti modi posso mettere nella libreria 15 libri sapendo che sono di 2 autori diversi, che del
primo autore ci sono 6 libri e del secondo 9 e che si vogliono mettere vicini i libri dello stesso
autore?
4.
Alla fine di uno spettacolo teatrale gli attori, 5 uomini e 4 donne, devono uscire a raccogliere
gli applausi. In quanti modi si possono presentare al pubblico, supponendo che si dispongano
in fila e considerando i maschi indistinguibili e le donne indistinguibili? In quanti modi si
possono disporre se l’ultimo della fila è un uomo (sempre considerando i maschi indistinguibili
e le donne indistinguibili)?
5.
In quanti modi diversi si possono scegliere 2 persone per un’interrogazione tra i 24 alunni di
una classe?
6.
Usando solo le cifre 1, 2, 3, 6, 7, 8, quanti numeri di sei cifre, tutte distinte, si possono
scrivere? Come cambierebbe la risposta, ammettendo di potere ripetere le cifre? Tra questi
ultimi numeri (quelli dove si ammette anche di poter ripetere le cifre), quanti contengono
almeno una volta la cifra 7?
7.
Nella sala d’attesa di uno studio medico ci sono 10 persone: 3 uomini al di sotto dei trent’anni,
4 al di sopra dei 50 e 3 signore.
a. In quanti ordini possibili potrebbero essere arrivati, supponendo che nessuno sia arrivato
contemporaneamente ad altri?
b. Se fossero arrivate per prime 2 delle 3 signore, in quanti ordini possibili potrebbero essere
arrivati gli altri pazienti?
8.
La combinazione di una cassaforte è formata da 8 cifre (ciascuna scelta tra 0 e 9). Sapendo che
le cifre possono ripetersi e che l’ultima cifra è pari, quante combinazioni sono possibili
(considerando lo 0 pari)?
Soluzioni:
1°: 6720 ( 8*7*6*5*4)
2° : 234 256 000 ( 22*22*10*10*10*22*22 )
3° : 522 547 200 ( 9!*6!*2 )
4° : 126 = 9!/(5!*4!) e 70 = 8!/ (4!4!)
5° : 276
6°: 720 =6! ; 46656= 66 ; 31031 = 66 - 56
7°: 3 628 800 = 10! ; 40 320 =8!
8°: 50 000 000 = 107*5
Calcolo combinatorio
18/12/2014
Fila B
1.
In quanti modi posso disporre 6 penne in un astuccio, scegliendole da un gruppo di 9 penne,
tutte diverse tra loro?
2.
Le targhe dei ciclomotori sono formate da 6 caratteri scelti tra quelli numerici e quelli
alfabetici a eccezione dei caratteri 0, 1, A, E, I, O, Q, U. Quante targhe sono possibili?
3.
In quanti modi posso mettere nella libreria 15 libri sapendo che sono di 2 autori diversi, che del
primo autore ci sono 4 libri e del secondo 11 e che si vogliono mettere vicini i libri dello stesso
autore?
4.
Alla fine di uno spettacolo teatrale gli attori, 4 uomini e 7 donne, devono uscire a raccogliere
gli applausi. In quanti modi si possono presentare al pubblico, supponendo che si dispongano
in fila e considerando i maschi indistinguibili e le donne indistinguibili? In quanti modi si
possono disporre se l’ultimo della fila è una donna (sempre considerando i maschi
indistinguibili e le donne indistinguibili)?
5.
In quanti modi diversi si possono scegliere 2 persone per un’interrogazione tra i 26 alunni di
una classe?
6.
Usando solo le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, quanti numeri di sette cifre, tutte distinte, si possono
scrivere? Come cambierebbe la risposta, ammettendo di potere ripetere le cifre? Tra questi
ultimi numeri (quelli dove si ammette anche di poter ripetere le cifre), quanti contengono
almeno una volta la cifra 2?
7.
Nella sala d’attesa di uno studio medico ci sono 8 persone: 2 uomini al di sotto dei trent’anni, 4
al di sopra dei 50 e 2 signore.
a. In quanti ordini possibili potrebbero essere arrivati?
b. Se fossero arrivati per primi 2 dei quattro uomini sopra i 50 anni, in quanti ordini possibili
potrebbero essere arrivati gli altri pazienti?
8.
La combinazione di una cassaforte è formata da 6 cifre (ciascuna scelta tra 0 e 9). Sapendo che
le cifre possono ripetersi e che l’ultima cifra è pari, quante combinazioni sono possibili
(considerando lo 0 pari)?
Soluzioni:
1°: 60480 =9* 8*7*6*5*4
2° : 48108900304 = 286
3° : 1 919 006 400 = 4!*11!*2
4° : 330 = 11!/(7!*4!) e 210 = 10!/ (4!6!)
5° : 325
6°: 5040 = 7! ; 823 543 = 77 ; 543 607 = 77 – 67
7°: 40 320 = 8! ; 720 =6!
8°: 500 000 = 105*5
Nome e Cognome
28/01/2015
Tema di probabilità
1.
(3 punti )Vero o falso?
a.
b.
c.
d.
e.
f.
5
4
dato un evento A e il suo evento contrario A , i due eventi A e A possono avere la stessa probabilità
se e solo se la probabilità di A è uguale a 0,5
si estrae una carta da un mazzo di 52 carte: «esce una figura» ed «esce una carta di cuori» sono eventi
indipendenti
la probabilità di A è 0,3; quella di B è 0,6 e quella di A  B è 0,7: allora la probabilità di A  B
è il 20%
se due eventi sono contrari, la somma delle loro probabilità è uguale a 1
