Fisica IV-1° parte - Dipartimento di Fisica

Fisica IV
Anno Accademico 2005-06
1°Parte  Definizione di campo elettrico. Campo vettoriale. Linee di flusso.
 Teorema di Gauss. Superfici gaussiane e applicazioni del teorema di Gauss
 Lavoro della Forza elettrica. Potenziale elettrostatico. Circuitazione del
campo elettrico.
 Campo generato da un dipolo elettrico. Forze esercitate dal campo
elettrico su un dipolo. Energia di un dipolo in campo.
 Molecole polari. Comportamento della materia in presenza di un
campo. Polarizzazione per deformazione. Polarizzazione per orientamento
 Vettore polarizzazione. Suscettività dielettrica, costante dielettrica.
 Dielettrici densi. Legge di Clausius-Mossotti
 Cristalli ferroelettrici.
1
Campo Elettrico
Definizione operativa di campo elettrico: Il vettore campo
elettrico E associato ad una determinata distribuzione di
cariche in un punto P è dato dalla forza F esercitata su una
carica di prova q0 posta nel punto P divisa per la carica q0.
(1)
E
F
q0
N 
 C 
Tale definizione di campo elettrico è indipendente dalla carica di prova (purchè sia piccola e/o molto
lontana dalle cariche che generano E) e prescinde dal manifestarsi di una forza misurabile. Proprio
in virtù dell’equazione (1) il campo elettrico potrà essere valutato misurando la forza esercitata su
una carica di prova
F21  q2 E1
F12  q1E 2
F12  F21

E1 q1

E2 q2
per la terza legge di Newton
Il campo elettrico è diretto radialmente
rispetto alla carica che lo ha generato
ed è proporzionale alla carica che lo ha
2
generato.
Campo vettoriale
Che cosa è un campo vettoriale ?
Una grandezza che varia nello spazio e ha un modulo una direzione
ed un verso, che possono essere individuati da un vettore.
Alcuni esempi a noi noti sono:
 un fiume che scorre (un liquido che scorre),
 il vento che soffia (una massa di gas che si sposta),
Con
trasferimento di
massa
 la densità di corrente elettrica che scorre in un conduttore (cariche
elettriche che si muovono),
 il flusso di calore che fluisce da un corpo ad un altro (energia che senza
viene trasferita),
trasferimento di
massa
 I campi elettrico e magnetico nello spazio.
Un campo può essere rappresentato tramite linee di flusso
3
Operazioni con i vettori
Prodotto scalare
v2
v1  v 2  v1v2 cosq
q
v2
q
v2cosq
v1
v1
Prodotto vettoriale
v1v2
v1  v 2  v1v2 sin q
v2
q
v2sinq
4
v1
Proprietà delle linee di forza del campo elettrico
In ogni punto le linee di forza del campo
elettrico hanno direzione tangente al campo in
quel punto e verso concorde con la direzione
del campo
+q
-q
Le linee di forza del campo elettrico partono
dalla carica positiva e confluiscono nella
carica negativa (o all’infinito). Le linee non si
creano e non si distruggono nello spazio tra
le cariche.
L’intensità del campo elettrico in ogni punto
è proporzionale al numero di linee che
intercettano perpendicolarmente l’area
unitaria
+ 2q
5
Utilizzando le tre proprietà delle linee di forza calcolare l’intensità del campo I a
distanza R1 ed R2 da una carica puntiforme Q , da una carica puntiforme –Q e da
una carica puntiforme 2Q
I1 
N
N

S1 4R12
I2 
N
N

S 2 4R22
Carica Q
I1
R2
I2
R1
La definizione del campo tramite linee di
flusso ne permette una immediata
visualizzazione, ma ha il un limite legato
al fatto che le linee di forza sono discrete.
I1  
N
N

