2006 - Istituto Romano Bruni

PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA
U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA
SCUOLA NORMALE SUPERIORE
I G iochi di A rchim ede - G ara Triennio
6) Francesco è interessato a un modello di televisore che viene venduto nei supermercati Landscape a 800 Euro. Si accorge poi che nei negozi Ipersfera vendono lo stesso
modello al 15% in meno e praticano uno sconto del 10% a tutti i clienti di nome
Francesco. Quanto spende acquistando il televisore nei negozi Ipersfera?
(A) 600 Euro, (B) 612 Euro, (C) 680 Euro, (D) 720 Euro, (E) 790 Euro.
22 novembre 2006
C
7) Nella figura a fianco, il segmento DE è parallelo ad AB.
3
1) La prova consiste di 25 problemi; ogni domanda è seguita da cinque risposte indicate
Sapendo che l’area di DEC è uguale ai di quella di ABC
4
con le lettere A, B, C, D, E.
e che AC√misura 1 m, quanto misura DC?√
2) Una sola di queste risposte è corretta, le altre 4 sono errate. Ogni risposta corretta
√
3
2− 3
(A)
m, (B) (2 − 3) m, (C)
m,
vale 5 punti, ogni risposta sbagliata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza
2
3
√
D
E
risposta vale 1 punto.
3
3
m,
(E)
m.
(D)
3) Per ciascuno dei problemi devi trascrivere la lettera corrispondente alla risposta che
A
B
4
2
ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammesse cancellature o
correzioni sulla griglia. Non è consentito l’uso di alcun tipo di calcola- 8) Quanti divisori positivi ha 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 ? (Tra i divisori di un numero devono
essere contati anche 1 e il numero stesso.)
trice.
(A) 5, (B) 6, (C) 10, (D) 24, (E) 30.
4) Il tempo totale che hai a disposizione per svolgere la prova è un’ora e mezza. Buon
lavoro e buon divertimento.
3
Nome
Classe
Cognome
9) Le misure delle diagonali di un rombo sono l’una i dell’altra e la loro somma è
4
56 m. Calcolare il perimetro del rombo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
(A) 60 m, (B) 80 m, (C) 96 m, (D) 100 m, (E) 108 m.
√ √ √
10) Mettere
in ordine
crescente
i tre
numeri√2 6 2,√ 5, 3 11. √
√
√
√
√
√
√
3
1) Laura sta leggendo un libro e nota che il numero della pagina a cui è arrivata è
(A) √
11 < √5 < 2√6 2, (B) 3√11 < √
2 6 2 <√ 5, (C) 5 < 3 11 < 2 6 2,
6
3
6
3
divisibile per 3, 4 e 5. Qual è la cifra delle unità del numero della pagina successiva?
(D) 5 < 2 2 < 11, (E) 2 2 < 5 < 11.
(A) 1, (B) 3, (C) 5, (D) 6, (E) 9.
11) In una scacchiera 8 × 8 le righe e le colonne sono numerate da 1 a 8. Su ogni
2) Claudia ha disegnato sul quaderno l’iniziale del suo nome, una C. Il disegno è stato
casella Mauro appoggia dei gettoni secondo questa regola: guarda il numero di
fatto tagliando esattamente a metà una corona circolare con raggio interno 1 cm e
riga e di colonna corrispondenti alla casella, li somma e mette sulla casella tanti
raggio esterno 4 cm. Quanto misura il perimetro della C?
gettoni quanto è il risultato della somma. Quanti gettoni appoggia in tutto sulla
(A) 5 cm, (B) 5π cm, (C) (6 + 5π) cm, (D) (5 + 6π) cm, (E) (6 + 10π) cm.
scacchiera?
(A) 482, (B) 576, (C) 768, (D) 1024, (E) 1152.
3) Il numero reale a è tale che l’equazione
x2 + 2ax + 1 = 0
ha due soluzioni reali coincidenti. Quanti sono i possibili valori di a?
(A) Nessuno, (B) uno, (C) due, (D) tre, (E) quattro.
4) Quanti sono i multipli di 3 maggiori o uguali di 2000 e minori o uguali di 4000?
(A) 666, (B) 667, (C) 668, (D) 669, (E) 670.
12) Ogni ora il patrimonio di zio Paperone aumenta del 50%. Se alle 12 di un certo
giorno Paperone possiede 64 fantastiliardi, quale sarà il suo patrimonio alle 16 dello
stesso giorno?
(A) 192 fantastiliardi, (B) 256 fantastiliardi, (C) 324 fantastiliardi,
(D) 486 fantastiliardi, (E) 1024 fantastiliardi.
13) Tra i 200 alunni di una scuola, 150 hanno partecipato ad una gara di chimica e
130 hanno partecipato ad una gara di fisica. Quanti studenti hanno partecipato ad
entrambe le gare?
5) In un triangolo rettangolo le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa misurano 3 m e 12
(A) 70, (B) 80, (C) 120, (D) 130, (E) non è possibile determinarne il num rispettivamente. Quanto misura l’area del triangolo?
mero in base ai dati del problema.
(A) 45 m2 , (B) 60 m2 , (C) 72 m2 , (D) 84 m2 , (E) 90 m2 .
14) Gigi dispone su un tavolo sei gettoni rossi, tondi, uguali tra loro e di raggio 10 21) Qual è la cifra delle unità di 1717 ?
cm, in modo che si tocchino a due a due senza sovrapporsi e che i loro centri siano
(A) 1, (B) 3, (C) 5, (D) 7, (E) 9.
disposti sui vertici di un esagono regolare. Poi nota che in mezzo c’è ancora spazio
per appoggiare un gettone blu, tondo, in modo che tocchi tutti e sei i gettoni rossi 22) Un vandalo taglia tutti i copertoni delle auto e delle motociclette parcheggiate
lungo una strada. La polizia lo arresta e rileva che i veicoli danneggiati sono 44. Il
senza √
sovrapporvisi. Qual è il raggio del
√ gettone blu? √
responsabile viene condannato a pagare le spese di sostituzione dei 144 copertoni
(A) 5 3 cm, (B) 10 cm, (C) 10 3 cm, (D) 15 3 cm, (E) 20 cm.
da lui tagliati. Quante motociclette erano parcheggiate in quella strada?
15) Quante soluzioni reali ha l’equazione
(A) Meno di 9, (B) più di 10 e meno di 14, (C) più di 15 e meno di 19,
!!
!
(D) più di 20 e meno di 24, (E) più di 25.
!
!!
!
! |a| + 3! − 2! = 1 ?
D
C
23) Nel quadrato ABCD, avente il lato lungo 12 m, il lato AB
viene
diviso
in
tre
segmenti
AE,
EF
e
F
B
di
uguale
lun(A) Nessuna, (B) una, (C) due, (D) tre, (E) otto.
ghezza. Si tracciano i segmenti EC e F D che si intersecano
16) Andrea entra in un negozio con la somma di denaro esatta per comprare una caranel punto H. Quanto è l’area del triangolo HCD?
mella per ciascuno dei suoi compagni di classe, al prezzo di tredici centesimi l’una.
(A) 36 m2 , (B) 48 m2 , (C) 54 m2 , (D) 60 m2 ,
H
Il prezzo delle caramelle però è sceso a dieci centesimi l’una e Andrea compra sei
(E) 72 m2 .
caramelle in più del previsto, finendo il denaro che aveva. Quanti sono i compagni
di classe di Andrea?
A
E
F
B
(A) 18, (B) 20, (C) 21, (D) 23, (E) 24.
24) Il numero 100020001 è:
(A) un numero primo, (B) un quadrato perfetto, (C) un multiplo di tre,
17) Nella figura a fianco, chiamiamo Q il quadrato circo(D) un cubo perfetto, (E) un multiplo di undici.
scritto alla circonferenza e Q! il quadrato inscritto nella
circonferenza. Quanto vale il rapporto tra l’area di Q e
25) Sia Q un cubo e sia S una sfera che ha centro in uno dei vertici di Q e raggio uguale
quella√di Q! ?
al lato di Q. Il volume dell’intersezione tra Q e S è:
√
√
2
(A)
, (B) 2, (C) 2, (D) 2 2, (E) 4.
(A) un ottavo del volume della sfera, (B) un quarto del volume della sfera,
2
(C) un sesto del volume del cubo, (D) un quarto del volume del cubo,
(E) metà del volume del cubo.
18) In quanti modi distinti si possono ordinare le lettere I, S, O, L, A, in modo che non
vi siano due consonanti consecutive?
(A) 60, (B) 72, (C) 84, (D) 96, (E) 120.
19) Gli abitanti di un’isola si dividono in due categorie: quelli che sono sempre sinceri
e quelli che mentono sempre. Fra tre abitanti dell’isola, Andrea, Barbara e Ciro,
avviene questa conversazione: Andrea dice: “Barbara è sincera”, Barbara dice:
“Andrea e Ciro sono sinceri”, Ciro dice: “Andrea è bugiardo”. Possiamo concludere
che
(A) sono tutti e tre sinceri, (B) sono tutti e tre bugiardi, (C) Andrea e Barbara
sono sinceri e Ciro è bugiardo, (D) Andrea e Barbara sono bugiardi e Ciro è
sincero, (E) Andrea è sincero e Ciro e Barbara sono bugiardi.
20) Nella figura a fianco il triangolo ABC è equilatero e ha lato
1 m e DEF G è un quadrato. Quanto misura il lato DE?
√
1
1
(A) m, (B) (2 3 − 3) m, (C) m,
3 √
2
√
1+ 3
(D)
m, (E) ( 3 − 1) m.
4
C
G
A
F
D
E
B
PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA
U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA
SCUOLA NORMALE SUPERIORE
I G iochi di A rchim ede - Soluzioni Triennio
22 novembre 2006
Griglia delle risposte corrette
Problema
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Risposta corretta
A
C
C
B
A
B
E
E
B
A
B
C
E
Problema
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Risposta corretta
B
B
B
C
B
D
B
D
C
C
B
A
Risoluzione dei problemi
1. La risposta è (A).
Il numero della pagina a cui è arrivata Laura, essendo divisibile per 3, per 4 e per 5 deve
necessariamente essere divisibile anche per il loro minimo comune multiplo, ovvero per 60.
Tutti i multipli di 60 terminano per zero quindi la pagina successiva avrà 1 come cifra delle
unità.
2. La risposta è (C).
Possiamo suddividere il perimetro del disegno in quattro parti: due segmenti
(AB e CD) e due semicirconferenze (gli archi BC e DA di raggio rispettivamente 4 cm e 1 cm). La lunghezza dei segmenti è pari alla differenza tra
i raggi delle due circonferenze: AB = CD = 3 cm.
La lunghezza delle semicirconferenze è la metà della lunghezza della circon2π · 4
2π · 1
= 4π cm; DA =
= π cm. In
ferenza corrispondente: BC =
2
2
definitiva, AB + BC + CD + DA = (6 + 5π) cm.
B
A
D
C
3. La risposta è (C).
Una equazione di secondo grado ammette una sola soluzione soltanto nel caso in cui il discriminante sia uguale a zero.
Nel nostro caso si deve annullare ∆ = 4a2 − 4. Abbiamo quindi che a2 − 1 = 0 da cui a = 1
oppure a = −1. Ci sono quindi due valori di a per cui l’equazione ammette una sola soluzione.
1
4. La risposta è (B).
Il più grande multiplo di tre inferiore a 2000 è 1998. I multipli di tre successivi possono essere
scritti come ak = 1998 + 3 k con k intero positivo. Ad esempio per k = 1 otteniamo a1 = 2001,
il più piccolo tra i numeri cercati. Si tratta di stabilire qual è il più grande valore di k per cui
ak < 4000, cioè per cui 1998 + 3k < 4000.
2002
1
4000 − 1998
, cioè per k <
= 667 + ma, dato
La disuguaglianza è soddisfatta per k <
3
3
3
che k è intero positivo, questo equivale a dire k ≤ 667. Il numero dei multipli di 3 compresi tra
2000 e 4000 è quindi 667.
5. La risposta è (A).
L’ipotenusa AB ha come lunghezza la somma delle lunghezze
delle proiezioni dei cateti, ovvero 3 m +12 m = 15 m. La
lunghezza dell’altezza CH può essere calcolata utilizzando il
2
secondo teorema di Euclide: CH = AH · HB = 36 m2 .
AB · CH
Di conseguenza CH = 6 m e l’area risulta essere
=
2
2
45 m .
C
A
H
B
6. La risposta è (B).
Il prezzo del televisore nei negozi Ipersfera è di 800 · (1 − 0.15) euro = 680 euro. A questa cifra
va applicato lo sconto del 10% praticato da Ipersfera ai clienti di nome Francesco, per cui il
costo effettivo del televisore per Francesco è di 680 · (1 − 0.1) euro = 612 euro.