La seguente tabella definisce una variabile aleatoria.
la probabilità di un evento può essere uguale a
VF
VF
VF
VF
VF
VF
2.
( 1 punto )
Lanciando contemporaneamente tre monete calcola la probabilità dell’evento
E= ”le facce presentano 1 Testa e 1 Croce”
F= ”le facce presentano 3 Teste”
3.
( 1 punto )
Si lancia un dado due volte. Calcola la probabilità di ottenere:
a. due numeri la cui somma è 11;
b. due numeri la cui somma è minore di 11.
4.
( 1.5 punto )
Un oggetto prodotto da una macchina può presentare due tipi di difetti, diciamo A e B. Scelto a caso un oggetto
prodotto dalla macchina, la probabilità che presenti il difetto A è 0,1; la probabilità che presenti il difetto B è 0,2 e
la probabilità che non presenti alcun difetto è 0,75. Determina la probabilità che l’oggetto:
a. presenti almeno uno dei due difetti;
b. presenti entrambi i difetti;
c. non presenti il difetto A ma presenti il difetto B.
5.
( 1 punto )
Trova la varianza e lo scarto quadratico medio della variabile aleatoria della tabella riportata di seguito.
6.
( 2.5 punto )
Una prova scritta di matematica è strutturata come test a risposta multipla: vi sono 9 domande, ognuna con 4
possibili risposta, tra le quali una sola è esatta. Per ottenere la sufficienza occorre rispondere esattamente ad
almeno 6 domande. Uno studente impreparato indica le risposte a caso: qual è la probabilità che ottenga la
sufficienza?
(Distribuzione binomiale con n=
, p= . Lo studente ottiene la sufficienza se
Quindi la sua probabilità sarà la somma di tali probabilità, ……)
.
Nome e Cognome
28/01/2015
Risultati:
1.
F,V,V,V,V,F
2.
3/8 , 1/8
3.
1/18, 11/12
4.
0.25 , 0.05, 0.15
5.
Varianza = 3,97; scarto quadratico medio = 1,99
6.
Distribuzione binomiale con n=9, p=1/4
Lo studente ottiene la sufficienza se
.
Tale evento è l’unione di 4 eventi disgiunti e la sua probabilità sarà la somma di tali probabilità, cioè
La probabilità che lo studente impreparato ottenga la sufficienza è: 0.009994 cioè circa 1%.
Esercizio 1
Il 10% di un gruppo di persone ha contratto una data malattia. Ciascun individuo del gruppo viene
sottoposto ad un test diagnostico per rilevare la malattia. Se un individuo è malato, la probabilità che il test
risulti positivo è uguale a p; se un individuo non è malato, la probabilità che il test risulti negativo è ancora
uguale a p.
a) Il test relativo ad una persona del gruppo risulta positivo. Qual è la probabilità che abbia davvero
contratto la malattia?
b) Qual è il valore della probabilità calcolata nel punto precedente , se p = 95%?
c) Affinché la probabilità calcolata nel punto a) sia superiore al 90%, quali valori deve assumere p?
Soluzione:
Dati:
Risposta a):
calcolo
=
Risposta b) :
Risposta c):
Denominatore >0 sempre, infatti : 9-8p>0 è p<9/8
Numeratore:
Esercizio 2
20000 donne partecipano ad un programma di screening per la diagnosi precoce del tumore alla
mammella. 646 di loro risultano positive al test e vengono subito sottoposte ad un approfondimento
diagnostico (biopsia) che conferma la presenza del tumore in 132 casi. A 93 delle donne risultate
negative al test viene diagnosticata la malattia successivamente, al di fuori del programma di
screening. Riportare i dati in tabella e produrre una stima della sensibilità e della specificità del test.
Calcolare i valori predittivi positivo e negativo del test.
Soluzione
+
-
malato
132
93
225
sano
514
19261
19775
646
19354
20000
Sensibilità=Pr(+|malato)=132/225=0.587
Specificità=Pr(-|sano)=19261/19775=0.974
PPV=Pr(malato|+)=132/646=0.204
NPV=Pr(sano|-)=19261/19354=0.995
Esercizio 3
In una località marina la temperatura durante l’anno si distribuisce normalmente con media 22°C e
deviazione standard 4°C . Determina la probabilità che in un giorno a caso la temperatura sia:
a) Minore o uguale a 22
b) Maggiore di 24
c) Compresa tra 22 e 24
d) Compresa tra 18 e 24
e) Quante volte in un anno si registra la temperatura maggiore di 30°C?
Soluzione:
a) P(X≤22)=0.5
b) P(X>24)
devo fare Z=(24-22)/4=0.5
P(X>24) =1- P(X<24) =1-P(Z<0.5) = 1-0.69146 =0.3085
c) P(22≤X≤24)= P(0≤Z≤0.5)=0.69146-0.5=0.1915
d) P(18≤X≤24)= P(-1≤Z≤0.5)=0.69146-0.15866=0.5328
e) N30=365*P(X>30)=365(1-P(Z<2))=365(1-0.97725)=8.3
Esercizio 4:
La probabilità che un missile “intelligente” cada sull’obiettivo è valutata 0,8. Qual è la probabilità che
almeno due su 5 missili “intelligenti” colpisca l’obiettivo?
Soluzione:
P(X≥2)= 1-P(X=0)-P(X=1)=
1. Disegna la seguente funzione esponenziale:
y = 2x+1 – 4
2. Quale delle seguenti espressioni analitiche rappresenta l’equazione della funzione esponenziale il cui grafico
compare nella figura?
x
A)
5
y    1
2
B)
5
y 
2
C)
2
y  
5
D)