S1
4R12
I2  
N
N

S2
4R22
Carica -Q
I1 
2N
2N

S1
4R12
I2 
2N
2N

S2
4R22
Carica 2Q
6
Alcuni esempi di linee di forza
7
8
Flusso di un campo vettoriale
Un modo per valutare l’intensità del campo vettoriale è quello di valutare quante linee di flusso
fluiscono attraverso una superficie ben definita nello spazio. Questo dipende dalla estensione della
superficie e anche da come la superficie è orientata rispetto alla direzione del campo.
Campo vettoriale v
Superficie
A

v
Flusso massimo
Flusso nullo
Flusso proporzionale alla
proiezione della
superficie A nella
direzione del campo
9
L’area di una spira può essere
rappresentata da un vettore A che ha come
modulo la superficie della spira ed è
orientato perpendicolarmente al piano della
spira. L’angolo tra il campo v e A è q.
Una superficie chiusa per convenzione
viene rappresentata con le normali alla
superficie orientate verso l’esterno

v
Flusso del campo elettrico
û
A
E
E
E
A
û
A
û
Il numero di linee di flusso che attraversa una superficie A è
proporzionale alla proiezione della superficie perpendicolarmente alla
direzione del campo E
û
F(E)  E Acosq  Eû A
Per una qualunque superficie A
A
F ( E )   E d
A
q
E
q
A cosq
10
Calcolare il flusso del campo elettrico F(E) attraverso una superficie cilindrica chiusa di raggio
R e lunghezza L immersa in un campo E costante diretto parallelamente all’asse del cilindro.
Calcolare il flusso del campo elettrico F(E) attraverso una superficie cubica chiusa di
lato L immersa in un campo E costante che forma un angolo q con la faccia e e
parallelo alle facce b e f.
11
Flusso attraverso una superficie chiusa in una
regione di campo senza cariche
Nel caso di una superficie arbitraria immersa in
un campo elettrico E non uniforme la superficie
può essere suddivisa in piccoli elementi di
superficie DA. Gli elementi di flusso DF(E)=EDA
vanno sommati su tutta la superficie A
F ( E )   E d  0
A
Il flusso è proporzionale al numero di linee di
flusso che attraversano la superficie. Poiché
in assenza di cariche all’interno della
superficie le linee di flusso sono continue (né
nascono né muoiono). Tante linee entrano
tante escono e quindi il flusso totale è zero.
12
Calcolare il flusso del campo elettrico F(E) attraverso una superficie sferica A chiusa di raggio R
che contiene una carica Q posta al centro
A
F ( E )  A E  dA  A
F (E) 
F (E) 
Q
40 R 2
Q
40 r
2
 
r  u dA
Q
 dA 
40 R 2
A
4R
û
R
2
Q
Q
0
E
Q
Questo vale per qualunque superficie chiusa che contiene la carica Q perché
intercetta tutte le linee di flusso uscenti da Q, indipendentemente dalla forma
della superficie
F (E) 
Q
0
Per N cariche Q1, Q2, ..QN contenute all’interno di una superficie chiusa
possiamo applicare il principio di sovrapposizione
F ( E )   (E1 E 2  ..  E N )  dA   E1  dA   E 2  dA  ...   E N  dA
A
A
F ( E )  F ( E1 )  F ( E2 )  ..  F ( E N ) 
F (E) 
Qtot
0
A
Q1
0

Q2
0
A
 .. 
QN
0
Teorema di Gauss
13
14
Superfici Gaussiane
Utilizzando il teorema di Gauss calcolare il campo
elettrico in prossimità delle seguenti distribuzioni di
carica:
Carica puntifome
Guscio sferico
uniformemente carico
Piano uniformemente carico
Filo uniformemente carico
15
Distribuzione di carica a simmetria sferica
16
E  E x xˆ  E y yˆ  E z zˆ
In una regione dello spazio il campo elettrico è dato da:
1.
2.
3.
 E x  ax V/m

 E y  1 V/m

Ez  0
Nel caso in cui a=1 V/m2 , calcolare il valore di E nei punti P1 (0,0,0), P2  (1,0,0), P3  (2,0,0), P4 (1,1,0),
P5 (2,2,0), e riportarlo in un grafico.
Calcolare il flusso di E attraverso un cubo di lato L=1 m posizionato con un angolo nell’origine delle
coordinate.
Quanta carica è contenuta nel cubo ?
y
A2
y
A4
A3
A1
P5
dA1   yˆ dxdz
A 2  yˆ L2
;
dA 2  yˆ dxdz
A 3  xˆ L2
;
dA 3  xˆ dydz
A 4   xˆ L2
;
dA 4   xˆ dydz
x
A1
A2
 E  dA    dxdz
P2
;
 E  dA   (axxˆ  yˆ )  dA1   (axxˆ  yˆ )  dA 2   (axxˆ  yˆ )  dA3   (yˆ )  dA 4
P4
P1
A1   yˆ L2
P3
x
  dxdz
Q
2
3
 E  dA  aLL  aL  
Q  L3
  a 0
A3

  axdydz
A4
 0
Q   0 aL3
0
17
Lavoro della forza elettrica
dL  F  ds  Fds
b
Lab 
b
a Fds

b
a
Lab 
Lab  ab F  ds  ab
q1q2 1
rˆ  ds  0
2
40 r
q1q2 dr
q1q2 1


40 r 2
40 r a
q1q2  1 1 
  
40  ra rb 
Lab  ab F  ds  ab
q1q2 1
rˆ  ds  ?
2
40 r
18
Energia potenziale elettrica
f
f
i
i
DU  U f  U i   Lif    F  ds    q0E  ds
U i energia potenziale nello stato iniziale
U f energia potenziale nello stato finale
Lif lavoro fatto dalla carica q0 per andare dallo stato iniziale a quello finale
Il lavoro per portare una carica esploratrice q0 da una distanza ri ad
una distanza rf rispetto ad una carica Q :
f
Lif  i F  ds 
DU  U f  U i   Lif  
Qq0  1 1

40  ri r f




q0
rf
Q
ri
Qq0  1 1  Qq0  1 1 






40  ri r f  40  r f ri 
Se il lavoro, e quindi la variazione di energia potenziale, dipende solo dalla posizione del punto di partenza e del
punto di arrivo la forza è detta conservativa. Infatti si possono fare cammini chiusi (trasformazioni cicliche)
senza variare l’energia potenziale del sistema.
19
Anche se solo le variazioni di energia hanno significato fisico si può definire uno zero
per l’energia. Per molte applicazione si pone uguale a zero l’energia quando le due
cariche sono a distanza infinita:
U()=0
Questo permette di definire l’energia potenziale di due cariche a distanza r come:
U (r ) 
Q1Q2 1
40 r
Esercizi
1) Due protoni del nucleo dell’ 238U si trovano ad una distanza di 6 fm (1fm=10-15m). Calcolare l’energia potenziale
associata alla forza elettrica tra i due protoni.
2) Consideriamo l’atomo di idrogeno. Calcolare il lavoro necessario a ionizzare l’atomo di idrogeno.
20
Potenziale del campo elettrico
Il lavoro per spostare una carica esploratrice q0 all’interno di un campo elettrico per la definizione
stessa di campo è proporzionale a q0:
f
f
f
Lif  i F  ds  i q0E  ds  q0 i E  ds  q0
U potenziale della forza F
V potenziale del campo E
f
DU  U f  U i   Lif    F  ds
DV 
i
DU
q0
 V f  Vi  
Lif
q0
f

 i q0E  ds
q0
f
  i E  ds
Nel caso del campo generato da una carica puntiforme
Lif
Q  1 1 
DV  V f  Vi  


q0 40  r f ri 

E(x,y,z)  un campo vettoriale
V(r) 
Q 1
40 r
Potenziale generato da una carica
puntiforme Q. A differenza del campo
E, V non è un vettore ma è una
funzione scalare
V(x,y,z)  un campo scalare
21
Definizione di differenza di potenziale
DV  V f  Vi  
Lif
q0
f

 i q0 E  ds
q0
f
  i E  ds
La differenza di potenziale è la grandezza direttamente misurabile. La sua Unità di misura nel
Sistema Internazionale (S.I.) è il Volt
V   Energia   J   Volt
carica  C 
Di conseguenza l’unità di misura del campo elettrico nel S.I. è il Volt/m
E   V 
m
Nella fisica atomica le cariche di maggior interesse sono le cariche elementari (elettroni e protoni) .
È quindi conveniente definire una nuova unità di misura per l’energia data dal lavoro per portare
una carica elementare (e=1.6 10-19 C) tra due punti la cui differenza di potenziale è 1 V è dato da:
e DV= 1.6 10-19  1= 1.6 10-19 Joule  1 eV
22
Circuitazione del campo elettrico
b
 E  ds  ?
a
b

 E  ds   E  ds   E  ds  DVab  DVba
b
a

 E  ds  DVab  DVba  Vb  Va  Va  Vb  0
 E  ds  0
La circuitazione del campo
elettrostatico è nulla
a
DVab  Vb  Va
DVba  Va  Vb
Equazioni di Maxwell del campo E in condizioni stazionarie
F ( E )   E  dS 
 E  dl  0
Q
0
 Il campo E è generato da cariche elettriche
 Il campo E è conservativo
23
Il campo elettrico in un conduttore carico
All’equilibrio
E=0
F(E)=Q/00
c’è carica
24
dl 1  dltˆ
dl 2  dlnˆ
2
0
dl 3   dltˆ
dl 4   dlnˆ
3
1
l >> w
4
w
 E  ds   E  ds   E  ds   E  ds   E  ds  0
1
 E  ds 
2
3
4
E// l  - E w  E// l
 E w 
0

E //  0
t
= Q/0
n
A1
 E  dA   E  dA   E  dA   E  dA
A3

A1  An
A 2  A2tˆ

A 3  A(n)
A2
A1
 E  dA 
E A1 
A2
A3
0

0
 E A1

E A1 
DQ A1

0
0

E 

0
25
Calcolare la differenza di potenziale noto il campo
DVcb=Vb-Vc=?
DVba=Va-Vb=?
DVac=Vc-Va=?
DVif  i f E  ds
Calcolare la carica q
26
Superficii equipotenziali
Sono dette superfici equipotenziali quelle per cui DV=0
dV  E  ds  0
Le superfici equipotenziali sono in ogni punto perpendicolari alle linee di flusso
27
La relazione tra potenziale e campo elettrico
DV   i E  ds
f
Supponiamo di voler calcolare la differenza di potenziale tra due punti vicini a(x,y,z) e
b(x+Dx,y,z). Tali due ponti sono connessi da un vettore:
dx  dxxˆ
E  dx  ( Ex xˆ  E y yˆ  Ez zˆ )  dxxˆ  Ex dx
x  Dx
V ( x  Dx, y, z )  V ( x, y, z )    E x dx   E x Dx
y
x
V ( x  Dx, y, z )  V ( x, y, z )
  Ex
Dx
V ( x  Dx, y, z )  V ( x, y, z )  V
lim Dx0 


Dx

 x
Dx
(x,y,z) (x+Dx,y,z)

x
V
  Ex
x
28
Calcolare il campo elettrico noto il potenziale
dV  E  ds
(
dV  dVx  dV y  (E  (dx  dy ) )   E x dx  E y dy
)
dVx   E x dx  dVx  V ( x  dx, y, z )  V ( x, y, z )

dVy   E y dy  dVy  V ( x  dx, y  dy, z )  V ( x  dx, y, z )
V

E


x

x

 E y   V

y
In tre dimensioni si ha che:

V
E


 x
x

V

E


 y
y


V
Ez  
z

Esercizi:

E  -V
1)
Dato il potenziale associato ad una carica
puntiforme Q calcolare il campo elettrico
2)
Dato il potenziale V=xy+2y calcolare il campo E
29
nell’origine delle coordinate O(0,0,0) e nel punto
P(1,1,0)


1  Q Q 
V ( P) 


40  r 
r 


Calcolare il campo elettrico generato da
un dipolo a grande distanza (r>>d)
P
z
1
d


r   r  d cos q  r 1  cos q 
2
 2r

1
d


r   r  d cos q  r 1  cos q 
2
 2r





Q 
1
1

V (r ) 

d
d
40  
 

 r 1  cos q  r 1  cos q  
  2r

  2r
r+
V (r ) 
r
+
d 0
x
-
q
r-
d
d

 Qd cos q
1  cos q  1  cos q  
2
40 r  2r
2r
 40 r
Q
p  Qdkˆ momento del dipolo
y
½ d cosq
per r >> d
E  V
V (r ) 
V ( x, y , z ) 

 Ex   V  1 3 pzx
x 40 r 5


V
1 3 pzy


E y  
y 40 r 5


2


 Ez   V  1  3 pz  p 
z 40  r 5

r3 
p r
40 r 3
1
pz
40 ( x  y  z 2 )3 / 2
2
2
E
1  3(p  r )r p 
 3
40  r 5
r 
30
Sistema di coordinate sferiche
Un altro sistema che si può usare per orientarsi nello spazio è il sistema sferico. È formato
da tre coordinate: ρ, θ e φ. Si considera sempre un generico punto P e la sua proiezione
sul piano XY chiamata Q. Con ρ questa volta si indica la distanza di P dall'origine e θ è
l'angolo che ρ
forma con l'asse Z. Indichiamo invece con ρ’
il vettore che collega
l'origine con il punto Q, φ individua l'angolo che quest'ultimo vettore forma con l'asse X.
Per passare da un sistema sferico ad uno rettangolare si usano le seguenti uguaglianze:
x   ' cos    sin q cos 
y   ' sin    sin q sin 
z   cosq
Per passare da coordinate sferiche a cartesiane:
ˆ
  x2  y 2  z 2
 y
x

z
q  arccos
 x2  y2  z 2

  arctan  
̂
qˆ




ẑ
ŷ
x̂
31
Campo del dipolo in coordinate sferiche
E  V
V (r ,q ,  ) 
p cos q
40 r 2
1

V

V


r
r

1 V

V  V q 
r q

1 V


V



r sin q 


V
1 2 p cos q
E



 r
3

r
4

r
0


1 V
1 p sin q
E   Eq  

r q 40 r 3


1 V
0
 E  
r
sin
q



32
V ( P) 
Distribuzione di cariche
40

i
qi
ri
P
di << r
z
1
ri = r - di
Nel caso di una molecola neutra
il potenziale e quindi il campo
elettrico generato dipenderà solo
dal momento di dipolo
complessivo
qi
di
r
q
y
x
d i  rˆ
)
r
q  d  rˆ 
1
V ( P) 
 i 1  i 
40 i r 
r 
ri  r  d i  rˆ  r (1 
V ( P) 
1
 qi
i
40
V ( P) 
r

1
40
qi d i  p i momento di dipolo
della singola carica
 qi di  rˆ
i
r
2
Q
1 p r

40 r 40 r 3
1

1
 qi
40
r
i

Q   qi
i
1
 pi  r
40
r3
i
p   pi
i
33
Calcolare la carica risultante, il momento di dipolo risultante e il potenziale in un punto
P a distanza r dall’origine delle coordinate.
Q   qi
p   pi
i
i
Q=q1+q2+q3+q4=0
q4= +q
q3= +q
d4
d3
0
d1
p4
=
d2
q1= -q
p3
=
p1
P=22qdk
Q=0
=
p2
q2= -q
Q=q1+q2+q3+q4=0
q4= -q
q3= +q
d4
d3
0
d1
q1= +q
p4
p3
=
d2
=
p1
=
p=0
Q=0
p2
q2= -q
34
q2= 2q
q2= 2q
d2
0
Q
0
d1
p2
d2
p2
0
p1
q1= -q
Q=q1+q2=q0
P=3qdk
Molecola dell’acqua (H2O)
Q
p
p
~
0
q1= -q
0
Q
0
Q
Q=q1+q2=q0
P=4qdk
Calcolare il momento di dipolo in
modulo e direzione
35
q4= +2q
q3= +2q
q5= -2q
q1= -q
q2= -q
q1=q
120°
q3=-3q
q2=q
36
Dipolo in un campo elettrico
E
p
+
F+
q
E
p
d
d
d
sin q F  sin q F  d sin qqE  p sin qE
2
2
τ  p  E Momento torcente indotto da un campo

F-
elettrico E su un dipolo p
Energia di un dipolo in un campo elettrico
q
q
q
0
0
0
L0q   τ  dq    τdq    pE sin qdq  pE (cos q  1)
U (q )   pE cos q  p  E
U(q )/pE
U (q )  U (0)   L0q   pE cos q  ( pE )
1.5
0.5
-0.5
0
50
100
-1.5
Equivale ad aver fissato lo zero dell’energia a q90
q ()
150
37
Esercizio 1
A, B, C, D sono quattro dipoli elettrici.
Orientare i momenti di dipolo
corrispondente
Valutare l’energia potenziale.
Calcolare il momento torcente in modulo e
direzione
Esercizio 2
p3
d
d
p1
p2
Calcolare il campo elettrico generato dal dipolo p1 nella
posizione in cui si trovano il dipolo p2 ed il dipolo p3.
Calcolare l’energia dei dipoli p2 e p3 nel campo generato
da p1
Calcolare il momento torcente sui dipoli p2 e p3 dovuto al
campo generato da p1
38
Molecole polari
p = 3.410-30 C m
p = 4.510-30 C m
p = 6.410-30 C m
p = 0.310-30 C m
39
40
CONDENSATORE IN PRESENZA DI UN DIELETTRICO
d
+Q
Q
C
ΔV
E
d
-Q
+Q
E’
-Q
C' 
DV
DV’
Sperimentalmente si trova che:
DV’ = DV /r
DV ' 
DV 1 Q

r r C
Q
DV ' 
C'
E
r >1
Q
Δ V'
DV’ < DV
costante dielettrica relativa
 C’=C r
DV
d
DV ' 1 DV
E' 

d
r d
 E’=E /r
41
r dipende da:
 Tipo di materiale
 Stato di aggregazione
 Temperatura
 Orientazione del
cristallo

Problema:
Come è legata la costante dielettrica (grandezza microscopica) ai momenti di dipolo
degli atomi e delle molecole (grandezze microscopiche).
42
Come si comporta la
materia in presenza di un
campo E
Come si comportano gli atomi
POLARIZZAZIONE PER DEFORMAZIONE
Atomo H
E=0
E
Come si comportano le molecole
dotate di momento di dipolo proprio
POLARIZZAZIONE PER ORIENTAMENTO
p=0
p0
E=0
E
Come dipende p da E ?
<p> = 0
<p>  0
43
Polarizzazione per deformazione
Nucleo
+Ze
+
d
R
E at 
E
Elettroni
-Ze
Fest=ZeE
Il campo elettrico a cui è sottoposto il nucleo quando si
trova ad una distanza d rispetto al baricentro della
carica negativa è dato da:

d
3 0
E at  
Fest  Fat  0

Ze
d
3
4R  0

p   DE
Densità di
carica
elettronica
Campo di richiamo all’interno
dell’atomo
ZeE - Ze
+
Fat=ZeEat
- Ze
4 3
R
3
Ze
d0
3
40 R
Zed  p  40 R 3E
 D  4 0 R 3
polarizzab ilità
atomica
44
Polarizzabilità atomiche (10-40 farad m2)
H
D
He
0.66 0.21
R(Å)
Esercizi:
Li
Be
C
Ne
Na
Ar
K
12
9.3
1.5
0.4
27
1.6
34
1.55 1.12 0.94
1.9
 D  40 R3
2.35
1. Perché D è più grande per il potassio che per il litio
2. Calcolare D per il berillio ed il potassio
3. Confrontare la polarzzabilità del Li con quella del Li+ e con quella del He
Polarizzabilità elettroniche di ioni
Esercizio 3
-1
(10-24 cm-3 = 0.910-40 farad m2)
D
-2
+3
12
Li+
-2
+3
0.03
He
-2
+2
0.2
Li
45
Polarizazione per orientamento
E=0
z
Temperatura
p
T
E
y
<
p
<p> = 0
<px> = <py> = <pz> = 0
x
>
media statistica
<p>  0
<px> = <py> = 0 <pz>  0
Per un sistema che si trova a temperatura T la probabilità di essere in uno stato di energia U è
proporzionale al fattore di Boltzmann exp (-U/kBT)
P( x)  Ae x
A costante di normalizza zione
U
x
k BT
In un sistema termodinamico
composto di molte “particelle”
all’equilibrio termico, la condizione
di equilibrio non è più determinata
semplicemente dal minimo
dell’energia potenziale, ma
dipende anche dalla temperatura
a cui si trova il sistema
46
U
T 0
kBT<<DU
T=0
T 0
kBT>>DU
DU
U
T 0
kBT<<DU
T=0
T 0
kBT>>DU
DU=pE
47
Per un sistema di dipoli p in campo E posto a temperatura T
U  p  E   pE cos q
P(q )  Ae
pE cosq
k BT
3
Probabilità
2.5
KT = pE
2
KT = 10 pE
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
200
q (°)
Nel limite di piccoli campi e grandi temperature pE/kBT <<1
lim x0 e  1  x
x