Si osservi che le operazioni fatte non corrispondono a ridurre del 25% il prezzo del televisore
praticato da Landscape perchè in questo caso la riduzione del 10% sarebbe calcolata su 800
euro e non sui 680 euro corrispondenti al prezzo non scontato di Ipersfera.
7. La risposta è (E).
C
I triangoli ABC e DEC sono simili. Sappiamo che il rapporto tra le aree di
due figure simili è uguale al quadrato del rapporto tra 2 lati corrispondenti.
Di conseguenza,
√
√
!
"2
3
3
DC
area (DEC)
3
=
= , cioè DC =
m
AC =
area (ABC)
4
2
2
AC
D
E
A
B
8. La risposta è (E).
La scomposizione in fattori primi di 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 è: 24 · 32 · 5. Un suo divisore dovrà avere
quindi una scomposizione in fattori primi del tipo 2a · 3b · 5c dove a = 0, 1, 2, 3, 4, b = 0, 1, 2,
c = 0, 1. Ciascun divisore è individuato da una particolare scelta della terna (a, b, c). Contare
i divisori equivale a contare quante terne distinte si possono formare. Ci sono 5 possibili scelte
per il valore di a, tre per il valore di b e due per quello di c per cui complessivamente le terne
(a, b, c) possibili sono 5 · 3 · 2 = 30.
9. La risposta è (B).
C
3
7
DB + AC = AC + AC = AC = 56 m, cioè AC = 32 m eBD = 24 m.
4
4
#
√
1
2
2
Il lato del rombo è AB = · AC + BD = 162 + 122 m = 20 m. Di
2
conseguenza il perimetro del rombo è di 80 m.
2
D
B
A
10. La risposta è (A).
Ricordiamo che se a > b > 0 e n > 0 allora an > bn . Osserviamo che scegliendo n = 6, cioè
pari al minimo comune multiplo degli indici delle radici (6, 2, 3 rispettivamente), il confronto
fra le seste potenze dei numeri assegnati si riduce ad un confronto tra numeri interi.
Si ha quindi:
√
√
√
6
3
(2 2)6 = 26 · 2 = 128.
( 5)6 = 53 = 125,
( 11)6 = 112 = 121.
√
√
√
Poiché 121 < 125 < 128 abbiamo che 3 11 < 5 < 2 6 2.
11. La risposta è (B).
Conviene immaginare che la deposizione dei gettoni avvenga in due fasi. Prima depositiamo su
tutte le caselle un numero di gettoni pari al numero della riga cui appartengono, poi depositiamo
su tutte un numero di gettoni pari al numero della colonna.
In entrambi i casi depositiamo 8 volte 1 moneta, 8 volte 2 monete, 8 volte 3 monete fino a
8 volte 8 monete per l’ultima riga o colonna. Quindi per ciascuna delle due fasi depositiamo
8 · (1 + 2 + . . . + 8) = 8 · 36 = 288 gettoni. Il numero totale di gettoni depositati è quindi
2 · 288 = 576.
12. La risposta è (C).
Al passare di ogni ora, il valore P del patrimonio di Paperone aumenta del 50%. Il suo valore
è allora quello precedente aumentato
della
!
" sua metà. In altre parole, ad ogni ora il valore del
1
3
patrimonio aumenta da P a P 1 +
= P . Al termine delle 4 ore che intercorrono tra le
2
2
! "4
! "4
3
3
volte il suo valore iniziale, cioè 64 ·
= 324
12 e le 16 il patrimonio varrà quindi
2
2
fantastiliardi.
13. La risposta è (E).
Indichiamo con N il numero di studenti che non hanno partecipato a nessuna competizione,
con F e C il numero di quelli che hanno partecipato soltanto alle gare di fisica e chimica
rispettivamente, con E il numero di quelli che hanno partecipato ad entrambe.
Il testo del problema fornisce le informazioni seguenti:
F + E = 130,
C + E = 150,
F + C + E + N = 200.
Si potrebbe subito osservare che si tratta di un sistema lineare di 3 equazioni in 4 incognite la
cui soluzione, quando esiste, non può essere unica. Questo permette di scartare le risposte A,
B, C, D, per cui la risposta esatta non può essere che (E).
Procedendo in maniera costruttiva osserviamo invece che:
130 + 150 = (F + E) + (C + E) = (F + C + E) + E = (200 − N) + E,
cioè E = 80+N. Il valore massimo di N è 50 e corrisponde al caso in cui tutti i 130 partecipanti
alla gara di fisica abbiano anche partecipato alla gara di chimica. N dovrà necessariamente
essere un numero non negativo per cui potrà assumere un qualunque valore intero compreso
tra 0 e 50. A ciascun valore lecito di N corrisponderà una diversa soluzione con E che potrà
assumere un qualunque valore intero tra 80 e 130 inclusi. Il problema ammette quindi 51
soluzioni distinte per cui i dati forniti non sono sufficienti ad individuare un particolare valore
di E.
3
14. La risposta è (B).
Indichiamo con r la lunghezza del raggio del gettone blu e con R
quella del raggio dei gettoni rossi.
Per simmetria il centro del gettone blu deve trovarsi nel centro
C dell’esagono. Il triangolo ABC è equilatero poiché i centri dei
gettoni rossi sono disposti sui vertici di un esagono regolare. In
particolare AB = BC = 20 cm. D’altra parte BC = r +R = r +10
cm, da cui r = 10 cm.
$ = 120◦ , che BCD
$ =
Alternativamente si può osservare che ABD
◦
$
CAB = 60 e quindi che ABCD è un parallelogramma. Quindi
AB = CD e possiamo procedere come in precedenza.
C
A
D
B
15. %La risposta è %(B).
%
%
%
%
%%
%% |a| + 3% − 2% = 1 significa che % |a| + 3% − 2 può essere uguale a 1 oppure uguale a −1, cioè
%
%
%
%
% |a| + 3% vale 3 oppure 1. Qualunque sia il valore di a, il suo valore assoluto è non negativo
%
%
%
%
quindi % |a| + 3% ≥ 3 in ogni caso. Di conseguenza l’unica possibilità è che sia % |a| + 3% = 3, da
cui a = 0. L’equazione ammette una sola soluzione.
16. La risposta è (B).
Indicato con x il numero dei compagni di Andrea, la cifra che prevede di spendere è 13x
centesimi mentre quella che effettivamente spende è 10x centesimi. La differenza tra queste
corrisponde esattamente al costo di 6 caramelle, cioè a 60 centesimi. Di conseguenza x può
essere determinato risolvendo l’equazione 13x − 10x = 60, ovvero 3x = 60, da cui x = 20. La
risposta esatta è la B.
17. La risposta è (C).
Q" è un quadrato inscritto nella circonferenza e può essere disegnato
indifferentemente con i lati paralleli a quelli di Q o con i vertici nei
punti di contatto tra Q e la circonferenza.
Tracciando le diagonali di Q" il quadrato Q risulta diviso in 8 triangoli
rettangoli isosceli congruenti di cui quattro fanno parte anche di Q" . Il
rapporto fra le due aree risulta essere 8/4 = 2.
18. La risposta è (B).
Conviene calcolare il numero richiesto per differenza tra il numero totale di permutazioni (cioè
5! = 120) e quelle in cui troviamo due consonanti consecutive.
Ci sono quattro modi distinti di avere due consonanti consecutive: ai posti 1 e 2, ai posti 2 e
3, 3 e 4, 4 e 5. Per ciascuna di queste possibilità possiamo disporre le due consonanti in due
modi diversi (SL ed LS) e le tre vocali in 3! = 6 modi. Di conseguenza, il numero totale di
ordinamenti delle lettere di ISOLA in modo da avere due consonanti consecutive è 4 · 2 · 6 = 48.
Il numero di ordinamenti richiesto è allora 120 − 48 = 72.
19. La risposta è (D).
Supponiamo che Andrea sia sincero. Allora l’affermazione che fa è vera e quindi è vero che
Barbara è sincera. Di conseguenza è vero anche quello che dice Barbara ovvero che sia Andrea
che Ciro sono sinceri. In particolare afferma che è vera l’affermazione di Ciro, ovvero che Andrea è bugiardo. Questo contraddice la nostra ipotesi di partenza. Di conseguenza Andrea non
può essere sincero, ovvero Andrea è bugiardo.
Come conseguenza l’affermazione di Andrea è falsa, cioè anche Barbara è bugiarda.