x

x 1
2
y 
5

x

3. Risolvi le seguenti equazioni:
2 x  25x  12
x=2
4  5 x  15  5 x1  35
x=1
e
x=3
x= - 3 e x= 2
4. Risolvi le seguenti disequazioni esponenziale
2
2 x4
x
1
7 
 3
1
 
4
x 1
2
x<0 o x>2
x
1 1
   
 3  3
x 1
9
x<-1
3 2x
4
3 4x  8
 x

0
x
2 2 2 2
4  4x
x<1
 x  2 x 1 1
2  3  18


 4 x  2 x  20


x>2
5. I virus presenti in un organismo aumentano secondo la legge
misurato in ore.
Determinare:
a) Il numero di virus dopo 36 ore
b) Il numero di ore necessario perché i virus quadruplichino.
, essendo N0=300 e t il tempo
N=3728
T=19.8 ore
Esponenziali e modelli di crescita esponenziale.
1. Risolvi la seguente equazione esponenziale:
22/04/2015
81x  9 x  12  0
2. Risolvi le seguenti disequazioni esponenziali:
x≤-2vx≥0
x≤ -4 v 0<x<2
3. Il numero di uccelli di una specie in via di estinzione decresce esponenzialmente.
Un modello che descrive l’evoluzione della popolazione di uccelli è costituito dalla
funzione:
dove t indica il tempo ( in anni ) trascorso a partire da oggi e y indica il corrispondente
numero di uccelli.
 Quanti esemplari di uccelli di quella specie ci sono in vita oggi? Quanti ce ne saranno tra 5
anni?
[3000; 2255]
 Tra quanto tempo gli esemplari in vita saranno soltanto 1000? [19.23 anni ]
4. In 0.1 g di lievito di birra, la riproduzione delle cellule è descritta da una funzione esponenziale.
Sappiamo che la massa triplica ogni 24 ore ( ossia un giorno).
 Determina la funzione che descrive l’aumentare della massa in funzione del tempo
 Quale sarà la massa del lievito dopo 10 giorni?
[m(t)=0.1*3t , m(10)=0.1*310=5904.9 g ]
5. Trova i punti di intersezione con gli assi e l’asintoto orizzontale della funzione:
.
Disegna il grafico.
Nello stesso sistema di assi cartesiani disegna anche il grafico della funzione:
6. Risolvi graficamente la seguente disequazione:
1. Risovi le seguenti equazioni logaritmiche:
log 3  logx  3  log x  logx  2
2. Risolvi le seguenti disequazioni logaritmiche:
logx 2  17 x  16  2
-21<x<-16 ; -1<x<4
 3x  2 
3 x 
log 1 
  log 1 
0
x5 
2 x
5
5
{}
1
 3 log x  2
log x
1/10<x<1 ; x> (10)1/3
3. Rappresenta la seguente funzione:
4. Risolvi graficamente la disequazione:
5. Un modello che è stato sviluppato per descrivere il surriscaldamento globale ( cioè il
progressivo aumento della temperatura media dell’atmosfera terrestre e degli oceani) è
costituito dalla funzione:
Dove t indica il tempo (in anni) trascorso dal 1900 e f(t) indica il corrispondente incremento
della temperatura media (in °C) della terra. Sulla base di questo modello, rispondi alle
seguenti domande.
a. Di quanto è aumentata la temperatura media della terra dal 1900 al 2010? Arrotonda il
risultato alla prima cifra decimale.
b. In quale anno la temperatura media della terra sarà 5°C in più della temperatura media
della terra nel 1900? Arrotonda il risultato ad un numero intero.
[0.9°C , 2096]
6. Il numero dei donatori di organi in Italia è cresciuto negli ultimi anni molto rapidamente. Si
è passati da 5.8 donatori effettivi registrati per milione di popolazione nel 1992 al 20.8 nel
2004. Assumendo una crescita esponenziale, quale sarà il numero di donatori per milione
nel 2020? In quale anno si avranno 200 donatori per milione di popolazione.
[Nel 2020 circa114.2, saranno 200 nel 2025]
7. Calcola il dominio della seguente funzione: