ELETTROSTATICA + Carica Elettrica + Campi Elettrici + Legge di

ELETTROSTATICA
+ Carica Elettrica
+ Campi Elettrici
+ Legge di Gauss
+ Potenziale Elettrico
+ Capacita’ Elettrica
ELETTRODINAMICA
+ Correnti
+ Campi Magnetici
+ Induzione e Induttanza
+ Equazioni di Maxwell
+ Onde Elettromagnetiche
Vogliamo ora identificare un metodo formale per descrivere l’interazione
elettrostatica a lungo raggio.
Come fa una carica ad accorgersi della presenza di un’altra carica ?
Come interagiscono senza “toccarsi” ?
Introduciamo il concetto di CAMPO, cioe’ consideriamo il fatto che una carica
elettrica instaura nello spazio attorno a se’ un campo di forze
elettrostatico che media l’interazione
se ora colloco un’altra carica in un punto qualsiasi dello spazio l’interazione
avverra’ tra questa ed il campo generato dalla prima. Il campo e’ il mezzo
che permette l’interazione
il campo elettrico e’ un campo di forze, quindi e’ un campo vettoriale (in ogni
punto l’interazione avviene secondo un’intensita’, una direzione ed un verso
specifico).
Esistono anche campi di altra natura ad esempio scalari, come puo’ essere il
campo di temperatura
campo geotermico, scalare
campo delle correnti ventose, vettoriale
intensita’
direzione e verso
definizione operativa:
una carica di prova, q0, detta carica esploratrice
sonda lo spazio in modo da poter misurare la forza
che risente a causa della presenza di un altra carica
(o in generale una distribuzione di cariche).
In un punto p misureremo una certa forza F
definiamo il vettore campo elettrico E, indipendentemente dal valore della
carica esploratrice come:
�
F
� =
E
q0
la direzione e’ quella di F e le unita’ di misura sono [N]/[C]
OSS: il campo esiste indipendentemente da q0
rappresentazione grafica e linee di forza
1) la direzione delle linee di forza, indica la
direzione di E
2) verso: le linee “escono” dalle cariche
positive ed “entrano” in quelle negative
3) la densita’ delle linee e’ proporzionale
all’intensita’ del campo
rappresentazione analitica del campo elettrico
conosciamo ora la definizione del campo elettrico e della forza elettrostatica,
applichiamole per definire il campo per alcune distribuzioni di carica
caratteristiche:
1) carica puntiforme
2) dipolo elettrico
3) distribuzione lineare di carica
4) distribuzione superficiale
carica puntiforme
1 |q1 ||q2 |
F =
4π�0 r2
|F |
1 |q|
|E| =
=
q0
4π�0 r2
con verso entrante o uscente a
seconda del segno della carica
generalizziamo al caso di N cariche:
Etot = ∑ Fi/q0 = ∑ Ei
esempio:
tre cariche tutte a distanza d
dall’origine:
q1 = +2Q
q2 = -2Q
q3 = -4Q
qual e’ il campo elettrico E netto
prodotto all’origine ?
q1 = +2Q
q2 = -2Q
q3 = -4Q
il modulo:
1 2Q
E1 =
4π�0 d2
1 2Q
E2 =
4π�0 d2
1 4Q
E3 =
4π�0 d2
direzione e verso di E
dipende dal segno della
carica:
positiva uscente
negativa entrante
1 2Q
E1 =
4π�0 d2
1 2Q
E2 =
4π�0 d2
1 4Q
E3 =
4π�0 d2
direzione e verso di E dipende dal segno della carica:
positiva uscente
negativa entrante
1 4Q
E1 + E 2 =
4π�0 d2
2 4Q
6.93Q
E = E1 + E2 + E3 = 2E3 cos(30 ) =
(0.866) =
2
4π�0 d
4π�0 d2
o
campo di un dipolo
E = E+ − E− =
�
�
1
q
q
q
−
=
2
2
4π�0 r+
r−
4π�0
�
�
�
�
1
q
1
1
q
q
−
=
−
2
2
4π�0 r+
r−
4π�0z2 (z − 12 d)2
(z + 12 d)2
1
1
−
(z − 12 d)2
(z + 12 d)2
se z � d e
�
=
d
�1
2z
1 qd
E=
2π�0 z 3
��
q
d
1
−
4π�0z2
2z
�
d
1−
2z
�−2
�−2
p = qd
�
− 1+
d
2z
�
�−2 �
d
� 1 + + ...
2z
momento
di dipolo
=
q
4π�0
�
campo di un dipolo
osservazioni:
1) se definisco p come un vettore, questo identifica l’asse
del dipolo
2) a grandi distanze il campo dipende solo da p quindi e’
invariante se raddoppio la carica e dimezzo la distanza (e
viceversa)
1
3) E ∝ 3
r
4) sull’asse del dipolo, per punti distanti, E ha lo stesso verso
di p sia sopra che sotto l’asse
5) se raddoppia la distanza il campo di dipolo ∝1/8 nel caso
di carica singola a ∝1/4. Perche’?
distribuzione lineare di carica
generalizziamo ora al caso di distribuzioni continue di carica
ci riferiremo ora a densita’ di carica e useremo il calcolo infinitesimale per
determinare il campo prodotto da alcune distribuzioni continue caratteristiche
dq = λds
elemento di carica dq in ds
all’elemento dq compete un elemento di campo dE
1 dq
1 λds
1
λds
dE =
=
=
2
2
4π�0 r
4π�0 r
4π�0 R2 + z 2
dE forma un angolo θ con l’asse della distribuzione
dE// tutti contributi nella stessa direzione di uguale intensita’
dET contributi uguali ed opposti a 2 a 2
distribuzione lineare di carica
z
z
cosθ = =
1
r
2
2
2
(z + R )
zλ
dEcosθ =
3 ds
4π�0 (z 2 + R2 ) 2
sommo ora su tutti i contributi dq (=λds), ovvero per s che va da 0 a 2πR
E=
�
dEcosθ =
λ2πR = q
E=
zλ
4π�0
(z 2
2πR
ds =
0
zλ(2πR)
4π�0
(z 2
+
3
2
R )2
cioe’ la carica totale nell’anelllo, posso scrivere E come:
qz
4π�0
+
R2 )
3
2
�
(z 2
+
z>>R
1 q
E∼
4π�0 z 2
z=0
E=0
3
2
R )2
considerate molto attentamente nel libro A22.1
campo elettrico generato da un disco carico
dq = σdA = σ(2πr)dr
dE =
zσ2πrdr
4π�0
(z 2
+
3
2
r )2
considero il disco come
una serie di tanti anelli
concentrici di raggio r,
sfrutto il risultato
precedente (q->dq)
σz
2rdr
dE =
4�0 (z 2 + r2 ) 32
�
� R
σz
2
2 − 23
E = dE =
(z + r ) 2rdr
4�0 0
σ
E=
2�0
�
z
1− √
z 2 + R2
�
cambio di variabile:
x = z2 + r2
dx = 2rdr
campo elettrico generato da un piano infinito carico
considero il campo generato da un disco carico
e faccio tendere R ad infinito:
σ
E=
2�0
�
z
1− √
z 2 + R2
�
R→∞
σ
E=
2�0
ora sapete calcolare il campo E generato da una distribuzione di carica
l’azione del campo su una carica e’ quindi:
F = qE
dove E e’ il campo prodotto dalle altre cariche a parte q
la forza elettrostatica ha lo stesso orientamento di E se q>0, opposto se q<0
dipolo in un campo elettrico
E e p definiscono completamente il problema
data la natura del
legame, la molecola
dell’acqua e’ un dipolo
dipolo in un campo elettrico
chiediamoci ora cosa fa un dipolo immerso in
un campo elettrico costante (cosa fanno le
molecole d’acqua immerse in un campo
elettrico E)
dipolo in un campo elettrico
chiediamoci ora cosa fa un dipolo immerso in
un campo elettrico costante (cosa fanno le
molecole d’acqua immerse in un campo
elettrico E)
sappiamo gia’:
1) il campo e’ costante, le forze che agiscono
su +q e -q sono uguali ed opposte
2) il centro di massa e’ fermo
3) se l’asse del dipolo non e’ allineato con le
forze agenti, instauro un momento torcente τ
pari a: τ = rF sinθ
d
r=
2
τ = F xsinθ + F (d − x)sinθ = F dsinθ
F = qE e p = qd
→ τ = pEsinθ
�
�τ = p� × E
energia potenziale del dipolo elettrico in un campo E
+ dipende dal suo orientamento nel campo
+ sara’ minima quando p ed E sono allineati
+ e’ simile ad un pendolo (ad una molla)
definiamo U0 = 0 se θ=90°
per ogni θ posso calcolare U(θ). come ?
considero ΔU = L
ma un dipolo in un campo ha un momento meccanico.
Il lavoro sara’ dunque quello corrispondente ad una rotazione θ dal momento
della forza agente
L=
�
τ dθ
U = −L = −
�
θ
90o
� θ � θ
�
pEsinθ
τ dθ
U=
= −L
− =−
τ dθ = −
90o
90o
�
U (θ) = −pEcosθ = −�
p·E
quando un dipolo ruota da θi a θf, il campo E svolge un lavoro sul dipolo pari:
L = -ΔU = -(Uf - Ui)