L’affermazione di Barbara d’altra parte non può essere vera (Andrea è bugiardo quindi Andrea
4
e Ciro non possono essere entrambi sinceri). Fermandosi a questo punto niente si può dire
della situazione di Ciro. Resta però da esaminare l’affermazione da lui fatta, cioè “Andrea è
bugiardo” che sappiamo essere vera. Di conseguenza Ciro è sincero.
20. La risposta è (B).
Sia CH l’altezza del triangolo ABC relativa alla base AB e sia x = DE. Osserviamo che i
triangoli AHC e GKC sono simili; vale quindi la proporzione:
AH : CH = GK : CK.
√
D’altra parte,AH √
= 1 m, CH = 3/2 m, GK = x/2 m e
CK = CH − x = 3/2 − x m. Segue allora:
√
√
√
√
1
3
3
x
:
= :
− x, cioè
3x = 3 − 2x.
2 2
2 2
Ricavando la x,
√
√
√
√
3
3(2 − 3)
√ m=
m = (2 3 − 3) m.
x=
4−3
2+ 3
C
K
G
F
x
x/2
A
D
H
E
B
21. La risposta è (D).
La cifra delle unità di un prodotto è determinata soltanto dal prodotto delle cifre delle unità
dei fattori. Quindi:
172 ha la stessa cifra delle unità di 7 × 7 cioè 9;
173 ha la stessa cifra delle unità di 9 × 7 cioè 3;
174 ha la stessa cifra delle unità di 3 × 7 cioè 1;
175 ha la stessa cifra delle unità di 1 × 7 cioè 7, ovvero la stessa cifra delle unità di 171 .
La cifra delle unità delle potenze di 17 si ripete dunque ogni 4 valori consecutivi dell’esponente.
Poiché 17 = 4 · 4 + 1 la cifra delle unità di 1717 è la stessa di 171 , cioè 7.
22. La risposta è (C).
Indichiamo con x il numero delle motociclette e con y il numero delle auto danneggiate. I
veicoli danneggiati sono x + y = 44 mentre gli pneumatici sono 2x + 4y = 144.
Quindi: 2x + 4y = 2(x + y) + 2y = 2 · 44 + 2y = 144 da cui y = 28. Il numero delle motociclette
danneggiate è allora x = 44 − y = 16.
23. La risposta è (C).
Il triangolo CDH è isoscele. Se HK è la sua altezza relativa a
CD si ha DK = KC. Sia poi G il punto di intersezione tra
il prolungamento di BC e il prolungamento di DF . I triangoli
1
DHK e DGC sono simili quindi HK = CG. Anche i triangoli
2
F BG e DCG sono simili per cui vale la proporzione DC : F B =
CG : BG, da cui 3BG = CG. Inoltre CG = BC + BG e quindi
3
1
CG = BC = 18 m e HK = CG = 9 m. Infine,
2
2
area (DCH) =
12 · 9 2
DC · HK
=
m = 54 m2
2
2
5
K
D
C
H
A
E
F
B
G
24. La risposta è (B).
Utilizzando i noti criteri di divisibilià per 3 e per 11 si possono escludere subito le risposte C
ed E. Ricordando poi la formula per il quadrato di un binomio, abbiamo che (10000 + 1)2 =
100000000 + 2 · 10000 + 1 = 100020001 ovvero il numero proposto è un quadrato perfetto
(quindi anche la A è falsa). Se fosse vera anche la D il numero assegnato dovrebbe essere
contemporaneamente un cubo e un quadrato di un intero, ovvero dovrebbe esistere un intero
di cui è la sesta potenza. In altre parole 10001 dovrebbe essere in cubo di un intero ma cosı̀
non è. L’unica risposta possibile è la B.
25. La risposta è (A).
Il cubo Q è individuato dagli spigoli OA, OB, OC di lunghezza
pari a quella del raggio della sfera. Il centro della sfera coincide
dunque con il vertice O del cubo. Per simmetria, il piano
contenente i punti B, O, C divide la sfera in due parti di
uguale volume. La calotta cosı̀ ottenuta è a sua volta divisa
in due parti uguali dal piano passante per A, O, B. Il piano
C, O, A infine divide ancora in due parti uguali lo spicchio
sferico ABCD. Di conseguenza il volume della parte di sfera
contenuta in Q è un ottavo del volume della sfera da cui siamo
partiti.
6
C
Q
D
O
A
B