pEcosq 

P( q )  A 1 
k BT 

48
z
E
<pz>=<p cosq> = p<cosq>
dW2 sinq dq
elemento di angolo solido
con q fissato
 cosq   P(q ) cosq dW

 cos q   P (q ) cos q 2 sin qdq
0

pE cos q 

P(q )  A1 
k
T
B



pE cos q 
 cos q 2 d (cos q )
 cos q   A1 
k BT 
 
0
dq
q
p
0

pE 0
2
 cos q  2A  cos q d (cos q ) 
 cos q d (cos q )
k BT 


 cos 2 q
 cos q  2A
 2

 P(q )dW  1
pE
 cos q 
3k BT
p2
O 
3k BT

0

0

pE cos3 q 
pE 2 
pE 2
  2A(1  1) 


2

A

k BT 3  
k BT 3 
k BT 3


A
1
4
condizione di normalizza zione
p2E
 p z  p  cos q 
 O E
3k BT
polarizzab ilità per orientamento
49
Una molecola dotata di dipolo permanente p in presenza di un campo elettrico E
presenterà un momento di dipolo medio <p> dato da:
 p  E
 polarizzab ilità
  O   D 
2
p
 4 0 R 3
3k BT
 proporzionale al campo applicato E
 orientato in direzione e verso di E
Prossimo obbiettivo:
connettere il punto di vista
MICROSCOPICO
(momenti di dipolo di atomi e molecole)

MACROSCOPICO
(costante dielettrica)
50
Esercizi:
1. Calcolare la polarizzabilità dell’acqua a temperatura di 20° C e a temperatura di 110° C.
2. È più importante il contributo per deformazione o per orientamento ?
3. In che modo è possibile distinguere fra i due contributi ?
4. Quale dei composti in figura è costituito di molecole polari ?
Polarizzabilità (10-40 farad m2)
8
6
4
2
0
Polarizzabilità molare per composti derivati dal metano, con sostituzione polare o
non polare, in forma gassosa
51
Definizione del vettore polarizzazione P
DV
 abbastanza grande da contenere molti momenti di dipolo p
 sufficientemente piccolo in modo che E non vari troppo al
suo interno
 pi
P
DV
DV
P
pi
Vettore Polarizzazione
Come dipende P da E ?
Se abbiamo un sistema contenente molti dipoli in presenza di un campo elettrico E il
vettore polarizzazione P sarà dato da:
 pi N  p 

 n  p  nE   0 E
DV
DV
n

suscettibilità dielettric a
P
0

polarizzabilità della singola molecola o atomo

suscettibilità di n atomi o molecole
r
costante dielettrica del materiale
N numero di molecole contenute nel volume DV
nN/DV densità delle molecole per unità di volume
DOBBIAMO ANCORA CONNETTERE
, 

r
52
Come si comporta un dielettrico nel suo complesso?



P  n p   0E
P
E
p
E
P
E e P costanti
E e P variabili
53
Come si calcola la carica di polarizzazione ?
dcosq
P
p=qd
QP
P=np
carica distribuita sulla superficie S dovuta alla polarizzazione della materia
QP   P S  q n (S d cosq )  npS cosq  P  nˆ S
volume in cui è contenuta
densità di carica

 P  P  nˆ
P
carica superficiale di polarizzazione
54
E=0
+
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
+
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
+
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
+
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +P=np
-
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
+
- +
P=0E’
+
- +
- +
- +
- +
- +
+
+
+
E’
_
_
_
_
_ E=0
_
_
_
_
p=qd
- +
+
- +- +
+
- +- +
+
- +- +
+
+
+
- +- +
F (E) 
- +
0

Q  QP
0
Q carica vera sulle armature del condensatore
QP carica di polarizzazione alla superficie del dielettrico
F (E)  E' S 
- +- +
- +- +
Qtot
E' 
  P
0
Q  QP
0
 carica superficiale vera sulle armature del condensatore
P carica superficiale di polarizzazione alla superficie del
dielettrico
55
Campo nel dielettrico
 P  P  nˆ   P   0 E '
Campo nel vuoto
  0E
E' 
   P  0 E   0 E '

 E  E '  E
0
0
Il campo all’interno del dielettrico (E’) è minore del campo che ci sarebbe in assenza di dielettrico
(E).
E' 
E
1 
 E
Dal confronto delle capacità di un condensatore in vuoto (C) ed un condensatore riempito di
dielettrico (C’=Cr) avevamo trovato la seguente relazione tra il campo E ed E’:
E' 
E
r
 E
r  1 
Da cui segue che:
   r 1 
n
0
56
Esercizi
1. Data la costante dielettrica del H2O in forma gassosa a T=110°C e pressione di
1 Atmosfera, r=1.0126, calcolare la polarizzabilità della molecola di H2O
2. Data la costante dielettrica del H2O in forma liquida a T=20°C e, r=80, calcolare
la polarizzabilità della molecola di H2O
3. Confrontare i valori di polarizzabilità  trovati nei due casi precedenti con il
valore di polarizzabilità per orientamento D, prevista alle due diverse
temperature. Discutere.
NA= 6.021023 mol-1; kB =1.38 10-23 Joule/K ; 1 Atmosfera =1.05105 N/m2
57
Dielettrici densi
Fino ad ora abbiamo trascurato l’interazione tra i momenti di dipolo che diventa rilevante in un
materiale denso come un liquido o un solido. In questo caso il momendo di dipolo sarà
proporzionale non al campo esterno, ma al campo locale agente nella posizione in cui si trova la
molecola.


p  Eloc
;


P  nEloc
Il campo locale Eloc in generale dipende dal contributo dei dipoli vicini. In un liquido o in un solido
ad alta simmetria (cubico) si ha che:


 P
Eloc  E 
3 0



 P 

P  nEloc  n  E 
3 0 

 


n


P
E  0E
1

n

3

0 

 n  0 
   r  1
  
 1  n 3 0 
Contributo dei dipoli vicini

3 0 ( r  1)
n ( r  2)
Relazione di
Clausius-Mossotti
58
Dielettrici diluiti: Gas
modello microscopico  P  nE 
n





1


r
definizione
 P   0 E 
0
Dielettrici densi: liquidi o solidi isotropi
modello microscopico  P 
definizione

n
E
1  n / 3 0
P   0 E
Relazione di
Clausius-Mossotti

n
1






1


r
 0 1  n / 3 0



3 0 ( r  1)
n ( r  2)
59
Cristalli ferroelettrici
Un cristallo ferroelettrico
presenta un momento di dipolo
elettrico anche in assenza di un
campo elettrico applicato. La
ferroelettricità scompare al di
sopra di una certa temperatura
detta temperatura di transizione
o temperatura di Curie (Tc) .
Si definisce polarizzazione di
saturazione
Ps=n p,
dove n è il numero di celle
cristalline per unità di volume e
p è il momento di dipolo
associato a ciacuna cella. La
polarizzazione di saturazione è
quella che si ha quando tutti I
dipoli sono orientati
parallelamente.
60
Il titanato di bario (BaTiO3) è un cristallo ionico in
cui la valenza dei singoli elementi è la seguente
Ba++ , Ti4+ e O--. Se la cella è perfettamente
cubica il momento di dipolo risulta nullo. Al di
sotto della temperatura di Curie la cella si
deforma e si genera un momento di dipolo.
Esercizio
Si calcoli la polarizzazione di saturazione del
titanato di bario assumendo che gli ioni positivi
Ba++ e Ti4+ siano spostati di d=0.1 Å rispetto
agli ioni negativi O– e che la cella sia cubica di
lato a=4 Å.
Si calcoli quindi l’energia di interazione tra due
dipoli primi vicini posti sullo stesso asse e si
confronti il valore trovato con l’energia termica
a T ambiente
a
p
p = 6ed = 9.6 10-30 Cm
n = 1/a3= 1.6  1028 m-3
Ps= n p = 0.15 C m-2
U=p2/(20a3)=p2n  18 109=2.6 10-20 J
UT=kT= 1.3810-23 300=4 10-21J
61
Costante dielettrica dei
materiali ferroelettrici
62